《迭代与函数》课件

迭代与函数欢迎来到迭代与函数的探索之旅本演示将带您深入了解迭代和函数这两个数学和计算机科学中的核心概念我们将从基础知识开始，逐步探索它们之间的联系与应用通过本课程，您将能够掌握迭代算法的设计与分析，并了解函数在迭代过程中的重要作用让我们一起开启这段知识的旅程，发现迭代与函数的魅力课程概述迭代的概念函数的基础迭代与函数的关系我们将首先介绍迭代的基本概念，包括随后，我们将回顾函数的基础知识，包最后，我们将深入探讨迭代与函数之间迭代的定义、特点以及在生活中的实际括函数的定义、类型、性质以及图像的关系，包括函数迭代、不动点、迭代例子通过清晰的解释和生动的案例，为后续学习迭代与函数的结合打下坚实函数系统等高级主题通过理论分析和帮助您理解迭代的本质的基础实际应用，揭示它们之间的内在联系第一部分迭代基础理解迭代的本质本部分将重点介绍迭代的基础知识，帮助您掌握迭代的概念、数学表示、特点以及应用领域通过学习，您将能够理解迭代的本质，为后续学习打下基础掌握迭代的方法我们将介绍简单迭代法、迭代收敛性、迭代发散的情况以及迭代速度和精度通过学习，您将能够掌握迭代的方法，为解决实际问题提供工具什么是迭代？定义迭代是指在程序中重复执行某些语句块的过程通过多次执行，逐步逼近问题的解迭代是计算机科学中的一种基本控制结构，广泛应用于各种算法中生活中的迭代例子生活中有很多迭代的例子，例如-拧螺丝每次旋转螺丝刀，螺丝都会更紧一些，多次旋转直到拧紧-烧开水不断加热，水温逐渐升高，直到沸腾-叠衣服一件一件地叠，直到所有衣服都叠好迭代的数学表示数列1数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集合数列的每一项都可以通过迭代得到，例如等差数列和等比数列递推公式2递推公式是一种描述数列项之间关系的公式通过递推公式，可以从数列的初始项开始，逐步计算出后续的每一项递推公式是迭代的数学表示之一迭代的特点重复性1迭代过程需要重复执行某些语句块，直到满足停止条件重复性是迭代的基本特征之一逐步逼近2迭代过程通过多次执行，逐步逼近问题的解每次迭代都会使结果更接近目标值逐步逼近是迭代的核心思想迭代的应用领域数学计算机科学工程迭代在数学中有着广泛的应用，例如求解迭代是计算机科学中的一种基本控制结构迭代在工程领域也有着重要的应用，例如方程、计算积分、优化问题等许多数值，广泛应用于各种算法中，例如排序、搜控制系统、信号处理、优化设计等通过方法都基于迭代的思想索、图形处理等迭代，可以实现对复杂系统的精确控制和优化简单迭代法原理步骤简单迭代法是一种基本的迭代方法，其原理是将方程转化为迭代简单迭代法的步骤如下

