大学高数课件-重要极限

大学高数课件重要极限-欢迎来到大学高数课程，我们将深入探讨重要极限的概念和应用什么是极限？趋近无限逼近12极限的概念描述的是一个变量变量的值可以无限地接近这个在变化过程中趋近于某个特定特定值，但不一定等于该值值概念3极限的概念是微积分的基础，它帮助我们理解函数的行为和变化规律极限的形式函数极限数列极限无穷极限当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋当数列的项数无限增大时，数列的项趋近当自变量趋近于某个特定值或无穷大时，近于某个特定值于某个特定值函数值趋近于无穷大极限的性质唯一性有界性如果极限存在，那么极限值是唯如果极限存在，那么函数在极限一的点附近是有界的..保号性局部保号性如果函数在极限点附近的值恒大如果函数在极限点附近的值恒大于零（或恒小于零），则极限值于零（或恒小于零），则函数在也大于零（或小于零）该点附近存在一个邻域，使得在.这个邻域内函数的值也恒大于零（或恒小于零）.极限的计算方法直接代入1最简单方法，直接将自变量的值代入函数表达式化简变形2利用函数的性质，将函数表达式进行化简或变形利用极限的性质3利用极限的加减乘除运算性质进行计算极限存在的条件唯一性有限性左极限与右极限相等当自变量趋于某一点时，函数的值也趋极限值必须是一个有限的实数，不能是当自变量从左侧和右侧趋于某一点时，于一个确定的值，即极限唯一存在无穷大或无穷小函数的极限值必须相等无穷大的概念趋向无穷大当自变量趋向于某个值正无穷大当自变量趋向于某个值时，函数值无限增大或无限减小，称时，函数值无限增大，称为函数趋向为函数趋向于无穷大于正无穷大负无穷大当自变量趋向于某个值时，函数值无限减小，称为函数趋向于负无穷大单侧极限与双侧极限单侧极限双侧极限关系从某一侧趋近于点的极限从左右两侧趋近于点的极限双侧极限存在，则单侧极限也存在且相等极限与连续的关系极限与连续的联系极限与连续的差异当函数在某点趋于极限时，如果极限值等于该点函数值，则函数极限是指函数在某点附近的值趋近于某个值，而连续是指函数在在该点连续该点取值与极限值一致高阶无穷小定义性质12如果两个无穷小量和高阶无穷小的性质可以用来简αx满足化极限的计算，特别是当分子βx lim[x-a]，则称或分母是高阶无穷小时αx/βx=0αx是的高阶无穷小βx应用3高阶无穷小的概念在微积分、级数理论等领域都有着广泛的应用洛必达法则

10.或导数0/0∞/∞适用于求解或型的极限通过对分子分母求导，转化为更容易0/0∞/∞计算的极限公式lim[fx/gx]=lim[fx/gx]基本极限公式112极限公式当趋近于时，的极限x0sinx/x limx-0sinx/x=1等于13重要性此公式在求解三角函数的极限中至关重要基本极限公式2公式含义当趋近于时，与x0sin x x的比值趋近于1当趋近于时，与x01-cos x的比值趋近于x0基本极限公式3指数函数的极限当趋于正无穷时，指数函数趋于；当趋a10x a^x0x于负无穷时，指数函数趋于正无穷a^x.当趋于正无穷时，指数函数趋于正无穷；当趋于负无穷x a^x x时，指数函数趋于a^x

