《数字的奥秘》课件

数字的奥秘数字是人类文明的基石之一，它们贯穿于我们生活的各个方面从远古时代的简单计数，到今天复杂的数字技术，数字的发展历程反映了人类智慧的演进本次讲座将带您探索数字的奇妙世界，从数字的起源、系统演变，到它们在自然界和日常生活中的神奇应用，再到数字技术引领的未来发展让我们一起揭开数字背后的奥秘，领略数学之美目录1数字的起源探索人类最早的计数方法，从原始的结绳记事到复杂的数字符号系统的发展历程2数字系统的演变研究十进制、二进制等不同进制系统的特点及其在人类历史中的应用与发展3数字在自然界中的应用发现斐波那契数列、黄金比例等数学规律在自然界中的神奇体现4数学中的特殊数字了解质数、完美数、虚数等特殊数字的性质与应用1数字编码与密码学2数字在日常生活中的应用探讨从古代密码到现代加密技术的发展，分析身份证号码、条形码等日常数字系统以及数字在信息安全中的重要作用背后的设计原理3数字与科技的未来展望人工智能、量子计算等前沿技术中数字的应用前景第一部分数字的起源现代数字系统1阿拉伯数字的广泛应用古代文明数字系统2埃及、巴比伦、中国等古代文明最早的符号记录3刻痕、象形符号等早期记数方式原始计数方法4石子、木棍、结绳等物理计数数字的起源可以追溯到人类文明的黎明时期当人类需要记录物品数量、交易或天文观测时，简单的计数方法应运而生这些早期的计数方法随着人类社会的发展而逐渐演变成更复杂、更抽象的数字系统在不同的文明中，数字系统以独特的方式发展，反映了各自的文化、哲学和实际需求这些早期的努力为现代数学和数字科学奠定了基础远古时代的计数方法石子计数法结绳记事法刻痕计数法在原始社会，人们使用小石子、骨头或木结绳记事是一种古老的记录方法，特别在人类早期还使用在木棍、骨头或洞穴墙壁棍来表示数量每一个物体代表一个单位古代秘鲁的印加文明中得到广泛应用通上刻划痕迹的方式来记录数量考古学家，通过增加或减少这些物体来进行简单的过在绳子上打结，不同的结的位置、类型发现的一些刻痕骨头可以追溯到35,000加减运算这种直观的一一对应方法是人和数量可以记录各种信息，包括数字、日年前，这些可能是人类最早的数学记录类最原始的计数系统期和重要事件最早的数字符号古巴比伦楔形文字中的数字巴比伦人使用楔形文字系统来表示数字，采用六十进制他们的符号系统包括表示1和10的基本符号，通过这些符号的不同组合可以表示1到59的数字这种系统影响了我们现代的时间和角度计量古埃及象形文字中的数字古埃及人使用象形文字来表示数字，他们有专门的符号代表

1、

10、

100、1000等例如，一条竖线代表1，一个倒U形符号代表10，一朵莲花代表1000这种表示法允许埃及人通过重复和组合这些符号来表示更大的数字这些早期数字符号系统反映了古代文明的智慧和创新它们不仅满足了当时社会的计数需求，还为后来的数学和科学发展奠定了基础随着时间的推移，这些数字系统逐渐发展成我们今天使用的更加复杂和抽象的数学语言中国古代的数字表示法甲骨文数字1商朝时期（约公元前1600年-前1046年），中国最早的成熟文字系统甲骨文已经包含了数字符号甲骨文中的数字主要采用累加制，横线代表1，+形符号代表10，这些基本符号通过重复来表示更大的数字大写数字2随着文字的演变，中国发展出一套独特的大写数字系统（

