《多元函数积分学》课件

多元函数积分学欢迎来到多元函数积分学课程本课程将深入探讨二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分等重要概念，以及它们在实际应用中的重要性通过本课程，您将掌握处理复杂积分问题的技能，为进一步学习高等数学奠定坚实基础让我们开始这段激动人心的数学之旅吧！课程大纲二重积分1我们将从二重积分开始，学习其定义、性质和计算方法这是理解多维积分的基础三重积分2接着，我们将探讨三重积分，了解如何在三维空间中进行积分运算曲线积分3曲线积分是一个重要概念，我们将学习其两种类型及其应用曲面积分4最后，我们将研究曲面积分，了解其在物理和工程中的重要应用二重积分概念定义几何意义二重积分是对二元函数在平面区域上的积分它可以表示为二重积分的几何意义可以理解为函数在区域上的图形与fx,y D其中是积分区域，是被积函数平面所围成的空间体积这种直观的理解有助于我们更好地∫∫D fx,ydxdy D fx,y xy把握二重积分的本质二重积分的性质线性性质可加性对于常数和函数、如果区域可以分为和两k fx,y DD1D2，有部分，则gx,y∫∫D[kfx,y+∫∫D fx,ydxdy=gx,y]dxdy=k∫∫D∫∫D1fx,ydxdy+∫∫D2fx,ydxdy+∫∫D gx,ydxdy fx,ydxdy对称性如果区域关于对称，且，则D y=x fx,y=fy,x∫∫D fx,ydxdy=∫∫D fy,xdxdy二重积分的计算方法直角坐标系极坐标系在直角坐标系中，二重积分可以通过两次一重积分来计算通常对于某些特殊形状的区域（如圆形或扇形），使用极坐标系计算先固定一个变量，对另一个变量进行积分，然后再对固定的变量二重积分可能更为方便在极坐标系中，我们用r和θ代替x和y积分这种方法适用于矩形区域或可以表示为y的函数的区域，并引入雅可比行列式进行变量替换直角坐标系下的二重积分确定积分顺序根据积分区域的形状，决定先对积分还是先对积分通常选择能够简x y化积分限的顺序确定积分限对于内层积分，积分限通常是变量的函数；对于外层积分，积分限通常是常数计算双重积分先计算内层积分，将结果代入外层积分，最后求解外层积分极坐标系下的二重积分坐标变换雅可比行列式在极坐标系中，我们使用以下变换x=r cosθy=r sinθ雅可比行列式是坐标变换中的关键概念它表示了新坐标系下的dxdy=r dr dθ这里的r dr dθ就是雅可比行列式面积元素与原坐标系的关系在极坐标变换中，雅可比行列式的值为，这就是为什么我们用替换r r drdθdxdy二重积分的应用面积计算二重积分可以用来计算平面区域的面积如果积分区域为，则其面积为D这实际上是对常数函数在区域上的积分A=∫∫D dxdy fx,y=1D质心计算对于密度为ρx,y的平面薄片，其质心坐标x̄,ȳ可以通过以下公式计算x̄=∫∫D xρx,ydxdy/∫∫Dρx,ydxdyȳ=∫∫D yρx,ydxdy/∫∫Dρx,ydxdy二重积分练习题练习练习1122计算，其求的值，其中∫∫D x²+y²dxdy∫∫D xy dxdy D中是以原点为中心、半径为是由直线、和D y=x y=2x x=的圆形区域所围成的三角形区域22练习33计算，其中是由直线、和所围∫∫D e^x+ydxdy D x=0y=0x+y=1成的三角形区域三重积分概念定义几何意义三重积分是对三元函数在空间区域上的积分它可以表示为三重积分的几何意义可以理解为函数在区域中的图形fx,y,z V∫∫∫V fx,y,zdxdydz其中V是积分区域，fx,y,z是被积函数与坐标平面所围成的超立方体的体积这种理解帮助我们将三重积分与实际物理量联系起来，如密度分布下的物体质量三重积分的性质线性性质可加性对于常数和函数、如果区域可以分为和两部k fx,y,z V V1V2，有分，则gx,y,z∫∫∫V[kfx,y,z∫∫∫V fx,y,zdxdydz=+gx,y,z]dxdydz=k∫∫∫V∫∫∫V1fx,y,zdxdydz+∫∫∫V2fx,y,zdxdydz+∫∫∫V fx,y,zdxdydzgx,y,zdxdydz对称性如果区域关于坐标平面对称，且在对应变量上具有对称性，则V fx,y,z积分值在对应的对称变换下保持不变三重积分的计算方法直角坐标系柱面坐标系12在直角坐标系中，三重积分可对于具有圆柱对称性的区域，以通过三次一重积分来计算使用柱面坐标系可能更为方便通常先固定两个变量，对第三在柱面坐标系中，我们用r个变量进行积分，然后依次对、θ和z代替x、y和z其他两个变量积分球面坐标系3对于球形或具有球对称性的区域，球面坐标系是最佳选择在球面坐标系中，我们用、和表示点的位置ρθφ直角坐标系下的三重积分计算三重积分确定积分限从内到外依次计算三个一重积分每完成确定积分顺序对于最内层积分，积分限通常是变量的函一层积分，结果就代入下一层积分中根据积分区域的形状，决定积分的顺序数；对于外层积分，积分限可能是常数或通常选择能够简化积分限的顺序其他变量的函数柱面坐标系下的三重积分坐标变换雅可比行列式在柱面坐标系中，我们使用以下变换在柱面坐标变换中，雅可比行列式的值为这意味着在进行积x=r