《概率与概率分布》课件

概率与概率分布课程概述课程目标主要内容学习方法理解概率论的基本概念，掌握随机变量随机事件与概率、随机变量及其分布、及其分布的理论，学会运用概率模型解随机变量的数字特征、大数定律与中心决实际问题，培养统计思维和数据分析极限定理、样本及抽样分布等核心内能力容第一章随机事件与概率本章作为概率论的基础，将深入探讨随机事件的概念、概率的定义与性质，以及条件概率、全概率公式和贝叶斯公式等重要理论我们将通过丰富的实例，帮助大家理解概率论的基本思想，为后续章节的学习打下坚实的基础掌握本章内容，是理解和应用概率论的关键一步随机试验

1.1定义特点12在相同条件下可重复进行，每可重复性试验可以在相同条次试验的结果不确定，且事先件下重复进行多次不确定知道所有可能结果的试验性每次试验的结果事先无法确定可知性试验的所有可能结果事先已知举例样本空间

1.2定义随机试验所有可能结果的集合，通常用Ω表示样本空间的元素称为样本点构造方法列举法适用于结果较少的试验树状图法适用于多步骤试验集合表示法适用于描述复杂结果的试验示例抛掷一枚硬币Ω={正面，反面}掷一个骰子Ω={1，2，3，4，5，6}从一副扑克牌中随机抽取一张牌Ω={所有52张牌}随机事件

1.3分类必然事件每次试验都发生的事件，即2样本空间Ω本身不可能事件每次试定义验都不发生的事件，即空集Ø基本事件只包含一个样本点的事件1样本空间Ω的子集，表示试验结果的某种组合当试验结果属于该子集时，称该事件发生表示方法用大写字母A、B、C等表示事件用集3合表示事件，例如A={掷骰子结果为偶数}={2，4，6}事件的关系

1.4包含相等互斥若事件A发生必然导致若A⊆B且B⊆A，则称若事件A与事件B不能事件B发生，则称事件事件A与事件B相等，同时发生，即A∩B=Ø，B包含事件A，记作记作A=B则称事件A与事件B互A⊆B斥事件的运算

1.5和事件积事件差事件互斥事件事件A与事件B至少有一个发事件A与事件B同时发生，记事件A发生但事件B不发生，事件A与事件B不能同时发生，记作A∪B作A∩B记作A-B生，即A∩B=Ø概率的定义

1.6古典概率频率概率12在所有等可能的结果中，事件在大量重复试验中，事件A发A包含的结果数与总结果数的生的频率逐渐稳定于某个常比值，PA=事件A包含的结数，该常数称为事件A的概果数/总结果数适用于样率PA≈事件A发生的次数本空间有限且所有结果等可能/总试验次数适用于可以重的情况，例如抛硬币、掷骰子复进行但结果不一定等可能的等情况，例如产品质量检验、疾病发生率等主观概率3个人对事件A发生的相信程度，可以根据经验、知识或直觉进行判断主观概率具有一定的主观性，不同的人对同一事件的主观概率可能不同适用于无法进行重复试验或结果难以量化的情况，例如投资决策、项目评估等概率的性质

1.7非负性规范性对于任意事件A，其概率PA≥必然事件的概率为1，即PΩ=01可加性对于互斥事件A和B，有PA∪B=PA+PB推广对于两两互斥的事件A1,A2,...,An，有PA1∪A2∪...∪An=PA1+PA2+...+PAn条件概率

1.8定义在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作PA|B计算方法PA|B=PA∩B/PB，其中PB0应用医学诊断、风险评估、信用评分等乘法定理

1.9定义1PA∩B=PB*PA|B=PA*PB|A推导2由条件概率公式PA|B=PA∩B/PB直接推导得到应用3计算多个事件同时发生的概率，例如连续两次抽中特定牌的概率全概率公式

1.10定义推导应用场景设B1,B2,...,Bn是样本空间Ω的一个划利用样本空间的划分和条件概率公式进产品质量检验、医疗诊断、决策分析分，且PBi0，i=1,2,...,n，则对于任意行推导等事件A，有PA=PA|B1PB1+PA|B2PB2+...+PA|BnPBn贝叶斯公式

