《利用方程式解决实际问题》课件

利用方程式解决实际问题欢迎来到本次关于利用方程式解决实际问题的课程在这个课程中，我们将一起探索如何运用方程式这一强大的数学工具，解决生活和工作中遇到的各种实际问题通过本课程的学习，你将不仅掌握解方程的技能，更重要的是，培养起分析问题、独立思考的能力，从而提高你的数学应用能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础课程目标掌握列方程解决简单的实培养独立思考和问题分析12际问题能力课程的首要目标是让你能够熟在学习过程中，我们将注重培练地运用所学知识，将实际问养你的独立思考能力，鼓励你题转化为数学模型，并列出相从不同的角度分析问题，寻找应的方程通过大量的案例分解决问题的最佳方案通过小析和练习，让你掌握列方程的组讨论和案例分析，让你学会基本方法和技巧，为解决更复如何与他人合作，共同解决问杂的问题打下基础题提高数学应用能力3本课程不仅注重理论知识的传授，更强调实践应用通过大量的实际案例分析和练习，让你真正体会到数学的价值和魅力，从而提高你的数学应用能力，为未来的学习和工作做好充分的准备什么是方程？方程的定义方程的基本组成部分方程是含有未知数的等式它表达了已知数与未知数之间一个完整的方程通常包含以下几个基本组成部分未知数的某种关系，通过解方程，我们可以求出未知数的值，从、已知数、等号和运算符号未知数通常用字母表示，如而解决实际问题方程是数学中一个非常重要的概念，也x、y、z等；已知数是具体的数值；等号表示左右两边的是解决实际问题的有力工具数值相等；运算符号则包括加、减、乘、除等方程的类型一元一次方程二元一次方程只含有一个未知数，且未知含有两个未知数，且未知数数的最高次数为1的方程例的最高次数为1的方程例如如2x+3=5x+y=10分式方程分母中含有未知数的方程在解分式方程时，需要注意检验根是否为增根解方程的基本步骤理解问题认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题，这是解决实际问题的第一步列出方程根据题意，设未知数，将实际问题转化为数学关系，列出方程这是解决实际问题的关键一步解方程运用所学的解方程方法，求出未知数的值这是解决实际问题的核心步骤验证结果将求出的未知数的值代入原方程或实际问题中进行验证，看是否符合题意这是保证解的正确性的重要步骤实际问题与方程的关系将文字描述转化为数学语言1实际问题通常用文字描述，我们需要将其转化为数学语言，即用数学符号、公式等表示实际问题中的数量关系这是列方程的基础识别已知量和未知量2在实际问题中，有些量是已知的，有些量是未知的，我们需要明确哪些量是已知的，哪些量是未知的，并将未知量设为未知数这是列方程的关键案例分析年龄问题问题描述方程列写过程“今年，小明的年龄是小红的2倍，5年后，小明的年龄比小设今年小红的年龄为x岁，则小明的年龄为2x岁5年后，红大8岁，求今年小明和小红的年龄”这是一个典型的年小红的年龄为x+5岁，小明的年龄为2x+5岁根据题意，龄问题，需要我们根据题意列出方程，求解小明和小红的2x+5-x+5=8这就是我们列出的方程年龄案例分析年龄问题（续）方程求解解方程2x+5-x+5=8，得x=8所以，今年小红的年龄为8岁，小明的年龄为2x=16岁结果验证将x=8代入原题中进行验证5年后，小红的年龄为8+5=13岁，小明的年龄为16+5=21岁21-13=8，符合题意所以，今年小红的年龄为8岁，小明的年龄为16岁练习年龄问题“今年，爸爸的年龄是儿子的4倍，10年后，爸爸的年龄是儿子的2倍，求今年爸爸和儿子的年龄”请你独立完成这道年龄相关的实际问题，并写出详细的解题过程这道题与之前的例题类似，但也有一些不同之处请你认真分析题意，选择合适的未知数，列出方程，并求解解完后，记得验证结果的合理性案例分析行程问题问题描述关键信息提取“甲、乙两地相距120千米，一辆汽车从甲地开往乙地，速从问题描述中，我们可以提取到以下关键信息甲、乙两度为60千米/小时，一辆自行车从乙地开往甲地，速度为地相距120千米；汽车的速度为60千米/小时；自行车的速20千米/小时，两车同时出发，经过多长时间相遇？”这是度为20千米/小时；两车同时出发，相向而行这些信息一个典型的行程问题，需要我们根据题意列出方程，求解是列方程的基础两车相遇的时间行程问题中的重要公式速度路程÷时间时间路程÷速度==速度是单位时间内通过的路时间是完成一定路程所需的程公式表示为速度=路时间公式表示为时间=程÷时间路程÷速度路程速度×时间=路程是物体运动的轨迹长度公式表示为路程=速度×时间案例分析行程问题（续）方程列写设经过x小时两车相遇根据题意，汽车行驶的路程为60x千米，自行车行驶的路程为20x千米两车行驶的路程之和等于甲、乙两地的距离，即60x+20x=120求解过程解方程60x+20x=120，得x=

