《期末复习线性代数部分》课件

线性代数期末复习欢迎参加线性代数期末复习课程线性代数是数学中研究向量空间、线性映射、线性方程组和矩阵等概念的重要分支本次复习将全面覆盖线性代数的核心内容，从行列式、矩阵、向量到线性方程组、特征值与特征向量、二次型和线性空间，帮助大家系统掌握知识点，为期末考试做好充分准备课程概述课程目标主要内容12通过本次复习，帮助同学们本次复习将系统梳理线性代全面掌握线性代数的基本概数的七个主要章节行列念、基本理论和基本方法，式、矩阵、向量、线性方程培养抽象思维能力和逻辑推组、特征值与特征向量、二理能力，强化计算技巧和解次型和线性空间，每个章节题能力，为期末考试做好充将聚焦于核心概念、重要性分准备质和基本计算方法考试范围第一章行列式行列式的定义行列式是一个将方阵映射到数域的函数，是线性代数中的基本工具通过排列和逆序数定义，行列式可以用于判断线性方程组是否有唯一解，以及计算特征值等计算方法行列式的计算方法多样，包括按行（列）展开、三角形行列式公式和拉普拉斯展开法等掌握这些方法有助于我们高效地求解各种行列式问题性质行列式具有重要性质，如转置不变性、行列式的线性性质和乘法性质等这些性质不仅简化了计算，也揭示了行列式与矩阵之间的深刻联系行列式的定义阶行列式n1具有行列元素的特殊数值n n排列与逆序数2排列中的逆序对数量行列式的展开定义3所有排列的符号乘积之和阶行列式是由个元素排成行列构成的数值函数，记作或其定义基于排列与逆序数的概念对于元排列n n²n n|A|detA n₁₂，若其中逆序对的数量为，则该排列的符号记为i,i,...,iτ-1^τₙ阶行列式的定义为所有可能的种排列对应项的和₁₁₂₂这个定义虽然复杂，但为行列式的性质n n!|A|=Σ-1^τ·aᵢ·aᵢ·...·aᵢₙₙ和计算提供了理论基础行列式的性质转置不变性行列式的线性性质行列式的乘法性质行列式的转置等于原行列式对行（或列）两个方阵的行列式的行列式，即具有线性性质若行乘积等于这两个方阵|A|=这一性质表列式的某一行（或乘积的行列式，即|A^T|明行列式对行和列具列）是两个向量的这|AB|=|A|·|B|有对称性，因此关于和，则该行列式等于一性质在求解矩阵方行的性质也适用于两个行列式的和同程、判断矩阵是否可列这使得我们在处时，将行列式的某行逆等问题中有重要应理行列式时可以灵活（或列）乘以常数用选择从行或列的角度，等价于将行列式k来考虑问题乘以k行列式的计算方法按行（列）展开1行列式可以按任意一行（或列）展开，即，其中|A|=Σa_ij·A_ij是代数余子式这是最基本的计算方法，特别适用于包含较多A_ij零元素的行列式计算，可以大大简化计算过程三角形行列式2三角形行列式（上三角或下三角）的值等于主对角线元素的乘积利用初等变换将行列式化为三角形是一种高效的计算策略，尤其是对于高阶行列式拉普拉斯展开3拉普拉斯展开是按行（或列）展开的推广，适用于具有特殊结构k的行列式通过选择合适的子式，可以将高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算，从而简化问题克拉默法则定义克拉默法则是一种使用行列式解线性方程组的方法对于个未知n数的个线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，则方程组有n A唯一解，且每个未知数可以表示为特定行列式之比应用条件应用克拉默法则的前提条件是线性方程组的系数矩阵必须是方A阵，且，即方程组必须有唯一解当系统规模较大时，该|A|≠0方法计算复杂度高，实用性有限求解线性方程组对于方程组，若，则，其中Ax=b|A|≠0x_i=|A_i|/|A|A_i是用替换的第列所得到的矩阵这提供了一种解方程组b Ai的直接公式，但通常只适用于小规模方程组的求解行列式练习题基础计算题性质应用题计算以下行列式的值已知，，求|A|=|2|A|=3|B|=