1.11定义1，其中是样本空PBi|A=[PA|BiPBi]/[∑PA|BjPBj]B1,B2,...,Bn2间的一个划分，且，ΩPBi0i=1,2,...,n推导3由条件概率公式和全概率公式推导得到4实际应用5医学诊断、垃圾邮件过滤、信用风险评估等，用于在已知某些条件下，反推事件发生的概率第一章小结与习题知识点回顾重点难点12随机试验、样本空间、随机事理解概率的各种定义，掌握条件、概率的定义与性质、条件件概率和贝叶斯公式的应用，概率、乘法定理、全概率公能够灵活运用各种公式解决实式、贝叶斯公式际问题习题练习3课后习题，案例分析，概率计算练习第二章随机变量及其分布本章将介绍随机变量的概念、离散型和连续型随机变量的分布，以及常见的概率分布模型通过本章的学习，您将掌握随机变量的描述方法，能够运用概率分布模型对实际问题进行建模和分析，并为后续章节的学习奠定基础学习随机变量的概念是理解概率论的关键一步我们将详细介绍离散型和连续型随机变量的定义、性质和应用，并通过大量的实例，帮助大家理解和掌握这些概念同时，我们将介绍常见的概率分布模型，如二项分布、泊松分布、正态分布等，让大家能够运用这些模型解决实际问题随机变量的概念

2.1定义离散型随机变量连续型随机变量将随机试验的结果数值化的变量，通常只能取有限个或可列无限个值的随机变可以取某一区间内任意值的随机变量，用X、Y、Z等表示量，例如掷骰子的点数例如人的身高、体重离散型随机变量的分布

2.2概率分布列描述离散型随机变量每个可能取值的概率的表格或公式，通常用PX=xi表示分布函数描述随机变量X小于等于某个值x的概率，定义为Fx=PX≤x性质0≤PX=xi≤1，∑PX=xi=1，Fx是单调不减函数连续型随机变量的分布

2.3分布函数2描述随机变量X小于等于某个值x的概率，定义为Fx=∫ftdt，积分上限为概率密度函数x，积分下限为负无穷1描述连续型随机变量在某个值附近的概率密度，通常用fx表示性质fx≥0，∫fxdx=1，积分范围为负无穷3到正无穷，Fx是单调不增函数常见的离散型分布

（一）分布

2.40-1定义特点应用随机变量X只取0或1两个值，PX=1=描述一次试验中事件发生的概率，例如用于描述只有两种结果的试验，例如产p，PX=0=1-p，其中0p1抛硬币的结果品是否合格、用户是否点击广告等常见的离散型分布

2.5

（二）二项分布定义在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，记作X~Bn,p，其中p是每次试验中事件A发生的概率参数n试验次数，p每次试验成功的概率应用场景产品合格率检验、用户点击率统计、调查问卷结果分析等常见的离散型分布

（三）泊松分布

2.6参数单位时间或空间内事件发生的平均次2λ数定义随机变量X表示在一定时间或空间内发1生的事件次数，服从泊松分布，记作X~Pλ，其中λ是单位时间或空间内事应用领域件发生的平均次数单位时间内通过某路口的车辆数、单位面积内植物的分布、电话交换台收到的3呼叫次数等常见的连续型分布

2.7

（一）均匀分布定义特点应用随机变量X在区间[a,b]概率密度函数为常数，模拟随机数生成、排队内取任意值的概率相随机变量在区间内均匀论模型等等，其概率密度函数为分布fx=1/b-a，a≤x≤b常见的连续型分布

（二）指数分布

2.8定义特性实际应用随机变量X表示事件发生的时间间隔，服无记忆性事件在未来一段时间内发生电子元件的寿命分析、顾客到达服务台从指数分布，其概率密度函数为fx=的概率与过去已经发生的时间无关的时间间隔、机器故障时间间隔等λe^-λx，x≥0，其中λ是事件发生的平均速率常见的连续型分布