0.对数函数的极限的极限对数函数图像lnx当趋近于正无穷时，也趋近于对数函数图像的形状可以帮助理解极x lnx正无穷，当趋近于时，趋近限的概念，例如当趋近于时，函x0lnx x0于负无穷数值趋近于负无穷重要公式limx-1lnx/x-1=1三角函数的极限sinx/x tanx/x1-cosx/x当趋近于时，的极限等当趋近于时，的极限也当趋近于时，的极限x0sinx/x x0tanx/xx01-cosx/x于等于等于110反三角函数的极限反正弦函数反余弦函数当趋近于时，反正弦函数当趋近于时，反余弦函数x0x1的极限为的极限为00反正切函数当趋近于无穷大时，反正切函数的极限为xπ/2复合函数的极限定义定理12设函数在点如果$y=fu$$u_0$$\lim\limits_{x\to的某个邻域内有定义，且，且x_0}gx=u_0$$fu$在点处连续，则$\lim\limits_{u\to$u_0$，又设函数u_0}fu=A$$\lim\limits_{x\to在点的某个$u=gx$$x_0$x_0}f[gx]=fu_0$邻域内有定义，且$\lim\limits_{x\to，则有x_0}gx=u_0$$\lim\limits_{x\tox_0}f[gx]=A$应用3复合函数的极限可以用来计算一些复杂函数的极限，例如，可以使用复合函数的极限来计算时的极限$x\to0$$\sinx^2$无穷大的比较高阶无穷大同阶无穷大低阶无穷大当一个无穷大趋于无穷大时，另一个无穷当两个无穷大趋于无穷大时，它们的比值当一个无穷大趋于无穷大时，另一个无穷大与它的比值趋于零，则称前者为高阶无趋于一个非零的常数，则称它们为同阶无大与它的比值趋于无穷大，则称前者为低穷大穷大阶无穷大无穷大的性质无穷大加减常数还是无穷大无穷大乘以常数还是无穷大无穷大除以常数还是无穷大无穷小的比较定义符号如果两个无穷小量和满记作，表示是αxβxαx=oβxαx足，则称比高阶的无穷小量limαx/βx=0αxβx是比高阶的无穷小量βx例子当时，是比高阶的无穷小量，因为x→0x²x limx²/x=limx=0无穷小的性质有限个无穷小的和还是无穷小与有界变量的乘12无穷小积是无穷小多个无穷小的加减运算，结果将无穷小与一个有界变量相依然是无穷小乘，得到的仍然是一个无穷小无穷小与常数的乘积仍是无穷小3当将无穷小乘以一个常数时，其结果依然是无穷小等价无穷小定义重要性当自变量趋于某一极限值时，如果两个无穷小量之比的极限为等价无穷小是计算极限的重要工具当两个无穷小量等价时，我，则称这两个无穷小量是等价无穷小例如，当趋于们可以用其中一个来代替另一个，简化计算过程例如，当1x0x时，和是等价无穷小，因为趋于时，可以使用来代替，因为它们是等价无穷sin xx limx-0sin x/x=0x sin x小1常见的无穷小量sin xtan xx^n当趋近于时，趋近于当趋近于时，趋近于当趋近于时，为正整数趋x0sin x0x0tan x0x0x^n n近于0例题1求极限1limx-0sin x/x解题思路2利用重要极限公式答案3limx-0sinx/x=1例题2问题计算极限limx-0sinx/x解法利用重要极限公式，所以极限limx-0sinx/x=1值为

1.例题3求极限1计算以下极限lim x-0sinx/x解题思路2使用洛必达法则，对分子分母分别求导，得到lim x-0cosx/1答案3将代入，得到极限值为xcos0=1例题4求极限求极限:lim x→∞x^2+1/x+1化简首先化简表达式:x^2+1/x+1=x-1+2/x+1求极限当时，，因此极限值为x→∞2/x+1→0:lim x→∞x^2+1/x+1=lim x→∞x-1+2/x+1=∞总结与思考回顾1本次学习了大学高数的重要极限，包括基本极限公式、指数函数的极限、对数函数的极限等练习2建议同学们多做练习，巩固所学知识应用3这些极限公式在后续的微积分学习中具有重要的应用价值总结与思考重要极限应用场景12理解重要极限是学习高等数学重要极限广泛应用于微积分、的基础这些极限公式为解决线性代数、概率论等学科中，,许多更复杂的计算问题提供了它为解决各种数学问题提供了必要的基础强有力的工具..继续学习3鼓励大家进一步探索更多关于极限的知识，深入理解极限的应用和意义.。