函数的单调性与导数课件

函数的单调性与导数函数的单调性与导数之间存在密切的关系，导数可以帮助我们判断函数的单调性，进而更深入地理解函数的性质导数简介定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数值在该点附近的变化趋势几何意义导数代表函数曲线在该点处的切线的斜率，反映了函数在该点处的变化方向计算导数可以通过求函数在该点附近的变化量与自变量变化量的比值，并取极限来计算导数的几何意义切线斜率切线与曲线的关系函数图像的导数导数在某一点处的数值，代表了函数曲线切线反映了函数曲线在该点变化趋势，导通过绘制导数函数的图像，可以直观地了在该点切线的斜率数的大小决定了切线的倾斜程度解原函数的变化情况单调性的定义单调递增单调递减函数的定义域内，自变量增大，函数的定义域内，自变量增大，函数值也增大函数值减小单调性与导数函数的单调性可以用导数来判断，导数与单调性的关系密切相关导数与单调性的关系函数单调性函数单调性描述函数在定义域内值的增减趋势导数导数反映函数在某一点的瞬时变化率，即切线的斜率关系导数的正负性决定了函数的单调性导数大于零，函数单调递增；导数小于零，函数单调递减；导数等于零，函数可能出现极值点利用导数判断函数的单调性导数的符号1当导数大于零时，函数在该点单调递增当导数小于零时，函数在该点单调递减极值点2导数为零或不存在的点称为函数的临界点，可能为极值点，需要结合导数符号变化进行判断单调区间3通过分析导数的符号，确定函数的单调递增区间和单调递减区间，从而了解函数的整体趋势最大值与最小值的判定函数极值极值判定若函数在某个点处的导数为零或不存在，则该点称为函数的临界可以使用一阶导数检验法判断函数的极值点如果导数在临界点点临界点可能是极值点，也可能不是的两侧符号发生变化，则该点是极值点如果符号不变，则该点不是极值点实例讨论1求函数fx=x^3-3x^2+1的单调区间，并求其极值首先，求函数fx的导数fx=3x^2-6x令fx=0，解得x=0或x=2将x=0，x=2代入fx得到函数的极值点，并将x=0，x=2以及x=0,x=2之间的数值代入fx，判断函数的单调性实例讨论2函数fx=x^3-3x^2+3x-1在x=1处取得极值点,但函数fx在x=1处不存在极值.函数fx=x^3-3x^2+3x-1的导数fx=3x^2-6x+3=3x-1^2,可知函数在x=1处导数为0,说明x=1是函数fx的驻点.但fx=x^3-3x^2+3x-1在x=1处取得的不是极值.原因是函数在x=1处没有改变单调性,在x=1的左侧和右侧,函数都单调递增,所以x=1不是极值点.实例讨论3求函数fx=x^3-3x^2+3x的单调区间.首先求导数，fx=3x^2-6x+

3.然后令fx=0,解得x=

1.当x1时，fx0,函数单调递增.当x1时，fx0,函数单调递增.所以函数fx的单调递增区间为-∞,1和1,+∞.常见函数的单调性分析线性函数二次函数12线性函数斜率决定其单调性二次函数顶点坐标决定其单调正斜率递增，负斜率递减，斜性顶点左侧递减，顶点右侧率为零，函数为常数，单调性递增保持指数函数对数函数34指数函数底数大于1时，单调对数函数底数大于1时，单调递增；底数小于1且大于0时，递增；底数小于1且大于0时，单调递减单调递减多元函数的单调性单调性定义方向导数梯度多元函数的单调性，是指在某个方向上，方向导数可以用来描述函数在某个特定方多元函数的梯度向量指向函数值增长最快函数值随自变量的变化而单调变化的性质向上的变化率，从而判断函数在该方向上的方向，可以用来判断函数的单调性变化的单调性多元函数的临界点定义重要性多元函数的临界点是指函数的一阶偏导临界点是寻找函数极值点的关键所在数都为零或不存在的点也就是说，在因为在临界点处，函数的斜率为零，函临界点处，函数的梯度向量为零或不存数的值可能达到最大值或最小值在极值点的求法求导1找到函数的一阶导数求驻点2找到导数为零或不存在的点判定3利用二阶导数或其他方法判断驻点是否为极值点极值点的求法是微积分中的重要问题之一实例讨论4函数图像与导数极值点判断单调区间确定该图展示了函数图像的形状与导数的关系图中导数为零的点对应函数图像的极值点导数符号不变的区间对应函数图像的单调导数为正值时，函数图像向上倾斜导导数符号变化时，函数图像的斜率也随区间导数为正值时，函数图像单调递增数为负值时，函数图像向下倾斜之变化导数为负值时，函数图像单调递减实例讨论5求函数fx=x^3-3x^2+1的单调区间和极值.先求导数fx=3x^2-6x，令fx=0，解得x=0或x=

