《三角函数诱导公式》教学课件

三角函数诱导公式本课件旨在全面讲解三角函数诱导公式，通过系统学习，你将掌握诱导公式的概念、基本公式以及应用技巧我们将从基础知识入手，逐步深入，结合实例，帮助你灵活运用诱导公式解决各类问题掌握诱导公式对于简化计算、解决复杂三角问题至关重要这将为后续学习高等数学奠定坚实基础，提高解题效率课程目标理解诱导公式的概念掌握基本诱导公式12明确诱导公式的定义和作用熟练记忆并理解基本诱导公，掌握其本质是将一个角的式，如sin-α=-sinα,cos-三角函数值转化为另一个角等，理解其推导α=cosα的三角函数值，从而简化计过程和适用范围算能够应用诱导公式解决问题3能够灵活运用诱导公式进行角度化简、三角函数求值、证明三角恒等式等，提升解题能力引入什么是诱导公式？定义重要性诱导公式是指将一个角的三角函数值转化为另一个角的三角诱导公式在三角函数的计算和化简中起着至关重要的作用函数值的公式这些公式能够帮助我们将任意角的三角函数它可以简化复杂的三角函数表达式，帮助我们解决各种三角值转化为锐角的三角函数值，从而进行计算函数问题，如三角方程、三角不等式等诱导公式是解决复杂三角问题的重要工具三角函数的周期性∈sin2kπ+α=sinαk Zcos2kπ+α=cosα∈k Z正弦函数的周期性，表示角度增加或减少的整数倍，其函余弦函数的周期性，与正弦函2π数值不变例如，sin2π+α数类似，角度增加或减少2π的整数倍，其函数值不变例如=sinα,sin4π+α=sinα，cos2π+α=cosα,cos4π+α=cosα∈tan2kπ+α=tanαk Z正切函数的周期性，角度增加或减少的整数倍，其函数值不变2π例如，需要注意的是，正tan2π+α=tanα,tan4π+α=tanα切函数本身也具有周期性π基本诱导公式

（一）sin-α=-sinα正弦函数的奇函数性质当角度为负时，其函数值等于正弦函数值的相反数例如，sin-30°=-sin30°=-1/2理解此公式的关键在于认识到正弦函数关于原点对称应用该公式在化简三角函数表达式和计算三角函数值时非常有用例如，可以利用此公式将负角度的三角函数转化为正角度的三角函数进行计算记忆技巧可以简单记忆为正弦函数负变负，即负角度的正弦值“”等于正角度正弦值的相反数基本诱导公式

（二）应用该公式在化简三角函数表达式和计算2三角函数值时非常有用例如，可以cos-α=cosα利用此公式将负角度的三角函数转化余弦函数的偶函数性质当角度为为正角度的三角函数进行计算1负时，其函数值等于余弦函数值例如，cos-60°=cos60°=1/2理解此公式的关键在于认识到余弦记忆技巧函数关于轴对称y可以简单记忆为余弦函数负不变“”3，即负角度的余弦值等于正角度的余弦值基本诱导公式

（三）tan-α=-tanα1正切函数的奇函数性质当角度为负时，其函数值等于正切函数值的相反数例如，tan-45°=-需要注意的是，该公式只在有意义时成立，即，∈tan45°=-1tanαα≠kπ+π/2k Z应用2该公式在化简三角函数表达式和计算三角函数值时非常有用例如，可以利用此公式将负角度的三角函数转化为正角度的三角函数进行计算记忆技巧3可以简单记忆为正切函数“负变负”，即负角度的正切值等于正角度正切值的相反数基本诱导公式

