函数的极限高等数学课件

函数的极限函数的极限是微积分学中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势极限概念的引入无限逼近动态过程12当自变量无限接近某一点极限是一个动态过程，描时，函数值无限接近某个述的是自变量无限接近某常数，这个常数就称为函一点时，函数值的变化趋数的极限势精确度3极限允许误差存在，但可以通过无限逼近，将误差缩小到任意小的程度极限定义的几何意义函数图像极限点函数图像在自变量趋于某个值时，函数值也趋向于某个值这个函数值趋向的值就是函数在该点的极限极限的代数性质唯一性有界性保号性如果极限存在，那么极限值是唯一的如果函数的极限存在，那么这个函数如果函数的极限大于零，那么在这个如果一个函数的极限同时等于两在某个邻域内是有界的函数的某个邻域内，函数的值也大于个不同的值，那么这个极限不存在零极限的四则运算加法1如果limx→a fx=A且limx→a gx=B，则limx→a[fx+gx]=A+B减法2如果limx→a fx=A且limx→a gx=B，则limx→a[fx-gx]=A-B乘法3如果limx→a fx=A且limx→a gx=B，则limx→a[fx*gx]=A*B除法4如果limx→a fx=A且limx→a gx=B且B≠0，则limx→a[fx/gx]=A/B无穷小与无穷大的比较定义定义当自变量趋于极限值时，如当自变量趋于极限值时，如果函数的值趋于零，则称该果函数的值无限增大，则称函数为无穷小该函数为无穷大关系应用无穷小是无穷大的倒数，无无穷小与无穷大在极限的计穷大是无穷小的倒数算和定理的证明中具有重要作用单调有界准则单调性有界性函数单调递增或单调递减函数的值被限制在一个范围内夹逼定理前提条件极限存在12该定理适用于三个函数，当另外两个函数的极限相其中一个函数被另外两个等时，被夹在中间的函数函数夹在中间，且另外两的极限也存在，且等于另个函数的极限相等外两个函数的极限应用范围3夹逼定理在计算函数极限时非常有用，特别是在无法直接计算函数极限的情况下连续函数的性质介值定理最大值最小值定理一致连续性如果函数在闭区间上连续，那么如果函数在闭区间上连续，那么如果函数在开区间上连续，那么它在该区间上取遍所有介于函数它在该区间上取得最大值和最小它在该开区间上一致连续值之间的值值间断点的分类可去间断点跳跃间断点无穷间断点函数在该点存在极限，但函数值不存函数在该点左右极限存在，但不相等函数在该点左右极限至少有一个为无在或不等于极限值穷大函数连续性的判定定义法1直接利用连续性的定义进行判定极限法2通过计算函数在该点的极限，判断是否等于函数值性质法3利用连续函数的性质进行判定复合函数的连续性连续性保持连续性不保持如果内层函数在点x0处连续，外层函数在点fx0处连续如果内层函数或外层函数在对应点处不连续，则复合函数，则复合函数在点x0处也连续在该点处也不连续反函数的连续性定义域单调性反函数的定义域是原函数的值域，连续函数的值域是连续单调函数的反函数也单调，单调函数是连续的，因此反函的，因此反函数的定义域也是连续的数也是连续的函数极限的计算直接代入法1当函数在点x0连续时，极限值等于函数在该点的值等价无穷小替换2将极限式中的无穷小量用等价的无穷小量替换洛必达法则3当极限式为0/0或∞/∞型时，可以利用洛必达法则进行计算其他方法4例如，利用夹逼定理、单调有界准则等三种基本极限极限一极限二极限三当x趋于0时，sinx/x的极限等于当x趋于0时，1+x^1/x的极限当x趋于无穷大时，1+1/x^x的1等于e极限等于e等价无穷小定义重要性12当自变量趋于某一极限值等价无穷小可以简化函数时，如果两个无穷小的比极限的计算，提高计算效值趋于1，则称这两个无穷率小是等价无穷小常用等价无穷小3例如，当x趋于0时，sinx等价于x，tanx等价于x，1-cosx等价于x^2/2洛必达法则求极限当函数的极限出现0/0或∞/∞不定式时，洛必达法则可以用来计算极限求导