函数的单调性与最值理课件

函数的单调性与最值什么是函数单调性定义定义在一个区间上，如果函数的图像总是随着自变量的增大而上升，在一个区间上，如果函数的图像总是随着自变量的增大而下降，那么我们就称这个函数在这个区间上是**单调递增函数**那么我们就称这个函数在这个区间上是**单调递减函数**函数单调性的定义单调递增单调递减单调性在定义域内，如果自变量的增大总是导致在定义域内，如果自变量的增大总是导致单调性指的是函数值随自变量的变化而变函数值的增大，则函数为单调递增函数函数值的减小，则函数为单调递减函数化的趋势函数单调性的判定定义法1直接利用定义进行判断图像法2观察函数图像的变化趋势导数法3利用导数的符号来判定单调增函数与单调减函数单调增函数单调减函数当自变量的值增大时，函数的值也随之增大，则称此函数为单调当自变量的值增大时，函数的值随之减小，则称此函数为单调减增函数函数函数图像与单调性函数的图像能够直观地反映函数的单调性当函数在某个区间上单调递增时，其图像在这个区间上是上升的；当函数在某个区间上单调递减时，其图像在这个区间上是下降的单调区间定义求解函数单调递增或单调递减的区间通过判定函数的单调性，可以确称为单调区间定函数的单调区间应用单调区间在求解函数的最值、判断函数的奇偶性、求解不等式等方面具有重要作用单调函数的性质单调性与函数值单调性与函数图像单调性与函数反函数123单调函数的值域是区间，即在定义单调函数的图像在定义域内是单调单调函数的反函数也是单调函数，域内，函数值的变化范围是连续的上升或下降的曲线，不会出现拐点且单调性相同或局部极值单调函数的反函数单调函数具有唯一性，因此可以定义反函反函数的定义域和值域与原函数的值域和反函数的图像关于直线y=x对称数定义域互换极值点与单调性极值点单调性函数的极值点是指函数在该点附近的值比该点值大或小的点函数的单调性是指函数在某个区间内值的变化趋势，即单调递增或单调递减极值点的性质极值点定义极值点类型极值点性质在函数的定义域内，如果一个点x0的函极值点可以分为极大值点和极小值点，函数在极值点处，其导数为0或不存在数值fx0是该点邻域内所有函数值中的分别对应函数值的最大值和最小值最大值或最小值，则称x0为函数的极值点单调区间内的极值单调区间1在函数的单调区间内，函数的值要么一直增加，要么一直减少极值2极值是指函数在某一点取得的局部最大值或最小值，也就是函数值在该点附近比其他点都大或都小关系3一个函数的极值点可能位于其单调区间的端点，但也可能位于其单调区间的内部利用单调性寻找极值点确定单调区间首先需要确定函数的单调区间，即函数值在哪些区间内是单调递增或单调递减的分析单调性变化在每个单调区间内，函数值的变化趋势是确定的根据单调性的变化，可以判断函数在单调区间端点的值是否为极值比较端点值将函数在所有单调区间端点的值进行比较，最大值即为函数的最大值，最小值即为函数的最小值单调区间内的最大最小值单调性1在单调区间内，函数值的变化趋势是确定的最大值2单调递增区间，区间右端点处的函数值为最大值最小值3单调递减区间，区间左端点处的函数值为最小值函数的全局最大值与最小值定义求解应用在整个定义域内，函数取得的最大值通过比较函数在各个单调区间内的最在实际应用中，例如求解经济问题中称为全局最大值，取得的最小值称为大值和最小值，可以确定函数在整个的最大利润或最小成本等，就需要利全局最小值定义域内的全局最大值和最小值用函数的全局最大值和最小值利用单调性求解最大最小值问题确定函数的单调区间先分析函数的单调性，确定函数的单调区间可以通过求导函数来确定函数的单调区间找出单调区间内的最大值和最小值在每个单调区间内，函数的值要么单调递增，要么单调递减，因此最大值和最小值只能出现在区间的端点处比较端点处的函数值比较所有单调区间端点处的函数值，就能找到函数在定义域上的最大值和最小值实际应用举例一假设某工厂生产一种产品，其成本函数为Cx=x^2+10x，其中x表示产量，单位为件已知该产品的售价为每件20元，问工厂生产多少件产品才能获得最大利润？