1.将方程fx=0转化为迭代格式x=格式，然后通过多次迭代逐步逼近方程的解简单迭代法易于理gx

2.选择一个初始值x

03.通过迭代公式xn+1=gxn计算解和实现，但收敛速度较慢xn+

14.重复步骤3，直到满足停止条件迭代收敛性收敛的定义收敛条件迭代收敛是指迭代过程中，迭代序列逐迭代收敛需要满足一定的条件，例如迭步逼近某个极限值当迭代序列收敛时12代函数的导数在某个区间内小于1收，说明迭代方法是有效的，可以得到问敛条件是保证迭代方法有效的关键题的解迭代发散的情况发散的定义1迭代发散是指迭代过程中，迭代序列远离某个极限值，或者没有极限值当迭代序列发散时，说明迭代方法是无效的，无法得到问题的解常见原因2迭代发散的常见原因包括-迭代函数选择不当-初始值选择不当-迭代过程中的误差积累迭代速度线性收敛线性收敛是指迭代误差以线性速度减小线性收敛速度较慢，需要更多的迭代次数才能达到目标精度超线性收敛超线性收敛是指迭代误差以超线性速度减小超线性收敛速度较快，可以更快地达到目标精度例如，牛顿迭代法就是一种超线性收敛的迭代方法迭代精度误差分析停止准则误差分析是评估迭代精度的重要手段通过误差分析，可以了解停止准则是指迭代过程的结束条件常用的停止准则包括-迭迭代过程中的误差来源和传播规律，从而选择合适的迭代方法和代误差小于某个阈值-迭代次数达到某个上限-迭代序列的停止准则变化小于某个阈值第二部分函数基础理解函数的基本概念本部分将重点介绍函数的基础知识，包括函数的定义、类型、性质以及图像通过学习，您将能够理解函数的基本概念，为后续学习打下基础掌握函数的性质我们将介绍初等函数、复合函数、反函数、函数极限、函数导数以及函数积分通过学习，您将能够掌握函数的性质，为解决实际问题提供工具函数的定义数学定义函数是一种数学关系，它将一个集合（定义域）中的每个元素映射到另一个集合（值域）中的唯一元素函数可以用公式、图像或表格来表示编程中的函数在编程中，函数是一段封装好的代码，可以接受输入参数并返回输出结果函数可以提高代码的重用性和可维护性编程中的函数与数学中的函数有着相似的概念函数的类型一元函数多元函数一元函数是指只有一个自变量的函数例如，fx=x^2就是一多元函数是指有多个自变量的函数例如，fx,y=x+y就是一个一元函数一元函数可以用二维图像来表示个二元函数多元函数可以用三维图像来表示，也可以用等高线图来表示函数的性质连续性可导性连续性是指函数在某一点的函数值与可导性是指函数在某一点存在导数其在该点附近的函数值变化不大连可导函数在这一点是连续的导数可续函数可以用一条不间断的曲线来表以用来描述函数的变化率示函数的图像二维图像三维图像二维图像可以用来表示一元函数通过二维图像，可以直观地了三维图像可以用来表示二元函数通过三维图像，可以直观地了解函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性等解函数的性质，例如极值、鞍点等三维图像也可以用等高线图来表示初等函数指数函数2形如fx=a^x的函数，其中a是常数且a0，a≠1多项式函数1由常数与变量通过加法、减法、乘法运算构成的函数对数函数形如fx=log_ax的函数，其中a是常3数且a0，a≠1复合函数定义例子复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入所得到的复合函数在实际问题中有着广泛的应用，例如-链式反应一函数例如，如果fx=x^2，gx=x+1，那么fgx=x+个反应的产物作为另一个反应的原料-信号传递一个信号经1^2就是一个复合函数过多个处理环节反函数概念反函数是指将