4、、和的13;042;125||2A||A^T||AB||A^-1|值提示可以按第一行展开，或使用初等变换将其化为三角形提示利用行列式的性质，如线性性质、转置不变性和乘法性质克拉默法则应用题使用克拉默法则解方程组2x+y+3z=1,4y+2z=2,x+2y+5z=3提示先判断系数矩阵行列式是否为零，然后构造各个未知数对应的行列式第二章矩阵矩阵的运算矩阵运算包括加法、数乘、乘法、转置等2多种运算，这些运算满足特定的代数规矩阵的定义律掌握矩阵运算的性质和技巧是理解高级线性代数概念的基础矩阵是由个数按照行列排列成m×n mn的矩形数表，它是线性代数中的基本研1特殊矩阵究对象矩阵可以表示线性变换、线性方程组和二次型等，在科学计算和数据特殊矩阵如单位矩阵、对角矩阵和三角矩分析中有广泛应用阵等具有特殊的结构和性质，在理论分析和实际应用中都有重要地位了解这些特3殊矩阵的性质可以简化计算和分析过程矩阵的定义矩阵的概念矩阵的表示矩阵的维度矩阵是由个数排列成的矩形数表，矩阵可以用方括号或圆括号表示，即矩阵的维度指行数和列数，矩阵有m×n A m×n记作，其中表示或在计算机科学行列当时，称为方阵；当A=a_ij_{m×n}a_ij=[a_ij]A=a_ij mn m=n位于第行第列的元素矩阵不仅是数中，矩阵通常以二维数组形式存储和处时，称为行矩阵；当时，称i jm=1n=1的集合，更是线性映射的代数表示，是理矩阵表示使得复杂的线性变换和方为列矩阵矩阵的维度决定了矩阵运算理解线性代数的核心程组能够以简洁的形式表达的可行性和结果的维度矩阵的运算

（一）矩阵加法矩阵数乘12只有维度相同的矩阵才能相加矩阵与数的乘法是将矩阵的每减，加减法是对应元素进行运个元素都乘以该数若A=算若，，则A=a_ij_{m×n}B a_ij_{m×n}kA=，则数乘满足分=b_ij_{m×n}A±B=k·a_ij_{m×n}矩阵加法配律和结合律，是最基本的线a_ij±b_ij_{m×n}满足交换律和结合律，与数的性运算之一加法类似矩阵乘法3两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数若为A矩阵，为矩阵，则为矩阵，其中m×s Bs×n C=AB m×n c_ij=从到矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律和对加Σa_ik·b_kj k1s法的分配律矩阵的运算

（二）矩阵转置1矩阵转置是将矩阵的行与列互换，记为若，A^T A=a_ij_{m×n}则转置运算满足和A^T=a_ji_{n×m}A+B^T=A^T+B^T等重要性质，在理论分析和算法设计中频繁使AB^T=B^T·A^T用矩阵的幂2方阵的次幂定义为（个相乘），其中为正整A kA^k=A·A·...·A kA k数特别地，（单位矩阵）矩阵的幂运算在求解递推关A^0=I系、马尔可夫链和微分方程等应用中有重要作用分块矩阵3分块矩阵是将矩阵按行和列划分为若干子矩阵的表示方法分块矩阵的运算规则与普通矩阵类似，但操作单位是子矩阵而非单个元素这种表示方法可以简化大规模矩阵的操作和理论分析特殊矩阵单位矩阵（）是主对角线元素全为，其余元素全为的方阵它在矩阵运算中的作用类似于数，满足对角I101AI=IA=A矩阵是除主对角线外所有元素均为的方阵，其运算简单高效，在数值计算中应用广泛0三角矩阵包括上三角矩阵（主对角线以下元素全为）和下三角矩阵（主对角线以上元素全为）三角矩阵具有特殊的代数00性质，如其行列式等于主对角线元素的乘积，在求解线性方程组和矩阵分解中有重要应用矩阵的秩秩的定义秩的性质求矩阵的秩矩阵的秩定义为的行（或列）矩阵的秩具有重要性质

