高等数学下教学课件-d

高等数学下教学课件本课件是高等数学下课程的教学辅助材料它涵盖了微积分学、线性代数、概率统计等重要内容教学目标掌握数学概念提升数学思维能力增强数学应用能力学生能够理解和应用高等数学中的重要学生能够运用数学思维方法解决实际问学生能够将高等数学知识应用于其他学概念，例如极限、导数、积分等题，培养逻辑推理、抽象思维和问题分科和实际领域，提升解决复杂问题的能析能力力概念回顾高等数学下课程继续探讨微积分、多元函数以及一些重要的数学概念这些概念是大学数学的基石，也是其他学科学习的基础，因此，对它们有一个深入的理解非常重要函数的极限定义符号12当自变量无限接近某个值时极限用符号表示，例如“lim”，函数值无限接近某个常数表示函数limx-afx=L，则称该常数为函数在该点在趋近于时，极限值fx xa的极限为L重要性应用34函数极限是微积分的基础概在物理学、工程学、经济学念之一，是研究函数性质、等领域，函数极限被广泛应建立微积分理论的重要工具用于解决各种问题一元函数极限的性质代数运算极限的运算与代数运算相似，例如极限的加减乘除等比较性质如果两个函数在某一点的极限存在，则它们的极限的大小关系与函数本身的大小关系一致夹逼定理如果一个函数被两个函数夹在中间，并且这两个函数的极限相等，则该函数的极限也等于这两个函数的极限函数的连续性连续函数的性质中间值定理最大值最小值定理对于连续函数，如果在某个区连续函数在闭区间上一定存在间内函数取值的两个端点，则最大值和最小值，即函数值有在该区间内函数取值一定存在界所有介于这两个端点值之间的值一致连续性可积性对于连续函数，如果在某个区连续函数在闭区间上是可积的间内任意两个点距离足够近，，可以使用积分计算函数在区那么函数值之间的距离也会足间上的面积够近间断点及间断函数间断点间断函数函数定义域内，函数值不存在或不连含有间断点的函数称为间断函数间续的点称为间断点间断点分为三类断函数在间断点处没有定义，或者其可去间断点、跳跃间断点和无穷间值不连续间断函数的图形往往在间断点断点处出现断裂“”可导函数的概念切线与导数导数的几何意义导数的应用可导函数是指在定义域内每个点都存在导数的几何意义是函数图像在某一点的导数在数学、物理、经济学等领域都有导数的函数切线的斜率广泛的应用，例如求解函数的极值、最值、拐点等可导函数的性质连续性单调性12可导函数一定连续，但连续函数不函数的导数可以用来判断函数的单一定可导调性，导数大于零则函数单调递增，导数小于零则函数单调递减极值凹凸性34函数的极值点可能出现在导数为零函数的二阶导数可以用来判断函数或导数不存在的点上，但不是所有的凹凸性，二阶导数大于零则函数导数为零或不存在的点都是极值点为凹函数，二阶导数小于零则函数为凸函数导数的运算法则和差法则1两个函数之和或差的导数积法则2两个函数之积的导数商法则3两个函数之商的导数链式法则4复合函数的导数导数的运算法则用于计算函数导数，是微积分中的重要基础高阶导数定义求导应用高阶导数是指对函数进行多次求导求高阶导数可以通过对函数进行多高阶导数在数学、物理和工程等领得到的导数例如，二阶导数是函次求导运算获得，遵循相应的导数域有着广泛的应用，例如在求解微数的一阶导数的导数运算法则例如，二阶导数可以使分方程、分析函数的性质、研究物用求导法则对函数的一阶导数进行理运动等方面求导微分中值定理123费马引理罗尔定理拉格朗日中值定理如果函数在处取得极值，且如果函数在闭区间上连续，如果函数在闭区间上连续，fx x=c fx[a,b]fx[a,b]存在，则在开区间内可导，且在开区间内可导，则存在一点fc fc=

0.a,b fa=fb a,b c，则存在一点∈，使得∈，使得c a,b fc=a,b fb-fa=fcb-a

0.洛必达法则极限形式洛必达法则主要用于处理或类型的极限形式0/0∞/∞求导运算该法则通过对分子和分母求导，来简化极限计算极限存在前提条件是分子和分母函数在趋于极限点时，都存在导数且极限存在函数的最值问题函数的最大值和最小值极值点的概念拐点和函数的凹凸性函数的最值问题是指求解函数在给定区函数的极值点是指函数在该点取得最大拐点是指函数的凹凸性发生变化的点，间上的最大值和最小值值或最小值的点也可能与函数的最值相关一元函数最值问题极值点临界点一元函数最值问题是寻找函数临界点是指函数导数为零或不在定义域内取得最大值或最小存在的点，通常情况下，极值值的问题，极值点是指函数在点是临界点，但临界点不一定该点取得极值是极值点最值点求解方法最值点是指函数在定义域内取求解一元函数最值问题通常需得最大值或最小值的点，最值要求出函数的导数，找出极值点可能在极值点或端点处点和端点，并比较函数在这些点上的值函数的图形描绘函数图形描绘是将函数的解析式转化为可视化的曲线图通过观察图形，我们可以直观地了解函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性等图形描绘可以帮助我们更好地理解函数，并进行相关计算和应用定积分的概念累积和曲线下的面积