1.5所以，经过

1.5小时两车相遇练习行程问题“甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4千米/小时，甲先到达B地，然后立即返回，在距离B地10千米处与乙相遇，求A、B两地之间的距离”请你独立完成这道行程相关的实际问题，并写出详细的解题过程这道题需要你认真分析题意，理清甲、乙两人的运动过程，选择合适的未知数，列出方程，并求解解完后，记得验证结果的合理性案例分析工作效率问题问题描述关键信息识别“一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完从问题描述中，我们可以识别到以下关键信息甲单独做成，两人合作需要多少天完成？”这是一个典型的工作效率需要10天完成；乙单独做需要15天完成；两人合作这些问题，需要我们根据题意列出方程，求解两人合作完成工信息是列方程的基础程所需的时间工作效率问题的常见模式单独完成工作的时间1指某人或某团队单独完成一项工作所需的时间通常用天、小时等时间单位表示合作完成工作的时间2指多人或多团队合作完成一项工作所需的时间通常比单独完成工作的时间短案例分析工作效率问题（续）方程列写技巧设两人合作需要x天完成根据题意，甲每天完成工程的1/10，乙每天完成工程的1/15两人合作，每天完成工程的1/10+1/15因此，1/10+1/15x=1解题步骤解方程1/10+1/15x=1，得x=6所以，两人合作需要6天完成练习工作效率问题“一项工程，甲队单独做需要20天完成，乙队单独做需要30天完成，现在甲、乙两队合作，中途乙队休息了5天，求甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天？”请你独立完成这道工作效率相关的实际问题，并写出详细的解题过程这道题需要你认真分析题意，理清甲、乙两队的合作过程，特别是乙队休息的时间，选择合适的未知数，列出方程，并求解解完后，记得验证结果的合理性案例分析浓度问题问题描述关键概念理解“有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%，需要蒸发浓度是指溶质质量与溶液质量之比溶液质量=溶质质量多少千克水？”这是一个典型的浓度问题，需要我们根据题+溶剂质量在浓度问题中，需要明确溶质、溶剂和溶液意列出方程，求解需要蒸发的水的质量之间的关系浓度问题中的重要公式浓度溶质质量÷溶液质量=浓度是溶质质量与溶液质量之比，表示溶液中溶质的含量溶质质量浓度×溶液质量=溶质质量是溶液中溶质的质量，等于浓度乘以溶液质量案例分析浓度问题（续）方程列写方法设需要蒸发x千克水根据题意，原盐水中溶质的质量为20×15%=3千克蒸发x千克水后，溶液质量为20-x千克，溶质质量不变因此，3/20-x=20%求解过程解方程3/20-x=20%，得x=5所以，需要蒸发5千克水练习浓度问题“有含糖10%的糖水100克，要使糖水含糖20%，需要加入多少克糖？”请你独立完成这道浓度相关的实际问题，并写出详细的解题过程这道题需要你认真分析题意，理清糖、水和糖水之间的关系，选择合适的未知数，列出方程，并求解解完后，记得验证结果的合理性案例分析几何问题问题描述几何图形的基本性质“一个长方形的周长为28厘米，长比宽多2厘米，求长方形长方形的周长等于长和宽之和的2倍；长方形的面积等于的面积”这是一个典型的几何问题，需要我们根据题意列长乘以宽这些基本性质是解决几何问题的基础出方程，求解长方形的面积几何问题中的常见公式周长公式长方形的周长公式C=2a+b，其中a为长，b为宽面积公式长方形的面积公式S=ab，其中a为长，b为宽案例分析几何问题（续）方程列写技巧设长方形的宽为x厘米，则长为x+2厘米根据题意，2x+x+2=28解题步骤解方程2x+x+2=28，得x=6所以，长方形的宽为6厘米，长为8厘米面积为6×8=48平方厘米练习几何问题“一个圆的周长为