2.9

（三）正态分布定义随机变量X的概率密度函数服从正态分布，记作X~Nμ,σ^2，其中μ是均值，σ^2是方差特点概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性、单峰性重要性自然界和社会生活中大量随机变量近似服从正态分布，是统计推断的重要基础标准正态分布

2.10标准化2将一般正态分布转化为标准正态分布，Z=X-μ/σ定义1均值为0，方差为1的正态分布，记作N0,1查表方法通过查标准正态分布表，可以计算任意3正态分布的概率第二章小结与习题知识点回顾重点难点12随机变量的概念、离散型和连理解各种概率分布的特点和应续型随机变量的分布、0-1分用场景，掌握正态分布的标准布、二项分布、泊松分布、均化方法，能够运用各种分布模匀分布、指数分布、正态分型解决实际问题布、标准正态分布习题练习3课后习题，案例分析，概率计算练习第三章随机变量的数字特征本章将介绍随机变量的数字特征，包括期望、方差、标准差、矩、协方差和相关系数通过本章的学习，您将掌握描述随机变量的重要指标，能够运用这些指标对随机变量的性质进行分析和比较，并为后续章节的学习奠定基础学习随机变量的数字特征是理解概率论的重要一步我们将详细介绍期望、方差、标准差等概念的定义、计算方法和应用，并通过大量的实例，帮助大家理解和掌握这些概念同时，我们将介绍协方差和相关系数，让大家能够了解随机变量之间的关系期望的概念

3.1离散型随机变量的期望连续型随机变量的期望期望的性质EX=∑xiPX=xi，表示随机变量X的平均EX=∫xfxdx，积分范围为负无穷到正EaX+b=aEX+b，EX+Y=EX+EY取值无穷，表示随机变量X的平均取值方差的概念

3.2定义DX=E[X-EX^2]，表示随机变量X的离散程度计算方法DX=EX^2-[EX]^2性质DaX+b=a^2DX，DX+Y=DX+DY+2CovX,Y标准差

3.3意义2与随机变量X具有相同的量纲，更直观地反映数据的离散程度定义1σX=√DX，表示随机变量X的离散程度应用3风险评估、质量控制、数据分析等离散型随机变量的矩

3.4原点矩中心矩应用EX^k，表示随机变量E[X-EX^k]，表示随描述随机变量的分布形X的k阶原点矩机变量X的k阶中心矩状，例如偏度和峰度连续型随机变量的矩

3.5原点矩中心矩应用EX^k=∫x^kfxdx，积分范围为负无穷E[X-EX^k]=∫x-EX^kfxdx，积分描述随机变量的分布形状，例如偏度和到正无穷，表示随机变量X的k阶原点范围为负无穷到正无穷，表示随机变量X峰度矩的k阶中心矩协方差

3.6定义CovX,Y=E[X-EXY-EY]，表示随机变量X和Y的线性相关程度计算CovX,Y=EXY-EXEY意义CovX,Y0表示X和Y正相关，CovX,Y0表示X和Y负相关，CovX,Y=0表示X和Y不相关相关系数

3.7性质2-1≤ρX,Y≤1，ρX,Y=1表示X和Y完全正相关，ρX,Y=-1表示X和Y完全负相定义关，ρX,Y=0表示X和Y不相关1ρX,Y=CovX,Y/[σXσY]，表示随机变量X和Y的线性相关程度应用金融风险管理、市场营销分析、医学数3据分析等切比雪夫不等式