（四）cot-α=-cotα余切函数的奇函数性质当角度为负时，其函数值等于余切函数值的相反数例如，需要注意的是，该公式只在有意义时成立，即，cot-30°=-cot30°=-√3cotαα≠kπ1∈k Z应用2该公式在化简三角函数表达式和计算三角函数值时非常有用例如，可以利用此公式将负角度的三角函数转化为正角度的三角函数进行计算记忆技巧3可以简单记忆为余切函数“负变负”，即负角度的余切值等于正角度余切值的相反数诱导公式推导sinπ-α公式推导方法该公式表明，一个角的正弦值与其补角的可以通过单位圆来理解该公式在单位圆中，和关于sinπ-α=sinαπ-ααy正弦值相等例如，轴对称，因此它们的纵坐标（即正弦值）相等也可以使用sin150°=sin180°-30°=sin30°=两角差的正弦公式进行推导1/2sinπ-α=sinπcosα-cosπsinα=0*cosα--1*sinα=sinα诱导公式推导cosπ-α公式1该公式表明，一个角的余弦值与其补角的余弦cosπ-α=-cosα值互为相反数例如，cos120°=cos180°-60°=-cos60°=-1/2推导方法2可以通过单位圆来理解该公式在单位圆中，和关于轴对π-ααy称，因此它们的横坐标（即余弦值）互为相反数也可以使用两角差的余弦公式进行推导cosπ-α=cosπcosα+sinπsinα=-1*cosα+0*sinα=-cosα诱导公式推导tanπ-α公式该公式表明，一个角的正切值与其补角的正切值tanπ-α=-tanα互为相反数例如，tan135°=tan180°-45°=-tan45°=-1推导方法可以使用正弦和余弦的诱导公式进行推导tanπ-α=sinπ-需要注意的是，该公式只在α/cosπ-α=sinα/-cosα=-tanα有意义时成立，即，∈tanαα≠kπ+π/2k Z诱导公式推导cotπ-α公式该公式表明，一个角的余切值与其补角cotπ-α=-cotα的余切值互为相反数例如，cot150°=cot180°-30°=-cot30°=-√3推导方法可以使用正弦和余弦的诱导公式进行推导cotπ-α=需要注意的是cosπ-α/sinπ-α=-cosα/sinα=-cotα，该公式只在有意义时成立，即，∈cotαα≠kπk Z诱导公式推导sinπ+α推导方法公式可以通过单位圆来理解该公式在单位圆中，和关于原点对称，π+αα该公式表明，一sinπ+α=-sinα1因此它们的纵坐标（即正弦值）互个角的正弦值与其反角的正弦值互为相反数也可以使用两角和的正2为相反数例如，sin210°=弦公式进行推导sinπ+α=sin180°+30°=-sin30°=-1/2sinπcosα+cosπsinα=0*cosα+-1*sinα=-sinα诱导公式推导cosπ+α公式1cosπ+α=-cosα该公式表明，一个角的余弦值与其反角的余弦值互为相反数例如，cos240°=cos180°+60°=-cos60°=-1/2推导方法可以通过单位圆来理解该公式在单位圆中，和关于π+αα2原点对称，因此它们的横坐标（即余弦值）互为相反数也可以使用两角和的余弦公式进行推导cosπ+α=cosπcosα-sinπsinα=-1*cosα-0*sinα=-cosα诱导公式推导tanπ+α公式该公式表明，一个角的正切值与其反角的正切值相等tanπ+α=tanα1例如，tan225°=tan180°+45°=tan45°=1推导方法可以使用正弦和余弦的诱导公式进行推导tanπ+α=2需要注意的是sinπ+α/cosπ+α=-sinα/-cosα=tanα，该公式只在有意义时成立，即，∈tanαα≠kπ+π/2k Z诱导公式推导cotπ+α公式推导方法该公式表明，一个角的余切值与其反角的可以使用正弦和余弦的诱导公式进行推导cotπ+α=cotαcotπ+α=余切值相等例如，需要注意的是cot240°=cot180°+60°=cot60°=cosπ+α/sinπ+α=-cosα/-sinα=cotα，该公式只在有意义时成立，即，∈√3/3cotαα≠kπk Z诱导公式总结

（一）∓应用1sinπ±α=sinα2总结了正弦函数在加减这些公式在化简三角函数表πα时的诱导公式达式和计算三角函数值时非sinπ+α=常有用例如，可以利用这-sinα,sinπ-α=sinα些公式将大于的角的正弦π值转化为小于的角的正弦π值进行计算记忆技巧3可以简单记忆为加减，正弦符号看象限当位于第三πα“”π+α象限时，正弦值为负；当位于第二象限时，正弦值为正π-α诱导公式总结