62.8厘米，求圆的面积”请你独立完成这道几何相关的实际问题，并写出详细的解题过程（π取

3.14）这道题需要你认真分析题意，理清圆的周长和面积之间的关系，选择合适的未知数，列出方程，并求解解完后，记得验证结果的合理性方程应用的通用策略理解问题提取关键信息选择适当的未知量123认真阅读题目，理解题意，明从问题描述中提取关键信息，根据题意，选择适当的未知量确已知条件和所求问题，这是如已知量、未知量、数量关系，并用字母表示未知量的选解决实际问题的第一步只有等这些信息是列方程的基础择直接影响到方程的复杂程度真正理解了问题，才能找到正提取信息的准确性直接影响选择适当的未知量可以使方确的解题思路到方程的正确性程更简洁易解方程应用的通用策略（续）列出方程解方程12根据题意，将实际问题转运用所学的解方程方法，化为数学关系，列出方程求出未知数的值这是解这是解决实际问题的关决实际问题的核心步骤键一步列方程时，要保解方程时，要注意运算的证等式两边的数量关系相准确性，避免出现错误等检查结果的合理性3将求出的未知数的值代入原方程或实际问题中进行验证，看是否符合题意这是保证解的正确性的重要步骤如果结果不合理，需要重新检查解题过程常见错误分析信息提取不完整未知量选择不当在解题过程中，如果对题目信息的提取不完整，可能会导在列方程时，如果选择的未知量不当，可能会导致方程过致列出的方程不正确，从而无法得到正确的答案因此，于复杂，难以求解因此，在列方程前，要仔细思考，选在解题前，一定要认真阅读题目，确保提取的信息完整准择最合适的未知量确常见错误分析（续）方程列写错误结果解释不正确方程列写错误是解题过程中最常见的错误之一如果列出即使解出了正确的方程，如果对结果的解释不正确，也无的方程不能准确反映题意，那么即使解方程的过程正确，法得到正确的答案因此，在解题后，一定要仔细思考，也无法得到正确的答案因此，在列方程时，一定要仔细确保对结果的解释符合题意思考，确保方程的正确性技巧画线段图线段图的作用如何正确绘制线段图线段图是一种直观的表示数量关系的方法通过画线段图绘制线段图时，要根据题意，用线段表示不同的数量，并，可以帮助我们理清题意，找到解题思路特别是在解决在线段上标注相应的数值线段的长度要与数值的大小成行程问题、年龄问题等需要表示数量关系的实际问题时，比例同时，要在线段图上清晰地表示出数量关系，如相线段图的作用非常明显等、大于、小于等技巧列表分析表格的使用方法如何通过表格理清关系表格是一种整理和分析数据的方法通过将题目中的已知在列表中，要将题目中的已知条件和未知量分别填入相应条件和未知量列成表格，可以帮助我们理清题意，找到解的单元格中然后，根据题意，分析各个量之间的关系，题思路特别是在解决浓度问题、工作效率问题等需要分并在表格中用数学符号或公式表示出来通过表格，可以析多个量之间关系的实际问题时，表格的作用非常明显清晰地看到各个量之间的关系，从而找到解题思路综合练习1“今年，小明的年龄是小红的3倍，10年后，小明的年龄比小红的2倍多5岁，求今年小明和小红的年龄”请你运用所学的知识和技巧，独立完成这道年龄问题实例，并写出详细的解题过程这道题是之前例题的综合应用，需要你认真分析题意，选择合适的解题方法，列出方程，并求解解完后，记得验证结果的合理性综合练习2“甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲的速度为6千米/小时，乙的速度为4千米/小时，甲到达B地后，立即返回，在距离A地20千米处与乙相遇，求A、B两