《实数及其运算》课件

课程目标了解实数的概念熟练掌握实数的基本运算理解实数在数学中的重要应用掌握实数的分类、性质和表示方法包括加、减、乘、除、乘方、开方等实数的概念实数的概念实数的意义1实数是所有有理数和无理数的集合，包括正数、负数、零和无理数有理数回顾有理数的定义有理数的性质可以表示成两个整数之比的数称为有理数，例如有理数在数轴上可以表示成点，可以进行加、减、乘、除运算1/2,3/4,-2/3等无理数的引入平方根有些数的平方根不是整数，例如等√2,√3无理数不能表示成两个整数之比的数称为无理数，例如等√2,√3,π实数的定义定义范围实数是所有有理数和无理数的集合实数的范围是无限的，既包括正数和负数，也包括零和无理数实数的分类有理数1可以表示成两个整数之比的数，包括正数、负数和零无理数2不能表示成两个整数之比的数，例如等√2,√3,π有理数与无理数的区别有理数无理数可以表示成两个整数之比不能表示成两个整数之比数轴与实数的对应关系数轴一条直线，上面标有刻度，用以表示实数对应关系每个实数对应数轴上的一个点，反之亦然实数的性质稠密性稠密性举例1在任意两个不同的实数之间，总有无数例如，在和之间，有

121.1,

1.2,个实数2等无数个实数

1.3,...实数的性质连续性连续性数轴上的点是连续的，没有间断1举例2例如，我们可以用实数来描述任何长度，无论多小实数的性质完备性完备性1实数集合是完备的，不存在任何空缺的点“”举例2例如，任何一个有界的实数序列，一定存在一个极限值实数的表示方法十进制表示法十进制表示法优点用十进制表示实数，例如简单易懂，便于进行计算

1.2345分数表示法分数表示法优点用分数表示实数，例如精确表示有理数1/2,3/4根号表示法根号表示法用根号表示实数，例如√2,√3优点精确表示无理数实数的近似值近似值取舍规则在实际应用中，我们通常使用实数的根据需要，我们可以将实数的近似值近似值来进行计算和测量保留到一定的位数有效数字有效数字1一个数中可靠的数字的个数举例2例如，的有效数字有个，而的有效数字只

3.

