《切线与切平面》课件

切线与切平面切线和切平面是微积分中重要的概念，它们描述了曲线和曲面的局部性质切线是通过曲线上的一个点，且与该点处的曲线方向一致的直线课程导入什么是切线切线是几何学中一个重要的概念，它指的是与曲线在某一点相切的直线切线代表了曲线在该点处的瞬时方向切线是曲线在某一点处的最佳线性逼近，它反映了曲线在该点处的局部性质什么是切平面曲面上的点法向量垂直切线在平面上切平面是与曲面在该点相切的平面切平面的法向量垂直于曲面在该点的切线通过切点的所有切线都位于切平面上方向切线的定义与曲线相交相同方向切线与曲线在切点处相交，只有切线与曲线在切点处的方向相同一个公共点，即切线是曲线在切点处的最佳线性逼近唯一性在曲线上的每个点，都存在唯一的切线切线的性质唯一性斜率曲线上的每一点都只有一条切线切线的斜率等于曲线在切点处的导数角度交点切线与曲线在切点处的法线垂直切线与曲线在切点处仅有一个交点切线的求法导数1利用导数求切线方程点斜式2利用点斜式求切线方程斜截式3利用斜截式求切线方程切线方程的求法主要有三种导数法、点斜式法和斜截式法导数法利用函数导数的几何意义，求出切线的斜率，进而求出切线方程点斜式法利用已知切点和切线斜率，直接求出切线方程斜截式法则是利用切线的斜率和截距求出切线方程几何意义切线是与曲线在切点处相切的直线，它表示曲线在该点处的瞬时方向切线是曲线在该点处的最佳线性逼近，它反映了曲线在切点处的局部变化趋势实例演示首先，以圆形为例，画一条直线与圆相切于一点，这条直线就是圆形的切线切线与圆的交点即为切点，且切线与圆的半径垂直其次，我们可以通过已知切点和圆心来求出圆的切线方程以圆心为坐标原点，切点坐标为x1,y1，则切线方程为y-y1=-x1/y1*x-x1切平面的定义过切点垂直于法线12切平面过曲面上某一点称为切切平面与过切点的法线垂直点包含所有切线局部近似34过切点的所有切线都包含在切切平面是曲面在切点附近的一平面内个局部线性近似切平面的性质唯一性正交性

1.

2.12对于曲面上一点，过该点的切切平面与该点处的法线垂直平面是唯一的局部逼近几何意义

3.

4.34在切平面附近，曲面可以近似切平面代表了曲面在该点处的地用该切平面来代替“最佳线性逼近”切平面的方程切平面方程是描述曲面切平面的数学表达式，它可以用来确定切平面的位置和方向123点斜式一般式参数式已知切点和法向量，可以写出切平面方程由点斜式转换而来，可以用来确定切平面的通过参数方程表示切平面的位置和方向方程根据不同的已知条件，可以选用不同的切平面方程形式来进行计算切平面的求法求法向量

