高中教学课件《几种常见函数的导数

高中数学课件几种常见函数的导数导数概念回顾导数是函数变化率的度量导数在函数图像上的几何意义是切线的斜率导数的计算公式fx=limh-0[fx+h-fx]/h常数函数的导数常数函数的导数始终为0例如，函数y=3的导数为0一次函数的导数函数形式导数公式y=kx+b y=k二次函数的导数21常数项一次项二次函数的导数为一次函数，常数项二次函数的导数为一次函数，一次项为0系数为2倍原函数的一次项系数幂函数的导数当n为任意实数时，y=x^n的导数为y=nx^n-1指数函数的导数函数导数y=ax y=axln ay=ex y=ex对数函数的导数12y=ln xy=logax导数为1/x导数为1/x*ln a三角函数的导数函数导数sinx cosxcosx-sinxtanx sec2xcotx-csc2xsecx secxtanxcscx-cscxcotx反三角函数的导数12arcsinx arccosx1/sqrt1-x^2-1/sqrt1-x^234arctanx arccotx1/1+x^2-1/1+x^2和差、积商、复合函数的导数和差法则积法则商法则复合函数法则和差法则表明，两个函数和或积法则用于求两个函数乘积的商法则用于求两个函数商的导复合函数法则用于求复合函数差的导数等于每个函数导数的导数，它涉及每个函数的导数数，它涉及分子和分母的导数的导数，它涉及对内层函数求和或差以及它们的乘积，并根据商的公式进行计算导，然后乘以外层函数的导数导数的几何意义导数是函数变化率的量化描述在几何意义上，导数表示函数曲线在某一点的切线的斜率切线是函数曲线在该点附近最接近该曲线的直线切线的斜率反映了函数在该点的变化趋势，导数数值越大，变化越快，反之则越慢函数单调性与导数的关系导数为正1函数单调递增导数为负2函数单调递减导数为零3函数可能取得极值函数的极值与导数的关系一阶导数为零1函数在极值点处的一阶导数为零或不存在二阶导数判别2通过二阶导数的符号判断极值点的类型极值点与最值点3极值点不一定是最值点，但最值点一定是极值点或端点函数的图像与导数的关系单调性导数为正，函数单调递增；导数为负，函数单调递减极值导数为零，函数可能取得极值；导数符号变化，函数可能取得极值凹凸性二阶导数为正，函数图像向上凹；二阶导数为负，函数图像向下凹拐点二阶导数为零，函数图像可能存在拐点；二阶导数符号变化，函数图像可能存在拐点应用举例速度、加速度与位移速度加速度速度是物体在单位时间内的位移加速度是物体速度在单位时间内变化量，可以由位移函数的导数的变化量，可以由速度函数的导表示数表示位移位移是物体在空间中的位置变化量，可以由速度函数的积分表示应用举例利率与投资收益本金利率12初始投入的资金投资的回报率，通常以百分比表示投资期限3资金投资的时间长度应用举例边际成本与边际收益边际成本边际收益生产额外单位产品的成本增量，反映了生产规模变化对成本的影销售额外单位产品带来的收入增量，反映了销售规模变化对收益响的影响应用举例人口增长率模型导数应用假设人口增长率为r，初始人口可以使用导数求出人口增长率随为P0，则t年后的总人口为Pt时间的变化，从而预测未来的人=P01+r^t口趋势实例假设一个国家的人口增长率为1%，初始人口为10亿，则10年后的总人口为10亿*1+1%^10≈11亿综合应用一应用导数解决实际问题步骤分析以实际问题为例，应用导数解决相关问题比如求函数的最大首先建立数学模型，将实际问题转化为数学问题然后运用导数值或最小值，判断函数的单调性，求曲线的切线方程等等的知识解决数学问题，最后将结果解释回实际问题综合应用二应用场景示例将导数应用于实际问题，例如计算物体运动的速度和加速度，分假设一个物体沿直线运动，其位置函数为st=t^2-3t+2，求析函数的单调性和极值，解决优化问题等该物体在t=2秒时的速度和加速度综合应用三应用场景步骤例如，在经济学中，我们可以利用导数来分析企业的利润最大化首先，我们需要建立一个关于利润的函数模型然后，我们就可问题，并找到最佳的生产量和销售价格以利用导数来求出利润函数的极值，从而找到利润最大化的生产量和销售价格综合应用四应用场景1解题步骤2方法总结3综合应用题通常将导数与其他数学知识结合，需要学生具备较强的逻辑思维能力和解题技巧通过分析题目，确定应用场景，并根据题意选择合适的导数知识和方法进行求解总结解题过程，归纳解题方法，提高解题效率综合应用五已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数fx的单调区间和极值**解:**

1.求函数fx的导数fx=3x^2-6x

2.令fx=0，解得x=0或x=

23.将x=0和x=2分别代入fx得f0=2，f2=-

24.当x∈-∞,0时，fx0，函数fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，函数fx单调递减；当x∈2,+∞时，fx0，函数fx单调递增

5.综上所述，函数fx的单调递增区间为-∞,0和2,+∞，单调递减区间为0,2函数fx在x=0处取得极大值2，在x=2处取得极小值-2知识点总结导数的定义常见函数的导数12导数是函数变化率的度量，它本节课学习了常数函数、一次表示函数在某一点处的瞬时变函数、二次函数、幂函数、指化率数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的导数公式导数的应用3导数在函数单调性、极值、图像、速度、加速度等方面都有重要的应用导数应用举例总结速度、加速度与位移利率与投资收益边际成本与边际收益人口增长率课后思考题挑战探索尝试用导数解决实际问题，例如如何用导数来求解一个函数的最思考一下，导数在其他学科中有哪些应用，例如物理、化学、经大值或最小值？济学等？课后作业习题练习思考题完成课本中的相关习题，巩固所学知识尝试解答课后思考题，拓展思维，提升对导数的理解参考资料高中数学教材数学网站例如，人教版高中数学教材，其中包含有关导数的详细内容例如，数学网、数学吧等网站，提供丰富的数学资源和解题技巧。