一个函数的输入和输出互换所得到的函数如果fx的反函数是gx，那么fgx=x，gfx=x存在条件一个函数存在反函数的条件是该函数必须是单射的，即不同的输入对应不同的输出只有单调函数才存在反函数函数极限定义1函数极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于某个常数函数极限是微积分中的一个基本概念计算方法2计算函数极限的方法包括-直接代入法当函数在某一点连续时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限-夹逼定理当函数被两个函数夹在中间时，可以通过计算这两个函数的极限来确定原函数的极限-洛必达法则当函数是0/0或∞/∞型不定式时，可以使用洛必达法则计算极限函数导数定义1函数导数是指函数在某一点的变化率导数可以用极限来定义，也可以用微分来定义导数是微积分中的一个基本概念几何意义2函数导数的几何意义是函数在该点切线的斜率通过导数，可以了解函数的变化趋势，例如单调性、极值等函数积分定义函数积分是指求函数在某个区间上的面积积分可以用极限来定义，也可以用反导数来定义积分是微积分中的一个基本概念应用函数积分在实际问题中有着广泛的应用，例如-计算面积和体积-求解物理问题，例如运动学、力学等-求解概率问题，例如概率密度函数、累积分布函数等第三部分迭代与函数的结合掌握迭代法理解函数迭代我们将介绍Newton迭代法、割线法、不动点迭代、逐次代入法本部分将重点介绍迭代与函数的结合，包括函数迭代、不动点、、Aitken加速以及松弛迭代法通过学习，您将能够掌握迭代法迭代函数系统等高级主题通过学习，您将能够理解函数迭代的，为解决实际问题提供工具概念，为后续学习打下基础函数迭代定义的概念ffx函数迭代是指将一个函数的输出作为该1ffx表示将函数fx的结果再次作为函函数的输入，重复执行多次的过程例数f的输入函数迭代可以用来研究函如，如果fx=x^2，那么ffx=2数的长期行为，例如不动点、周期点、x^2^2=x^4就是一个函数迭代混沌等不动点定义1不动点是指函数fx满足fx=x的点不动点是函数迭代的一个重要概念如果一个函数存在不动点，那么从该不动点开始的迭代序列将保持不变不动点定理2不动点定理是指在一定条件下，函数存在不动点的定理不动点定理是求解方程和优化问题的重要工具函数迭代的收敛性收敛条件收敛速度分析函数迭代的收敛性是指迭代序列是否趋近于某个极限值函数迭函数迭代的收敛速度是指迭代序列趋近于极限值的速度收敛速代的收敛条件取决于函数的性质和初始值的选择例如，如果函度可以用迭代误差的减小速度来衡量不同的迭代方法具有不同数在不动点附近的导数小于1，那么迭代序列将收敛于该不动点的收敛速度函数迭代的几何解释蛛网图阶梯图蛛网图是一种用来可视化函数迭代过程的几何方法通过蛛网图阶梯图是另一种用来可视化函数迭代过程的几何方法与蛛网图，可以直观地了解迭代序列的收敛性和稳定性类似，阶梯图也可以用来了解迭代序列的收敛性和稳定性迭代函数系统（）IFS定义分形与IFS迭代函数系统是指由多个函数组成的系统，通过迭代地应用分形是指具有自相似性的几何图形迭代函数系统可以用来这些函数，可以生成复杂的分形图形迭代函数系统是分形生成各种分形图形，例如谢尔宾斯基三角形、科赫曲线等几何中的一个重要概念分形图形在自然界中广泛存在，例如树木、海岸线、山脉等迭代法Newton原理1牛顿迭代法是一种求解方程的迭代方法，其原理是将函数在某一点进行泰勒展开，然后用泰勒展开式的一阶近似来逼近函数的零点牛顿迭代法是一种超线性收敛的迭代方法，收敛速度较快步骤2牛顿迭代法的步骤如下

