《高级微积分教学》课件

高级微积分教学欢迎来到高级微积分教学课程本课程旨在深入探讨微积分的核心概念和理论，帮助学生建立坚实的数学基础，并发展解决复杂问题的能力我们将从极限与连续性开始，逐步深入到微分学、积分学、多元函数以及级数和微分方程的学习中无论你是数学专业学生还是工程、物理等相关专业的学习者，掌握高级微积分都将为你未来的学术和职业发展提供强大支持让我们一起踏上这段数学探索之旅！课程概述课程目标主要内容培养学生系统掌握高等微积分课程分为六大章节极限与连的基本理论、计算方法和应用续性、一元函数微分学、一元技能通过本课程学习，学生函数积分学、多元函数微积分将能够理解微积分的本质，建、无穷级数和常微分方程每立严谨的数学思维，并能独立个章节包含多个小节，从基础分析和解决实际问题概念到高级应用，循序渐进学习方法理论与实践相结合，重视概念理解与计算能力并重课后习题是巩固知识的关键，建议学生定期复习，及时解决疑问，积极参与讨论和小组学习活动第一章极限与连续性极限概念1理解数列极限和函数极限的定义，掌握ε-δ语言描述极限的方法极限运算2学习极限的运算法则，掌握无穷小量的比较方法及重要极限公式的应用连续性3研究函数的连续性概念，了解间断点的分类，掌握一致连续性的判断方法数列极限

1.1定义数列{an}的极限是指当n趋向于无穷大时，数列项无限接近的某个确定值A用ε-N语言表述对任意给定的ε0，存在正整数N，使得当nN时，有|an-A|ε记作limn→∞an=A性质极限具有唯一性、有界性、保号性等基本性质若数列有极限，则该数列必有界；若极限大于零，则从某项起数列的所有项都大于零；两个数列极限存在时，其和、差、积、商的极限可按照相应规则计算常见数列极限一些重要的数列极限例如limn→∞1+1/n^n=e；limn→∞n^1/n=1；limn→∞n·sin1/n=1等掌握这些基本极限有助于解决更复杂的极限问题函数极限

1.2定义语言单侧极限ε-δ当自变量x趋于某个值x₀或无穷大对于任意给定的ε0，存在δ0，使左极限limx→x₀-fx表示x从小时，函数值fx无限接近于某个确定得当0|x-x₀|δ时，有|fx-于x₀的方向趋近x₀时的极限；右值A，则称A为函数fx当x→x₀或A|ε这种表述方式严格定义了函极限limx→x₀+fx表示x从大于x→∞时的极限，记作数极限，是理解极限本质的重要工具x₀的方向趋近x₀时的极限函数limx→x₀fx=A或，也是证明极限存在的标准方法在x₀处极限存在的充要条件是左右limx→∞fx=A极限都存在且相等无穷小量与无穷大量

1.31无穷小量定义2无穷大量定义3比较方法如果函数fx当x→x₀或x→∞时的极如果函数fx当x→x₀或x→∞时，其若limα/β=0，则称α为比β高阶的限为零，则称fx为当x→x₀或x→∞绝对值|fx|可以大于任何给定的正无穷小量，记作α=oβ；若时的无穷小量无穷小量不是一个固数M，则称fx为当x→x₀或x→∞时limα/β=∞，则称α为比β低阶无穷定的小数，而是一个变量，其极限为的无穷大量无穷大量也是变量，而小量；若limα/β=c≠0，则称α与β零例如，当x→∞时，1/x是无穷小不是固定的大数例如，当x→0时，为同阶无穷小量；若limα/β=1，量1/x是无穷大量则称α与β为等价无穷小量，记作α~β极限运算法则

1.4四则运算复合函数夹逼准则若lim fx=A，lim若lim gx=B，且若存在函数gx=B，则函数f在点B连续，则gx≤fx≤hx，lim[fx±gx]=A±lim fgx=flim且lim gx=limB；gx=fB这一法hx=A，则limlim[fx·gx]=A·B则要求内层函数的极fx=A夹逼准则特；若B≠0，则限存在，且外层函数别适用于那些直接计lim[fx/gx]=A/在该点连续，这是复算困难的极限，如B这些规则大大简合函数极限计算的基limx→0sin化了极限的计算过程础x/x=1的证明就常用，但使用前必须确保此法相关极限存在重要极限

1.5常见重要极限等价无穷小两个基本极限limx→0sin x/x=1和e的定义当x→0时，常见的等价无穷小替换sin x~limx→∞1+1/x^x=e这两个极限是解自然对数的底e定义为e=x，tan x~x，arcsin x~x，arctan x~x决很多其他极限问题的基础，需要牢记并灵limn→∞1+1/n^n这个极限在数学分析，ln1+x~x，e^x-1~x，1+x^a-1~活应用通过变形，可以推导出许多其他形中有重要地位，e≈