3.8定理证明应用对于任意随机变量X，若EX和DX存利用方差的定义和积分性质进行证明估计概率的上界，无需知道随机变量的在，则对于任意ε0，有P|X-具体分布EX|≥ε≤DX/ε^2第三章小结与习题知识点回顾重点难点习题练习123期望、方差、标准差、矩、协方理解期望、方差和相关系数的意课后习题，案例分析，数字特征计差、相关系数、切比雪夫不等式义，掌握切比雪夫不等式的应用，算练习能够运用各种数字特征分析实际问题第四章大数定律与中心极限定理本章将介绍大数定律和中心极限定理，它们是概率论中最重要的定理通过本章的学习，您将理解随机现象的统计规律性，掌握运用大数定律和中心极限定理解决实际问题的基本方法，并为后续章节的学习奠定基础学习大数定律和中心极限定理是理解概率论的关键一步我们将详细介绍各种大数定律和中心极限定理的定义、条件和应用，并通过大量的实例，帮助大家理解和掌握这些定理同时，我们将介绍这些定理在统计推断、质量控制和金融分析等领域的应用大数定律的概念

4.1弱大数定律强大数定律意义当试验次数n足够大时，样本均值依概率当试验次数n足够大时，样本均值几乎必揭示了随机现象的统计规律性，为统计收敛于总体期望然收敛于总体期望推断提供了理论基础切比雪夫大数定律

4.2定理设X1,X2,...,Xn是相互独立的随机变量，且具有相同的期望μ和方差σ^2，则对于任意ε0，有lim P|X1+X2+...+Xn/n-μ|ε=1，当n趋于无穷时证明利用切比雪夫不等式进行证明应用估计总体期望，例如通过多次测量估计物体的长度伯努利大数定律

4.3证明2利用切比雪夫大数定律进行证明定理设在n次独立重复试验中，事件A发生1的次数为X，事件A发生的概率为p，则对于任意ε0，有lim P|X/n-p|ε=应用1，当n趋于无穷时估计事件发生的概率，例如通过多次试3验估计硬币正面朝上的概率辛钦大数定律

4.4定理证明应用设X1,X2,...,Xn是相互独立的随机变量，利用切比雪夫大数定律进行证明，前提是估计总体期望，例如通过多次测量估计产且具有相同的期望μ，则对于任意ε0，有存在方差品的平均质量lim P|X1+X2+...+Xn/n-μ|ε=1，当n趋于无穷时中心极限定理的概念

4.5定义意义应用在一定条件下，大量相互独立的随机变为统计推断提供了重要的理论基础，使估计总体均值、构造置信区间、假设检量之和的分布逼近于正态分布得我们可以利用正态分布近似计算复杂验等随机变量的概率李雅普诺夫中心极限定理

4.6定理设X1,X2,...,Xn是相互独立的随机变量，且具有有限的期望μi和方差σi^2，记Sn=X1+X2+...+Xn，ESn=μ，DSn=σ^2，若对于任意ε0，满足李雅普诺夫条件，则Sn的标准化变量依分布收敛于标准正态分布条件李雅普诺夫条件lim∑E|Xi-μi|^3/σ^3=0，当n趋于无穷时应用估计总体均值、构造置信区间、假设检验等棣莫弗拉普拉斯中心极限定理

4.7-条件2np和n1-p都大于5定理设在n次独立重复试验中，事件A发生1的次数为X，事件A发生的概率为p，则当n足够大时，X近似服从正态分布应用Nnp,np1-p计算二项分布的概率，例如计算在大量3试验中事件A发生的次数的概率大数定律与中心极限定理的应用

4.8统计推断质量控制金融分析利用样本数据推断总体特征，例如估监控产品质量，判断产品是否符合质风险评估、投资组合优化、期权定价计总体均值、构造置信区间、假设检量标准，例如控制产品的合格率等验等第四章小结与习题知识点回顾重点难点12大数定律的概念、切比雪夫大理解大数定律和中心极限定理数定律、伯努利大数定律、辛的意义和条件，掌握运用这些钦大数定律、中心极限定理的定理解决实际问题的基本方概念、李雅普诺夫中心极限定法理、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理习题练习3课后习题，案例分析，定理应用练习第五章样本及抽样分布本章将介绍总体、样本的概念，以及样本的数字特征和抽样分布通过本章的学习，您将了解如何从总体中抽取样本，如何计算样本的数字特征，以及如何利用抽样分布进行统计推断，为后续章节的学习奠定基础学习样本及抽样分布是理解统计推断的关键一步我们将详细介绍总体、样本、样本均值、样本方差等概念的定义、计算方法和应用，并通过大量的实例，帮助大家理解和掌握这些概念同时，我们将介绍常见的抽样分布，如χ²分布、t分布、F分布等，让大家能够运用这些分布进行统计推断总体与样本的概念