（二）应用cosπ±α=-cosα总结了余弦函数在加减时的这些公式在化简三角函数表达πα诱导公式式和计算三角函数值时非常有cosπ+α=-cosα,用例如，可以利用这些公式cosπ-α=-cosα将大于的角的余弦值转化为π小于的角的余弦值进行计算π记忆技巧可以简单记忆为加减，余弦符号看象限，结果均为负值πα“”诱导公式总结

（三）tanπ±α=±tanα总结了正切函数在加减时的诱导公式παtanπ+α=tanα,tanπ-α=-tanα应用这些公式在化简三角函数表达式和计算三角函数值时非常有用例如，可以利用这些公式将大于的角的正切值转π化为小于的角的正切值进行计算π记忆技巧可以简单记忆为加减，正切符号看象限当位πα“”π+α于第三象限时，正切值为正；当位于第二象限时，正π-α切值为负诱导公式总结

（四）应用这些公式在化简三角函数表达式和计算三角函数值时非常有用例如，可2以利用这些公式将大于的角的余切πcotπ±α=±cotα值转化为小于的角的余切值进行计π1算总结了余切函数在加减时的诱导πα公式cotπ+α=cotα,cotπ-α=-记忆技巧cotα可以简单记忆为加减，余切符πα“号看象限当位于第三象限时，”π+α3余切值为正；当位于第二象限时π-α，余切值为负练习应用基本诱导公式

（一）题目解题思路答案计算利用基本诱导公式sin-30°+cos-60°+tan-sin-α=-sinα,sin-30°+cos-60°+tan-45°=-，将负45°cos-α=cosα,tan-α=-tanαsin30°+cos60°-tan45°=-1/2+角度的三角函数转化为正角度的三角1/2-1=-1函数进行计算练习应用基本诱导公式

（二）题目解题思路12化简利用基本诱导公式sin-α+cos-α/sin-α=tan-α+cot-α-sinα,cos-α=cosα,tan-α=-tanα,cot-α=-cotα，将负角度的三角函数转化为正角度的三角函数进行化简答案3sin-α+cos-α/tan-α+cot-α=-sinα+cosα/-tanα-cotα=sinα-cosα/tanα+cotα诱导公式推导sinπ/2-α公式该公式表明，一个角的正弦值与其余角的余弦值sinπ/2-α=cosα相等例如，sin60°=sin90°-30°=cos30°=√3/2推导方法可以使用两角差的正弦公式进行推导sinπ/2-α=sinπ/2cosα-也可以通过直角三角形进cosπ/2sinα=1*cosα-0*sinα=cosα行理解在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于其互余角的余弦值诱导公式推导cosπ/2-α公式该公式表明，一个角的余弦值与其余cosπ/2-α=sinα角的正弦值相等例如，cos30°=cos90°-60°=sin60°=√3/2推导方法可以使用两角差的余弦公式进行推导cosπ/2-α=cosπ/2cosα+sinπ/2sinα=0*cosα+1*sinα=sinα也可以通过直角三角形进行理解在直角三角形中，一个锐角的余弦值等于其互余角的正弦值诱导公式推导tanπ/2-α推导方法公式可以使用正弦和余弦的诱导公式进该公式表明，一tanπ/2-α=cotα1行推导tanπ/2-α=sinπ/2-个角的正切值与其余角的余切值相α/cosπ/2-α=cosα/sinα=cotα2等例如，tan60°=tan90°-30°需要注意的是，该公式只在和tanα=cot30°=√3都有意义时成立cotα诱导公式推导cotπ/2-α公式1cotπ/2-α=tanα该公式表明，一个角的余切值与其余角的正切值相等例如，cot30°=cot90°-60°=tan60°=√3推导方法可以使用正弦和余弦的诱导公式进行推导cotπ/2-α=2需要注意的是cosπ/2-α/sinπ/2-α=sinα/cosα=tanα，该公式只在和都有意义时成立tanαcotα诱导公式推导sinπ/2+α公式该公式表明，一个角的正弦值与其补余角的余弦值相sinπ/2+α=cosα1等例如，sin120°=sin90°+30°=cos30°=√3/2推导方法可以使用两角和的正弦公式进行推导sinπ/2+α=2sinπ/2cosα+cosπ/2sinα=1*cosα+0*sinα=cosα也可以通过单位圆进行理解在单位圆中，和π/2+απ/2-α关于轴对称y诱导公式推导cosπ/2+α公式推导方法该公式表明，一个角的余弦值与其补余可以使用两角和的余弦公式进行推导cosπ/2+α=-sinαcosπ/2+α=角的正弦值的相反数相等例如，也cos120°=cos90°+30°cosπ/2cosα-sinπ/2sinα=0*cosα-1*sinα=-sinα可以通过单位圆进行理解在单位圆中，和关于=-sin30°=-1/2π/2+απ/2-α轴对称y诱导公式推导tanπ/2+α公式1该公式表明，一个角的正切值与其补余角的tanπ/2+α=-cotα余切值的相反数相等例如，tan135°=tan90°+45°=-cot45°=-1推导方法2可以使用正弦和余弦的诱导公式进行推导tanπ/2+α=需要注意的是，sinπ/2+α/cosπ/2+α=cosα/-sinα=-cotα该公式只在和都有意义时成立tanαcotα诱导公式推导cotπ/2+α公式推导方法该公式表明，一个角的余切值与其可以使用正弦和余弦的诱导公式进行推导cotπ/2+α=-tanαcotπ/2+α=补余角的正切值的相反数相等例如，需要注意cot120°=cosπ/2+α/sinπ/2+α=-sinα/cosα=-tanα的是，该公式只在和都有意义时成立cot90°+30°=-tan30°=-√3/3tanαcotα诱导公式总结