2.71828是一个无理数，ax等这些等价关系大大简化了极限计算，式的重要极限也是自然对数ln x的底数，在微积分和概率论特别是在处理复杂表达式时中有广泛应用函数的连续性

1.6间断点类型可去间断点极限存在但不等于函数值或函数值不存在；跳跃间断点定义2左右极限存在但不相等；无穷间断点至少一侧极限为无穷大；振函数fx在点x₀连续，是指荡间断点极限不存在且不是无穷1limx→x₀fx=fx₀即函数大在该点的极限存在且等于函数值若函数在区间上每一点都连续，则连续函数性质称函数在该区间上连续闭区间上的连续函数具有重要性质3有界性、最大值最小值定理、介值定理和零点定理这些性质是分析函数行为的基础工具一致连续性

1.7定义与普通连续性的区别重要定理函数fx在区间I上一致连续，是指对普通连续性是针对每个点定义的，允闭区间上的连续函数必定一致连续（任意给定的ε0，存在δ0，使得对区许不同点选择不同的δ；而一致连续性柯西一致连续性定理）这个定理为间I上任意两点x₁和x₂，当|x₁-是针对整个区间定义的，要求所有点研究函数性质提供了重要工具，它保x₂|δ时，都有|fx₁-fx₂|ε都使用同一个δ一致连续性比普通连证了闭区间上连续函数行为的良好性一致连续性要求在整个区间上用同一续性更强，普通连续函数不一定一致，是积分理论中的基础结论个就能控制函数值的变化连续δ第二章一元函数微分学导数与微分1函数变化率的度量导数的应用2极值问题与优化微分中值定理3连接导数与函数性质泰勒公式4函数的多项式近似函数图像分析5全面应用导数知识导数的定义

2.1平均变化率瞬时变化率左右导数函数fx在区间[x₀,x₀+Δx]上的函数fx在点x₀处的瞬时变化率，函数fx在点x₀处的左导数平均变化率定义为[fx₀+Δx-即导数，定义为f_x₀是指Δx从负值趋于零时的fx₀]/Δx，表示函数值变化与自fx₀=limΔx→0[fx₀+Δx-导数极限；右导数f+x₀是指Δx变量变化的比值几何上，它等于函fx₀]/Δx这一极限若存在，则从正值趋于零时的导数极限函数在数图像上两点连线的斜率，反映了函称函数在该点可导瞬时变化率反映点x₀可导的充要条件是左右导数都数在有限区间内的整体变化速度了函数在某一点的变化趋势存在且相等导数的几何意义

2.2切线法线函数图像的斜率函数fx在点x₀,fx₀处的导数法线是垂直于切线的直线，通过点导数fx的值反映了函数图像在各点fx₀等于函数图像在该点处切线的x₀,fx₀且与切线垂直如果导处的斜率变化当fx0时，函数递斜率切线方程可表示为y-数fx₀≠0，则法线的斜率为-增；当fx0时，函数递减；当fx₀=fx₀x-x₀通过导数值1/fx₀，法线方程为y-fx₀=-fx=0时，函数可能出现水平切线，，我们可以准确描述曲线在某点的倾1/fx₀x-x₀若fx₀=0，则这些点可能是函数的极值点或拐点斜程度和变化趋势法线方程为x=x₀导数的运算法则

2.31和差积商法则2复合函数求导3反函数求导若函数ux和vx可导，则链式法则若y=fu，u=gx，且若函数y=fx在区间I上严格单调且u±v=u±v；uv=uv+uv；f在u处可导，g在x处可导，则复合可导，且fx≠0，则其反函数u/v=uv-uv/v²（v≠0）这函数y=fgx在x处可导，且x=f⁻¹y在对应区间上也可导，且些基本法则是计算复杂函数导数的f∘gx=fgx·gx链式法[f⁻¹y]=1/ff⁻¹y这一法基础，使我们能够将复杂函数拆分则是处理嵌套函数求导的关键工具则将反函数的导数与原函数的导数为简单函数的组合进行求导，在实际应用中非常广泛建立联系高阶导数