1.选择一个初始值x

02.通过迭代公式xn+1=xn-fxn/fxn计算xn+

13.重复步骤2，直到满足停止条件收敛性分析3牛顿迭代法的收敛性取决于函数的性质和初始值的选择如果函数在零点附近是光滑的，且初始值足够接近零点，那么牛顿迭代法将收敛于该零点不同初值的影响收敛域吸引盆收敛域是指使得迭代序列收敛的初始吸引盆是指收敛于同一个吸引子的初值的集合不同的迭代方法具有不同始值的集合吸引子可以是不动点、的收敛域初始值落在收敛域内，迭周期点或混沌吸引子不同的吸引子代序列才能收敛于问题的解具有不同的吸引盆多维法Newton扩展到多元函数多维牛顿法是将牛顿迭代法扩展到多元函数的情况与一维牛顿法类似，多维牛顿法也是一种超线性收敛的迭代方法，收敛速度较快矩阵Jacobian在多维牛顿法中，需要计算函数的Jacobian矩阵Jacobian矩阵是由函数的所有偏导数组成的矩阵Jacobian矩阵可以用来描述函数在某一点的变化方向和变化率割线法原理割线法是一种求解方程的迭代方法，其原理是用割线来逼近函数的零点割线法不需要计算函数的导数，因此适用于导数难以计算的情况割线法的收敛速度介于线性收敛和超线性收敛之间与法的比较Newton割线法与牛顿法的区别在于割线法不需要计算函数的导数，而牛顿法需要计算函数的导数割线法的收敛速度比牛顿法慢，但割线法的计算量比牛顿法小不动点迭代原理应用不动点迭代是一种求解方程的迭代方法1，其原理是将方程转化为迭代格式，然不动点迭代在实际问题中有着广泛的应后通过多次迭代逐步逼近方程的不动点用，例如求解非线性方程、求解微分方2不动点迭代的收敛性取决于迭代函数程、求解优化问题等的性质和初始值的选择逐次代入法步骤优缺点逐次代入法是一种求解方程的迭代方法，其步骤如下