一、

二、

三、四等），这套系统在正式文件和货币中使用，可以有效防止篡改大写数字具有特殊的书写规则，使其难以被更改为其他数字算筹计数法3春秋战国时期（公元前770年-前221年），中国人使用竹、木或骨制成的算筹进行计算算筹可以按特定方式排列表示不同的数字，是十进制计数系统的具体实现，为后来珠算的发展奠定了基础珠算系统4宋代（公元960年-1279年），算盘被广泛使用，成为中国传统计算工具算盘上的珠子按照十进制排列，通过移动珠子可以快速进行加减乘除运算，这种计算方法影响了东亚地区数百年阿拉伯数字的诞生印度数字系统的起源阿拉伯世界的传播现代阿拉伯数字实际上起源于古印度大约这一数字系统在8-9世纪被阿拉伯数学家如在公元500年左右，印度数学家发展出了一花拉子密（Al-Khwarizmi）采纳和改进套位值十进制系统，也就是数字的位置决定阿拉伯学者在保存和发展这一系统方面发挥12了它的值这一创新使复杂计算变得更加简了重要作用，因此这套数字系统被西方称为单阿拉伯数字传入欧洲零的发明通过阿拉伯-欧洲的贸易和学术交流，阿拉伯零的概念是数学史上最重要的发明之一最数字在12-13世纪传入欧洲意大利数学家早的零符号出现在印度，由数学家婆罗摩笈43斐波那契（Fibonacci）的著作《算盘书》多（Brahmagupta）在公元628年的著作（Liber Abaci，1202年）对推广这一系统中正式使用零使位值系统能够完整表达任起到了关键作用，最终取代了欧洲使用的罗何数值，并且为代数和高等数学的发展铺平马数字了道路第二部分数字系统的演变现代多进制系统1计算机科学中的二进制、八进制、十六进制印度-阿拉伯十进制系统2位值制与零的应用古代特殊进制系统3巴比伦六十进制、玛雅二十进制早期累加计数系统4埃及、罗马数字等非位值制系统数字系统的演变反映了人类文明的进步从简单的累加系统到复杂的位值制，数字记法的每一次革新都大大提高了计算效率，促进了数学和科学的发展特别是位值制和零的发明，彻底改变了数学的面貌，为现代科学技术的发展奠定了基础如今，我们在日常生活中使用十进制，而在计算机科学中则广泛应用二进制及其衍生的八进制和十六进制十进制系统人类使用十进制的原因十进制的结构十进制系统最可能源于人类的十个十进制是一种位值系统，使用0到9手指，这提供了一个自然的计数工十个基本数字每个数字的位置决具这种系统在全球不同文化中独定其值个位、十位、百位等，每立发展，表明它与人类的生理特征向左移动一位，值增大十倍这种有着天然联系十个手指便于直观结构使算术运算变得直观且系统化计数，使基于10的系统成为人类最位值制的设计使复杂的数值可以自然的选择用有限的符号简洁表示十进制的全球应用十进制如今是全球通用的数字系统，用于日常计数、商业交易、科学研究等各个领域国际单位制（SI）也基于十进制，便于单位换算虽然计算机内部使用二进制，但用户界面通常显示十进制，体现了这一系统对人类的自然适应性二进制系统二进制基础二进制是只使用0和1两个数字的计数系统每个位置的值是2的幂从右向左分别代表2^

01、2^

12、2^

24、2^38等二进制数101表示十进制的54+0+1这种看似简单的系统为现代计算机技术奠定了基础电子计算机中的应用二进制完美适应电子计算机的物理特性，因为电子元件容易实现两种状态开和关今天所有计算机内部都以二进制形式存储和处理数据，无论是文字、图像、声音还是视频，最终都被转换为二进制数据流与十进制的转换二进制与十进制之间的转换是计算机科学的基础十进制转二进制采用除2取余法，而二进制转十进制则通过位权计算理解这些转换方法对于深入学习计算机科学和电子工程至关重要其他进制系统八进制系统十六进制系统在计算机科学中的应用八进制是基于8的数字系统，使用0到7十六进制使用16个符号0-9和A-F（A不同进制系统在计算机科学中有着独特的八个数字在计算机早期历史中，八表示10，F表示15）它在现代计算机用途二进制是计算机内部的基础语言进制因为与二进制的简单转换关系（每3科学中扮演重要角色，因为每4位二进制；十六进制用于紧凑地表示二进制数据位二进制数对应1位八进制数）而被广泛数刚好对应1位十六进制数，使表示大量；十进制则是人机交互的主要界面程使用Unix系统的文件权限仍使用八进二进制数据更加简洁计算机内存地址序员需要熟练在这些系统之间转换，特制表示，如chmod755命令中的