实际应用举例二假设我们想建造一座桥梁，桥梁的长度为L，桥梁的形状为抛物线，桥梁的拱顶高度为H，请问如何确定桥梁的形状？我们可以利用函数的单调性和最值来解决这个问题我们可以将桥梁的形状表示为一个函数，例如y=ax^2+c，其中a和c为常数我们可以根据桥梁的长度和拱顶高度来确定a和c的值，然后就可以利用函数的单调性和最值来确定桥梁的形状实际应用举例三利用函数的单调性可以解决一些实际问题，例如在生产实践中，我们可以根据函数的单调性来确定最佳的生产参数，以达到产量最大或成本最低的目标实际应用举例四在经济学中，成本函数表示生产特定数量商品所需的成本假设一家公司的成本函数为Cx=x^2+10x+50，其中x表示生产的商品数量如何找到最小成本的商品数量？应用题的解题技巧理解题意建立模型12仔细阅读题目，理解题目的意根据题意建立数学模型，将实思，找出已知条件和未知量，际问题转化为数学问题，并用并确定要解决的问题数学语言描述求解模型检验结果34运用数学知识和方法求解数学将所得的答案代回原题，检验模型，得出问题的答案答案是否合理，并对结果进行解释和分析单调性的综合运用单调性可以与其他数学知识综合运用例如，可以将单调性与函数图像、导，解决更复杂的问题数、不等式等结合起来需要灵活运用单调性知识，找到解决问题的关键单调性与导数的关系导数为正导数为负导数为零函数在该区间内单调递增函数在该区间内单调递减函数在该点可能存在极值点，需要进一步判断单调性与导数的应用函数单调性判定极值点求解函数最值求解利用导数的符号可以快速判断函数的单导数为零或导数不存在的点可能是函数通过求解导数为零的点以及函数定义域调性例如，如果函数的导数在某个区的极值点，结合导数的符号变化可以判的端点，可以确定函数在某个区间内的间内恒大于零，那么该函数在这个区间断极值点的类型最大值和最小值内单调递增单调性与凸函数凸函数与单调性利用凸性判断单调性12如果函数是凸函数，那么它在如果一个函数的二阶导数在某定义域上的某个区间内一定是个区间内恒大于零，那么该函单调函数数在这个区间内是凸函数，也是单调函数应用3可以利用凸函数的单调性来求解极值问题，证明不等式等单调性与不等式单调递增函数单调递减函数若函数在区间上单调递增，则对区间内任意两个自变量x1,x2，若若函数在区间上单调递减，则对区间内任意两个自变量x1,x2，若x1x1单调性的证明方法定义法作差法12直接根据单调性的定义，证明通过计算两个函数值之差，分函数在定义域内的任意两个自析差值的正负性，从而判断函变量取值满足对应函数值的增数的增减性减关系导数法3利用导数的符号判断函数的单调性当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减单调性综合复习回顾本章知识点，掌握单调性的概念练习相关习题，巩固知识，提高解题、判定、性质、应用能力总结本章内容，构建知识体系，形成系统认知本章重点与难点函数单调性函数的最值定义、判定方法、性质以及与导极值点、极值、最大值、最小值数的关系以及求解方法单调性与最值的应用解决实际问题，如优化问题、不等式证明等思考题以下是本节课程的思考题

1.函数单调性与极值的关系是什么？

2.如何利用导数判断函数的单调性？

3.如何利用单调性求解函数的最大值和最小值？小结与展望我们学习了函数的单调性与最值，并掌握了相关的概念、判定方法和应用技巧接下来，我们将进一步学习导数及其应用，并将其与函数的单调性联系起来，以更深入地理解函数的性质和变化规律。