函数的最大小值与导数课件人教A版选修

函数的最大小值与导数课程目标掌握函数的最大值、最小学习利用导数求函数的最值的概念大值、最小值理解函数的最大值、最小值与函掌握导数在求解函数最大值、最数图像的关系小值问题中的应用提高解决实际问题的分析能力运用导数知识解决生活、生产中的实际问题基本概念回顾

1.函数函数图像函数是将一个集合中的元素与另一个函数图像可以直观地展示函数的变化集合中的元素之间建立对应关系的一趋势和性质种关系函数单调性函数的单调性是指函数值随自变量的增大或减小而变化的趋势函数与函数图像线性函数二次函数三角函数直线抛物线正弦波函数的单调性递增递减单调性函数的定义域内，当自变量增大时，函函数的定义域内，当自变量增大时，函函数在某个区间内保持递增或递减，则数值也随之增大，则该函数为递增函数数值也随之减小，则该函数为递减函数该函数在这个区间内具有单调性函数的极值最大值最小值12在函数的定义域内，函数取得在函数的定义域内，函数取得的最大值称为函数的最大值的最小值称为函数的最小值极值3函数在某点取得的值比该点附近其他点的函数值都大（或都小），则称该点取得的值为函数的极大值（或极小值）导数的概念

2.瞬时变化率微分运算导数反映了函数在某一点的瞬时变导数是微积分的核心概念之一，代化率，即函数值随自变量变化的速表了函数在某一点的微小变化率率导数的定义定义解释函数在处的导数定义为当趋近于时，函数在处变化率的极限值fx x=x0fx0=limh-0[fx0+h-h0fx x0fx0]/h导数的几何意义导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线的斜率也就是说，导数表示函数在该点变化的快慢程度，数值越大，变化越快导数的基本性质加减法乘法除法两个函数的和或差的导数等于这两个函两个函数的积的导数等于第一个函数的两个函数的商的导数等于分母的平方除数的导数的和或差导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以分子导数乘以分母减去分子乘以分母以第二个函数的导数导数利用导数求最大最小值

3.极值与导数的关系求最大最小值步骤导数为零的点是函数的极值点，但求导数、找出极值点、比较极值与导数为零的点不一定是极值点端点值导数的应用求函数的单调区间求函数的极值利用导数判断函数的单调性，确利用导数求函数的极值点，并判定函数的递增区间和递减区间断极值点的类型（极大值或极小值）求函数的最大值或最小值利用导数求函数在给定区间上的最大值或最小值，解决实际应用问题最大值问题问题分析寻找函数在定义域上的最大值方法选择利用导数求函数的最值，确定极值点比较大小比较极值与端点处的函数值，找到最大值最小值问题最小值1导数为零或不存在的点极小值2函数在该点附近取得最小值最小值点3函数在该点取得最小值最小值问题是寻找函数在指定区间内的最小值使用导数求最小值时，需要先找到函数的极小值点，然后与函数在区间的端点处的值比较，最终确定最小值分段函数的极值分段函数是指在一个定义域内，根据不同的自变量取值，函数表达式不同的函数定义域表达式分段函数的定义域是一个集合，包每个分段函数的表达式都是一个数含了所有可能的自变量值学表达式，用于描述函数在特定定义域内的输出值分段函数的概念分段函数是指由多个函数片段组成，不同片段的函数表达式可能不同，但每个函数片段在定义域的某个子集上它们的定义域必须互斥且覆盖整个定起作用义域例如，分段函数可以用于描述不同情况下的不同价格、速度或其他物理量分段函数求导定义法导数公式12根据分段函数的定义，分别求利用已知的导数公式，求出各出各个函数段的导数个函数段的导数导数性质3运用导数的性质，简化分段函数求导的过程分段函数求极值定义域1每个子函数的定义域导数2分别求各子函数的导数极值点3在每个子函数定义域内求极值点比较4比较所有子函数的极值点，确定最大最小值/反函数的极值反函数的极值问题，即求反函数的最大值和最小值求导法图像法利用反函数求导公式，求出反函利用反函数图像的对称性，结合数的导数，再利用导数的性质来原函数的图像来确定反函数的极确定反函数的极值值反函数的概念互为反函数图形关系若函数的定义域为，值域为，且存在函数的定义域函数与其反函数的图像关于直线对称fx AB gx fx f-1x y=x为，值域为，满足∈，∈，B Afgx=x xB gfx=x xA则称为的反函数，记作gx fx f-1x反函数的导数导数公式示例反函数的导数等于原函数导数的倒数，即例如，函数的反函数为，则f-1x=1/ff-1xfx=x2f-1x=√xf-1x=1/2√x反函数的极值反函数的定义反函数的导数如果函数的定义域为，值域为，且对于每个∈，设的反函数为，若在点处可导且y=fx DR yR y=fx x=f-1y fx x0fx0≠0都有唯一的∈使得成立，那么就称是的函数，记，则在点处可导，且有x Dy=fxxy f-1y y0=fx0f-1y0=1/fx

0.作，这个函数称为的反函数x=f-1y fx综合案例我们将通过具体的案例分析，深入理解函数最大小值与导数的应用案例分析实际问题数学模型12例如，某公司要生产一种产品将实际问题转化为数学模型，，需要确定最佳生产规模，以用函数表示利润与生产规模的获得最大利润关系求解过程3利用导数求函数的极值，找到最佳生产规模，从而获得最大利润问题求解过程确定目标函数1根据题目要求确定需要求最大值或最小值的函数，并将其表示为自变量的函数求导2对目标函数求导，得到导函数求驻点3令导函数为零，求出驻点判断极值4利用导数的性质判断驻点处函数的极值情况，并求出极值确定最大最小值5比较所有极值和端点处的函数值，确定最大值和最小值结果应用分析实际问题解决模型优化决策支持通过求函数的最大值或最小值，可以利用导数求最大值或最小值，可以帮通过对函数的分析，可以提供更准确解决实际问题中关于最优解的寻找助优化模型，提高其效率或效果的数据和信息，帮助做出更明智的决策课程小结本节课我们学习了函数的最大最小值与导数的关系，以及如何利用导数求函数的最大最小值思考与练习学习函数的最大最小值与导数，我们不仅要掌握理论知识，更要学会运用这些知识去解决实际问题课程结束后，希望大家能够独立思考以下问题，并尝试进行练习例如，如何利用导数求解实际生活中遇到的最大值或最小值问题？如何将函数的单调性、极值等概念与实际问题相结合？在解题过程中，应该注意哪些细节问题？通过不断思考和练习，才能真正理解和掌握函数的最大最小值与导数的知识，并将其应用于实际生活中。