2.4定义1函数fx的导数fx若可导，则其导数称为fx的二阶导数，记作fx或f^2x依此类推，n阶导数表示对函数求n次导数，记作f^nx高阶导数描述了函数变化率的变化率莱布尼茨公式2uv^n=Σk=0to nCn,ku^n-kv^k，其中Cn,k表示组合数这一公式是计算两个函数乘积的高阶导数的通用方法，适用于任意可导足够多次的函数u和v常见函数的高阶导数多项式函数求导n次后，阶数降低n；指数函数e^ax的各阶导3数都是a^n·e^ax；三角函数sinax和cosax的高阶导数具有周期性，每4次求导回到原函数（差一个系数）隐函数求导

2.5定义求导步骤例题分析隐函数是指由方程Fx,y=0隐含表达的函数对方程Fx,y=0两边对x求导，注意将y视为例如，对方程x²+y²=1，求y对等式两边关系y=fx，其中函数f可能无法显式表示x的函数，即y=yx利用复合函数求导法隐式求导得2x+2yy=0，解得y=-x/y这当方程F满足一定条件时，可以利用隐函数则得到包含y的方程，然后解出y计算时种方法特别适用于难以求解的显式函数，简存在定理确定隐函数的存在性和可导性需要应用链式法则和全微分概念化了计算过程参数方程求导

2.6求导方法若参数方程{x=xt,y=yt}满足xt≠0，则定义2dy/dx=dy/dt/dx/dt=yt/x参数方程是用参数t表示的方程组t二阶导数可由1{x=xt,y=yt}，其中xt和d²y/dx²=ddy/dx/dx=ddy/dxyt是关于参数t的函数参数方程/dt/dx/dt计算应用实例可以表示一些用显式函数y=fx难以表示的曲线例如，圆的参数方程{x=r·cos t,3y=r·sin t}，求dy/dx计算得xt=-r·sin t，yt=r·cos t，因此dy/dx=yt/xt=-cot t微分中值定理

2.71罗尔定理2拉格朗日中值定理如果函数fx满足1在闭如果函数fx满足1在闭区间[a,b]上连续；2在开区间[a,b]上连续；2在开区间a,b内可导；区间a,b内可导；则存在至3fa=fb；则存在至少少一点ξ∈a,b，使得一点ξ∈a,b，使得fξ=0fξ=fb-fa/b-a几何意义曲线上至少有几何意义曲线上至少有一一点的切线平行于x轴点的切线平行于端点连线3柯西中值定理如果函数fx和gx满足1在闭区间[a,b]上连续；2在开区间a,b内可导；3对任意x∈a,b，gx≠0；则存在至少一点ξ∈a,b，使得[fb-fa]/[gb-ga]=fξ/gξ洛必达法则

2.8型∞/∞型注意事项0/0若函数fx和gx满足类似地，若函数fx和gx满足洛必达法则的使用要求确保原极限1limx→afx=limx→agx=01limx→afx=±∞，确实为0/0或∞/∞型不定式；验证所或同时为无穷大；2在点a的某去心limx→agx=±∞；2满足上述有前提条件；注意可能需要多次应用邻域内，fx和gx都存在且其他条件；则极限值同样可由法则；有时其他方法（如等价无穷小gx≠0；3limx→afx/gx fx/gx的极限确定这种情况下替换）可能更简便滥用洛必达法则存在（或为无穷大）；则，洛必达法则通过比较函数的变化率可能导致计算复杂化limx→afx/gx=limx→afx解决无穷大类型的不定式/gx泰勒公式

2.9定义1若函数fx在点x₀的某邻域内有n+1阶导数，则fx可以表示为fx=fx₀+fx₀x-x₀+fx₀x-常见函数展开式2x₀²/2!+...+f^nx₀x-x₀^n/n!+R_nx，其中R_nx为余项，表示近似的误差当x₀=0时，称为麦克劳林展开式常见函数的麦克劳林展开式e^x=1+x+x²/2!+...；sin x=x-x³/3!+x^5/5!-...；cos x=1-余项估计x²/2!+x^4/4!-...；ln1+x=x-x²/2+x³/3-...（|x|1）；31+x^α=1+αx+αα-1x²/2!+...（|x|1）拉格朗日余项R_nx=f^n+1ξx-x₀^n+1/n+1!，其中ξ介于x₀与x之间；佩亚诺余项R_nx=ox-x₀^n，表示x-x₀^n的高阶无穷小余项估计对确定泰勒展开的精度和收敛性非常重要函数的单调性与极值

2.10单调性判断若在区间I上，对任意x₁0，则fx在对应区间上单调递增；若fx0，则fx在对应区间上单调递减单调性是分析函数基本性质的重要工具极值的必要条件若函数fx在点x₀处可导且取得极值，则fx₀=0这些使得导数为零的点称为函数的驻点注意，导数为零是极值点的必要条件，但非充分条件，满足条件的点也可能不是极值点极值的充分条件若fx₀=0且fx₀0，则fx在x₀处取得极大值；若fx₀=0且fx₀0，则fx在x₀处取得极小值若fx₀=0，则需要通过更高阶导数或单调性分析判断也可利用导数符号变化判断若fx在过x₀时由正变负，则x₀为极大值点；反之为极小值点函数的凹凸性与拐点