cosθy=r sinθz r这里的是雅可比行列式的一部分分时，我们需要将替换为这个额外的因子=z dxdydz=r drdθdz rdxdydz r drdθdz r反映了在极坐标平面上面积元素的变化球面坐标系下的三重积分坐标变换雅可比行列式在球面坐标系中，我们使用以下变换在球面坐标变换中，雅可比行列式的值为这个因子反x=ρsinφcosθy=ρρ²sinφsinφsinθz=ρcosφdxdydz=ρ²sinφdρdθdφ这里的映了球坐标系中体积元素的变化在进行积分时，我们需要将是雅可比行列式替换为ρ²sinφdxdydzρ²sinφdρdθdφ三重积分的应用体积计算三重积分可以用来计算空间区域的体积如果积分区域为，则其体积为V这实际上是对常数函数在区域上的积分V=∫∫∫V dxdydzfx,y,z=1V质量计算对于密度为的空间物体，其质量可以通过以下公式计算ρx,y,z m=这个积分将密度函数在整个物体体积上进行累加∫∫∫Vρx,y,zdxdydz三重积分练习题练习练习1122计算求的值，其∫∫∫V x²+y²+∫∫∫V xyz dxdydz，其中是以原点中是由平面和坐z²dxdydz VV x+y+z=1为中心、半径为2的球体标平面所围成的四面体练习33计算，其中是由柱面、平面和∫∫∫V e^x+y+zdxdydz Vr=1z=0z=所围成的圆柱体2第一型曲线积分概念定义几何意义第一型曲线积分是沿着平面或空间曲线C对函数fx,y或第一型曲线积分可以理解为曲线上函数值与弧长的乘积的累加fx,y,z进行的积分它可以表示为∫C fx,yds或∫C它常用于计算曲线的质量、重心等物理量在几何上，它可以表其中表示曲线的弧长元素示曲线上函数图像与平面所围成的曲面的面积fx,y,zds dsxy第一型曲线积分的性质线性性质可加性方向性对于常数k和函数fx,y、gx,y，有如果曲线C可以分为C1和C2两部分，第一型曲线积分的值与积分路径的方则向无关，即∫C[kfx,y+gx,y]ds=k∫C∫C fx,yds=∫C1fx,yds+∫C fx,yds=∫-C其中表示与方向相反的fx,yds+∫C gx,yds∫C2fx,yds fx,yds-C C曲线第一型曲线积分的计算方法直接法参数方程法如果曲线可以用或表示，我们可以将表示如果曲线可以用参数方程表示，C y=yx x=xy ds C x=xt,y=yt,a≤t≤b为或的函数，然后直接进行一重积分例如，对于则积分变为dx dyy=ds=√dx/dt²+dy/dt²dt∫C fx,yds=，有积分变为这种方法特别适yx ds=√1+dy/dx²dx∫C fx,yds=∫a^b fxt,yt√dx/dt²+dy/dt²dt∫a^b fx,yx√1+dy/dx²dx用于复杂曲线，如圆或螺旋线第一型曲线积分例题例题例题1122计算，其中求的值，其中是抛物∫C x²+y²ds C∫C ydsC是以原点为中心、半径为的线从到的一2y=x²0,01,1圆段例题33计算，其中是直线段从到∫C x+yds C0,01,1第二型曲线积分概念定义物理意义第二型曲线积分是对向量场Fx,y=Px,yi+Qx,yj沿曲线C第二型曲线积分通常用来计算向量场沿曲线做的功在物理学中的积分它可以表示为∫C Px,ydx+Qx,ydy或者在三维，它可以表示力场在移动物体上所做的功，或者电场中电荷移动空间中∫C Px,y,zdx+Qx,y,zdy+Rx,y,zdz时的电势差这种积分的值与积分路径的方向有关，反映了向量场的方向性第二型曲线积分的性质线性性质可加性对于常数和向量场、，有如果曲线可以分为和两部k F1F2C C1C2分，则∫C kF1+F2·dr=k∫C F1·dr∫C F·dr=∫C1F·dr++∫C F2·dr∫C2F·dr方向性与第一型曲线积分不同，第二型曲线积分的值与积分路径的方向有关其中表示与方向相反的曲线∫C F·dr=-∫-C F·dr-C C第二型曲线积分的计算方法直接法参数方程法如果曲线可以用表示，我们可以将表示为的函数如果曲线可以用参数方程表示，C y=yx dydx C x=xt,y=yt,a≤t≤b，然后直接进行一重积分则∫C Px,ydx+Qx,ydy=∫a^b∫C Px,ydx+Qx,ydy=∫a^b[Pxt,yt·dx/dt+同样，如果曲线用这种方法特别适用于复杂曲线，如圆[Px,yx+Qx,yx·dy/dx]dx x=Qxt,yt·dy/dt]dtxy表示，我们可以将dx表示为dy的函数或螺旋线第二型曲线积分例题例题例题例题112233计算，其中是求的值，其计算，其中是抛物∫C y²dx-x²dy C∫C x+ydx+x-ydy∫C ydx+xdy C单位圆，从逆时针中是直线段从到线从到x²+y²=11,0C0,01,1y=x²0,01,1到0,1格林公式定理内容应用条件格林公式建立了平面闭区域上的二重积分与其边界上的曲线区域必须是单连通的（没有洞）函数和D C

