课件：函数的单调性北师大

函数的单调性函数单调性的定义单调递增单调递减12若对于定义域内任意两个自若对于定义域内任意两个自变量，当时，变量，当时，x1,x2x1x2x1,x2x1x2都有，则称函数都有，则称函数fx1fx2fx1fx2在该区间上是单调递增在该区间上是单调递减fx fx的的非单调3如果函数既不单调递增也不单调递减，则称函数在该区间fx fx上是非单调的函数单调性的几何意义单调递增单调递减函数图像从左到右上升函数图像从左到右下降判断函数单调性的方法定义法1通过定义直接判断函数在某个区间上的单调性导数法2利用导数的符号来判断函数的单调性图像法3通过函数图像来判断函数的单调性复合函数法4利用复合函数的单调性来判断函数的单调性判断函数单调性的具体步骤求定义域函数的定义域是判断单调性的前提，只有在函数定义域内才能讨论单调性求导数求出函数的导数，并分析导数的符号，导数符号决定了函数的单调性确定单调区间将导数为零或不存在的点作为分界点，将定义域分成若干个区间，分别分析每个区间内导数的符号写出结论根据导数的符号，判断每个区间内函数的单调性，并写出结论单调递增函数的性质单调递增函数的定义单调递增函数的性质如果对于函数定义域内任意两个自变量和，当时单调递增函数的图像始终向上倾斜，这意味着函数值随着自x1x2x1x2，都有，那么称函数在定义域内是单调递增变量的增大而增大fx1fx2fx函数单调递减函数的性质反函数不等式单调递减函数存在反函数，且对于单调递减函数，若x1x2反函数也是单调递减函数，则fx1fx2最大值在定义域内，函数的最大值取在定义域的左端点，最小值取在定义域的右端点复合函数的单调性定义判断公式复合函数的单调性是由其组成函数的单判断复合函数单调性的方法是分析各对于复合函数，若和y=fgx fx调性决定的组成函数的单调性，并结合复合函数的在各自定义域内单调，则复合函数gx定义的单调性可由以下公式判断y=fgx反函数的单调性递增函数递减函数如果函数在定义域内是单调递增的，那么它的反函如果函数在定义域内是单调递减的，那么它的反函y=fx y=fx数在其定义域内也是单调递增的数在其定义域内也是单调递减的y=f-1x y=f-1x分段函数的单调性定义域分割区间判断分段函数的定义域被分割成在每个区间上，分别判断函若干个区间，每个区间对应数表达式的单调性一个函数表达式综合分析将各个区间上的单调性综合起来，得出分段函数的整体单调性单调性与函数的极值峰值与谷值单调性变化点函数的极值点对应着函数图像上的峰函数的极值点通常出现在函数单调性值和谷值，这些点代表着函数在该点发生变化的地方，例如从递增变为递附近取得最大值或最小值减或从递减变为递增图像特征通过观察函数图像，我们可以直观地判断函数的极值点，并分析函数在极值点附近的单调性变化单调性与函数的最值单调递增单调递减在单调递增区间上，函数值不在单调递减区间上，函数值不断增大，因此最大值出现在区断减小，因此最大值出现在区间的右端点间的左端点极值函数在极值点处可能取得最大值或最小值，需要结合函数的单调性进行判断应用举例分析曲线的趋势1经济数据1例如，观察增长曲线，可以分析经济增长趋势GDP股票价格2通过观察股票价格走势，可以判断股票的涨跌趋势人口增长3根据人口增长曲线，可以预测未来人口的变化趋势应用举例求函数的最值2函数的单调性1确定函数单调区间极值点2找到函数的极值点最值3比较极值和端点处的函数值应用举例求逆函数3步骤一1判断原函数是否具有单调性步骤二2求原函数的反函数步骤三3确定反函数的定义域应用举例分析函数图像4图像特征1观察图像的形状、拐点、对称性等单调性2分析图像的上升和下降趋势极值3找出图像的最高点和最低点应用举例解不等式5步骤11首先将不等式转化为或的形式fx0fx0步骤22利用函数单调性，确定的单调区间fx步骤33根据单调区间，找到不等式的解集应用举例研究曲线的性质6单调性分析通过分析函数的单调性，可以了解曲线在不同区间内的变化趋势，比如上升、下降或保持不变凹凸性判断函数的单调性可以帮助判断曲线的凹凸性，即曲线向上弯曲或向下弯曲极值确定通过分析函数的单调性，可以找到曲线的极值点，即曲线上的最高点或最低点渐近线判断函数的单调性可以帮助判断曲线的渐近线，即曲线在无穷远处趋近的直线单调递增和递减的区别单调递增单调递减函数值随着自变量的增大而增大，图像向上倾斜函数值随着自变量的增大而减小，图像向下倾斜函数单调区间的判定方法定义法根据函数单调性的定义，判断函数在某个区间上的单调性导数法利用导数的符号判断函数的单调性，这是最常用的方法图像法通过观察函数图像，直接判断函数的单调性函数单调性的变化规律单调性变化点导数符号函数单调性的变化点通常出现函数在导数为正的区间上单调在函数的导数为零或导数不存递增，在导数为负的区间上单在的地方调递减函数图像观察函数图像，可以直观地判断函数单调性变化的趋势判断函数单调性的注意事项定义域导数要判断函数的单调性，必须利用导数判定函数单调性时先确定函数的定义域，要注意导数不存在的点分段函数对于分段函数，要分别判断每个段上的单调性函数单调性在其他数学知识中的应用求函数的极值和最值解不等式分析函数图像函数的单调性可以帮助确定函数的极值函数的单调性可以帮助判断不等式的解函数的单调性可以帮助分析函数图像的和最值，从而解决一些应用问题集，从而解决一些不等式问题形状和趋势，从而更深入地理解函数的性质函数单调性的定义和性质总结函数单调性指的是函数值随自变量单调递增函数自变量增大时，函变化而变化的趋势数值也增大单调递减函数自变量增大时，函数值减小函数单调性在数学研究中的重要性分析函数趋势确定函数极值求解函数最值函数单调性揭示了函数变化的趋势，函数单调性的变化点对应着函数的极利用函数单调性，我们可以更便捷地帮助我们理解函数的增长或下降规律值点，是研究函数性质的关键求解函数的最值，解决应用问题函数单调性的应用场景举例曲线趋势分析求解最值问题通过函数的单调性，可以分析曲线单调性可以帮助确定函数的最大值的上升或下降趋势，例如股票价格或最小值，例如求解最大利润、最的走势，温度变化的趋势等小成本等问题求解不等式利用函数的单调性，可以将不等式转化为等式求解，从而简化求解过程函数单调性与函数分析的关系函数分析的基石图形的直观解释数学推导的工具单调性是函数分析的核心概念之一，为通过观察函数图像的单调性，我们可以单调性在微积分中起着至关重要的作用理解函数行为提供了基础它帮助我们直观地了解函数的变化规律，并预测其，帮助我们求解函数的导数、积分以及识别函数的增长或下降趋势，并预测其最大值和最小值等关键性质极值等重要信息未来变化函数单调性的思考与拓展更深层的探索实际应用函数的单调性是一个基础概念，但它在数学领域有着广泛的思考函数单调性在现实生活中的应用场景，例如经济学、物应用您可以进一步探索函数的单调性与其他数学概念之间理学等领域例如，在经济学中，我们可以利用函数的单调的联系，例如函数的导数、微积分等性来分析价格变化对市场的影响课程总结与思考函数单调性是数学中的基础概念之一，也是理解函数性质的关键工具通过本课程的学习，我们已经掌握了函数单调性的定义、判定方法、性质以及应用。