755、颜色代码（如#FF5733）和机器语言别是在底层系统编程、调试和内存分析就是八进制数编程都广泛使用十六进制时古代计数系统玛雅二十进制巴比伦六十进制罗马数字系统玛雅文明发展出复杂的二十进制计数系统，可巴比伦人使用的六十进制系统是人类历史上最罗马数字使用七个基本符号I

1、V

5、能基于人的手指和脚趾总数这个系统使用点早的位值制系统之一数字60的优势在于它有X

10、L

50、C

100、D500和和横线符号点代表1，横线代表5玛雅人在许多约数（

1、

2、

3、

4、

5、

6、

10、

12、15M1000这是一种加法和减法混合的系统，数学和天文学上取得了惊人成就，他们的历法、

20、

30、60），便于分数表示这一系统如IV表示45-1尽管计算效率低下，罗马数精确到能预测数千年后的天文现象玛雅人还的遗产至今仍存在于我们的时间计量（60秒=1字因其视觉特点仍在钟表、书籍章节编号和重是已知最早使用零概念的文明之一分钟，60分钟=1小时）和角度测量（360度要建筑物上使用，展现出文化的连续性一圆）中第三部分数字在自然界中的应用数学定律自然现象1人类发现的数学规律自然界中的数字模式2新发现科学应用43数学与自然的新联系利用数学描述自然自然界中存在着令人惊叹的数学秩序，从微观粒子到宏观星系，数学规律无处不在人类通过观察和抽象，发现了许多数学常数和序列，如斐波那契数列、黄金比例、圆周率π和自然常数e，它们在自然界中反复出现这些数学规律不仅帮助我们理解自然现象，还启发了科学和技术的进步宇宙似乎按照数学语言编写，而我们通过数学探索这个神奇的世界本部分将揭示数字与自然之间的奇妙联系斐波那契数列01首个数字第二个数字斐波那契数列的起始与前一个数相加12第三个数字第四个数字0+1的结果1+1的结果斐波那契数列是一个整数序列，从0和1开始，后续每个数都是前两个数的和0,1,1,2,3,5,8,13,21,

34...这个看似简单的数学模式在自然界中广泛存在，令人惊叹植物的生长展现了斐波那契数列的神奇向日葵的种子排列、松果的螺旋、树叶的分布方式都遵循斐波那契数列相关的模式这种排列方式使植物能最有效地获取阳光和养分同样，蜜蜂的繁殖、贝壳的生长螺旋、甚至银河系的旋臂结构中都可以找到斐波那契数列的痕迹黄金比例在艺术与建筑中的应用黄金比例被认为是最美丽的比例之一，从古希腊帕特农神庙到达·芬奇的《维特鲁威人》，从埃及金字塔到现代建筑，黄金比例被广泛应用艺术家和建筑师使用这一比例创造视觉和谐感许多研究表明，人类天生偏好接近黄金比例的矩形形状，这可能解释了其在美学中的普遍性定义与特性黄金比例，也称为黄金分割，是一个约等于

1.618的无理数，通常用希腊字母φphi表示当一条线段按照这个比例分割时，整体与较长部分的比等于较长部分与较短部分的比数学表达为a+b/a=a/b=φ斐波那契数列中，相邻两数的比值会随着序列增长越来越接近黄金比例黄金比例与我们身体的比例也有神奇联系从脸部特征到手指骨节的长度，许多人体比例接近黄金比例这种数学比例的普遍性令科学家和艺术家alike都着迷不已，成为连接数学、艺术与自然的奇妙桥梁（圆周率）π定义与历史数学意义自然界中的π是圆周长与直径之比，约等作为数学常数，在几何学、在自然界中无处不在河流πππ于