2.11凹凸性定义拐点判断若在区间I上，对任意x₁若函数fx在点x₀连续，且在该点的左右凹凸性相反，则点x₀,fx₀为函数图像的拐点拐点是函数图像凹凸性发生改变的点，几何上表现为曲线弯曲方向的变化点二阶导数符号若二阶导数fx0，则函数fx在对应区间上是凸函数（下凸）；若fx0，则函数fx在对应区间上是凹函数（上凸）；若fx₀=0且fx在x₀处变号，则点x₀,fx₀为函数图像的拐点曲线的渐近线

2.12水平渐近线垂直渐近线斜渐近线若limx→±∞fx=b若若limx→±∞[fx-，则直线y=b是函数limx→a⁺fx=±∞kx+b]=0，则直线fx的水平渐近线水或y=kx+b是函数fx的平渐近线表示当自变量limx→a⁻fx=±∞斜渐近线，其中趋于正负无穷时，函数，则直线x=a是函数k=limx→±∞fx/x值无限接近某个常数值fx的垂直渐近线垂（若存在），一个函数最多有两条直渐近线通常出现在函b=limx→±∞[fx-不同的水平渐近线，分数的分母趋近于零的点kx]斜渐近线表示函别对应x→+∞和x→-∞附近，表示函数在接近数在远处近似于一条直的情况某个特定点时值急剧增线，常见于有理函数中大或减小分子次数比分母次数恰好大1的情况函数图像描绘

2.13步骤概述描绘函数图像的基本步骤确定定义域；判断奇偶性和周期性；确定函数的间断点；求导数并分析单调性和极值点；求二阶导数并分析凹凸性和拐点；确定渐近线；特殊点计算（如截距）；综合以上信息绘制图像典型例题以函数fx=x²e^-x为例，定义域为全体实数；无奇偶性和周期性；连续无间断点；导数fx=2-xxe^-x，令fx=0得极值点x=0和x=2；二阶导数分析表明x=0为极小值点，x=2为极大值点；当x→±∞时函数趋于0，有水平渐近线y=0注意事项函数图像分析要全面系统，特别注意特殊点（如驻点、不可导点）的处理；对于复杂函数，可以分区间分析，并重点关注函数值的变化趋势；最后绘制时要保证不同特征（如极值点、拐点、渐近线）之间的关系合理第三章一元函数积分学不定积分1原函数的求解定积分2区间累加的精确值积分技巧3变量替换与分部积分特殊积分4反常积分与特殊函数积分应用5几何与物理问题解决不定积分的概念

3.1原函数不定积分的性质基本积分表若对于区间I上的所有点x，都有

1.∫[fx±gx]dx=∫fxdx±常见基本积分公式∫x^n dx=Fx=fx，则称Fx为fx在区间∫gxdx；

2.∫kfxdx=k∫fxdx x^n+1/n+1+C n≠-1；∫dx/xI上的一个原函数一个函数的原函（k为常数）；

3.∫fxdx=Fx+=ln|x|+C；∫e^x dx=e^x+C；数如果存在，则有无穷多个，它们之C，其中Fx=fx，C为任意常数∫sin x dx=-cos x+C；∫cos xdx间相差一个常数不是所有函数都有不定积分表示的是一族函数，而非=sin x+C；∫dx/√1-x²=arcsin原函数，例如无处连续函数单个函数x+C等熟练掌握这些基本公式是解决积分问题的基础换元积分法

3.21第一类换元法2第二类换元法设u=φx是x的可微函数，且设x=ψt，且ψt存在，则存在∫fudu，则∫fxdx=∫fψtψtdt∫fφxφxdx=这种方法通过将自变量x替换∫fudu|u=φx这种方法为新变量t，使被积函数形式适用于被积函数中包含复合函简化计算完成后，需要将结数的情况，通过适当的变量替果表示为关于原变量x的函数换简化积分例如∫cos2xdx可令u=2x3常见替换遇到√a²-x²可尝试令x=a·sin t或x=a·cos t；遇到√x²±a²可令x=a·tan t或x=a·sinh t；遇到√a²-x²/x可令x=a·sin t；三角函数积分可利用三角恒等式进行变形选择合适的替换变量是解决积分问题的关键技巧分部积分法