（五）sinπ/2±α=cosα总结了正弦函数在加减时的诱导公式可以记忆为正弦变余弦，符号看象π/2αsinπ/2+α=cosα,sinπ/2-α=cosα“限”应用这些公式在化简三角函数表达式和计算三角函数值时非常有用例如，可以利用这些公式将角度为的正弦值转化π/2±α为角度为的余弦值进行计算α诱导公式总结

（六）应用∓cosπ/2±α=sinα这些公式在化简三角函数表达式和总结了余弦函数在加减时的诱π/2α1计算三角函数值时非常有用例如导公式cosπ/2+α=-sinα,，可以利用这些公式将角度为π/2±α2可以记忆为余cosπ/2-α=sinα“的余弦值转化为角度为的正弦值进α弦变正弦，符号看象限”行计算诱导公式总结

（七）∓tanπ/2±α=cotα1总结了正切函数在π/2加减α时的诱导公式tanπ/2+α=-cotα,tanπ/2-α=cotα可以记忆为正切变余切，符号看象限“”应用这些公式在化简三角函数表达式和计算三角函数值时非常2有用例如，可以利用这些公式将角度为的正切值π/2±α转化为角度为的余切值进行计算α诱导公式总结

（八）∓cotπ/2±α=tanα总结了余切函数在加减时的诱导公式π/2αcotπ/2+α=-tanα,cotπ/2-α1可以记忆为余切变正切，符号看象限=tanα“”应用这些公式在化简三角函数表达式和计算三角函数值时非常2有用例如，可以利用这些公式将角度为的余切值转π/2±α化为角度为的正切值进行计算α练习应用诱导公式

（三）题目解题思路答案计算利用诱导公式将这些角度转化为锐角sin150°+cos120°+sin150°+cos120°+tan135°=的三角函数值进行计算例如，tan135°sin30°-cos60°-tan45°=1/2-sin150°=sin180°-30°=sin30°1/2-1=-1练习应用诱导公式

（四）题目解题思路答案123化简利用诱导公式将表达式中的三角函sinπ/2+α+cosπ/2-α/sinπ/2+α+cosπ/2-α/数转化为角度为的三角函数，然后tanπ+α+cotπ-ααtanπ+α+cotπ-α=cosα+进行化简sinα/tanα-cotα=cosα+sinα/sinα/cosα-cosα/sinα=cosα+sinα/sin²α-cos²α/sinαcosα=-sinαcosα/sinα-cosα诱导公式的应用技巧

