《平面向量总复习》课件

平面向量总复习平面向量的定义方向大小表示向量运动的方向表示向量运动的距离，也称向量长度平面向量的表示平面向量可以用以下方法表示

1.几何表示用有向线段表示，起点为起点，终点为终点，长度为模长，方向为方向例如，用有向线段AB表示向量a

2.符号表示用字母表示，例如向量a、向量b

3.坐标表示用坐标系表示，例如向量a的坐标为x,y，表示向量a的起点在原点，终点在坐标为x,y的点平面向量的基本运算加法1首尾相接，用起点指向终点的向量表示结果减法2平行移动，用起点指向终点的向量表示结果数乘3改变长度，方向不变，伸缩比例为数乘系数平面向量的线性相关与线性无关线性相关线性无关判断方法123如果存在不全为零的实数k1,k2,...,如果只有当k1=k2=...=kn=0时可以通过行列式判断向量组的线性kn使得k1a1+k2a2+...+knan=，才能使k1a1+k2a2+...+knan=相关性如果行列式不等于零，则0成立，则称向量a1,a2,...,an线0成立，则称向量a1,a2,...,an线向量组线性无关；反之，则线性相性相关性无关关平面向量的坐标表达21坐标系坐标表示选择坐标系原点和基底，即可建立平向量在坐标系中的坐标值，用来表示面直角坐标系其大小和方向3运算简化坐标表示方便向量加减、数乘、模长、夹角等运算平面向量的长度定义向量**a**的长度用符号|**a**|表示，是向量**a**起点到终点的线段长度计算公式如果向量**a**=x,y，则|**a**|=√x²+y²几何意义表示向量**a**的模长，即向量**a**所表示的线段的长度平面向量的夹角定义计算两个非零向量之间的夹角是指这两个向量所代表的有向线段所成夹角可以使用余弦定理计算，公式为cosθ=a·b/|a||b|的角，其大小在0°到180°之间，其中a和b为两个向量平面向量的投影定义1一个向量在另一个向量上的投影是将一个向量沿另一个向量的方向上的分量公式2向量a在向量b上的投影向量为projba=a·b/|b|2b性质3投影向量与原向量同向或反向，长度为原向量在投影方向上的分量长度平面向量的内积定义公式性质两个向量的内积是一个标量，它等于这设a和b是两个向量，则它们的内积为•交换律a·b=b·a两个向量的模长乘以它们的夹角的余弦a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a和b•分配律a+b·c=a·c+b·c的夹角•结合律ka·b=ka·b平面向量的外积定义计算公式两个向量的外积是一个向量，其设a=x1,y1和b=x2,y2是方向垂直于这两个向量所在的平两个平面向量，则a×b=x1y2面，大小等于这两个向量模长乘-x2y1积与它们夹角的正弦值性质外积不满足交换律，但满足分配律和结合律平面向量的混合积定义计算三个向量a，b，c的混合积定义为混合积可以利用行列式进行计算|a1a·b×c a2a3||b1b2b3||c1c2c3|几何意义混合积的绝对值表示以a，b，c为棱的平行六面体的体积平面向量的应用实例1平面向量在力学中的应用非常广泛，例如在分析力的合成和分解、计算力矩、求解运动轨迹等方面，平面向量都可以发挥重要作用例如，在研究物体的运动时，可以用平面向量来表示物体的速度和加速度，并利用向量的加减运算来计算物体的合速度和合加速度平面向量的应用实例2面积计算力学应用物理应用利用向量进行面积计算，可以有效地解决向量可以表示力、速度、加速度等物理量向量在电磁学、热力学等物理学领域也有各种几何图形的面积问题，例如三角形、，在力学中，可以用向量来解决力的合成广泛应用，可以表示电场、磁场、温度梯平行四边形、梯形等等、分解、平衡等问题度等物理量平面向量的应用实例3利用平面向量解决几何问题，例如证明三角形面积、求线段长度、求角的度数等平面向量可以用来描述物体的运动、力的作用、速度和加速度等物理量平面向量可以用来解决一些实际应用问题，例如导航、地图、工程设计等平面向量的重要性质1向量加法的交换律向量加法的结合律向量减法的性质向量乘法的分配律对于任意两个向量a和b，都对于任意三个向量a，b和c对于任意两个向量a和b，都对于任意两个向量a和b，以有a+b=b+a，都有a+b+c=a+b+有a-b=a+-b及任意实数k，都有ka+bc=ka+kb平面向量的重要性质2平行向量零向量方向相同或相反的向量称为平行长度为0的向量称为零向量，零向量向量与任何向量平行共线向量平行向量又称为共线向量平面向量的重要性质3向量加法的结合律向量加法的交换律12对于任意三个向量a，b，c，对于任意两个向量a，b，有有a+b+c=a+b+c a+b=b+a向量减法的性质3对于任意两个向量a，b，有a-b=a+-b平面向量的性质例题1已知向量a=1,2,b=3,1,求向量a+2b解a+2b=1,2+23,1=1,2+6,2=7,4平面向量的性质例题2例题解答已知向量a=1,2,b=3,-1,求向量a+b的模长根据向量的加法法则，a+b=1+3,2-1=4,