3.3应用条件分部积分法特别适用于被积函数为两类不同函数的乘积，如指数函数与多项式的乘积；三角函数与多项式的乘积；对数函公式2数与多项式的乘积；反三角函数与多项式的乘积通常令其中一个较容易求导、另分部积分公式∫uxvxdx=一个较容易积分的函数为u1uxvx-∫uxvxdx这一公式源自积分和导数的关系，可以理解为复合函例题分析数导数公式uv=uv+uv的积分形式例如∫x·sin xdx，令u=x，dv=sin xdx选取合适的u和v是应用分部积分法的，则du=dx，v=-cos x，得∫x·sin xdx=关键3-x·cos x+∫cos xdx=-x·cos x+sin x+C有时可能需要多次应用分部积分法，如∫x²·e^xdx有些特殊积分如∫e^x·sinx dx会形成方程组有理函数积分

3.4真分式与假分式1有理函数是指两个多项式的商Px/Qx若分子多项式的次数小于分母的次数，则称为真分式；否则称为假分式任何假分式都可以通过多项式长除法表示为多项式与真分式之和积分时多项式部分可直接积分，核心是处理真分式部分部分分式展开2任何真分式都可以分解为若干个最简分式之和

1.对应实根x-a^k的分式A₁/x-a+A₂/x-a²+...+A/x-a^k；

2.对应复二次因式ₖx²+px+q^m的分式B₁x+C₁/x²+px+q+...+B x+C/x²+px+q^mₘₘ积分步骤3先将分式分解为最简分式之和，然后对各部分分别积分对于x-a^k形式的分母，积分结果是ln|x-a|或x-a^-k-1形式；对于x²+px+q^m形式的分母，积分可能涉及反三角函数或对数函数求解系数时，可采用待定系数法、展开比较系数法或取特殊值法三角函数有理式积分

3.5万能替换三角代换对于三角函数有理式∫Rsin x,对于特殊形式积分，常用的替换包cos xdx，可通过万能替换括∫sin^m x·cos^n xdx，当mt=tanx/2将其转化为有理函数或n为奇数时，可分离出一个sin x积分此时有sin x=2t/1+t²，或cos x乘以剩余的偶次幂；当mcos x=1-t²/1+t²，dx=和n都为偶数时，可利用降幂公式2dt/1+t²这种替换适用于任何如sin²x=1-cos2x/2和三角函数有理式，但计算可能较为cos²x=1+cos2x/2转换复杂常见积分型∫sin^m x·cos^n xdx m≥0,n≥0；∫sin mx·sin nxdx；∫cos mx·cosnx dx；∫sin mx·cos nxdx；∫tan^m x·sec^n xdx等这些积分可通过三角恒等式、分部积分或合适的替换来处理例如，∫sin mx·cos nxdx可用积化和差公式简化某些无理函数积分

3.6二次根式三角替换例题讲解含有√ax²+bx+c的积对于√a²-x²型，令例如∫dx/√4-x²，令分，可通过完全平方或x=a·sin t，则√a²-x=2·sin t，则换元法转化为标准形式x²=a·cos t；对于dx=2·cos tdt，√4-对于√a²-x²、√x²-a²型，令x²=2·cos t，原积分变√x²-a²或√x²+a²x=a·sec t，则√x²-为，可分别用x=a·sin t、a²=a·tan t；对于∫dt=t+C=arcsinx/2x=a·sec t或x=a·tan t√x²+a²型，令+C又如∫dx/√x²-进行替换，将无理式转x=a·tan t，则4，令x=2·sec t，则原化为三角函数，从而简√x²+a²=a·sec t这积分可化为化积分些替换使无理式变为有∫dt=t+C=arcsecx/2理式，便于积分+C这些例题展示了三角替换的强大效力定积分的概念

3.7黎曼和定积分的性质几何意义将区间[a,b]分为n个子区间，在每个

1.线性性∫_a^b[k·fx+gx]dx当fx≥0时，∫_a^b fxdx表示函子区间[x_i-1,x_i]上取一点ξ_i=k∫_a^b fxdx+∫_a^b gxdx数fx的图像与x轴及x=a、x=b所围，构造和式；

2.积分区间可加性∫_a^c成的平面图形的面积更一般地，定S_n=Σi=1→nfξ_i·Δx_i，其中fxdx+∫_c^b fxdx=∫_a^b积分可理解为带符号的面积，表示曲Δx_i=x_i-x_i-1当最大子区fxdx；

3.不等式性质若线与横轴之间的区域面积，上部取正间长度趋于零时，若S_n的极限存在fx≤gx，则∫_a^b fxdx≤，下部取负这种几何解释使得定积，则称此极限为函数fx在区间∫_a^b gxdx；