（一）角度化简利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，从而简化计算例如，计算时，可以先利用周期性将角sin750°度化简为，然后计算750°-2*360°=30°sin30°=1/2奇偶性判断利用诱导公式可以判断三角函数的奇偶性例如，，sin-α=-sinα说明正弦函数是奇函数；，说明余弦函数是偶函数cos-α=cosα诱导公式的应用技巧

（二）周期性利用象限判断利用三角函数的周期性，可以将角度化简到到之间，然后再在利用诱导公式进行计算时，需要根据角度所在的象限来判断三02π利用诱导公式进行计算例如，计算时，可以先利用角函数值的符号例如，在第二象限，正弦值为正，余弦值和正tan11π/4周期性将角度化简为，然后计算切值为负11π/4-2π=3π/4tan3π/4=-1复合诱导公式sinα+β应用公式该公式在计算两角和的正弦值时非常有用例如，计算时，可sin75°sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ1以将分解为，然后利用75°45°+30°该公式表示两角和的正弦值等于两该公式进行计算sin75°=2角的正弦值和余弦值的交叉乘积之sin45°+30°=sin45°cos30°+和cos45°sin30°=√2/2√3/2+√2/21/2=√6+√2/4复合诱导公式cosα+β公式1cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ该公式表示两角和的余弦值等于两角的余弦值的乘积减去两角的正弦值的乘积应用该公式在计算两角和的余弦值时非常有用例如，计算2cos75°时，可以将75°分解为45°+30°，然后利用该公式进行计算cos75°=cos45°+30°=cos45°cos30°-sin45°sin30°=√2/2√3/2-√2/21/2=√6-√2/4复合诱导公式tanα+β公式该公式表示两角和的正切值等于两tanα+β=tanα+tanβ/1-tanαtanβ1角的正切值之和除以减去两角的正切值之积1应用2该公式在计算两角和的正切值时非常有用需要注意的是，该公式只在，和都有意义时成立tanαtanβtanα+β复合诱导公式sinα-β公式应用该公式表示两角差的正弦该公式在计算两角差的正弦值时非常有用例如，计算sinα-β=sinαcosβ-cosαsinβ值等于两角的正弦值和余弦值的交叉乘积之差时，可以将分解为，然后利用该公式进sin15°15°45°-30°行计算sin15°=sin45°-30°=sin45°cos30°-cos45°sin30°=√2/2√3/2-√2/21/2=√6-√2/4复合诱导公式cosα-β公式1该公式表示两角差的余弦值等cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ于两角的余弦值的乘积加上两角的正弦值的乘积应用2该公式在计算两角差的余弦值时非常有用例如，计算cos15°时，可以将分解为，然后利用该公式进行计算15°45°-30°cos15°=cos45°-30°=cos45°cos30°+sin45°sin30°=√2/2√3/2+√2/21/2=√6+√2/4复合诱导公式tanα-β公式该公式表示两角差的正切值tanα-β=tanα-tanβ/1+tanαtanβ等于两角的正切值之差除以加上两角的正切值之积1应用该公式在计算两角差的正切值时非常有用需要注意的是，该公式只在，和都有意义时成立tanαtanβtanα-β练习应用复合诱导公式

（一）题目计算sin75°cos15°-cos75°sin15°解题思路观察表达式，发现符合的公式形式，其中，sinα-βα=75°β=15°答案sin75°cos15°-cos75°sin15°=sin75°-15°=sin60°=√3/2练习应用复合诱导公式

（二）解题思路2观察表达式，发现符合tanα-β的公式形式，将看作一个整体tanα+β题目1化简tanα+β-tanβ/1+tanα+βtanβ答案tanα+β-tanβ/1+tanα+βtanβ3=tanα+β-β=tanα特殊角的诱导公式

（一）30°π/645°π/460°π/3sin30°=1/2,cos30°=√3/2,sin45°=√2/2,cos45°=√2/2,sin60°=√3/2,cos60°=1/2,tan30°=√3/3,cot30°=√3tan45°=1,cot45°=1tan60°=√3,cot60°=√3/3特殊角的诱导公式