1.确定切平面的法向量，通常通过求导数得到确定切点

2.确定切平面所在的点，通常是与切平面接触的点代入方程

3.利用法向量和切点，代入切平面的点法式方程实例演示球面切平面圆锥切平面设球面方程为x^2+y^2+z^2=1，球心为O0,0,0，球面上设圆锥方程为x^2+y^2=z^2，圆锥顶点为O0,0,0，圆锥面一点Px0,y0,z0上一点Px0,y0,z0切线与切平面的关系相互关联相互补充切线是切平面与曲面的交线切平面是切线描述了曲面在某一点的局部变化趋包含切线和曲面某点的平面势切平面则描述了曲面在该点的整体趋势几何意义及应用切线和切平面是微积分中重要的几何概念，它们反映了曲线和曲面在某一点的局部性质切线和切平面在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用平面曲线的切线切线的定义切线的性质在平面曲线上取一点，过该点作一条切线与曲线在切点处只有一个公共点直线，使该直线与曲线在该点处相切，即切点，这条直线就是该点的切线切线的斜率切线的方程切线的斜率等于曲线在切点处的导数利用点斜式方程可以求出切线的方程空间曲线的切线定义方向空间曲线上的一个点，在该点的切线的方向与该点处的曲线的切切向量方向就是切线方向向量一致求法求空间曲线的切线需要利用微分几何方法，求出曲线的切向量平面曲面的切平面定义几何意义求法过平面曲面上一点且与该点切平面是与曲面在该点处“相求曲面在一点处的切平面，处的法线垂直的平面称为该切”的平面，它代表了曲面在需要先求出该点处的法线向平面曲面的切平面.该点处的局部“方向”.量，然后利用法线向量和该点坐标，写出切平面的方程.空间曲面的切平面定义性质空间曲面上一点处的切平面是过该点•过该点的所有切线都在该平面上的所有切线组成的平面•该平面与曲面在该点处有二阶接触，即在该点附近，切平面与曲面之间的距离是二阶无穷小方程设曲面方程为Fx,y,z=0，点Px0,y0,z0是曲面上一点，则过点P的切平面方程为Fx0,y0,z0+x-x0*Fxx0,y0,z0+y-y0*Fyx0,y0,z0+z-z0*Fzx0,y0,z0=0切线与切平面的综合应用曲线与曲面的交点1求解曲线与曲面的交点坐标，并在此点处求切线和切平面切线与切平面的位置关系2判断切线与切平面的平行、垂直或相交关系，并求解它们的交点或距离空间几何体的切线和切平面3对于空间几何体，如球面、圆柱面和圆锥面，求解其在特定点处的切线和切平面曲线与曲面的切线切平面习题本节将提供一系列关于曲线与曲面的切线切平面习题，帮助学生巩固所学知识，并提升解题能力习题涵盖了各种类型的曲线与曲面，包括平面曲线、空间曲线、平面曲面和空间曲面，以及它们的切线、切平面通过解题练习，学生可以加深对切线和切平面的理解，并掌握其求解方法习题难度逐渐递进，由基础题到综合题，帮助学生逐步提升解题技巧每道习题均配有详细的解答过程，供学生参考学习习题演练理解概念1切线和切平面的定义和性质公式应用2切线方程和切平面方程的推导和应用综合练习3综合运用切线和切平面解决实际问题通过习题演练，加深对切线和切平面的理解，熟练掌握相关概念和公式并能够将理论知识应用于实际问题中，提升解决问题的能力小结与反馈几何形状的理解空间想象力的培养应用于现实世界切线与切平面是几何学中重要的概念，它学习切线和切平面，可以提高空间想象力切线与切平面在工程、物理等领域有广泛们帮助我们理解曲线和曲面在特定点处的，更好地理解三维空间中的几何关系的应用，例如在机械设计、光学等领域性质课程小结切线和切平面是微积分的重要概念，在几切线和切平面是描述曲线和曲面在某一点掌握切线和切平面的概念和计算方法，有何学、物理学和工程学中都有广泛应用局部性质的工具，它们可以用来研究曲线助于我们更好地理解和运用微积分知识和曲面的变化趋势学习目标回顾切线切平面12定义、性质、求法、几何意义定义、性质、方程、求法、几何意义应用3理解切线与切平面在不同场景下的应用，例如平面曲线、空间曲线、平面曲面、空间曲面思考与讨论课堂学习结束后，鼓励学生积极思考讨论通过分享解题思路、观点碰撞，更深入理解切线和切平面概念课后作业练习题拓展阅读

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2.12完成课本上的相关练习题，巩固所学知阅读相关书籍或资料，深入了解切线与识切平面的应用思考题总结

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4.34思考切线与切平面在实际生活中的应用总结本节课学习内容，并思考学习过程，并尝试举例说明中遇到的问题参考文献高等数学微积分同济大学数学系吉米·多奇高等教育出版社人民邮电出版社。