1.D

2.Px,y积分之间的关系在上连续且具有连续的一阶偏导数边界必须是∫∫D∂Q/∂x-∂P/∂ydxdy=∫C Px,ydx+Qx,y D

3.C其中是区域的正向边界（逆时针方向）分段光滑的闭曲线满足这些条件时，格林公式可以大大简化Qx,ydy C D某些复杂的曲线积分计算格林公式的应用平面面积计算对于平面闭合曲线围成的区域，其面积可以通过以下曲线积分计算C D这是格林公式的一个特例，其中A=1/2∫C xdy-ydx P=-y,Q=x简化曲线积分计算当曲线积分难以直接计算时，可以利用格林公式将其转化为二重积分例如，计算，其中是复杂的闭合曲线，可以转∫C x²-ydx+x+y²dy C化为计算，其中是围成的区域∫∫D3x+2ydxdy DC格林公式练习题练习练习练习112233使用格林公式计算求的值，其计算由曲线和直线围∫C x²ydx+∫C x+ydx+x-ydy y=x²y=2xxy²dy，其中C是矩形边界0≤中C是圆x²+y²=4的边界（逆时成的区域的面积x≤2,0≤y≤1针方向）曲线积分与路径无关的条件理论判断方法在一个简单连通区域中，如果向量场检查和是否相等如果相等，则积分与路径D Fx,y=Px,yi+