3.14159265359…，是三角学、物理学等领域具有核的弯曲度（实际长度与直线距一个无理数，小数位无限不循心地位圆的面积公式πr²、离之比）平均约为π；彩虹形环古代文明如巴比伦、埃及球体体积公式4/3πr³都依赖成需要阳光在水滴中反射的角和中国都尝试计算π的值中于π欧拉公式e^iπ+1=0度与π有关；双螺旋DNA结构国数学家祖冲之在5世纪计算被誉为数学最美公式，将五的几何特性也涉及π；甚至星π值达到小数点后7位，精度个基本常数e、i、π、1和0通体运动的周期公式中也包含π领先世界1000年如今，计过简单等式联系起来π还出这展示了数学与自然规律之算机已计算π超过31万亿位小现在许多概率分布、傅里叶变间的深刻联系数，但其确切值永远无法完全换和量子力学方程中表示（自然常数）e1e的发现自然常数e约等于

2.71828，是一个重要的数学常数它最早由雅各布·伯努利在研究复利问题时隐含引入，后由莱昂哈德·欧拉进一步研究并命名e是唯一一个导数等于自身的函数fx=e^x的底数，这一特性使其在微积分中占有核心地位数学特性2e是一个无理数，它的值可以通过极限表达式e=limn→∞1+1/n^n计算e还可以用无穷级数表示e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...欧拉恒等式e^iπ+1=0被称为最美数学公式，展示了e与π、i等其他重要常数的关系e在微分方程、复变函数和概率论中有广泛应用自然生长应用3自然常数e与自然界中的指数增长现象密切相关人口增长、放射性衰变、细菌繁殖、复利计算等都可以用e^x函数描述当生长率为100%时，e代表一个周期后的增长倍数正态分布（高斯分布）的概率密度函数也包含e，这一分布在自然界和统计学中极为常见第四部分数学中的特殊数字质数只能被1和自身整除的整数，是数论的基石，在密码学中有重要应用完美数等于其所有真因数之和的正整数，如6=1+2+3，古希腊数学家特别研究虚数基于i（-1的平方根）的数，扩展了数系，在工程和物理学中有广泛应用无理数不能表示为两整数之比的数，如π、e和√2，具有无限不循环小数特性特殊数字是数学世界中的瑰宝，它们各自具有独特的性质和应用这些数字不仅是纯数学研究的对象，更在现实世界中发挥着重要作用，从工程设计到信息安全，从物理定律到音乐理论通过探索这些特殊数字，我们能够更好地理解数学的美妙和数字世界的奥秘这些数字反映了数学既是一门实用科学，也是一门充满美感和哲理的学问质数质数定义质数分布1只能被1和自身整除的大于1的整数遵循质数定理的不规则分布2密码应用质数测试43RSA等加密系统的数学基础判断大数是否为质数的算法质数具有许多迷人的性质根据素数定理，质数在自然数中的分布约为n/lnn，但没有简单公式可以生成所有质数最大的已知质数含有超过2400万位数字，由分布式计算项目发现双胞胎质数（相差2的质数对，如3和5）、梅森质数（形如2^p-1的质数）等特殊类型的质数一直是数学研究的热点在密码学中，质数是现代加密系统的核心RSA加密算法利用大质数分解的计算困难性，保障了互联网通信安全如果有人发现质数分解的高效算法，将可能颠覆当前的网络安全体系此外，质数在哈希函数、随机数生成和纠错码等领域也有重要应用完美数定义与历史已知完美数完美数是等于其所有真因数（除自身目前已知的完美数非常稀少，仅发现外的因数）之和的正整数例如，6了51个前几个完美数是

