《矩阵及其运算》课件

《矩阵及其运算》课程概述课程目标学习要点应用领域12掌握矩阵的基本概念、性质和运算矩阵的定义、类型、基本运算、行规则，理解矩阵在各个领域的应列式、逆矩阵、特征值与特征向量用等什么是矩阵？矩阵的定义矩阵的表示方法矩阵的维度矩阵是由m×n个数排列成的矩形阵通常用大写字母A、B、C等表示矩矩阵的维度是指矩阵的行数和列数，ᵢⱼ列，其中m是行数，n是列数阵，用a表示矩阵A的第i行第j通常表示为m×n列的元素矩阵的类型方阵行矩阵和列矩阵对角矩阵行数和列数相等的矩阵，即m=n的行矩阵只有一行，列矩阵只有一列只有主对角线上的元素非零，其余元矩阵素都为零的矩阵特殊矩阵单位矩阵零矩阵三角矩阵主对角线上的元素都为1，其余元素都为所有元素都为0的矩阵，通常用0表示上三角矩阵主对角线以下的元素都为00的方阵，通常用I或E表示的方阵下三角矩阵主对角线以上的元素都为0的方阵矩阵的基本运算加法加法的定义两个维度相同的矩阵A和B可以相加，对应位置的元素相加得ᵢⱼᵢⱼᵢⱼ到结果矩阵C，即c=a+b加法的性质满足交换律A+B=B+A；满足结合律A+B+C=A+B+C实例演示演示两个2x2矩阵相加的例子矩阵的基本运算减法减法的性质2减法可以看作是加法的逆运算A-B减法的定义=A+-B1两个维度相同的矩阵A和B可以相减，对应位置的元素相减得到结果ᵢⱼᵢⱼᵢⱼ矩阵C，即c=a-b实例演示3演示两个2x2矩阵相减的例子矩阵的基本运算数乘数乘的定义1ᵢⱼᵢⱼ一个数k乘以矩阵A，结果是矩阵A的每个元素都乘以k，即c=k*a数乘的性质2₁₂₁₂满足分配律kA+B=kA+kB；满足结合律k kA=k kA实例演示3演示一个数乘以2x2矩阵的例子矩阵的转置转置的定义1ᵀ将矩阵A的行和列互换得到的新矩阵称为A的转置，记作A转置的性质2ᵀᵀᵀᵀᵀᵀᵀA=A；A+B=A+B；kA=kA实例演示3演示一个2x3矩阵转置为3x2矩阵的例子矩阵乘法

（一）乘法的定义1矩阵A m×n和矩阵B n×p相乘，结果是矩阵C m×ᵢⱼp，其中c等于A的第i行和B的第j列对应元素乘积之和乘法的条件2矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数，才能进行乘法运算矩阵乘法

（二）乘法的步骤实例演示确定两个矩阵是否满足乘法条件；计算结果矩阵的每个元演示两个2x2矩阵相乘的例子，详细展示计算过程素矩阵乘法的性质不满足交换律满足结合律12通常情况下，A*B≠B*A A*B*C=A*B*C满足分配律3A*B+C=A*B+A*C矩阵的幂定义计算方法对于方阵A，A的n次幂定递归计算A²=A*A，A³=ⁿ义为A=A*A*...*A n个A*A²，以此类推A相乘实例演示演示一个2x2矩阵的平方和立方计算矩阵的行列式行列式的定义矩阵的行列式2x2行列式是一个将方阵映射到一个标量对于2x2矩阵[[a,b],[c,d]]，其行列的函数，记作detA或|A|式为ad-bc矩阵的行列式3x3计算方法使用萨鲁斯法则或展开式计算3x3矩阵的行列式实例演示演示一个3x3矩阵的行列式计算过程行列式的性质转置不变性行列式与矩阵乘法1ᵀ2detA=detA detA*B=detA*detB逆矩阵

（一）逆矩阵的定义1对于方阵A，如果存在一个矩阵B，使得A*B=B*A=I，则B称为A的⁻逆矩阵，记作A¹逆矩阵的条件2方阵A可逆的条件是其行列式不等于零，即detA≠0逆矩阵

（二）矩阵的逆2x21⁻对于2x2矩阵A=[[a,b],[c,d]]，如果detA=ad-bc≠0，则A¹=1/detA*[[d,-b],[-c,a]]计算步骤2计算行列式；交换主对角线元素；改变副对角线元素的符号；乘以行列式的倒数逆矩阵

