常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差分布类型概率密度函数期望方差分布0-1B1,P ppq二项分布B n,p Pi=P{X=i}=q=l-〃,i=l,2,np npqV泊松分布P入p.=p{X=i}=—e-A ilX Xi=0,1,2,3…,或〃幻=2等3-2均匀分布U a,b a+b2b-a7vr121v-A2正态分布N〃,/a2fx=—j^^e2a~-oox+oo,cr0J2icr

一、Ue-2\x0/x=〈11指数分布E X0,x0I r〃相互独立，且都服从标准正态分布X1,X2,…X N0,l/分市，/〃n2n/=x；+x+x；Vn/-、，分布，«〃Yx2nt=0X N0,l n-252概率与数理统计重点摘要、正态分布的计算幻=

①上幺1/x=PX

2、随机变量函数的概率密度X是服从某种分布的随机变量，求y=/X的概率密度立y二力x|/2y]|/2‘y|参见P66〜

72、分布函数「「/〃力点如具有以下基本性质:3Fx,y=J-CfJ-CO、是变量的非降函数；1X,y、Fx,y\对于任意固定的有y=Fx,；20x,y F-oo,-co=0f⑶、产关于右连续，关于右连续；x,y xy⑷、对于任意的3,乂,%2，%，王工2，|》2，有下述不等式成立:熹/，y=、一个重要的分布函数:47r2x2+4y2+9CXOyJ、二维随机变量的边缘分布:5产“2,必-FX19y2-FX2,y+/百,y N0/xx=「x，y力边缘概率密度=「f{x,ydx/yyJ-co尸%Fxx=内=「if/〃,ydy]du边缘分布函数J；二维正态分布的边缘分布为一维正态分布6y=/+8,y=「[f+X/^,vdx]dv、随机变量的独立性若尸则称随机变量相互独立简称与独立6x,y=x5y X,Y XY、7两个独立随机变量之和的概率密度人⑶二匚工⑴人小一幻公二匚人⑴人一月办其中Z=X+Y+皿,％+/）

8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z=〃X+by N（a4若

9、期望的性质……

（3）、E（X+Y）=E（X）+E（Y）；

（4）.X,Y相互独立，则E（XT）=E（X）E（F）,、方差D（X）=E（X2）-（E（X））2若不相关，则（*+丫）=）+（丫），否则（乂+丫）=）+£）（丫）+可乂,丫），10o X,Y320D（X-y）=D（X）+D（Y）-2Cov（X,Y）

11、协方差Cov（x,y）=E［（x-E（x））（y-E（y））］,若x,Y独立，则Cou（x,y）=o,此时称x与Y不相关

12、相关系数Pxy=°W）=CMX丫）,加区1,当且仅当X与Y存在线性关系时|「xj=l，且夕xv=17b°；b（x）b（y）A/W）l x*［-1,当b

013、k阶原点矩v,=E（XA）,k阶中心矩//x=E［（X-£（x）/］o£、切比雪夫不等式{因一片（乂）|之£}萼或142P{|X—E（X）|E}W1-逑）贝努利大数定律!吧P—〃e}=l、独立同分布序列的切比雪夫大数定律因尸］:厂152*-JU£\一所以盘尸］卜£乂,一14g1=l、独立同分布序列的中心极限定理16

（1）、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和Z”=YXi的分布近似于正态分布NS,/）/=1

（2）、对于X1,X,,...X〃的平均值歹=,有E（x）=iyE（x.）=^=A,D（X）=4Y^（X,.）=^=—,即独立同分布的随机7v〃汽n n~”几ZT变量的均值当充分大时，近似服从正态分布n N4,Jn

3、由上可知:lmP[aZ b]=DZ-

①〃=P[aZ b\、

①b-

①⑷lt n、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理设是次独立重复试验中事件发生的次数，是事件发生的概率，则对任意儿17m nA pAPx=

①r,其中q=\-plim0当充分大时，近似服从正态分布，Nnp,npql^n m、当充分大时，‘近似服从正态分布，nn2n/VA—o、参数的矩估计和似然估计参见18P

200、正态总体参数的区间估计19所估参数条件估计函数置信区间==五7几已知氏-%*，元+〃2O-2b a*]2[亍一，〃一a I-/=,7=]未知M2y/nIS未知2I，*Z=b4rn-l52n-1/片〃心〃T T-12222”工一歹-1叩a\=%3-〃22n na%V勺+%亍一y土％〃i+〃2—2”“、3}2未知其中二52Ts；+%-[$；/学,s；/s；f七（勺一1,〃2-1）‘产（4一1,〃2一1）-091——2从，〃222^1_F=25；CT；未知2（）、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见P243和P248。