5.1总体样本关系研究对象的全体，例如所有学生的成从总体中抽取的一部分个体，例如从所样本是总体的一部分，通过分析样本可绩、所有产品的质量有学生中随机抽取一部分学生的成绩、以推断总体的特征从所有产品中随机抽取一部分产品的质量样本的数字特征

5.2样本均值样本中所有个体的平均值，用于估计总体均值样本方差样本中个体离散程度的度量，用于估计总体方差样本矩样本中个体k次方的平均值，用于描述样本的分布形状抽样分布的概念

5.3意义2为统计推断提供了理论基础，使得我们可以利用样本数据推断总体的特征定义1样本统计量的概率分布，例如样本均值的分布、样本方差的分布类型3χ²分布、t分布、F分布等分布

5.4χ²定义性质应用若X1,X2,...,Xn是相互非负性、可加性假设检验、置信区间估独立的标准正态分布随计等机变量，则X1^2+X2^2+...+Xn^2服从自由度为n的χ²分布，记作χ²~χ²n分布

5.5t定义性质应用设X服从标准正态分布，Y服从自由度为对称性、单峰性小样本均值检验、置信区间估计等n的χ²分布，且X和Y相互独立，则T=X/√Y/n服从自由度为n的t分布，记作T~tn分布

5.6F定义设X服从自由度为m的χ²分布，Y服从自由度为n的χ²分布，且X和Y相互独立，则F=X/m/Y/n服从自由度为m,n的F分布，记作F~Fm,n性质非负性、非对称性应用方差分析、回归分析等正态总体的抽样分布

5.7样本方差的分布2若总体服从正态分布Nμ,σ^2，则样本方差的修正值服从χ²分布样本均值的分布1若总体服从正态分布Nμ,σ^2，则样本均值服从正态分布Nμ,σ^2/n应用3统计推断、假设检验等第五章小结与习题知识点回顾重点难点习题练习123总体与样本的概念、样本的数字特理解各种抽样分布的特点和应用场课后习题，案例分析，抽样分布应征、抽样分布的概念、χ²分布、t分景，掌握正态总体的抽样分布，能用练习布、F分布、正态总体的抽样分够运用这些知识进行统计推断布课程总结主要概念回顾重点难点分析随机事件与概率、随机变量及其各种概率分布的特点和应用场分布、随机变量的数字特征、大景、大数定律和中心极限定理的数定律与中心极限定理、样本及意义和条件、抽样分布的特点和抽样分布应用应用领域统计推断、质量控制、金融分析、风险评估、医学诊断等练习与思考题•

1.什么是随机事件？举例说明•

2.概率有哪些定义方式？各有什么特点？•

3.什么是条件概率？如何计算？•

4.什么是随机变量？分为哪几类？•

5.常见的离散型和连续型分布有哪些？各有什么特点？•

6.期望、方差和标准差分别表示什么意义？如何计算？•

7.什么是大数定律？有什么意义？•

8.什么是中心极限定理？有什么意义？•

9.总体和样本有什么区别？•

10.什么是抽样分布？常见的抽样分布有哪些？参考文献•《概率论与数理统计》（第四版），盛骤，谢式千，潘承毅编，高等教育出版社，2008•《概率论与数理统计教程》，茆诗松，程依明，濮晓龙编，高等教育出版社，2011•《统计学》，贾俊平编，中国人民大学出版社，2015•《概率论及其应用》，William Feller著，李贤平，沈崇圣译，人民邮电出版社，2006谢谢聆听感谢大家耐心聆听！希望通过本课程的学习，您对概率与概率分布有了更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用所学知识祝您在未来的学习和工作中取得更大的成功！。