6、

28、的真因数是

1、

2、3，而1+2+3=6，

496、8128欧几里得证明了形如因此6是第一个完美数古希腊数学2^p-1×2^p-1的数是完美数，其家对完美数有着特殊兴趣，毕达哥拉中2^p-1是梅森质数所有已知的完斯学派将完美数与宇宙和谐联系起来美数都符合这一形式，且都是偶数，欧几里得在《几何原本》中系统研奇完美数是否存在仍是未解之谜，尽究了完美数管证明其不存在的尝试已持续数个世纪数学意义完美数研究连接了数论多个分支，包括质数理论和数的分解它们与亲和数（两个数互为真因数之和）、丰数（真因数和大于自身）和亏数（真因数和小于自身）一起形成数的分类完美数在组合数学和计算机科学中有应用，特别是在算法分析和数据结构优化方面虚数虚数的定义在工程中的应用在物理学中的应用虚数建立在虚数单位i的基础上，其中i定义虚数在电气工程中广泛应用，特别是交流电量子力学中，粒子的波函数是复数值函数，为-1的平方根（i²=-1）这一概念最早由意路分析电压和电流可用复数表示，大大简虚数部分与观测概率直接相关薛定谔方程大利数学家卡尔丹（Cardano）在16世纪化了计算阻抗（电路对交流电的阻碍）包使用虚数i描述量子状态随时间的演化在提出，用于求解三次方程虚数与实数一起含电阻（实部）和电抗（虚部）信号处理相对论中，闵可夫斯基时空可通过四维复数构成复数系统，一个复数表示为a+bi，其中中，傅里叶变换使用复数分析信号的频率成流形描述此外，流体力学、电磁学和控制a和b都是实数复平面上，实部a代表水平分，这对音频处理、图像压缩和通信系统至理论中也离不开复数计算，证明了虚数不仅坐标，虚部b代表垂直坐标关重要是数学构造，更是描述物理现实的必要工具无理数√2的发现1√2（约等于