1.将方逐次代入法的优点是易于理解和实现逐次代入法的缺点是收敛程fx=0转化为迭代格式x=gx

2.选择一个初始值x

03.速度较慢，且收敛性难以保证通过迭代公式xn+1=gxn计算xn+

14.重复步骤3，直到满足停止条件加速Aitken原理1Aitken加速是一种用来提高迭代收敛速度的方法Aitken加速的原理是利用迭代序列的三个相邻项来估计极限值，然后用估计的极限值来加速迭代过程Aitken加速适用于线性收敛的迭代方法应用场景2Aitken加速适用于收敛速度较慢的迭代方法，例如逐次代入法通过Aitken加速，可以显著提高迭代的收敛速度松弛迭代法方法SOR松弛迭代法是一种求解线性方程组的迭代方法，其原理是在Jacobi迭代或Gauss-Seidel迭代的基础上引入一个松弛因子，从而提高迭代的收敛速度常用的松弛迭代法包括SOR方法（Successive Over-Relaxation）松弛因子的选择松弛因子的选择对松弛迭代法的收敛速度有着重要的影响合适的松弛因子可以显著提高迭代的收敛速度松弛因子的选择通常需要根据具体问题进行调整第四部分迭代与函数的应用理解迭代方法本部分将重点介绍迭代与函数的应用，包括求解非线性方程、求解线性方程组、最优化问题、数值积分、常微分方程求解以及特征值计算通过学习，您将能够理解迭代方法的应用场景掌握高级应用我们将介绍图像处理、机器学习、计算机图形学以及信号处理中的迭代与函数应用通过学习，您将能够掌握迭代方法，为解决实际问题提供工具求解非线性方程二分法法割线法比较Newton二分法是一种求解非线牛顿法是一种求解非线割线法是一种求解非线性方程的迭代方法，其性方程的迭代方法，其性方程的迭代方法，其原理是通过不断缩小搜原理是用切线来逼近函原理是用割线来逼近函索区间，逐步逼近方程数的零点牛顿法是一数的零点割线法不需的解二分法是一种简种超线性收敛的迭代方要计算函数的导数，因单可靠的迭代方法，但法，收敛速度较快此适用于导数难以计算收敛速度较慢的情况割线法的收敛速度介于线性收敛和超线性收敛之间求解线性方程组迭代迭代Jacobi Gauss-SeidelJacobi迭代是一种求解线性方程组的迭代方法，其原理是将方程Gauss-Seidel迭代是一种求解线性方程组的迭代方法，其原理组中的每个方程都写成x_i=...的形式，然后通过迭代逐步逼近与Jacobi迭代类似，但Gauss-Seidel迭代在计算x_i时，使用已方程组的解Jacobi迭代的收敛性取决于系数矩阵的性质经计算出的x_1,...,x_{i-1}Gauss-Seidel迭代通常比Jacobi迭代收敛更快最优化问题梯度下降法牛顿法梯度下降法是一种求解最优化问题的迭代方法，其原理是沿着函牛顿法是一种求解最优化问题的迭代方法，其原理是用二次函数数的负梯度方向逐步逼近函数的最小值梯度下降法是一种简单来逼近目标函数，然后用二次函数的最小值来逼近目标函数的最常用的优化方法，但收敛速度较慢小值牛顿法是一种超线性收敛的优化方法，收敛速度较快数值积分梯形法梯形法是一种求解数值积分的迭代方法，其原理是用梯形来逼近积分区域的面积梯形法是一种简单常用的数值积分方法，但精度较低法SimpsonSimpson法是一种求解数值积分的迭代方法，其原理是用抛物线来逼近积分区域的面积Simpson法是一种精度较高的数值积分方法常微分方程求解方法Euler1Euler方法是一种求解常微分方程的迭代方法，其原理是用差分来逼近微分Euler方法是一种简单常用的数值解法，但精度较低方法Runge-Kutta2Runge-Kutta方法是一类求解常微分方程的迭代方法，其原理是用多点信息来逼近解Runge-Kutta方法是一类精度较高的数值解法特征值计算幂法反幂法幂法是一种求解矩阵主特征值及其对应特征向量的迭代方法，其反幂法是一种求解矩阵最小特征值及其对应特征向量的迭代方法原理是通过不断迭代矩阵乘法，逐步逼近主特征向量幂法是一，其原理与幂法类似，但反幂法需要求解线性方程组反幂法可种简单常用的特征值计算方法，但收敛速度较慢以用来计算矩阵的任意特征值，但需要知道特征值的近似值图像处理迭代锐化迭代锐化是一种图像处理方法，其原理是通过迭代地增强图像的边缘，从而提高图像的清晰度迭代锐化可以有效地提高图像的视觉效果迭代去噪迭代去噪是一种图像处理方法，其原理是通过迭代地去除图像中的噪声，从而提高图像的质量迭代去噪可以有效地提高图像的信噪比机器学习中的迭代随机梯度下降随机梯度下降是一种求解优化问题的迭代方法，广泛应用于机器学习中随机梯度下降的原理是随机选择一部分数据来计算梯度，然后沿着负梯度方向更新参数随机梯度下降的计算量较小，适用于大规模数据集算法EMEM算法是一种求解含有隐变量的概率模型参数的迭代方法，广泛应用于机器学习中EM算法包括两个步骤E步骤（Expectation）和M步骤（Maximization）EM算法可以有效地估计含有隐变量的模型参数计算机图形学光线追踪1光线追踪是一种计算机图形学中的渲染方法，其原理是模拟光线的传