4.绝对值不等式分概念更加直观[a,b]上的定积分，记为∫_a^b|∫_a^b fxdx|≤∫_a^b|fx|dxfxdx微积分基本定理

3.8牛顿-莱布尼茨公式若函数fx在区间[a,b]上连续，Fx是fx的任意一个原函数，则有∫_a^b fxdx=Fb-Fa，通常记作[Fx]_a^b这一公式建立了定积分与不定积分的联系，提供了计算定积分的便捷方法变限积分求导若函数fx在区间[a,b]上连续，定义可导函数φx=∫_a^x ftdt，则φx=fx这一关系表明变上限积分函数的导数等于被积函数，若φx=∫_gx^hx ftdt，则φx=fhx·hx-fgx·gx例题分析计算∫_0^πsin xdx利用牛顿-莱布尼茨公式，∫_0^πsin xdx=[-cos x]_0^π=-cosπ--cos0=--1--1=2变限积分求导例题若φx=∫_0^x²sin tdt，求φx应用变限积分求导公式得φx=sinx²·2x=2x·sinx²定积分的换元法

3.9有限区间换元若函数fx在区间[a,b]上连续，x=φt在区间[α,β]上具有连续导数，且φα=a，φβ=b，则∫_a^b fxdx=∫_α^βfφt·φtdt这种方法通过变量替换简化被积函数，注意替换后积分区间的对应变化无限区间换元对于无穷限的定积分，变量替换需特别注意积分区间的变化若x=φt单调并且φα=a，φ∞=∞，则∫_a^∞fxdx=∫_α^∞fφt·φtdt类似地，若φ-∞=-∞，则∫_-∞^b fxdx=∫_-∞^βfφt·φtdt注意事项定积分换元时，可以直接在积分号内替换变量和积分限，无需单独计算新的积分限；对于含参数的定积分，需注意参数与变量的区别；某些特殊定积分，如∫_a^b fxdx=∫_a^b fa+b-xdx（偶函数性质）可简化计算；有些定积分可以通过对称性质避免复杂计算定积分的分部积分法

3.101公式推导2应用条件由分部积分公式∫ux·vxdx=定积分分部积分法的应用场景与ux·vx-∫ux·vxdx，得不定积分相同，适用于被积函数到定积分形式∫_a^b为两类不同函数的乘积选择uux·vxdx=和v时，应使∫ux·vxdx比原[ux·vx]_a^b-∫_a^b积分更容易计算，若两个积分形ux·vxdx这一公式可理解式相似，可能形成方程求解，如为分部积分法在定积分中的应用∫_0^πsin x·cos xdx可通过分，通过适当选择u和v可简化计算部积分建立方程3例题讲解计算∫_0^1x·ln xdx令u=ln x，dv=x·dx，则du=dx/x，v=x²/2应用分部积分公式得∫_0^1x·ln xdx=[x²/2·ln x]_0^1-∫_0^1x²/2·1/xdx=0-∫_0^1x/2dx=-[x²/4]_0^1=-1/4注意处理变量表达式在区间端点处的极限反常积分

3.11∞0无穷限反常积分无界函数反常积分形如∫_a^∞fxdx或∫_-∞^b fxdx或若fx在点c处无界（c为a或b或a,b内点），∫_-∞^∞fxdx的积分，通过极限定义则∫_a^b fxdx被称为无界函数反常积分例∫_a^∞fxdx=limt→∞∫_a^t fxdx（如，∫_a^c fxdx=limt→c-∫_a^t若此极限存在）∫_-∞^∞fxdx=∫_-fxdx（若此极限存在）若fx在多点无界∞^c fxdx+∫_c^∞fxdx，其中c为任意，需将积分区间分段处理，每段单独考察收敛实数性p收敛性判别比较判别法若0≤fx≤gx，则∫_a^∞gxdx收敛则∫_a^∞fxdx也收敛；p-判别法∫_a^∞1/x^p dx当且仅当p1时收敛，∫_0^11/x^p dx当且仅当p1时收敛；绝对收敛性若∫|fx|dx收敛，则∫fxdx也收敛定积分的应用