①求矩阵的秩常用方法是将矩阵通过初A rA A0≤rA向量组中极大线性无关组所含向量的；

②；等行变换化为阶梯形矩阵或行最简形≤min{m,n}rA=rA^T个数等价地，也是的非零行

③；

④如矩阵，然后数非零行的数目也可以rA A rAB≤min{rA,rB}最简形矩阵中非零行的数目矩阵的果为矩阵，为矩阵，则利用判断子式是否为零的方法确定矩Am×n Bn×s秩反映了矩阵所包含的线性无关信息阵的秩，或使用矩阵的特征值分析rA+rB-n≤rAB≤量min{rA,rB}矩阵的初等变换列初等变换2交换两列，列倍乘，列倍加行初等变换1交换两行，行倍乘，行倍加等价矩阵可通过初等变换互相转换3初等变换是矩阵理论中的基本操作，包括行初等变换和列初等变换行初等变换有三种类型

①交换两行的位置；

②将某行的所有元素乘以非零常数；

③将某行的倍加到另一行列初等变换的定义类似k两个矩阵和称为等价的，如果存在有限次初等变换使变为，记作～等价关系满足自反性、对称性和传递性初等变换在求解线A B A BA B性方程组、矩阵求逆、求矩阵的秩和化简矩阵等方面有广泛应用可逆矩阵可逆矩阵的定义1矩阵可逆当且仅当存在矩阵使A BAB=BA=I可逆的条件2方阵可逆当且仅当行列式不为零逆矩阵的性质3逆矩阵唯一且满足多种代数性质可逆矩阵（或非奇异矩阵）是指存在逆矩阵的方阵阶方阵可逆的充要条件有多种等价形式

①存在阶方阵，使；n A n BAB=BA=I

②；

③；

④的行（列）向量线性无关；

⑤齐次线性方程组仅有零解；

⑥存在初等矩阵的乘积，使|A|≠0rA=n AAx=0P PA=I逆矩阵的计算方法主要有伴随矩阵法和初等变换法伴随矩阵法利用公式，其中是的伴随矩阵；初等变换法是将A^-1=1/|A|·A*A*A增广矩阵通过行初等变换化为的形式[A|I][I|A^-1]矩阵练习题题型示例题目解题要点基础运算计算矩阵按照矩阵加减法和乘A=[12;和法的定义进行计算34]B=[01;2的和、差和乘积3]矩阵求逆求矩阵可以使用伴随矩阵法A=[21;1的逆矩阵或初等变换法3]矩阵方程解矩阵方程，求出的逆矩阵，然AX=BA其中，后A=[21;13]X=A^-1BB=[4;5]矩阵的秩求矩阵使用初等变换将矩阵A=[123;的秩化为阶梯形，或分析246;369]子式第三章向量向量的定义向量的运算向量空间向量是既有大小又有方向的量，在线向量运算包括加法、数乘和内积等向量空间是满足加法和数乘运算闭合性代数中通常用有序数组表示维向向量加法满足交换律和结合律，数乘性的向量集合，其中元素（向量）满n量可以看作维空间中的点或从原点到满足分配律和结合律向量内积是两足八条公理向量空间的核心概念包n该点的有向线段向量是线性代数的个向量对应分量乘积的和，反映向量括线性相关性、基和维数等，这些概基本研究对象，为理解线性变换和向的几何关系，如长度和夹角念构成了理解线性代数更高级内容的量空间奠定基础框架向量的定义维向量几何向量代数向量n维向量是由个数组几何向量是指在几何代数向量是指满足特n n成的有序数组，记作空间中具有大小和方定代数运算规则的数₁₂向的量，可用有向线学对象，是向量空间α=a,a,...,或列向量形式段表示在二维或三中的元素它们可以aαₙ₁₂维空间中，几何向量进行加法、数乘等运=[a;a;...;维向量可以可以通过坐标系转化算，这些运算满足特a]nₙ看作维欧氏空间中为代数向量，便于数定的公理代数向量n的点，或从原点指向学处理和计算几何的概念比几何向量更该点的有向线段，是向量提供了理解向量抽象，适用范围更线性代数中最基本的代数意义的直观方广，如函数向量、矩研究对象式阵向量等向量的运算向量加法向量数乘向量的内积向量加法定义为对应分量相加若向量与标量的乘法（数乘）定义为将向量的向量₁₂和₁α=α=a,a,...,aβ=b,ₙ₁₂，₁₂每个分量乘以该标量若₁₂的内积定义为₁₁a,a,...,aβ=b,b,...,α=a,b,...,bα,β=a bₙₙ，则₁₁₂₂₂，则₁₂₂₂内积是标量，几bα+β=a+b,a+b,...,a,...,akα=ka,ka,...,+a b+...+a bₙₙₙₙ几何上，向量加法可通过平行四几何上，数乘改变向量的长度和可何上表示为，其中是两向量夹a+bka|α|·|β|·cosθθₙₙₙ边形法则或三角形法则表示向量加法满足能改变方向数乘满足分配律和结合律角内积用于计算向量长度、夹角和正交性交换律和结合律判断线性相关与线性无关定义判断方法几何意义向量组₁₂称为线性相判断向量组线性相关性的主要方法包在二维空间中，两个非零向量线性相α,α,...,αₘ关，如果存在不全为零的数₁括