（三）高阶矩阵的逆伴随矩阵法⁻对于高阶矩阵，可以使用伴随矩阵法或初等变换法计算逆矩A¹=1/detA*adjA，其中adjA是A的伴随矩阵阵逆矩阵的性质⁻⁻A¹¹=A1逆矩阵的逆矩阵等于原矩阵⁻⁻⁻AB¹=B¹A¹2矩阵乘积的逆矩阵等于各矩阵逆矩阵的顺序颠倒的乘积矩阵的秩秩的定义矩阵A的秩是指A中线性无关的行（或列）的最大数目，记作rankA秩的性质ᵀ0≤rankA≤minm,n；rankA=rankA；如果A是n阶方阵，且rankA=n，则A可逆矩阵的初等变换行变换列变换实例演示交换两行；用一个非零交换两列；用一个非零演示通过初等行变换将常数乘以某一行；把某常数乘以某一列；把某矩阵化为阶梯形矩阵的一行乘以一个常数加到一列乘以一个常数加到过程另一行另一列矩阵的等价等价的定义如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，则称A与B等价，记作A≈B等价矩阵的性质等价矩阵具有相同的秩矩阵的相似相似的定义相似矩阵的性质1对于n阶方阵A和B，如果存在可⁻相似矩阵具有相同的特征值，相同2逆矩阵P，使得B=P¹AP，则称的行列式，相同的迹，相同的秩A与B相似，记作A~B特征值和特征向量

（一）定义1对于n阶方阵A，如果存在数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则λ称为A的特征值，x称为A对应于特征值λ的特征向量计算方法2通过解特征方程detA-λI=0得到特征值，然后求解A-λIx=0得到特征向量特征值和特征向量