地之间的距离”请你运用所学的知识和技巧，独立完成这道行程问题实例，并写出详细的解题过程这道题是之前例题的综合应用，需要你认真分析题意，选择合适的解题方法，列出方程，并求解解完后，记得验证结果的合理性综合练习3“一项工程，甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要20天完成，现在甲、乙两队合作，中途甲队休息了3天，求甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天？”请你运用所学的知识和技巧，独立完成这道工作效率问题实例，并写出详细的解题过程这道题是之前例题的综合应用，需要你认真分析题意，选择合适的解题方法，列出方程，并求解解完后，记得验证结果的合理性综合练习4“有含盐12%的盐水30千克，要使盐水含盐18%，需要加入多少克盐？”请你运用所学的知识和技巧，独立完成这道浓度问题实例，并写出详细的解题过程这道题是之前例题的综合应用，需要你认真分析题意，选择合适的解题方法，列出方程，并求解解完后，记得验证结果的合理性综合练习5“一个长方形的周长为36厘米，长是宽的2倍，求长方形的面积”请你运用所学的知识和技巧，独立完成这道几何问题实例，并写出详细的解题过程这道题是之前例题的综合应用，需要你认真分析题意，选择合适的解题方法，列出方程，并求解解完后，记得验证结果的合理性分组讨论现在，请大家分成小组，每组选择一道综合练习题进行讨论，共同分析题意，寻找解题思路，列出方程，并求解在讨论过程中，要积极交流，互相帮助，共同进步在讨论结束后，每组选派一名代表，向大家汇报解题思路和过程通过小组讨论和汇报，可以加深对知识的理解，提高解题能力实际应用购物折扣问题描述方程列写过程“一件商品，原价为200元，现在打8折出售，求现价是多设现价为x元根据题意，现价等于原价乘以折扣，即x=少元？”这是一个典型的购物折扣问题，需要我们根据题意200×80%这就是我们列出的方程列出方程，求解现价实际应用购物折扣（续）求解步骤解方程x=200×80%，得x=160所以，现价是160元结果分析这道题非常简单，只需要将原价乘以折扣即可得到现价通过这道题，我们可以了解折扣在实际购物中的应用实际应用存款利息问题描述关键信息提取“小明将10000元存入银行，年利率为2%，一年后，小明可从问题描述中，我们可以提取到以下关键信息存款金额以获得多少利息？”这是一个典型的存款利息问题，需要我为10000元；年利率为2%；存款时间为一年这些信息是们根据题意列出方程，求解利息列方程的基础实际应用存款利息（续）方程列写设小明可以获得x元利息根据题意，利息等于存款金额乘以年利率乘以存款时间，即x=10000×2%×1解题过程解方程x=10000×2%×1，得x=200所以，小明可以获得200元利息实际应用配料问题问题描述方程列写技巧“制作一种蛋糕，需要面粉和鸡蛋的质量比为3:2，现在有设需要x克鸡蛋根据题意，面粉和鸡蛋的质量比为3:2，面粉300克，需要多少克鸡蛋？”这是一个典型的配料问题即300/x=3/2，需要我们根据题意列出方程，求解鸡蛋的质量实际应用配料问题（续）结果验证求解步骤将x=200代入原题中进行验证面粉和鸡蛋的质量比为解方程300/x=3/2，得x=200所以，需要200克鸡蛋300:200=3:2，符合题意所以，需要200克鸡蛋实际应用时钟问题问题描述关键概念理解“在6点到7点之间，什么时候时针和分针重合？”这是一个时针每小时走30度，每分钟走