①定义法，寻找满足条件的系关当且仅当它们共线（平行或反k,₂，使得₁₁₂₂数；

②秩的方法，若向量组构成的矩向）；在三维空间中，三个向量线性k,...,k kα+kαₘ若只有当₁阵的秩小于向量个数，则线性相关；相关当且仅当它们共面一般地，+...+kα=0k=ₘₘ₂时等式成立，则

③行列式法，若向量数等于维数，则个维向量必然线性相关，这对应k=...=k=0n+1nₘ称该向量组线性无关线性相关性是通过行列式是否为零判断于维空间中最多有个线性无关的向n n理解向量空间结构的关键概念量向量组的秩1n极大线性无关组向量组的秩的定义向量组中的极大线性无关组是指不能再加入向量组的秩定义为其极大线性无关组所含向向量组中的任何向量使其保持线性无关的线量的个数向量组的秩反映了该向量组的维性无关子集一个向量组可以有多个极大线数，即它所能真正张成的空间维数性无关组，但它们所含向量的个数相同r求向量组的秩求向量组₁₂的秩，可将这些α,α,...,αₘ向量作为矩阵的行（或列）构成矩阵，然A后求矩阵的秩，即也可以通过逐步ArA判断向量的线性相关性来构造极大线性无关组向量空间向量空间的定义1满足八条公理的集合子空间2满足向量空间性质的子集基与维数3生成空间的线性无关向量组向量空间是满足加法和数乘运算闭合性的非空向量集合，其中任意向量∈和任意标量满足八条公理

