函数的连续性课件

函数的连续性什么是函数的连续性图像无断裂平滑变化函数图像在某一段内没有间断函数的值随着自变量的改变，，可以连续地画出来平滑地变化，没有突变或跳跃微小变化当自变量发生微小变化时，函数的值也只发生微小的变化连续性的定义函数的连续性定义在数学中，函数的连续性是指一个函数在其定义域内，当自变量如果一个函数fx在点x=a处连续，则必须满足以下条件的取值变化很小时，函数值的改变也很小，也就是说，函数图像

1.函数在点x=a处有定义，即fa存在没有间断或跳跃

2.函数在点x=a处的极限存在，即limx-a fx存在

3.函数在点x=a处的函数值等于其极限值，即fa=limx-afx一个点处的连续性判断函数值存在1该点对应的函数值存在极限存在2该点处函数的左右极限都存在且相等极限等于函数值3左右极限等于函数在该点的值如果函数在一点处连续，需满足什么条件函数值存在极限存在函数值等于极限值在该点处，函数的定义域必须包含该点，当自变量趋近于该点时，函数的极限存在函数在该点的值等于该点的极限值，即函并且函数在该点处有确定的值，并且该极限值为有限值数值与极限值相等对于多个变量的函数，连续性的定义定义理解当自变量在某个点无限接近时，对于多变量函数，连续性意味着函数值也无限接近某个特定值，函数的图像没有“断裂”，它是一则称函数在该点连续个平滑的曲线或曲面举例例如，函数fx,y=x^2+y^2在整个平面内都是连续的，因为它的图像是一个没有“断裂”的抛物面连续函数的性质可加性可乘性两个连续函数的和仍为连续函数两个连续函数的积仍为连续函数可除性两个连续函数的商仍为连续函数，前提是除数不为零函数间的连续性关系函数的和函数的差函数的积如果两个函数fx和gx在点x=a处连如果两个函数fx和gx在点x=a处连如果两个函数fx和gx在点x=a处连续，那么它们的和fx+gx也在点x=a续，那么它们的差fx-gx也在点x=a续，那么它们的积fx*gx也在点x=a处连续处连续处连续常见函数的连续性多项式函数指数函数和对数函数在整个定义域上连续在定义域上连续三角函数在定义域上连续多项式函数的连续性定义域连续性多项式函数的定义域为整个实数多项式函数在定义域内是连续的集，这意味着在任何实数点处都，这意味着函数图像没有间断点有定义结论多项式函数是连续函数，它们在整个实数集上都是连续的指数函数和对数函数的连续性指数函数对数函数12指数函数的定义域是所有实数对数函数的定义域是所有正实，并且在定义域上连续数，并且在定义域上连续三角函数的连续性正弦函数余弦函数正切函数余切函数正弦函数sinx在整个实数范余弦函数cosx与正弦函数类正切函数tanx在除了余切函数cotx在除了x=kπk围内都是连续的这意味着似，在整个实数范围内也是x=π/2+kπk为整数的点外，为整数的点外，在整个实数无论x取何值，函数的值都能连续的它也是一个周期函在整个实数范围内都是连续范围内都是连续的它在这以连续的方式变化数，周期为2π的它在这些点上具有间断些点上具有间断点点分段函数的连续性讨论定义域边界点连续性判定分段函数在每个定义域内可能具有不同在定义域的边界点，需要检查左右极限如果函数在每个定义域边界点处连续，的表达式因此，首先需要确定每个定是否相等，且是否等于函数值且在每个定义域内连续，则该分段函数义域的边界为连续函数无穷大和无穷小的连续性无穷大函数的连续性无穷小函数的连续性当函数趋于无穷大时，如果函数值也趋于无穷大，那么该函数在当函数趋于无穷大时，如果函数值趋于0，那么该函数在无穷大处无穷大处是连续的是连续的函数的单调性与连续性的关系单调性连续性函数在某个区间内，如果自变量函数在某一点处，如果自变量的的值增大，函数值也随之增大，值无限接近该点，函数值也无限则称函数在这个区间内是单调递接近该点处的函数值，则称函数增的反之，如果函数值随之减在该点处是连续的小，则称函数在这个区间内是单调递减的关系连续性是单调性的必要条件，但不是充分条件也就是说，如果一个函数在某个区间内是单调的，那么它在这个区间内一定是连续的；但如果一个函数在某个区间内是连续的，它不一定在这个区间内是单调的函数的奇偶性与连续性的关系奇函数的连续性偶函数的连续性12若奇函数在一个点处连续，则若偶函数在一个点处连续，则该函数在其对称点处也连续.