播路径，计算光线与场景中的物体的交点，从而生成图像光线追踪可以生成高质量的图像，但计算量较大分形生成2分形生成是一种计算机图形学中的建模方法，其原理是通过迭代地应用函数，生成复杂的分形图形分形生成可以用来创建各种自然场景，例如山脉、树木、云彩等信号处理迭代滤波迭代压缩12迭代滤波是一种信号处理方法，其原理是通过迭代地应用迭代压缩是一种信号处理方法，其原理是通过迭代地去除滤波器，去除信号中的噪声，从而提高信号的质量迭代信号中的冗余信息，从而减小信号的大小迭代压缩可以滤波可以有效地提高信号的信噪比有效地提高信号的传输效率和存储效率第五部分高级主题研究稳定性探索混沌我们将介绍迭代与函数的数值稳定性、迭代与函数的符号计算以本部分将重点介绍迭代与函数的高级主题，包括混沌理论、动力及量子计算中的迭代通过学习，您将能够研究算法的稳定性和系统、函数空间中的迭代以及迭代算法的并行化通过学习，您应用场景将能够探索混沌现象混沌理论映射分岔图LogisticLogistic映射是一种简单的非线性映射，可以用来研究混沌现象分岔图是一种用来可视化Logistic映射的长期行为的图形分岔图显示了Logistic映射的迭代公式为x_{n+1}=r*x_n*1-x_n，其中r是参数当参数r变化时，Logistic映射的吸引子的变化情况分岔图是研究混沌现象的重要工具动力系统相空间相空间是指描述动力系统状态的所有可能值的集合相空间可以用来研究动力系统的长期行为，例如稳定性、周期性、混沌等吸引子吸引子是指动力系统在长期演化后所趋近的状态吸引子可以是不动点、周期点或混沌吸引子不同的吸引子具有不同的性质函数空间中的迭代不动点定理BanachBanach不动点定理是指在完备的度量空间中，压缩映射存在唯一的不动点Banach不动点定理是函数空间中迭代的基础理论压缩映射原理压缩映射是指满足一定条件的映射，使得映射后的距离小于映射前的距离压缩映射原理是保证迭代收敛的重要条件迭代算法的并行化并行计算模型并行计算模型是指描述并行计算的抽象模型常用的并行计算模型包括共享内存模型和分布式内存模型不同的并行计算模型具有不同的特点性能分析性能分析是指评估并行算法性能的方法常用的性能指标包括加速比和效率通过性能分析，可以了解并行算法的优势和不足迭代与函数的数值稳定性舍入误差病态问题舍入误差是指由于计算机的精度限制，在数值计算中产生的误差病态问题是指问题的解对输入数据的微小变化非常敏感病态问舍入误差会影响迭代算法的数值稳定性，甚至导致迭代发散题会导致迭代算法的数值不稳定，甚至无法得到正确的解迭代与函数的符号计算计算机代数系统形式级数计算机代数系统是指可以进行符号计算的软件系统常用的计算形式级数是指不考虑收敛性的级数形式级数可以用来研究迭代机代数系统包括Mathematica、Maple、Matlab等计算机代与函数的解析性质，例如解析延拓、奇点等数系统可以用来进行迭代与函数的符号计算，例如求导、积分、解方程等量子计算中的迭代量子搜索算法量子搜索算法是一种量子计算算法，可以用来在无序数据中搜索目标元素量子搜索算法的迭代次数比经典搜索算法少，因此具有更高的效率量子近似优化量子近似优化是一种量子计算算法，可以用来求解组合优化问题量子近似优化通过迭代地应用量子门，逐步逼近问题的最优解量子近似优化在某些问题上具有比经典算法更高的效率迭代神经网络循环神经网络1循环神经网络是一种神经网络，可以处理序列数据循环神经网络的特点是具有循环连接，可以将之前的状态信息传递到当前时刻循环神经网络广泛应用于自然语言处理、语音识别等领域LSTM2LSTM（Long Short-Term Memory）是一种特殊的循环神经网络，可以解决循环神经网络中的梯度消失问题LSTM具有记忆单元，可以存储长期依赖关系LSTM广泛应用于自然语言处理、语音识别等领域总结未来发展方向迭代与函数的重要性随着计算机技术的不断发展，迭代与函数将在未来发挥更加重要迭代与函数是数学和计算机科学中的核心概念，广泛应用于各个的作用例如，在人工智能、大数据、云计算等领域，迭代与函领域掌握迭代与函数的知识，可以帮助我们解决实际问题，提数都有着广泛的应用前景高工作效率练习与思考题•

1.什么是迭代？迭代的特点是什么？•

2.什么是函数？函数的类型有哪些？•

3.迭代与函数有什么关系？•

4.简单迭代法的原理是什么？•

5.牛顿迭代法的原理是什么？•

6.什么是迭代收敛性？迭代发散的情况有哪些？•

7.什么是迭代速度？线性收敛和超线性收敛有什么区别？•

8.什么是迭代精度？如何进行误差分析？•

9.如何用迭代法求解非线性方程？•

10.如何用迭代法求解线性方程组？参考文献与推荐阅读•

1.《数值分析》，李庆扬，王能超，易大义，清华大学出版社•

2.《计算方法》，颜庆津，北京大学出版社•

3.《数值计算方法》，丁丽娟，刘玉鼎，哈尔滨工业大学出版社•

4.《数学分析》，华东师范大学数学系编，高等教育出版社•

5.《高等数学》，同济大学数学系编，高等教育出版社。