①∈；

②；Vα,βV k,lα+βVα+β=β+α

③；

④存在零向量；

⑤存在负向量；

⑥∈；

⑦；

⑧；

⑨α+β+γ=α+β+γkαV klα=klαk+lα=kα+lαkα+β=kα+kβ常见的向量空间包括ℝ空间、所有矩阵构成的空间、多项式空间和函数空间等向量空间的基本性质和结构是理解线性代数高级概念ⁿm×n的基础，如线性变换、特征值和特征向量等正交向量与正交基正交向量的定义1两个向量和称为正交的，如果它们的内积几何上，正交向量αβα,β=0在欧氏空间中对应于垂直向量若向量组中任意两个不同向量都正交，则称该向量组为正交向量组正交向量组必然线性无关施密特正交化2施密特正交化是将线性无关向量组转化为正交向量组的方法对于向量组α₁,α₂,...,α，首先令β₁=α₁，然后依次计算β₂,...,β，其中βᵢ=αᵢ-ₙₙΣαᵢ,βⱼ/βⱼ,βⱼβⱼj从1到i-1最后将每个βᵢ单位化得到正交单位向量组正交基的构造3正交基是由正交向量组成的基构造正交基的主要方法是施密特正交化正交基具有良好的计算性质，如任意向量在正交基下的坐标可通过简单的内积计算获得，即x=Σx,eᵢ/eᵢ,eᵢeᵢ，其中{e₁,e₂,...,e}是正交ₙ基向量练习题基础运算题线性相关性判断题计算向量和判断向量组₁，α=1,2,3β=2,α=1,2,3的加法、数乘、内₂，₃0,-1α+β2αα=2,4,6α=1,1,积，并判断这两个向量是否是否线性相关，并求其秩α,β1正交提示可以直接寻找满足线性组合提示按照向量运算的定义进行计为零的非零系数，或者计算向量组算，特别注意内积的计算方法和正构成的矩阵的秩交的判断条件正交化题对向量组₁，₂，₃使用施密α=1,1,0α=1,0,1α=0,1,1特正交化方法构造正交基提示按照施密特正交化的步骤逐一计算，注意中间结果的精确表示第四章线性方程组线性方程组的定义线性方程组是由一个或多个线性方程组成的方程组一般形式为₁₁₁₁₂₂₁₁₂₁₁₂₂₂a x+a x+...+a x=b,a x+a xₙₙ₂₂₁₂+...+a x=b,...,a x+a x+...+a x=ₙₙₘ₁ₘ₂ₘₙₙ线性方程组是线性代数的重要研究对象bₘ解的结构线性方程组的解可以分为齐次和非齐次两种情况齐次线性方程组的解构成向量空间；非齐次线性方程组的解集可表示为一个特解加齐次线性方程组通解的形式理解解的结构对分析线性系统至关重要求解方法线性方程组的求解方法主要包括高斯消元法、矩阵求逆法和克拉默法则等高斯消元法通过初等行变换将增广矩阵化为阶梯形或行最简形，是最通用的求解方法线性方程组的定义齐次线性方程组非齐次线性方程组方程组的矩阵表示齐次线性方程组是指右端项全为零的线非齐次线性方程组是指右端项不全为零线性方程组可以用矩阵形式简洁表示为性方程组，形如齐次线性方的线性方程组，形如，其中是系数矩阵，是Ax=0Ax=b b≠0Ax=b Am×n x程组至少有零解，且解集构成向量空间非齐次线性方程组有解的充要条件是系未知数向量，是常数向量n×1b m×1（解空间）齐次线性方程组存在非零数矩阵的秩等于增广矩阵的这种表示方法将线性方程组的性质和解A[A,b]解的充要条件是系数矩阵的秩小于未秩若有解，则解集可表示为一个特解法与矩阵理论紧密联系起来，便于理论A知数的个数加相应齐次线性方程组通解的形式分析和计算线性方程组的解基础解系通解12齐次线性方程组的基础线性方程组的通解是指能够表Ax=0解系是指解空间的一组基若示所有解的一般形式对于齐解空间的维数为，则基础解系次线性方程组，通解形r Ax=0由个线性无关的解向量组成，式为₁₁₂₂r x=cη+cη且解空间中任意解都可以表示，其中₁+...+cᵣηᵣ{η,为基础解系中各解向量的线性₂是基础解系，₁η,...,ηᵣ}c,组合基础解系的求解通常基₂为任意常数通解表c,...,cᵣ于系数矩阵的行最简形达了解集的代数结构特解3非齐次线性方程组的特解是指满足方程组的一个具体解向量求Ax=b特解的方法通常是将增广矩阵化为行最简形，然后从各非自由变量[A|b]着手构造解向量非齐次线性方程组的任意解都可表示为一个特解加相应齐次方程组通解的形式高斯消元法消元过程1高斯消元法的第一阶段是通过初等行变换将增广矩阵化为行阶梯[A|b]形具体步骤是