2.将x=0和x=2分别代入原函数fx，得到f0=1和f2=-

3.根据导数的符号变化，可以判断函数的单调性.当x0或x2时，fx0，函数fx单调递增.当0x2时，fx0，函数fx单调递减.因此，函数fx的单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,

2.函数fx在x=0处取得极大值f0=1，在x=2处取得极小值f2=-

3.结合导数判断单调性确定函数定义域1首先，明确函数定义域，以便在该范围内应用导数判断单调性求导2对函数求导，得到导函数分析导数符号3分析导函数在定义域内不同区间的符号，判断函数的单调性结论4根据导数符号，得出函数在各个区间的单调性结论连续与可导的关系连续性可导性12函数在某点连续意味着函数图像在该点无断点函数在某点可导意味着函数图像在该点存在切线关系举例34可导性是连续性的充分条件，但非必要条件例如，函数fx=|x|在x=0处连续，但不可导间断点的分类第一类间断点第二类间断点第一类间断点包括跳跃间断点和第二类间断点包括无穷间断点和可去间断点，函数值在该点附近振荡间断点，函数值在该点附近存在左右极限，但左右极限不相至少有一个极限不存在，或者左等右极限都无穷大间断点的本质间断点反映了函数在该点附近的不连续性，导致函数图像在该点出现断裂或跳跃间断点对单调性的影响函数的单调性间断点可能导致函数在该点处发生跳跃或断裂这些变化会影响函数的单调性单调性的变化例如，一个函数在间断点处可能从单调递增变为单调递减或从单调递减变为单调递增影响分析因此，在分析函数的单调性时，要特别注意间断点判断间断点对函数单调性的影响实例讨论6给定函数fx=x^3-3x^2+2x，求函数的单调区间首先，求函数的导数fx=3x^2-6x+2然后，求导数的零点3x^2-6x+2=0解得x=6±√20/6根据导数的符号，可以判断函数的单调性当x∈-∞,6-√20/6∪6+√20/6,+∞时，fx0，函数单调递增；当x∈6-√20/6,6+√20/6时，fx0，函数单调递减实例讨论7讨论题目解题步骤答案对于函数fx=x^3+3x^2-9x+5，求其单•求导数fx=3x^2+6x-9单调递增区间为-∞,-3和1,+∞，单调递调区间和极值减区间为-3,1极大值为f-3=32，极•令导数为0，求得x=-3或x=1小值为f1=0•构造表格，分析导数符号和函数单调性•找到极值点和极值实例讨论8在实际问题中，我们常常需要利用单调性来求函数的最值例如，对于一个定义在某区间上的函数，我们可以先利用导数判断它的单调性，然后根据单调性确定函数在该区间的最大值和最小值单调性与最值的综合应用确定单调区间1利用导数判定函数的单调性，找出单调递增和递减的区间寻找极值点2在单调性变化的地方，即导数为零或不存在的点，可能存在极值点比较极值与端点3比较所有极值点和端点的函数值，确定函数的最大值和最小值单调性与最值的概念紧密相连，利用导数可以有效地解决函数最值问题通过确定单调区间，找出极值点，最后比较所有候选点的函数值，就能找到最大值和最小值函数图像的判断递增函数图像递减函数图像极值点拐点单调递增函数的图像在自变量单调递减函数的图像在自变量在极值点处，函数图像的斜率拐点是函数图像凹凸性变化的的取值范围内，始终是向上倾的取值范围内，始终是向下倾为零，即导数为零，图像在该点，其导数的二阶导数为零或斜的，斜率为正数斜的，斜率为负数点附近发生变化不存在，图像在该点附近发生弯曲应用举例1一个物体在水平地面上运动，其速度为vt=t^2-4t+3米/秒，求该物体在0到3秒内运动的路程应用举例2单调性与最值的应用在现实生活中十分广泛例如，在经济学中，我们可以利用单调性分析成本函数的变化趋势，从而制定最优的生产策略在物理学中，我们可以利用最值判断物体的运动状态，例如，找出物体的最大速度或最小高度复习与总结导数与单调性极值与导数应用与扩展导数是函数变化率的描述导数的正负导数为零或不存在的点是函数的临界点导数的应用广泛，包括优化问题、物理性决定了函数的单调性，这些点可能是函数的极值点学、经济学等各个领域正导数表示函数单调递增，负导数表示我们可以使用二阶导数或其他方法判断理解导数的概念和应用，可以帮助我们函数单调递减临界点是极大值点还是极小值点更好地理解函数的性质和变化规律课堂讨论与练习课堂讨论是帮助学生加深理解、巩固知识的重要环节通过对课本例题、课堂练习和拓展问题进行讨论，可以激发学生的思考，提高学生的分析问题、解决问题的能力练习是巩固知识、提高技能的有效途径通过练习，可以检验学生对知识的掌握程度，发现学生学习中的不足，并及时进行弥补练习题的设计应注重层次性、多样性，既要涵盖基础知识，也要有拓展题，以提高学生的思维能力。