1.414）是历史上最早被认识到的无理数，由毕达哥拉斯学派在公元前5世纪左右发现传说当时一位学者希帕索斯证明了√2不能表示为两2π和e作为无理数个整数的比值，这与毕达哥拉斯学派万物皆数的信念相矛盾这一发现被视为数学史上的重大突破，开创了对无限不循环小数的研究π和e是两个重要的超越数（不是任何有理系数多项式方程的解）林德曼在1882年证明了π的超越性，从而解决了古希腊化圆为方问题的不可行性e的超越性则由埃尔米特在1873年证明这两个常数在数学中占有特殊地位，无理数的普遍性3它们的无理性意味着它们的小数展开无限且不循环，无法用有限的分数精确表示尽管有理数在数轴上稠密分布，但事实上，大多数实数都是无理数从概率角度看，随机选择一个实数，它是无理数的概率为1无理数分为代数无理数（如√2，是某多项式方程的解）和超越数（如π和e）卡托尔对实数集和有理数集的研究揭示了无理数的无穷集合比有理数的无穷集合更大，引入了不同级别的无穷概念第五部分数字编码与密码学量子密码学1利用量子力学原理的未来加密方法现代密码学2基于复杂数学问题的计算机加密系统机械密码3利用机械装置实现的编码系统古代密码4最早的文字替换和转置加密方法密码学是保护信息安全的科学，其历史可以追溯到几千年前随着时间的推移，密码学从简单的文字替换发展为复杂的数学算法，从保护军事情报到保障每日数字生活，密码学的应用范围不断扩展数字编码与密码学的发展反映了人类对信息安全需求的演变，也体现了数学在解决实际问题中的强大力量今天，我们的网上银行、即时通讯和数字身份都依赖于先进的密码学原理来保护随着量子计算的出现，密码学正面临新的挑战和机遇古代密码凯撒密码维吉尼亚密码凯撒密码是最古老的加密方法之一，由罗马帝国的尤利乌斯·凯撒创立，用于军事通信这种简单的替换密码通过将字母表中的每个字母向后（或向前）移动固定位数来加密消息例如，维吉尼亚密码由16世纪法国外交官布莱兹·德·维吉尼亚改进，是一种多表替换密码它使用一使用向后移动3位的规则，A变成D，B变成E，依此类推尽管简单，凯撒密码在当个关键词重复构成密钥流，每个明文字母根据与之对应的密钥字母按照特定规则进行移位这时已足够安全，因为大多数人不识字种方法克服了凯撒密码易于通过频率分析破解的弱点，被称为不可破解的密码，直到19世纪才被系统性破解古代密码学还包括许多其他方法，如斯巴达人使用的密码棒（Scytale），通过绕在特定直径棒子上的纸条传递信息；中国古代的藏头诗，将秘密信息隐藏在诗句首字中；以及使用特殊墨水的隐形写作技术这些早期密码虽然原始，但奠定了现代密码学的基础，体现了人类保护信息安全的持久需求现代加密技术对称加密对称加密使用相同的密钥进行加密和解密，像一把可以锁门也可以开门的钥匙代表算法包括DES（数据加密标准）、3DES和AES（高级加密标准）AES目前是最广泛使用的对称加密算法，提供128位、192位和256位密钥长度对称加密速度快、效率高，适合大量数据加密，但面临密钥分发的安全挑战非对称加密非对称加密使用一对密钥公钥用于加密，私钥用于解密这就像邮箱，任何人都可以通过投递口（公钥）放入信件，但只有持有钥匙（私钥）的人才能取出信件RSA是最知名的非对称算法，基于大数分解的困难性非对称加密解决了密钥分发问题，但计算复杂度高，通常与对称加密结合使用哈希函数哈希函数将任意长度的输入转换为固定长度的输出，像数字指纹理想的哈希函数具有单向性（无法从输出推导输入）和抗碰撞性（难以找到产生相同输出的两个不同输入）SHA-256等哈希算法广泛用于密码存储、数字签名和区块链技术中密码学哈希函数是现代信息安全基础设施的关键组件加密算法RSA选择两个大质数RSA算法的第一步是选择两个大质数p和q（通常都超过100位数字）这两个质数的保密性对算法安全至关重要在实际应用中，会使用特殊的算法高效地生成这些大质数计算模数和欧拉函数计算模数n=p×q和欧拉函数φn=p-1×q-1模数n将作为公钥的一部分公开，而φn的值必须保密n的值越大，加密强度越高，但计算开销也越大选择公钥指数选择一个小于φn且与φn互质的整数e作为公钥指数常用的值是65537（2^16+1），这个数既大到足够安全，又有足够多的1位方便计算公钥由n,e组成，可以公开分享计算私钥指数计算满足d×e≡1modφn的d值作为私钥指数这可以使用扩展欧几里得算法完成私钥由n,d组成，必须严格保密私钥用于解密或生成数字签名RSA的安全性基于大整数分解的计算困难性目前最大被成功分解的RSA密钥长度为768位，这一工作耗费了数百台计算机约两年时间为保证安全，现代应用通常使用2048位或更长的RSA密钥RSA广泛应用于HTTPS安全连接、数字签名和银行系统中，保障着互联网安全量子密码学1量子计算威胁2量子密钥分发3后量子密码学量子计算机凭借其并行计算能力，有潜力破量子密钥分发（QKD）是量子密码学的核后量子密码学致力于开发能抵抗量子计算攻解基于因数分解（如RSA）和离散对数（心应用，利用量子力学原理实现绝对安全的击的密码算法主要研究方向包括基于格如ECC）的传统加密系统彼得·肖尔于密钥交换其安全性基于量子不确定性原理密码学的算法（如NTRU和Ring-LWE）；1994年提出的量子算法理论上可以高效分和量子测量干扰特性任何试图窃听的行为基于多变量多项式的密码系统；基于哈希函解大整数，这对当前广泛使用的公钥密码系都会改变量子状态，从而被检测到BB84数的签名方案；以及基于纠错码的密码系统统构成严重威胁随着谷歌、IBM等公司在协议是最知名的QKD协议，使用光子偏振美国国家标准技术研究院（NIST）正在量子计算机研发上的突破，密码学界正积极状态编码信息中国在2017年建成世界上进行后量子密码标准化过程，以便在量子计开发抵抗量子攻击的新算法最长的量子通信网络京沪干线，实现了超算成熟前完成密码系统的过渡过2000公里的量子密钥分发第六部分数字在日常生活中的应用数字已深入渗透到我们日常生活的各个方面，从身份认证到商业交易，从信息编码到时间计量这些看似普通的数字系统背后，往往隐藏着精心设计的数学原理和编码规则本部分将探讨身份证号码、条形码、信用卡号、电话号码等日常数字系统的结构和工作原理，揭示它们如何通过巧妙的数学设计来提高效率、确保准确性和增强安全性了解这些数字系统，有助于我们更好地理解和使用这些现代社会的基础工具身份证号码的秘密中国公民第二代身份证号码共18位，包含丰富的个人信息和严格的校验机制前6位是地区码，按省市县三级行政区划编码；中间8位是出生日期，格式为YYYYMMDD；接下来的3位是顺序码，同一地区同日出生者的编号，其中最后一位奇数表示男性，偶数表示女性；最后1位是校验码，通过复杂的数学算法计算得出校验码的计算采用ISO7064:

1983.MOD11-2标准，通过加权因子（7,9,10,5,8,4,2,1,6,3,7,9,10,5,8,4,2）与前17位数字相乘，求和后除以11取余数，再根据对应关系（0→1，1→0，2→X，3→

9...10→2）确定校验码这种设计可以有效防止伪造和识别错误，保障身份信息的准确性和安全性条形码与二维码条形码的结构与原理条形码（一维码）是由不同宽度的黑色条和白色空间按特定规则排列的图形标识常见的EAN-13条形码包含13位数字前3位是国家代码（中国为690-699），接下来的4-6位是二维码的工作原理厂商代码，随后是产品代码，最后1位是校验码条形码扫描器通过激光反射读取黑白条纹的宽度模式，将其转换回数字最早的条形码用于铁路货车追踪，后来在20世纪70年代开始用二维码是二维条码的一种，由日本Denso-Wave公司于1994年发明与一维条形码相比，于超市商品标识，显著提高了结账效率二维码在横向和纵向都存储信息，大幅提高了数据容量一个标准二维码可存储多达4,296个字母数字或7,089个数字二维码包含三个定位图案（大方框）用于确定方向，还有较小的校准图案和计时图案帮助扫描器解码二维码具有30%的纠错能力，即使部分图案被遮挡或损坏，仍然可以正确读取在中国，二维码已成为日常生活的核心部分，特别是在移动支付领域用户只需扫描商家展示的二维码，即可通过支付宝或微信等应用完成支付，极大地简化了交易流程此外，二维码还广泛应用于公交地铁票务、身份验证、产品追溯、广告推广等领域，成为连接线上与线下世界的重要桥梁信用卡号码系统信用卡号的结构Luhn算法信用卡安全设计标准信用卡号通常由16位数字组成（美国运通Luhn算法（又称模10算法）是1954年由IBM除了号码校验，信用卡还采用多层安全措施防卡为15位）第一位是主要行业标识符（MII科学家Hans PeterLuhn发明的简单校验和止欺诈卡片背面的3-4位CVV码不存储在磁），如4开头代表Visa，5开头代表公式计算步骤为从右向左，对奇数位数字条上，用于验证持卡人确实持有实体卡芯片MasterCard，6开头代表中国银联接下来保持不变，对偶数位数字乘以2；如果乘积大卡（EMV标准）使用动态验证技术，每次交易的5-6位是发卡机构标识号（IIN），标明具体于9，则减去9；将所有处理后的数字相加；若生成唯一密码许多银行现已引入3D Secure的发卡银行中间的数字是账户标识号，用于总和能被10整除，则卡号有效这一算法可以技术，在线支付时需通过手机验证码二次确认区分同一银行的不同持卡人最后一位是校验检测出90%以上的随机错误和常见的抄写错误这些设计大大提高了支付安全性，减少了欺位，通过Luhn算法计算得出，用于验证卡号，如数字转置它被ISO标准化，广泛用于信诈风险有效性用卡、身份证等号码的校验。