①选取第一列非零元素作为主元；

②利用主元消去该列其他元素；

③对剩余子矩阵重复上述过程，直至得到行阶梯形消元过程反映了方程组解的线性关系回代过程2高斯消元法的第二阶段是回代过程，即将行阶梯形矩阵进一步化为行最简形具体方法是从最后一个非零行开始，逐步向上消元，使每个非零行的主元左侧元素全部为零最终将每个主元化为，得到行最简形矩阵，从1而直接写出方程组的解应用实例3考虑线性方程组₁₂₃₁₂₃x+2x+3x=6,2x+4x+5x=9,₁₂₃通过高斯消元法，可以将增广矩阵化为行最3x+6x+7x=12简形，判断方程组是否有解，并在有解的情况下确定解的结构和具体表达式齐次线性方程组零解与非零解基础解系解空间齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=Ax=Ax=必有零解方的基础解系是解空的所有解构成向量0x=000程组有非零解的充要间的一组基，其维数空间，称为解空间或条件是系数矩阵的为求基础零空间，记为A n-rA秩，其中解系的一般方法是将解空间的维rAn nKerA是未知数个数当化为行最简形，确数是解空An-rA时，方程组定自由变量，然后通间的性质对理解线性rA=n只有零解；当过给自由变量赋特殊变换的核与值域、矩rA时，方程组有无穷值（如单位向量的分阵的四个基本子空间n多个解，解空间的维量）构造线性无关的等概念至关重要数为解向量n-rA非齐次线性方程组解的存在条件通解结构非齐次线性方程组有解的充若非齐次线性方程组有解，Ax=b Ax=b要条件是系数矩阵的秩等于增广矩则其通解可表示为₀̄，其x=x+x阵的秩，即几何中₀是方程组的一个特解，̄是对rA=r[A|b]x x上，这意味着必须在的列空间应齐次线性方程组的通解b AAx=0中当时，方程组几何上，非齐次线性方程组的解集rAr[A|b]无解；当时，是与齐次方程组解空间平行的仿射rA=r[A|b]=n方程组有唯一解；当空间rA=时，方程组有无穷多r[A|b]n解特解求法求非齐次线性方程组特解的常用方法是将增广矩阵化为行最简形，然后[A|b]给所有自由变量赋值，求出对应的非自由变量值，构造一个特解也可以通0过待定系数法或其他专门方法（如常数变易法）求解特定类型的非齐次线性方程组线性方程组练习题题型示例题目解题要点齐次方程组求解齐次线性方程组₁计算系数矩阵的秩，使用x+₂₃₁行阶梯形确定自由变量，2x+3x=0,2x₂₃构造基础解系+4x+5x=0,₁₂₃3x+6x+7x=的基础解系与通解0非齐次方程组讨论非齐次线性方程组将增广矩阵化为行阶梯₁₂₃形，分析不同值对解的x+x+x=1,λ₁₂₃影响x+2x+3x=λ的解与参数的关系λ解的结构分析设是矩阵，且分析与的关A3×4rA rAr[A|b]，讨论线性方程组系，确定方程组解的存在=2Ax的解的情况性和解的结构=b应用问题使用线性方程组求解一个将实际问题转化为线性方简单的经济平衡模型程组，并使用合适的方法求解第五章特征值与特征向量特征向量的定义2满足的非零向量是对应于特征值Ax=λx xλ特征值的定义的特征向量1若存在数和非零向量，使，则λx Ax=λxλ称为矩阵的特征值，称为对应于的特A xλ征向量特征方程3是求解特征值的基本方程|A-λI|=0特征值和特征向量是线性代数中最重要的概念之一，它们描述了线性变换的基本性质直观地说，特征向量是在线性变换下方向保持不变的向量，而特征值是表示这些向量被拉伸或压缩倍数的标量特征值和特征向量在许多领域都有重要应用，如物理学中的振动分析、量子力学中的观测量、数据科学中的主成分分析、图论中的谱分析等掌握特征值和特征向量的计算和性质，是理解高级线性代数概念的关键特征值特征值的定义特征值的性质特征值的计算对于阶方阵，若存在数和非零向矩阵的特征值具有重要性质

①特计算特征值的标准方法是求解特征方n AλA量，使得，则称是的一征值的和等于矩阵的迹，即程对于低阶矩阵，可ᵢx Ax=λxλAΣλ=|A-λI|=0个特征值，是对应于特征值的特；

②特征值的积等于矩阵的行列以直接展开行列式求解；对于高阶矩x AλtrA征向量特征值反映了线性变换在某式，即；

③相似矩阵具有相阵，通常需要借助数值方法，如算ᵢΠλ=|A|QR些方向上的拉伸或压缩程度，是矩同的特征值；

④和具有相同的法、幂法等特征值的计算是矩阵理AA^T阵最重要的不变量之一特征值；

⑤若是的特征值，则是论中的基本问题，也是许多应用的核ᵏλAλ的特征值心A^k特征向量特征向量的定义1对于方阵的特征值，满足方程的非零向量称为对应AλA-λIx=0x A于特征值的特征向量几何上，特征向量是线性变换下方向保持不变λA的非零向量，其方向可能被反向，但不会被扭曲特征向量的性质2特征向量具有以下性质

①如果是对应于特征值的特征向量，则任意xλ非零标量倍也是对应于的特征向量；

②不同特征值对应的特征向量线kxλ性无关；

③特征值的重数与对应的线性无关特征向量的最大个数（的λλ几何重数）有密切关系特征向量的求解3求特征向量的标准方法是

①求出特征值；

②求解齐次线性方程组λA-的基础解系；

③对每个特征值重复上述过程特征向量的计算对λIx=0于矩阵对角化、主成分分析等应用至关重要。