1.∂P/∂y∂Q/∂x

2.满足以下条件那么沿着中任意闭合无关如果不相等，可以构造一个反例来证明积分与路径有Qx,yj∂P/∂y=∂Q/∂x D

3.路径的曲线积分这意味着积分值只依赖于起点和关在三维空间中，还需要检查C∫C F·dr=

04.∂P/∂z=∂R/∂x,∂Q/∂z=终点，而与具体路径无关∂R/∂y,∂R/∂y=∂Q/∂z曲线积分练习题练习练习练习112233计算求对于向量场∫C2xy+y²dx+x²-∫C e^x cos ydx+e^x sinF=y²i+2xy-1j，其中是从点到点的值，其中是从点到，判断是否与路径无关如2xydy C0,0ydy C0,0∫C F·dr的任意路径判断该积分是否点的直线段果是，求从到的线积分1,11,π/21,02,1与路径无关值第一型曲面积分概念定义几何意义第一型曲面积分是在曲面S上对函数fx,y,z进行的积分它可第一型曲面积分可以理解为曲面上函数值与面积元素的乘积的累以表示为∫∫S fx,y,zdS其中dS表示曲面的面积元素加它常用于计算曲面的质量、重心等物理量在几何上，它可以表示曲面上函数图像与平面所围成的立体的体积xy第一型曲面积分的性质线性性质对于常数和函数、，有k fx,y,z gx,y,z∫∫S[kfx,y,z+gx,y,z]dS=k∫∫S fx,y,zdS+∫∫S gx,y,zdS可加性如果曲面可以分为和两部分，则S S1S2∫∫S fx,y,zdS=∫∫S1fx,y,zdS+∫∫S2fx,y,zdS第一型曲面积分的计算方法直接法投影法如果曲面可以用表示，我们可以将表示为对于更复杂的曲面，可以选择将其投影到平面或平面例S z=zx,y dSdxdy xz yz的函数积分变为如，对于积dS=√1+∂z/∂x²+∂z/∂y²dxdy∫∫S y=yx,z dS=√1+∂y/∂x²+∂y/∂z²dxdz分变为fx,y,zdS=∫∫D fx,y,zx,y√1+∂z/∂x²+∫∫S fx,y,zdS=∫∫D fx,yx,z,z√1+∂y/∂x²+其中是在平面上的投影其中是在平面上的投影∂z/∂y²dxdy DS xy∂y/∂z²dxdz DS xz第一型曲面积分例题例题例题1122计算，其中是球面求的值，∫∫S zdS S x²∫∫S x²+y²+z²dS在第一卦限的其中是平面在第+y²+z²=a²S x+y+z=1部分一卦限的部分例题33计算，其中是抛物面，∫∫S xydS S z=x²+y²0≤z≤1第二型曲面积分概念定义物理意义第二型曲面积分是对向量场Fx,y,z=Px,y,zi+Qx,y,zj+第二型曲面积分通常用来计算向量场通过曲面的通量在物理学Rx,y,zk在曲面S上的积分它可以表示为∫∫S中，它可以表示流体通过曲面的流量，或者电场通过曲面的电通Px,y,zdydz+Qx,y,zdzdx+Rx,y,zdxdy或者简写为量这种积分的值与曲面的方向有关，反映了向量场的方向性，其中是曲面的向量面元∫∫S F·dS dS=dydz,dzdx,dxdy第二型曲面积分的性质线性性质可加性对于常数和向量场、，有如果曲面可以分为和两部k F1F2SS1S2分，则∫∫S kF1+F2·dS=k∫∫S∫∫S F·dS=∫∫S1F·dS+F1·dS+∫∫S F2·dS∫∫S2F·dS方向性第二型曲面积分的值与曲面的方向有关其中∫∫S F·dS=-∫∫-S F·dS-S表示与方向相反的曲面S第二型曲面积分的计算方法直接法投影法如果曲面S可以用z=zx,y表示，我们可以将dS表示为dS=对于更复杂的曲面，可以选择将其投影到最方便的坐标平面例积分变为如，对于积分变为-∂z/∂x,-∂z/∂y,1dxdy∫∫S F·dS=∫∫D[R-y=yx,z dS=∂y/∂z,-1,∂y/∂xdxdz其中是在平面上的投影类其中是P∂z/∂x-Q∂z/∂y]dxdy DS xy∫∫S F·dS=∫∫D[P∂y/∂z-Q+R∂y/∂x]dxdz DS似地，可以处理或的情况在平面上的投影x=xy,zy=yx,z xz第二型曲面积分例题例题例题例题112233计算，其中求的值，计算，其中∫∫S xi+yj+zk·dS S∫∫S y²i+x²j+z²k·dS∫∫S curl F·dS F=yzi是球面的上半部其中是平面在第一卦，是圆柱面x²+y²+z²=a²S x+y+z=1+zxj+xyk S x²+分（z≥0）限的部分y²=1，0≤z≤2的侧面高斯公式定理内容应用条件高斯公式（也称散度定理）建立了空间闭区域的体积积分与其区域必须是单连通的（没有洞）函数、、在V