该函数在其对称点处也连续.奇偶性与间断点3奇函数的间断点具有对称性，而偶函数的间断点也具有对称性.函数的周期性与连续性的关系周期函数是指其值在一个固定周期内连续函数是指函数图像没有间断点重复出现函数的有界性与连续性的关系有限区间上的连续函数有界无界函数不一定不连续连续函数在有界闭区间上取到最大值和最小值如果一个函数在有限区间上连续，那一个函数在某个区间上无界，并不意么这个函数在这个区间上是有界的，味着它在这个区间上不连续例如，这个性质是极值定理的直接推论，它即存在一个常数M，使得函数在这函数fx=1/x在区间0,1上是无说明了连续函数在有界闭区间上的性个区间上的取值都在-M和M之间界的，但它在这个区间上是连续的质，这对于我们理解连续函数的行为这个性质可以用极值定理来证明非常重要连续函数的运算性质加减法乘法除法两个连续函数的和或差仍然是连续函两个连续函数的积仍然是连续函数两个连续函数的商仍然是连续函数，数但分母函数不能为零复合函数的连续性复合函数定义复合函数连续性定理设函数y=fu的定义域为D1,函数u=gx的定义域为D2,且若函数u=gx在x=x0处连续,且函数y=fu在u=gx0处连gD2⊆D1,则称函数y=fgx为复合函数,简记为y=f○gx.续,则复合函数y=fgx在x=x0处连续.倒数函数的连续性定义连续性条件倒数函数是指对于一个函数fx，其倒数函数为1/fx倒数函数在定义域内除fx=0的点之外，处处连续分式函数的连续性分母非零分母为零极限存在当分母不为零时，分式函数连续当分母为零时，分式函数可能出现间断点当分母为零，且分子极限也为零时，分式，需要进一步分析函数可能存在可去间断点，需要进一步分析反函数的连续性连续函数不连续函数如果一个函数在某个点处连续，那么它的反函数在对应的点处也如果一个函数在某个点处不连续，那么它的反函数在对应的点处连续也不连续初等函数的连续性综合分析多项式函数指数函数12在定义域内处处连续在定义域内处处连续对数函数三角函数34在定义域内处处连续在定义域内处处连续函数的间断点及其类型第一类间断点第二类间断点函数在该点存在左右极限，但不相等函数在该点至少一边极限不存在，或者左右极限都存在，但都不等于函数值函数间断点的判定方法定义法1直接利用定义判断函数在某一点是否连续极限法2利用极限的定义判断函数在某一点的左右极限是否相等，以及极限值是否等于函数值性质法3利用连续函数的性质，如和、差、积、商、复合函数的连续性来判断函数是否连续如何确定函数的连续区间找出函数的间断点1找到函数不连续的点，比如分母为零的点，或分段函数的连接点等判断每个间断点类型2根据间断点的类型来确定函数在该点的性质例如，可去间断点可以补连续，而跳跃间断点或无穷间断点则无法补连续确定连续区间3将函数的定义域分成若干个区间，这些区间不包含间断点，函数在这些区间上都是连续的，这些区间就是函数的连续区间连续性在实际应用中的重要性桥梁设计信号处理连续性是确保桥梁结构稳定性的重要连续信号处理广泛应用于通信和图像因素处理等领域电路分析连续函数用于描述电路中的电流和电压变化课堂小结连续性定义连续性判断定义理解，函数在一点处的连续性概念掌握判断函数在一点处连续性的方法连续函数性质间断点类型了解连续函数的一些重要性质识别不同类型的间断点课后思考题本节课我们学习了函数的连续性，请同学们思考以下问题

1.函数在某点处连续的定义，其几何意义是什么？

2.函数在某点处不连续，可能有哪些情况？

3.如何利用函数的连续性来解决实际问题？。