（二）0°090°π/2180°π270°3π/2sin0°=0,cos0°=1,sin90°=1,cos90°=0,sin180°=0,cos180°=sin270°=-1,cos270°=不存在不存在不存在tan0°=0,cot0°tan90°,cot90°=-1,tan180°=0,cot180°0,tan270°,不存在0cot270°=0练习特殊角的诱导公式应用题目解题思路12计算直接利用特殊角的三角函数sin30°+cos60°-值进行计算tan45°+cot90°答案3sin30°+cos60°-tan45°+cot90°=1/2+1/2-1+0=0诱导公式在函数图像中的应用图像变换利用诱导公式可以理解三角函数图像的平移、对称等变换例如，y的图像可以看作是的图像向左平移个单位，=sinx+π/2y=sinxπ/2也可以看作是的图像y=cosx图像对称性利用诱导公式可以分析三角函数图像的对称性例如，正弦函数关于原点对称，余弦函数关于轴对称y诱导公式在三角恒等式中的应用证明恒等式利用诱导公式可以简化三角函数表达式，从而证明三角恒等式例如，证明sin²x+cos²x=1化简表达式利用诱导公式可以将复杂的三角函数表达式化简为更简单的形式，方便计算和分析诱导公式在三角方程中的应用方程求解解的变换利用诱导公式可以将三角方程转化利用诱导公式可以理解三角方程的1为更简单的形式，从而求解方程解的变换例如，如果是方程x sinx例如，解方程时，sinx+π/2=1/22的解，那么也是方程=1/2π-x sinx=可以先利用诱导公式将方程转化为的解1/2，然后再求解cosx=1/2诱导公式在几何问题中的应用角度关系1在几何问题中，利用诱导公式可以分析角度之间的关系，例如互余、互补等关系边角关系2在三角形中，利用诱导公式可以将角度关系转化为边角关系，从而解决三角形的计算问题常见错误和易混淆点符号错误在利用诱导公式时，容易出现符号错误，需要根据角度所在的象限来判断三角1函数值的符号公式混淆2容易将不同的诱导公式混淆，需要熟练记忆和理解各个公式的推导过程忽略定义域3在使用正切和余切的诱导公式时，需要注意函数的定义域，避免出现分母为零的情况综合练习

（一）题目解题思路答案已知，是第二象限的角，先利用求出，注，sinα=3/5αsin²α+cos²α=1cosαcosα=-4/5tanα=-3/4求，意是第二象限的角，是负数然cosαtanααcosα后利用求出tanα=sinα/cosαtanα综合练习

（二）题目解题思路12化简先利用诱导公式将表达式中sinπ+αcosπ/2-的三角函数转化为角度为α/cos-αsinπ/2+αα的三角函数，然后进行化简答案3sinπ+αcosπ/2-α/cos-αsinπ/2+α=-sinα*sinα/cosα*cosα=-tan²α综合练习

（三）题目解题思路已知，，利用tanα+β=2tanα=1tanα+β=tanα+tanβ/求求解tanβ1-tanαtanβ答案tanβ=1/3小结诱导公式的重要性简化计算诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，从而简化计算解决问题诱导公式在三角函数的计算、化简、证明以及解决几何问题等方面都有着广泛的应用基础知识掌握诱导公式是学习高等数学的基础，对于理解和掌握三角函数的性质和应用至关重要拓展诱导公式在高等数学中的应用复变函数在复变函数中，诱导公式可以用于研2究三角函数的周期性、对称性等性质微积分1在微积分中，诱导公式可以用于求解三角函数的导数和积分，例如求傅里叶分析解∫sinx+π/2dx在傅里叶分析中，三角函数是构成傅里叶级数的基本元素，诱导公式可以3用于分析和简化傅里叶级数结语掌握诱导公式，提高解题效率通过本课件的学习，相信你已经掌握了三角函数诱导公式的概念、基本公式以及应用技巧熟练运用诱导公式可以帮助你简化计算，解决复杂的三角函数问题，提高解题效率希望你能够继续深入学习，掌握更多三角函数的知识，为未来的学习和工作打下坚实的基础。