1.V

2.P QR V边界的曲面积分之间的关系上连续且具有连续的一阶偏导数边界必须是分段光滑的S∫∫∫V∂P/∂x+∂Q/∂y+

3.S其中是区域的外侧边界闭曲面满足这些条件时，高斯公式可以大大简化某些复杂的∂R/∂zdV=∫∫S Pi+Qj+Rk·dS SV左侧是向量场F=P,Q,R的散度在V上的体积积分，右侧是F在曲面积分计算上的通量S高斯公式的应用体积计算利用高斯公式，可以将体积计算转化为曲面积分V=∫∫∫V dV=这个公式对于复杂形状的物体特别有用1/3∫∫S xi+yj+zk·dS简化曲面积分计算当曲面积分难以直接计算时，可以利用高斯公式将其转化为体积积分例如，计算，其中是复杂的闭合曲面，可以转∫∫S x²i+y²j+z²k·dS S化为计算，其中是围成的区域∫∫∫V2x+2y+2zdV VS高斯公式练习题练习练习1122使用高斯公式计算求的值，∫∫S x²i+∫∫S xi+yj+zk·dS，其中是球面其中是立方体y²j+z²k·dS SS0≤x≤1,0≤的表面x²+y²+z²=a²y≤1,0≤z≤1练习33计算，其中，是圆柱面∫∫S F·dS F=x+yi+y+zj+z+xk Sx²+y²，的全部边界=10≤z≤2斯托克斯公式定理内容应用条件斯托克斯公式建立了空间曲面上的曲面积分与其边界曲线上曲面必须是单连通的（没有洞）函数、、在S C

1.S

2.P QR S的线积分之间的关系上连续且具有连续的一阶偏导数边界曲线必须是分段光∫C Pdx+Qdy+Rdz=∫∫S[∂R/∂y-

3.C滑的闭曲线满足这些条件时，斯托克斯公式可以在曲线积分∂Q/∂zdydz+∂P/∂z-∂R/∂xdzdx+∂Q/∂x-∂P/∂ydxdy]其中C是曲面S的边界曲线，方向与S的法向量满和曲面积分之间建立联系，简化计算足右手规则斯托克斯公式的应用曲面积计算利用斯托克斯公式，可以将某些曲面积的计算转化为线积分A=∫∫S这个公式对于计算复杂曲面的面积特别有用dS=1/2∫C xdy-ydx曲线积分与曲面积分的转换当曲线积分难以直接计算时，可以利用斯托克斯公式将其转化为曲面积分例如，计算，其中是复杂的空间闭合曲线，∫C ydx+zdy+xdz C可以转化为计算，其中是以为边界的任∫∫S1dydz+1dzdx+1dxdy SC意曲面斯托克斯公式练习题练习练习1122使用斯托克斯公式计算求的值∫C∫C ydx+zdy+xdz，其中，其中是平面与y²dx-x²dy+zdz C x+y+z=1C是球面x²+y²+z²=a²与坐标平面围成的三角形边界（平面z=a/2的交线（逆时针逆时针方向）方向）练习33计算，其中，是抛物面∫∫S curlF·dS F=yzi+zxj+xyk Sz=x²，的上表面+y²0≤z≤1散度定义物理意义向量场Fx,y,z=Px,y,zi+Qx,y,zj+Rx,y,zk的散度定散度表示单位体积内的通量密度在流体力学中，正的散度表示义为div F=∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z散度是一个标量源（流体的产生），负的散度表示汇（流体的消失）在电磁学函数，描述了向量场在每一点的发散程度中，电场的散度与电荷密度成正比（高斯定律）散度为零的向量场称为无源场散度定理与高斯公式的关系散度定理实际上就是高斯公式的另一种表述∫∫∫V divF dV=∫∫S F·dS这个公式表明，向量场在闭区域内的散度的积分等于向量场通过的边VV界的通量S应用电磁学用于推导麦克斯韦方程组流体力学分析流体的源和汇

1.

2.热传导研究热量在物体中的流动弹性力学分析应力和应

3.

