高等数学下册-偏导数课件

高等数学下册偏导数-前言偏导数应用广泛12多元函数微积分的重要概念,用物理、工程、经济等领域,例如于研究多元函数在某一点上沿计算曲面的切线、求解最大值某个方向的变化率和最小值问题等课程目标3理解偏导数的概念、计算方法和应用,为后续学习多元函数积分打下基础偏导数的概念偏导数是多元函数对其中一个变量的导数，其他变量保持不变它反映了多元函数在某个方向上的变化率例如，对于一个有两个变量的函数fx,y，它的偏导数∂f/∂x表示当y保持不变时，f对x的变化率偏导数的计算规则链式法则1对复合函数求偏导数，可以使用链式法则，将复合函数的偏导数表示成其组成函数的偏导数的乘积乘积法则2对两个函数的乘积求偏导数，可以使用乘积法则，将偏导数表示成两个函数的偏导数的和商法则3对两个函数的商求偏导数，可以使用商法则，将偏导数表示成分子和分母的偏导数的差隐函数求导4对隐函数求偏导数，可以使用隐函数求导法，将隐函数的偏导数表示成其显函数的偏导数的组合二阶偏导数概念二阶偏导数是指对多元函数进行两次偏导运算得到的导数，例如计算可以依次对不同的变量求偏导，例如应用在多元函数的极值问题、隐函数求导、微分方程等领域有广泛应用隐函数的偏导数定义1当隐函数方程不能直接解出y关于x的表达式时，可以通过对等式两边同时求导来求解求导规则2对等式两边分别对x求导，然后利用链式法则求解y的表达式应用3可用于求解曲线在某一点处的切线方程、法线方程等复合函数的偏导数链式法则1适用于求复合函数的偏导数多元函数2当自变量为多个变量时，需要对每个变量求偏导应用场景3广泛应用于物理、工程、经济等领域高阶偏导数概念符号二阶偏导数是指对一个多元函数进行两次偏导运算得到的导数,是用∂²f/∂x²或fxx表示对x进行二次偏导,用∂²f/∂x∂y或fxy对函数变化率的变化率进行的测量表示先对x偏导,再对y偏导偏导数应用举例1几何学物理学经济学偏导数可用于求解曲面的切平面和法线方偏导数可用于描述物理量随时间和空间的偏导数可用于分析经济模型，例如求解利向，例如求解曲面的切线方程变化，例如描述温度场和电场润最大化问题和成本最小化问题偏导数应用举例2物理学在波动方程中，偏导数用于描述波的传播速度和方向天文学偏导数用于计算行星轨道的变化率和火箭的飞行轨迹经济学偏导数用于分析经济变量之间的关系，例如价格变化对需求的影响多元函数的极值多元函数的极值是函数在某个点取得最大值或最小值寻找多元函数的极值是微积分中的重要问题，它在许多实际应用中都有重要的意义例如，在经济学中，我们可以使用多元函数的极值来寻找公司的利润最大化点在物理学中，我们可以使用多元函数的极值来寻找系统的能量最小化点拉格朗日乘数法约束条件拉格朗日乘数法用于在满足约束条件的情况下寻找多元函数的极值目标函数引入拉格朗日乘子，构造拉格朗日函数求解方程对拉格朗日函数求偏导，并联立方程组极值判断解方程组得到候选点，代入目标函数判断极值微分方程的基本概念定义分类求解包含未知函数及其导数的关系式称为微分方根据未知函数的个数、导数的阶数、方程的寻找满足微分方程的函数，即微分方程的解程类型等进行分类变量分离法步骤分离变量11将微分方程改写为如下形式fxdx=gydy步骤积分22对等式两边分别积分，得到∫fxdx=∫gydy+C步骤解出3y3将积分结果化简，得到y关于x的表达式齐次微分方程定义若微分方程可写成dy/dx=fy/x的形式，则称为齐次微分方程求解通过代换u=y/x，将方程化为关于u的一阶可分离变量微分方程应用齐次微分方程在物理、工程和经济学等领域都有广泛应用线性微分方程一阶线性微分方程1形如dy/dx+Pxy=Qx高阶线性微分方程2形如a_nxy^n+a_{n-1}xy^n-1+...+a_1xy+a_0xy=fx常系数线性微分方程3系数a_i为常数变系数线性微分方程4系数a_i为x的函数雅可比行列式n m变量数函数数多元函数的雅可比行列式由n个变量组雅可比行列式用于描述多元函数的导成数全微分定义公式多元函数全微分是指函数在一点的全微分公式为df=∂f/∂x dx+增量可以近似地用各偏导数乘以自∂f/∂y dy+...+∂f/∂z dz变量增量之和表示应用全微分在微积分学和物理学中有广泛的应用，例如求解微分方程、计算函数的增量应用举例热传导1-导热对流辐射热量从高温物体传递到低温物体的过程例流体（如空气或水）的运动将热量从一个地热量通过电磁波传递的过程例如，太阳的如，将金属棒的一端放在火焰上加热，热量方传递到另一个地方的过程例如，暖气片热量通过辐射到达地球会沿着金属棒传递到另一端散热应用举例电磁学2-麦克斯韦方程组电磁波偏导数在麦克斯韦方程组中起着至关重要的作用，该方程组描述了偏导数用于推导出电磁波的传播速度和波长，以及电磁场的变化规电场和磁场的相互作用律应用举例经济学3-供需模型边际效用偏导数可以用来分析商品的价格和供偏导数可以用来分析消费者对商品的求之间的关系，例如通过偏导数求解边际效用，即消费者对商品的额外消商品的弹性系数，从而判断价格变化费带来的效用增量通过偏导数可以对供求的影响得到边际效用递减规律经济增长偏导数可以用来分析经济增长模型，例如通过偏导数分析资本积累、技术进步等因素对经济增长的影响总结回顾偏导数概念计算规则12偏导数是多元函数对其中一个偏导数的计算遵循与一元函数变量的导数，反映了函数在该导数类似的规则，但需要固定变量方向上的变化率其他变量应用场景3偏导数广泛应用于优化、物理、经济等领域，例如求解多元函数的极值、描述物理量的变化思考题1设fx,y在点a,b处可微，证明fx,y在点a,b处连续思考题2对于多元函数的极值问题，我们应该如何判断其极值点是极大值点还是极小值点？思考题3设fx,y在点a,b处连续，且对x,y的偏导数都存在问fx,y在点a,b处是否可微？思考题4对于多元函数的泰勒公式，如何理解其几何意义？并举例说明思考题5请解释偏导数在实际问题中的应用，例如在经济学、物理学等领域参考文献高等数学数学分析同济大学数学系.高等数学（第七华东师范大学数学系.数学分析版）.北京:高等教育出版社,

2014.（第五版）.北京:高等教育出版社,

2010.微积分James Stewart.Calculus8th Edition.Brooks/Cole,

2015.。