3.12定积分在计算几何量方面有广泛应用曲线围成的面积可以通过定积分S=∫_a^b fxdx（当fx≥0）或S=∫_a^b[fx-gx]dx（当fx≥gx）计算旋转体体积计算采用圆盘法V=π∫_a^b[fx]²dx（绕x轴旋转）或圆环法V=2π∫_a^b x·fxdx（绕y轴旋转）曲线长度公式为L=∫_a^b√1+[fx]²dx，曲面面积公式为S=2π∫_a^b fx·√1+[fx]²dx（绕x轴旋转）物理应用包括质心、转动惯量、功和压力等计算，都可以通过定积分进行精确表述和计算这些应用展示了微积分连接数学和物理世界的强大能力第四章多元函数微积分多元函数基础多元微分学多元函数的极限、连续性、偏导数梯度、方向导数、多元函数极值问12和全微分的基本理论，为多元微积题和条件极值的分析方法，是优化分奠定基础问题的数学基础曲线与曲面积分多重积分第一类和第二类曲线积分、曲面积二重积分、三重积分的计算方法和43分，以及格林公式、高斯公式等重应用，是计算复杂几何体积和质量要积分定理的有力工具多元函数的极限与连续

4.1定义性质函数fx,y在点x₀,y₀处的极限多元函数极限的性质与一元函数相为A，表示当点x,y沿任意路径趋似，包括唯一性、有界性、局部有近于点x₀,y₀时，函数值fx,y界性、保号性等多元函数极限存都趋近于同一个确定的值A用ε-δ在的一个必要条件是沿任意路径语言表述为对任意给定的ε0，趋近于点x₀,y₀时，函数值都趋存在δ0，使得当0√x-于同一个确定的值这一特性使得x₀²+y-y₀²δ时，有多元函数极限的判断更为复杂|fx,y-A|ε连续性判断函数fx,y在点x₀,y₀连续，是指limx,y→x₀,y₀fx,y=fx₀,y₀多元函数连续性的判断常采用沿不同路径取极限的方法，若沿不同路径所得极限不同，则极限不存在，函数在该点不连续常见不连续点类型包括可去不连续点、跳跃不连续点等偏导数

4.2定义几何意义高阶偏导数函数z=fx,y对x的偏导数定义为∂z/∂x在几何上表示曲面z=fx,y与函数fx,y的二阶偏导数有四种∂z/∂x=limΔx→0[fx+Δx,y-平面y=y₀相交所得曲线在点∂²f/∂x²,∂²f/∂y²,∂²f/∂x∂y,fx,y]/Δx，表示当y保持不变，函x₀,y₀,fx₀,y₀处切线的斜率∂²f/∂y∂x若混合偏导数∂²f/∂x∂y数值随x变化的变化率类似地，对；∂z/∂y表示曲面z=fx,y与平面和∂²f/∂y∂x在区域D内连续，则在Dy的偏导数∂z/∂y表示x保持不变时，x=x₀相交所得曲线在同一点处切线内这两个混合偏导数相等（斯威茨定函数值随y变化的变化率的斜率这些切线都位于曲面的切平理）高阶偏导数描述了函数随各个面上变量变化的更复杂关系全微分

4.3可微条件函数z=fx,y在点x₀,y₀可微的充要条件是函数在该点的全增量Δz=fx₀+Δx,y₀+Δy-fx₀,y₀可表示为Δz=A·Δx+B·Δy+oρ，其中定义2ρ=√Δx²+Δy²，A和B为常数若函数可微，则A=∂z/∂x|x₀,y₀，函数z=fx,y的全微分定义为1B=∂z/∂y|x₀,y₀dz=∂z/∂x·dx+∂z/∂y·dy，其中dx和dy是自变量x和y的微小增量全微分表示当自全微分形式不变性变量发生微小变化时，函数值的相应变化，是偏导数的线性组合若z=fu,v，而u=ux,y，v=vx,y，则z3关于x,y的全微分可表示为dz=∂z/∂u·∂u/∂x+∂z/∂v·∂v/∂xdx+∂z/∂u·∂u/∂y+∂z/∂v·∂v/∂ydy这种性质称为全微分形式不变性，对于计算复杂函数的微分非常有用复合函数的偏导数

4.4链式法则若z=fu,v，u=ux,y，v=vx,y，则z关于x的偏导数为∂z/∂x=∂z/∂u·∂u/∂x+∂z/∂v·∂v/∂x；类似地，z关于y的偏导数为∂z/∂y=∂z/∂u·∂u/∂y+∂z/∂v·∂v/∂y这一法则是一元函数链式法则在多元函数中的推广全微分形式复合函数的全微分可以通过链式法则得到dz=∂z/∂u·du+∂z/∂v·dv，其中du=∂u/∂x·dx+∂u/∂y·dy，dv=∂v/∂x·dx+∂v/∂y·dy将du和dv代入z的全微分表达式，即可得到z关于x和y的全微分例题分析若z=fu,v=u²+v²，u=x+y，v=x-y，求∂z/∂x和∂z/∂y应用链式法则∂z/∂x=∂z/∂u·∂u/∂x+∂z/∂v·∂v/∂x=2u·1+2v·1=2x+y+2x-y=4x；同理∂z/∂y=∂z/∂u·∂u/∂y+∂z/∂v·∂v/∂y=2u·1+2v·-1=2x+y-2x-y=4y隐函数求导