4.变的关系旋度定义物理意义向量场Fx,y,z=Px,y,zi+Qx,y,zj+Rx,y,zk的旋度定旋度表示向量场的局部旋转性在流体力学中，旋度描述了流体义为curlF=∇×F=∂R/∂y-∂Q/∂zi+∂P/∂z-∂R/∂xj+的涡旋运动在电磁学中，磁场的旋度与电流密度和电场的变化∂Q/∂x-∂P/∂yk旋度是一个向量函数，描述了向量场在每一率有关（安培定律）旋度为零的向量场称为无旋场点的旋转程度旋度定理与斯托克斯公式的关系应用旋度定理实际上就是斯托克斯公式的另一种表述电磁学用于推导麦克斯韦方程组流体力学分析流∫∫S curl

1.

2.这个公式表明，向量场在曲面上的旋度的体的涡旋运动气象学研究大气环流等离子体物F·dS=∫C F·dr S

3.

4.通量等于向量场沿S的边界C的环量理分析磁场中带电粒子的运动散度与旋度的练习题练习练习1122计算向量场证明向量场F=x²+yi+F=y-zi+z-的散度和是无源场y²+zj+z²+xk xj+x-yk旋度练习33求向量场的散度和旋度，并判断它是否是无源F=yz²i+zx²j+xy²k场或无旋场多元函数积分学在物理中的应用质心计算转动惯量对于密度为ρx,y,z的三维物体，其质心坐标x̄,ȳ,z̄可以通过物体绕z轴的转动惯量可以通过以下三重积分计算Iz=∫∫∫V以下公式计算x̄=∫∫∫V xρx,y,zdV/∫∫∫Vρx,y,zdVȳ=ρx,y,zx²+y²dV其中ρx,y,z是物体的密度函数类似地，可以计算绕轴和轴的转动惯量∫∫∫V yρx,y,zdV/∫∫∫Vρx,y,zdV z̄=∫∫∫V zρx,y,zdV x y/∫∫∫Vρx,y,zdV多元函数积分学在工程中的应用流体力学在流体力学中，多元积分用于计算流体的流量、压力和能量例如，流体通过曲面的体积流量可以用曲面积分表示其中是流S Q=∫∫S v·dS v体速度场电磁学在电磁学中，多元积分用于计算电场和磁场例如，高斯定律可以用曲面积分表示₀其中是电场强度，是封闭曲面内的总∫∫S E·dS=q/εE q电荷，₀是真空介电常数ε重要公式总结