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2.12定积分可以看作是函数在某定积分可以用来计算曲线与个区间上的累积和的极限坐标轴围成的面积积分符号积分变量

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4.34积分符号表示累积和的极限积分变量是积分计算中使用，它由一个拉长的形符号的自变量，通常用表示S dx表示定积分的基本性质线性性质可加性定积分对被积函数是线性的，即定积分的线如果积分区间被分成若干段，则整个积分等性组合等于对应函数的线性组合的积分于各段积分的和比较性质估计性质如果两个函数在积分区间上大小关系确定，可以使用积分区间上的最大值和最小值来估则它们的积分大小关系也确定计积分的值公式Newton-Leibniz定积分与原函数牛顿莱布尼兹公式建立了定积分与原函数之间的关系，它是微积分学的基-本定理之一计算定积分该公式表明，可以通过求出被积函数的原函数，并计算其在积分区间的端点处的取值之差来得到定积分的值应用该公式广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域，它为求解许多实际问题提供了有效的方法不定积分定义符号表示性质应用不定积分是导数的反运算不定积分通常用积分符号不定积分具有以下性质不定积分广泛应用于微积给定一个函数，求其导表示，例如，函数的不积分常数的不确定性不分、物理学和工程学等领fx数是一个求导运算；反过定积分表示为，其中定积分的结果中包含一个域，例如求解微分方程、∫fxdx来，给定一个函数，求其是积分符号，是被积函任意常数，表示函数族计算面积、体积等∫fx C原函数，就是求不定积分数，是积分变量dx运算积分的换元法基本思想1将原积分表达式中的变量替换为新的变量，使其积分更容易计算换元公式2根据原积分形式选择合适的换元公式，将积分变量和被积函数进行替换积分求解3利用换元后的表达式进行积分计算，得到新的积分结果代回原变量4将新的积分结果代回原变量，得到最终积分结果换元法是一种重要的积分技巧，可以简化复杂积分的计算过程分部积分法选择合适函数将被积函数分成两部分，分别称为u和dv，选择合适的u和dv，以使dv的积分更容易，而u的导数更简单求导积分求u的导数，记为du，以及dv的积分，记为v应用公式应用分部积分公式∫u dv=uv-∫v du，将u，v，du和dv代入公式进行计算计算积分对∫v du进行积分，最终得到原积分的结果广义积分无穷积分瑕积分收敛性发散性积分区间包含无穷大，通过积分区间内的某一点出现奇广义积分的极限值存在，则广义积分的极限值不存在，极限来定义点，通过极限来定义该积分收敛则该积分发散双重积分概念应用计算双重积分是用来计算二维空间上曲面面应用于计算面积、体积、质量、重心等通过对区域进行分割、求和，并取极限积或体积的数学工具物理量的计算得到双重积分的值曲线积分概念定义类型曲线积分是微积分学中的一个重要概曲线积分主要分为两种类型第一类念，它用来计算一个函数在曲线上的曲线积分和第二类曲线积分积分第一类曲线积分是对曲线上的函数值在物理学中，曲线积分常用于计算功进行积分，而第二类曲线积分是对曲、流量、磁场等线上的向量场进行积分面积分曲面积分第一类曲面积分曲面积分是将被积函数在曲面上的积分第一类曲面积分是指将被积函数在曲面计算的是曲面上的量例如曲面的面积上积分得到的是曲面上的一个量例如,,,,、曲面的质量、曲面的重心等曲面的面积第二类曲面积分第二类曲面积分是指将被积函数在曲面上积分得到的是曲面上的一个向量例如曲面,,的法向量格林公式格林公式重要性

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2.12格林公式是将平面闭区域上该公式在物理学、工程学等的二重积分与该区域边界上领域有着广泛的应用，例如的曲线积分联系起来的公式计算平面区域的面积、磁通量等应用推广

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4.34格林公式可以用于计算平面格林公式可以推广到高维空区域上的面积、磁通量、势间，即斯托克斯定理能等物理量结语与思考学习高等数学是探索数学世界的旅程，它为我们打开更广阔的数学领域高等数学在工程、物理、经济等各个领域都具有重要意义，是深入学习其他学科的基础。