1415960.00314有个3科学记数法科学记数法将一个数表示成的形式，其中，为整a×10^n1≤|a|10n数优点方便表示非常大或非常小的数实数的基本运算加法加法两个实数相加，结果也是一个实数运算规则同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数与零相加，等于这个数实数的基本运算减法减法运算规则1两个实数相减，结果也是一个实数减去一个数等于加上这个数的相反数2实数的基本运算乘法乘法两个实数相乘，结果也是一个实数1运算规则同号相乘，积为正；异号相乘，积为负；任何数与零相乘，积2为零实数的基本运算除法除法1两个实数相除，结果也是一个实数（除数不为零）运算规则2除以一个数等于乘以这个数的倒数实数运算的性质交换律实数运算的性质结合律加法结合律乘法结合律a+b+c=a+b+c a×b×c=a×b×c实数运算的性质分配律分配律举例例如，a×b+c=a×b+a×c2×3+4=2×3+2×4=14实数的乘方运算乘方运算记法将一个数自身连乘次，称为这个数的次方表示自身连乘次n n a^n an实数的开方运算开方运算记法求一个数的平方根、立方根等运算表示的平方根√a a实数的指数运算指数运算1将一个数的指数定义为一个实数性质2，a^m×a^n=a^m+na^m^n=a^m×n实数的对数运算对数运算性质求以为底的对数，表示为，满足，，a b loga b a^loga b=bloga b×c=loga b+loga cloga b/c=loga b-loga clogab^n=n×logab实数的绝对值绝对值一个数到零点的距离，用表示|a|性质当时，；当时，a≥0|a|=a a0|a|=-a实数的比较符号比较1表示大于，表示小于ab ab ab a比较两个实数的大小关系2，表示等于b a=b ab实数的大小关系数轴在数轴上，右边的数大于左边的数1大小关系两个数的差，大于零，则较大的数大于较小的数；小于零，则2较大的数小于较小的数；等于零，则两个数相等实数的区间表示区间表示1用两个端点和括号或方括号来表示实数的范围举例表示，表示，表示2a,b axb[a,ba≤xb[a,b]a≤x≤b实数的不等式一元一次不等式一元一次不等式解法例如，通过移项、合并同类项等步骤解出不等式的解集2x+37二元一次不等式二元一次不等式解法例如，通过画出不等式的图形，找到满足不等式条件的区域x+2y5实数的应用测量测量使用实数来表示长度、面积、体积等物理量举例例如，用尺子测量长度，用体重秤测量体重实数的应用误差分析误差分析精度使用实数来分析测量值与真实值之间测量值的精度取决于所使用的测量工的差异具和方法实数的应用财务计算财务计算1使用实数来进行利息、投资回报率、汇率等财务计算举例2例如，计算银行存款的利息，计算股票的收益率实数的应用物理量表示物理量使用实数来表示速度、加速度、质量、温度等物理量举例例如，用米秒表示速度，用千克表示质量，用摄氏度表示温/度实数在坐标系中的应用坐标系用实数来表示点的位置，例如平面直角坐标系应用实数在坐标系中广泛应用于几何、物理、工程等领域实数与函数函数应用1函数是将一个变量与另一个变量之间建实数是函数的定义域和值域，函数图像立的对应关系2上的点可以用实数来表示一次函数与实数一次函数形如的函数，其中和为常数1y=kx+b kb性质2一次函数的图像是一条直线，可以用来描述线性关系二次函数与实数二次函数1形如的函数，其中为常数，且y=ax^2+bx+c a,b,c a≠0性质2二次函数的图像是一个抛物线，可以用来描述非线性关系指数函数与实数对数函数与实数对数函数性质形如的函数，其中为常数，且，对数函数的图像可以用来描述对数增长或对数衰减y=loga xa a0a≠1三角函数与实数三角函数性质定义在角或弧度上的函数，包括正弦函数余弦函数三角函数的图像可以用来描述周期性变化sinx,cosx,正切函数等tanx实数在几何中的应用距离面积体积用实数来表示两点之间的距离用实数来表示平面图形的面积用实数来表示立体图形的体积实数与圆周率π圆周率应用圆周长与直径之比，是一个无理数，圆周率在圆形、球形等几何图形的计约等于算中起着重要作用

3.14159实数与黄金分割比黄金分割比1一个线段被分成两部分，较长部分与较短部分的比等于整个线段与较长部分的比，这个比值约为

1.618应用2黄金分割比在艺术、建筑、设计等领域中被广泛应用实数与欧拉数e欧拉数一个无理数，约等于，也称为自然常数

2.71828应用欧拉数在微积分、概率论、金融等领域中被广泛应用实数在统计中的应用统计学使用实数来描述和分析数据，例如平均值、方差、标准差等统计量应用实数在统计学中被用来收集、整理、分析和解释数据实数在概率中的应用概率应用1使用实数来表示事件发生的可能性，例实数在概率论中被用来描述随机事件的如概率值2概率实数与极限极限一个函数在自变量趋于某个值时，函数值所趋近的值1应用极限是微积分中的基本概念之一，被用来研究函数的变化趋势2和连续性实数与微积分初步微积分1研究函数的导数、积分等概念，是数学中重要的分支应用2微积分在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用实数在计算机中的表示实数运算的误差与精度误差精度在计算机中，实数运算会产生误差，这是由于有限的精度造成表示一个数的有效数字的个数，精度越高，误差越小的实数系统的扩展复数复数应用形如的数，其中和为实数，是虚数单位，满足复数在数学、物理、工程等领域中被广泛应用a+bi ab ii^2=-1总结与回顾实数的概念实数的运算了解实数的分类、性质和表示方掌握实数的基本运算，包括加、法减、乘、除、乘方、开方等实数的应用了解实数在数学、科学、工程等领域中的应用。