（二）特征方程1detA-λI=0是关于λ的方程，称为特征方程，其解为A的特征值实例演示2演示一个2x2矩阵的特征值和特征向量的计算过程矩阵对角化对角化的条件对角化的步骤如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则A可以对求出A的所有特征值和特征向量；构造矩阵P，其列向量为⁻⁻角化，即存在可逆矩阵P，使得P¹AP=Λ，其中Λ是对角A的线性无关的特征向量；计算P¹AP矩阵，其对角线元素为A的特征值正交矩阵定义性质12⁻ᵀᵀᵀ如果一个n阶方阵A满足A A=AA=I，则称A为正交矩A¹=A；detA=±1；A的列向量是两两正交的单位向阵量对称矩阵定义ᵀ如果一个n阶方阵A满足A=A，则称A为对称矩阵性质对称矩阵的特征值都是实数；对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的；对称矩阵可以对角化，且存在正交矩阵P使得⁻P¹AP=Λ，其中Λ是对角矩阵正定矩阵定义判断方法ᵀ如果对于任意非零向量x，都有x Ax0，则称A为正定矩阵A的所有特征值都大于零；A的所有顺序主子式都大于零矩阵分解分解LU分解的定义LU对于n阶方阵A，如果存在下三角矩阵L和上三角矩阵U，使得A=LU，则称A可以进行LU分解计算步骤通过高斯消元法将A化为上三角矩阵U，消元过程中的系数构成下三角矩阵L矩阵分解分解QR计算步骤分解的定义QR1使用格拉姆-施密特正交化方法对A对于n阶方阵A，如果存在正交矩的列向量进行正交化和单位化，得2阵Q和上三角矩阵R，使得A=ᵀ到正交矩阵Q，然后计算R=Q AQR，则称A可以进行QR分解奇异值分解（）SVD的定义SVD1对于m×n矩阵A，存在m阶正交矩阵U和n阶正交矩阵V，使得A=ᵀUΣV，其中Σ是m×n的对角矩阵，其对角线元素为A的奇异值的应用SVD2数据降维、图像压缩、推荐系统等矩阵的迹迹的定义1对于n阶方阵A，其迹是指A的主对角线元素的和，记作trA迹的性质2trA+B=trA+trB；trkA=k*trA；trAB=trBA矩阵的范数范数的定义常用矩阵范数范数是一个将向量或矩阵映射到一个非负实数的函数，用于Frobenius范数、1-范数、2-范数、∞-范数衡量向量或矩阵的大小矩阵的条件数条件数的定义条件数的意义12对于可逆矩阵A，其条件数定义为condA=||A||*条件数越大，矩阵越接近奇异，线性方程组Ax=b的解对⁻||A¹||，其中||·||表示矩阵范数b的扰动越敏感，数值计算的稳定性越差矩阵的广义逆广义逆的定义⁺⁺对于m×n矩阵A，如果存在n×m矩阵A，满足A*A*A=A且⁺⁺⁺⁺A*A*A=A，则A称为A的广义逆矩阵计算方法使用奇异值分解（SVD）计算广义逆矩阵矩阵方程的求解实例演示AX=B⁻如果A可逆，则X=A¹B；如果A演示一个2x2矩阵方程的求解过程不可逆，则可以使用广义逆或迭代法求解线性方程组与矩阵系数矩阵将线性方程组的系数提取出来，构成系数矩阵A增广矩阵将系数矩阵A和常数向量b合并在一起，构成增广矩阵[A|b]克拉默法则法则的内容适用条件如果线性方程组的系数矩阵A的行1列式不等于零，则方程组有唯一ᵢᵢ系数矩阵A必须是方阵，且行列式2解，且解可以表示为x=detA/ᵢ不等于零detA，其中A是将A的第i列替换为常数向量b得到的矩阵高斯消元法消元过程1通过初等行变换将增广矩阵[A|b]化为阶梯形矩阵，然后回代求解实例演示2演示使用高斯消元法求解线性方程组的过程矩阵在线性变换中的应用旋转变换1使用旋转矩阵表示二维或三维空间中的旋转变换缩放变换2使用缩放矩阵表示二维或三维空间中的缩放变换矩阵在图形学中的应用变换变换2D3D使用3x3矩阵表示二维空间中的平移、旋转、缩放、错切等使用4x4矩阵表示三维空间中的平移、旋转、缩放、错切等变换，通常使用齐次坐标表示点变换，通常使用齐次坐标表示点矩阵在机器学习中的应用数据表示1使用矩阵表示数据集，每行表示一个样本，每列表示一个特征特征提取2使用矩阵运算进行特征提取，例如主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）矩阵在信号处理中的应用图像压缩使用奇异值分解（SVD）对图像进行压缩滤波器设计使用矩阵运算设计数字滤波器矩阵在经济学中的应用投入产出分析列昂惕夫模型使用投入产出矩阵分析各个产业使用列昂惕夫逆矩阵分析最终需之间的相互依赖关系求对各个产业的直接和间接影响矩阵在统计学中的应用协方差矩阵主成分分析使用协方差矩阵描述多个随机变量之间的相关关系使用特征值分解对协方差矩阵进行降维矩阵在量子力学中的应用量子态表示算符表示1使用向量表示量子态，例如自旋使用矩阵表示量子算符，例如哈密2态、能级态顿算符、动量算符矩阵微积分矩阵求导1研究标量函数、向量函数和矩阵函数对向量和矩阵的导数实例演示2演示一个简单的矩阵求导例子矩阵指数函数定义1ᴬ对于方阵A，其指数函数定义为e=I+A+A²/2!+A³/3!+...计算方法2使用特征值分解或泰勒展开计算矩阵指数函数矩阵的多项式定义计算方法₀₁₂对于n阶方阵A和多项式px=a+a x+a x²+...+将A带入多项式进行计算₀₁₂ₖₖa x，定义A的多项式为pA=a I+a A+a A²+...ₖₖ+a A矩阵方程的数值解法迭代法1使用迭代方法逐步逼近矩阵方程的解，例如Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代直接法2使用直接方法一次性求解矩阵方程，例如LU分解、QR分解大型稀疏矩阵稀疏矩阵的存储使用压缩存储方法存储大型稀疏矩阵，例如COO、CSR、CSC稀疏矩阵的运算使用专门针对稀疏矩阵的算法进行运算，例如稀疏矩阵向量乘法随机矩阵理论基本概念应用领域研究元素为随机变量的矩阵的性质，无线通信、金融建模、图像处理例如特征值分布、奇异值分布矩阵的优化问题线性规划使用矩阵表示线性规划问题，例如单纯形法、内点法二次规划使用矩阵表示二次规划问题，例如active set方法、内点法矩阵计算的数值稳定性病态问题舍入误差1如果矩阵的条件数很大，则矩阵计由于计算机的有限精度，在矩阵计2算的解对输入数据的扰动非常敏算中会产生舍入误差感，称为病态问题并行矩阵计算并行算法1设计适用于并行计算的矩阵算法，例如Cannon算法、Strassen算法实现方法2使用多线程、多进程、GPU等技术实现并行矩阵计算矩阵理论的前沿研究张量分析1研究高阶张量的性质和运算，推广矩阵理论到高维空间量子计算中的矩阵2研究矩阵在量子计算中的应用，例如量子算法、量子纠错课程总结关键概念回顾重要应用领域回顾矩阵的定义、类型、基本运算、行列式、逆矩阵、特征总结矩阵在线性变换、图形学、机器学习、信号处理、经济值与特征向量等核心概念学、统计学、量子力学等领域的广泛应用参考资料与进阶学习推荐教材1推荐几本经典的矩阵理论教材，例如《线性代数及其应用》、《矩阵分析》在线资源2推荐一些在线学习资源，例如Coursera、edX、MITOpenCourseWare。