（一）二重积分公式三重积分公式直角坐标系直角坐标系

1.∫∫D fx,ydxdy=∫a^b[∫φ1x^φ2x

1.∫∫∫V fx,y,zdxdydz=∫a^b[∫c^d极坐标系柱面坐标系fx,ydy]dx

2.∫∫D fr,θrdrdθ=∫α^β[∫φ1x,y^φ2x,yfx,y,zdz]dy]dx

2.∫∫∫V面积计算球面坐标系[∫r1θ^r2θfr,θrdr]dθ

3.A=∫∫D dxdyfr,θ,zrdrdθdz

3.∫∫∫V fρ,θ,φρ²sinφdρdθdφ体积计算

4.V=∫∫∫V dxdydz重要公式总结

（二）曲线积分公式第一型曲线积分

1.∫C fx,yds=∫a^b fxt,yt√dx/dt²+第二型曲线积分dy/dt²dt

2.∫C Px,ydx+Qx,ydy=∫a^b平面闭合曲线围成[Pxt,ytdx/dt+Qxt,ytdy/dt]dt

3.的面积A=1/2|∫C xdy-ydx|曲面积分公式第一型曲面积分

1.∫∫S fx,y,zdS=∫∫Dfx,y,zx,y√1+∂z/∂x²+第二型曲面积分∂z/∂y²dxdy

2.∫∫S Px,y,zdydz+曲面面积计算Qx,y,zdzdx+Rx,y,zdxdy

3.A=∫∫S dS重要定理总结格林定理高斯定理12∫∫D∂Q/∂x-∂P/∂ydxdy=∫∫∫V∂P/∂x+∂Q/∂y+其∫C Px,ydx+Qx,ydy∂R/∂zdV=∫∫S Pi+Qj+中是区域的正向边界（逆其中是区域的外侧CDRk·dS SV时针方向）边界斯托克斯定理3∫C Pdx+Qdy+Rdz=∫∫S[∂R/∂y-∂Q/∂zdydz+∂P/∂z-其中是曲面的边界曲线，∂R/∂xdzdx+∂Q/∂x-∂P/∂ydxdy]C S方向与的法向量满足右手规则S常见积分区域的处理方法圆形区域球形区域对于圆形区域，可对于球形区域x²+y²≤a²x²+y²+z²≤a²以使用极坐标变换，可以使用球面坐标变换x=r cosx=积分限变为θ,y=r sinθ0≤ρsinφcosθ,y=ρsinφsin积分限变为r≤a,0≤θ≤2πθ,z=ρcosφ0≤ρ≤a,0≤φ≤π,0≤θ≤2π不规则区域对于不规则区域，可以尝试以下方法将区域分解为简单子区域使

1.

2.用适当的坐标变换改变积分顺序利用对称性简化计算

3.

4.坐标变换技巧极坐标变换柱面坐标变换球面坐标变换x=r cosθ,y=r sinθdxdy=rdrdθx=r cosθ,y=r sinθ,z=zdxdydzx=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z适用于圆形或扇形区域=rdrdθdz适用于圆柱形或具有旋转对=ρcosφdxdydz=ρ²sinφdρdθdφ称性的区域适用于球形或具有球对称性的区域积分顺序的选择原则例题分析12选择能够简化积分限的顺序考虑被积函数的特点，考虑积分，其中是由和围成的

1.

2.∫∫D xydxdy Dy=x y=x²选择能够简化计算的顺序对于不规则区域，可能需要分区域方法先后，积分限为，

3.1y xx²≤y≤x0≤x≤1段积分或改变积分顺序方法2先x后y，积分限为√y≤x≤y，0≤y≤1比较两种方法，方法的积分限更简单，计算更容易2综合练习题

（一）二重积分1计算，其中是第一象限中由和围成

1.∫∫D x²+y²dxdy Dy=x y=x²的区域求的值，其中是由直线、

2.∫∫D e^x+ydxdy Dy=xy=0和所围成的三角形区域使用极坐标计算x=

13.∫∫Dx²+，其中是圆中位于第一象限的部分y²^1/2dxdy Dx²+y²≤4三重积分2计算，其中是由平面、和坐标平

1.∫∫∫V zdxdydz V z=0z=1-x-y面所围成的四面体求的值，其中是

2.∫∫∫V x²+y²+z²dxdydzV球体使用柱面坐标计算x²+y²+z²≤a²

3.∫∫∫V x²+y²dxdydz，其中是圆柱体，V x²+y²≤10≤z≤2综合练习题

（二）曲线积分1计算，其中是椭圆的边界

1.∫Cx²dy-y²dx Cx²/a²+y²/b²=1（逆时针方向）求的值，其中是从点

2.∫Cx+ydx+x-ydy C到点的抛物线路径使用格林公式计算0,01,1y=x²

3.∫C e^x，其中是正方形，的边cosydx+e^x siny dyC0≤x≤10≤y≤1界曲面积分2计算，其中是球面在第一卦限的部分

1.∫∫S zdSSx²+y²+z²=a²求的值，其中是平面在第一卦限

2.∫∫S xi+yj+zk·dSSx+y+z=1的部分使用斯托克斯公式计算，其中是

3.∫C ydx+zdy+xdz C平面与坐标平面围成的三角形边界x+y+z=1课程总结与学习建议课程回顾学习建议我们学习了多元函数积分学的核心

1.注重概念理解多元积分的几何概念，包括二重积分、三重积分、意义和物理含义非常重要

2.勤于曲线积分和曲面积分我们还探讨练习解决各种类型的问题可以提了重要的定理，如格林定理、高斯高你的技能

3.建立联系将不同定理和斯托克斯定理，以及它们在类型的积分和定理联系起来，形成物理和工程中的应用整体认识

4.应用导向尝试将所学知识应用到实际问题中持续

5.复习定期回顾关键概念和方法，巩固所学知识进一步学习探索更高级的数学课程，如复变函数、泛函分析等学习数值分析方法

1.

2.，了解如何用计算机进行复杂积分的数值计算研究多元积分在物理学、

3.工程学等领域的深入应用。