1.所以向量a+b的模长为√4²+1²=√17平面向量的性质例题3例题证明已知向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$不共线，且因为$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$和$2\overrightarrow{a}-$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$和$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$都与向量$\overrightarrow{c}$平行，所以存在实数$k$和\overrightarrow{b}$都与向量$\overrightarrow{c}$平行，求证$t$，使得$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{c}$$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$都平行和$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=t\overrightarrow{c}$将第一个等式乘以$2$，得到$2\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}=2k\overrightarrow{c}$将第二个等式减去第一个等式，得到$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=t\overrightarrow{c}-k\overrightarrow{c}$，即$\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=t-k\overrightarrow{c}$因为$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$不共线，所以$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$线性无关因此，上述两个向量等式中，系数必须分别相等，即$2k=1$且$t-k=-3$解得$k=\frac{1}{2}$和$t=-\frac{5}{2}$所以，$\overrightarrow{c}$可以表示为$\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$或$\overrightarrow{c}=-\frac{2}{5}2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，因此$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$都平行平面向量的作图应用1利用平面向量可以解决很多几何问题，例如，可以利用向量来求解三角形、四边形等图形的面积、周长、内角和外角等例如，可以利用向量来求解三角形的中线、角平分线、高线等平面向量的作图应用2利用平面向量进行作图，可以将复杂的几何问题转化为简单的向量运算问题，从而简化解题过程例如，求三角形ABC的重心G，可以利用向量法进行求解平面向量的作图应用3平面向量的作图应用广泛，例如利用向量解决几何问题、解决力学问题、解决运动问题等平面向量的作图应用能够帮助我们更加直观地理解平面向量的概念和性质，并将其应用于实际问题中平面向量的思维导图总结1向量定义向量运算方向和长度加减乘除向量坐标平面坐标系平面向量的思维导图总结2几何向量代数向量向量运算向量应用方向和大小坐标表示加减乘除物理、几何平面向量的思维导图总结3向量的线性运算向量的坐标表示向量加法、减法、数乘坐标系、坐标向量、坐标表示向量的长度、夹角向量的应用模长、方向角、夹角公式物理学、几何学、工程领域平面向量复习要点1定义与表示基本运算线性相关与线性无关理解平面向量的定义，掌握平面向量的熟练掌握平面向量的加法、减法、数乘掌握判断平面向量组线性相关或线性无表示方法，包括几何表示和坐标表示、模长、夹角等基本运算关的方法，并能运用向量组的线性相关性解决实际问题平面向量复习要点2理解平面向量基本概念、运算及其几掌握平面向量线性运算的性质，并运何意义用到解题中熟练运用平面向量解决几何问题，如三角形、四边形等平面向量复习要点3熟练掌握向量运算向量应用题的解题思路12向量加减、数乘、点积等运算技巧，以及几何意义的理解运用向量知识解决几何问题，如求线段长度、角的大小、面积等灵活运用向量方法3将几何问题转化为向量问题，简化计算和推理课堂练习题1尝试用向量方法解决下列问题

1.已知点A1,2，B3,4，C5,6，求△ABC的面积

2.已知向量a=1,2，b=3,4，求向量a+b的模长

3.已知向量a=1,2，b=-2,1，求向量a与b的夹角课堂练习题2请同学们思考并完成以下练习题

1.已知向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，求向量$\vec{a}+\vec{b}$和$\vec{a}-\vec{b}$

2.已知向量$\vec{a}=1,2$和$\vec{b}=3,-1$，求向量$\vec{a}+\vec{b}$和$\vec{a}-\vec{b}$的坐标

3.已知向量$\vec{a}=2,3$和$\vec{b}=-1,4$，求向量$2\vec{a}+3\vec{b}$和$3\vec{a}-2\vec{b}$的坐标

4.已知向量$\vec{a}=1,2$和$\vec{b}=3,-1$，求向量$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影向量

5.已知向量$\vec{a}=2,3$和$\vec{b}=-1,4$，求向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。