对分子和分母分别求导，得到新的函数，然后计算新的函数的极限极限值如果新的函数的极限存在，则它就是原函数的极限函数极限的应用导数连续性函数极限是导数定义的基础，用函数极限用于定义函数在某一点于计算函数在特定点处的变化率的连续性，确保函数在该点无间断变化积分函数极限是积分定义的基础，用于计算曲线下的面积或体积函数极限与导数的关系导数的定义极限的应用导数是函数在某一点的变化率，可以通过函数极限来定义导数可以用于求解函数的极值、拐点和渐近线，这些都与函数极限密切相关极限中的失去意义的运算除以零无穷大减无穷大零乘以无穷大在极限运算中，即使分母趋于零，也当两个趋于无穷大的函数相减时，结这种形式的极限需要用等价无穷小替不一定意味着结果为无穷大，需要根果可能为有限值，也可能为无穷大，换或利用洛必达法则进行求解据具体情况判断需要具体分析极限的存在性问题定义的限制振荡的情况极限的定义依赖于自变量趋如果函数在自变量趋近于某近于某个值时，函数值是否个值时，函数值不断振荡，无限接近于某个特定值无法无限接近于某个特定值，那么极限就不存在无界的情况如果函数在自变量趋近于某个值时，函数值无限增大或减小，没有界限，那么极限也不存在自变量趋向无穷大时的极限定义当自变量x无限增大或减小时，函数fx无限接近于某个常数A，则称A为fx当x趋于无穷大时的极限，记作limx→∞fx=A性质无穷大极限的性质与有限极限类似，例如limx→∞fx+gx=limx→∞fx+limx→∞gx应用无穷大极限在函数的渐近线、函数的增长速度等方面都有重要应用函数极限的图像表示函数极限的图像表示，可以直观地理解极限的概念，并观察函数在自变量趋于某个值时的变化趋势通过观察函数图像，我们可以判断函数在该点的极限是否存在，以及极限的值是多少例如，当自变量趋于a时，函数的极限为L，则函数图像在x=a附近会趋近于一条水平线y=L这种情况下，函数图像会逐渐逼近水平线y=L，但永远不会与它相交函数极限与不等式函数极限的定义可以利用不等式利用ε-δ语言定义的极限，实际上来描述是利用了不等式来刻画函数的极限夹逼定理可以利用不等式来估计函数的极限极限的保号性及其应用正数极限为正负数极限为负12如果函数fx在x趋近于a如果函数fx在x趋近于a时极限为正数，则存在一时极限为负数，则存在一个x的邻域，使得在这个个x的邻域，使得在这个邻域内，fx的值都是正邻域内，fx的值都是负数数应用3保号性可用于判断函数在某个点附近的符号，例如，判断函数在某个点附近是否为增函数或减函数极限的保序性及其应用单调性应用如果函数fx在x趋近于a时极限存在，并且fx在a的在证明不等式或求函数的极限时，利用极限的保序性可以某一去心邻域内单调，则lim x-a fx不小于或不大于简化运算，并得到更加精确的结果fx在该邻域内的值多重极限多变量函数的极限极限点的定义多重极限的计算多重极限涉及多个变量的函数，其中极限点是指自变量可以无限接近但永计算多重极限需要考虑自变量从不同自变量趋近于某个点远无法到达的点方向趋近于极限点的情况极限的保持性及其应用极限的保持性连续函数的极限保持性应用场景如果函数fx在x趋于a时极限存在如果fx在x=a处连续，那么极限的保持性在很多领域都有应用，，并且gx在x趋于fa时极限存在例如工程学，物理学和经济学limx→a fx=fa，那么limx→a gfx=limy→fa gy无穷级数的极限收敛级数发散级数收敛级数是指其部分和序列收敛于一个有限值的级数发散级数是指其部分和序列发散的级数无穷级数的散度与收敛收敛发散当一个无穷级数的项之和趋当一个无穷级数的项之和趋于一个有限值时，该级数收于无穷大或没有极限时，该敛收敛的级数代表一个特级数发散发散的级数无法定的值，它可以用有限的值用有限的值表示，因为它无表示限增长或振荡判定通过各种测试和方法可以判定一个无穷级数是收敛还是发散，例如比值检验、根值检验、积分检验等柯西收敛准则判断数列收敛的充分必要条件对任意正数ε，存在正整数N，当m,nN时，满足|am-an|ε。