0.5度；分针每小时走360度典型的时钟问题，需要我们根据题意列出方程，求解时针，每分钟走6度时针和分针的运动速度不同，是解决时和分针重合的时间钟问题的关键实际应用时钟问题（续）方程列写方法设经过x分钟时针和分针重合在6点时，时针在180度的位置经过x分钟后，时针走了

0.5x度，分针走了6x度因此，180+

0.5x=6x解题过程解方程180+

0.5x=6x，得x=

32.73所以，在6点

32.73分时，时针和分针重合实际应用水池蓄水问题描述方程列写技巧“一个水池，单开甲水管需要10小时注满，单开乙水管需要设需要x小时注满水池根据题意，甲水管每小时注水1/1015小时注满，现在同时打开甲、乙两水管，需要多少小时，乙水管每小时注水1/15因此，1/10+1/15x=1注满水池？”这是一个典型的水池蓄水问题，需要我们根据题意列出方程，求解同时打开两水管所需的时间实际应用水池蓄水（续）求解步骤解方程1/10+1/15x=1，得x=6所以，同时打开甲、乙两水管，需要6小时注满水池结果分析这道题与工作效率问题类似，只需要将水管看作工人，水池看作工程即可通过这道题，我们可以加深对工作效率问题的理解挑战题复合问题问题描述解题策略讨论“甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲的速度为5千米/这道题比较复杂，需要我们认真分析题意，理清甲、乙两小时，乙的速度为4千米/小时，甲到达B地后，休息1小时人的运动过程，特别是甲休息的时间，选择合适的解题方，然后立即返回，在距离B地20千米处与乙相遇，求A、B法，列出方程，并求解这道题可以锻炼我们的综合解题两地之间的距离”这是一个典型的复合问题，需要我们根能力据题意列出方程，求解A、B两地之间的距离挑战题复合问题（续）分步骤列写方程设A、B两地之间的距离为x千米甲到达B地的时间为x/5小时，休息1小时后返回，与乙相遇时，甲行驶的路程为x-20千米，乙行驶的路程为x+20千米因此，x/5+1+x-20/5=x+20/4求解过程解方程x/5+1+x-20/5=x+20/4，得x=120所以，A、B两地之间的距离为120千米创新思考设计实际问题现在，请大家发挥想象力，根据所学的知识，自主设计一道实际问题，并写出详细的解题过程设计的问题可以是年龄问题、行程问题、工作效率问题、浓度问题、几何问题等，也可以是其他类型的实际问题设计的问题要符合实际，具有一定的难度，能够运用所学的知识和技巧解决设计完成后，每人将自己设计的问题交给其他同学，让其他同学尝试解决通过自主设计问题和解决他人设计的问题，可以加深对知识的理解，提高解题能力方程应用的局限性何时使用方程何时选择其他方法方程是解决实际问题的有力工具，但并非所有问题都适合当问题中数量关系不明显，或者无法用等式表示时，就不用方程解决当问题中存在明显的数量关系，且可以用等适合使用方程解决这时，可以选择其他方法，如逻辑推式表示时，才适合使用方程解决例如，年龄问题、行程理、图像分析、实验验证等例如，一些复杂的几何问题问题、工作效率问题、浓度问题、几何问题等、概率问题等方程在日常生活中的应用家庭理财1在家庭理财中，可以使用方程来计算收入支出、投资收益、贷款利息等例如，可以使用方程来计算每月还款金额，或者计算投资的年化收益率时间管理2在时间管理中，可以使用方程来规划时间，提高效率例如，可以使用方程来计算完成某项任务所需的时间，或者规划每天的工作时间方程在科学研究中的应用物理学应用实例化学实验中的应用在物理学中，方程被广泛应用于描述物体的运动规律、能在化学实验中，方程被广泛应用于描述化学反应、物质的量守恒定律、电磁场理论等例如，可以使用方程来计算组成、溶液的浓度等例如，可以使用方程来计算化学反物体的加速度、速度、位移等应的速率、平衡常数等方程在工程领域的应用建筑设计机械工程在建筑设计中，方程被广泛应用于计算建筑物的结构强度在机械工程中，方程被广泛应用于计算机械设备的性能参、材料用量、空间布局等例如，可以使用方程来计算梁数、设计零件的尺寸、控制系统的运行等例如，可以使的承重能力、墙体的稳定性等用方程来计算发动机的功率、齿轮的转速等数学建模简介什么是数学建模方程在建模中的作用数学建模是指将实际问题抽象成数学模型，并利用数学方方程是数学建模中最常用的数学工具之一通过建立方程法进行分析和求解的过程数学建模是解决实际问题的重，可以将实际问题中的数量关系清晰地表示出来，从而方要手段，被广泛应用于各个领域便进行分析和求解方程是构建数学模型的基础使用技术辅助解决问题计算器的使用1计算器是解决数学问题的重要工具通过计算器，可以快速准确地进行数值计算，从而提高解题效率在使用计算器时，要注意选择合适的计算模式，并熟悉计算器的各种功能电子表格软件应用2电子表格软件，如Excel，可以方便地进行数据处理、统计分析和图形绘制通过电子表格软件，可以更好地理解和分析问题，从而找到解题思路电子表格软件也是进行数学建模的重要工具总结方程解决实际问题的步骤问题分析认真阅读题目，理解题意，明确已知条件和所求问题这是解决实际问题的第一步方程列写根据题意，设未知数，将实际问题转化为数学关系，列出方程这是解决实际问题的关键一步求解验证运用所学的解方程方法，求出未知数的值，并将结果代入原题中进行验证，看是否符合题意这是保证解的正确性的重要步骤学习方法建议多做练习1熟能生巧只有通过大量的练习，才能真正掌握所学的知识和技巧，提高解题能力可以多做课本上的练习题、课后作业、考试试题等注重理解过程2学习数学，不能只记住公式和结论，更要注重理解过程只有真正理解了知识的来龙去脉，才能灵活运用，解决实际问题可以多思考、多提问、多交流拓展资源推荐练习题1课本上的练习题、课后作业、考试试题、各种辅导书上的练习题等，都是很好的练习资源可以选择适合自己水平的练习题进行练习，逐步提高解题能力在线学习平台2网络上有很多优秀的在线学习平台，如网易云课堂、慕课网、学堂在线等这些平台提供了丰富的数学课程和练习资源，可以帮助你更深入地学习和掌握方程解决实际问题的知识结语方程的力量方程是解决实际问题的有力工具，掌握方程的知识和技巧，可以帮助我们更好地理解和分析问题，找到解决问题的最佳方案希望通过本课程的学习，你能够体会到方程的力量，并将其应用到生活和工作中数学思维的重要性不言而喻它不仅可以帮助我们解决数学问题，还可以提高我们的逻辑思维能力、分析能力和创新能力希望大家在今后的学习和工作中，继续探索和学习，不断提高自己的数学素养，为未来的发展打下坚实的基础。