4.51一个方程的隐函数2方程组的隐函数若函数Fx,y=0满足偏导数连续若方程组{Fx,y,u,v=0,且∂F/∂y≠0，则由该方程隐含确Gx,y,u,v=0}确定隐函数定的函数y=fx在对应区域内可u=ux,y,v=vx,y，且雅可比行导，且导数dy/dx=-列式∂F,G/∂u,v≠0，则∂u/∂x∂F/∂x·1/∂F/∂y例如，对方程可通过解方程组x²+y²=1，计算dy/dx有{∂F/∂x+∂F/∂u·∂u/∂x+∂F/∂v·∂∂F/∂x=2x，∂F/∂y=2y，因此v/∂x=0,dy/dx=-2x/2y=-x/y∂G/∂x+∂G/∂u·∂u/∂x+∂G/∂v·∂v/∂x=0}得到，求∂u/∂y等其他偏导数方法类似3应用实例物理学中，气体状态方程pV=nRT隐含确定了压强p、体积V、温度T之间的关系若需研究体积V随温度T变化的关系∂V/∂T_p，可应用隐函数求导法则类似地，热力学中的麦克斯韦关系、经济学中的需求函数等，常需运用隐函数求导方法分析变量间的相互影响方向导数与梯度

4.6方向导数定义梯度定义几何意义函数fx,y在点P₀x₀,y₀沿单位向量函数fx,y在点P₀x₀,y₀处的梯度定方向导数在几何上表示三维空间中曲面l=cosα,sinα的方向导数定义为极限义为向量grad fx₀,y₀=∂f/∂x,z=fx,y上一点处，曲面被垂直于平面方∂f/∂l=limt→0[fx₀+t·cosα,∂f/∂y|x₀,y₀，记作∇fx₀,y₀向为l的平面所截得的曲线的切线的斜率y₀+t·sinα-fx₀,y₀]/t，若该极限存梯度是一个向量，其方向指向函数值增加梯度向量垂直于等值线（或等高线），指在方向导数表示函数沿特定方向的变化最快的方向，大小表示该最大方向导数的向上坡最陡的方向函数在任意方向l上率，是一元导数在多维空间的推广值梯度与等值线正交的方向导数可表示为∂f/∂l=∇f·l=|∇f|·cosθ，其中θ为梯度向量与方向l的夹角多元函数的极值

4.7驻点充分条件若函数fx,y的偏导数∂f/∂x=0，∂f/∂y=0，则点x₀,y₀称为函数的驻点（或临设x₀,y₀是函数fx,y的驻点，且二阶偏导数在该点连续，令界点）驻点是函数可能取得极值的点，但不是所有驻点都是极值点函数在某点A=∂²f/∂x²|x₀,y₀，B=∂²f/∂x∂y|x₀,y₀，C=∂²f/∂y²|x₀,y₀，判别式取得极值是指在该点附近的所有其他点，函数值均大于（极小值）或小于（极大值Δ=AC-B²若Δ0且A0，则x₀,y₀为极大值点；若Δ0且A0，则为极小值）该点的函数值点；若Δ0，则为鞍点（非极值点）；若Δ=0，需进一步判断123必要条件若函数fx,y在点x₀,y₀处可微且取得极值，则该点必须是驻点，即∂f/∂x|x₀,y₀=0，∂f/∂y|x₀,y₀=0这是多元函数极值点的必要条件，类似于一元函数极值点处导数为零的条件当某点的偏导数不存在时，该点也可能是极值点条件极值

4.8拉格朗日乘数法例题讲解经济学应用求解带约束条件求解约束条件x²+y²=1在经济学中，条件极值gx,y=0下函数fx,y下函数fx,y=x+2y的问题常用于解决效用最的极值，引入拉格朗日极值引入拉格朗日乘大化或成本最小化问题函数Lx,y,λ=fx,y-数λ，构造函数例如，消费者在预算λgx,y，然后求解方程Lx,y,λ=x+2y-约束下寻求效用最大化组{∂L/∂x=0,λx²+y²-1对x,y,λ分；企业在成本约束下追∂L/∂y=0,∂L/∂λ=0}别求偏导并令其为0，得求产出最大化；投资者这等价于求解到{1-2λx=0,2-2λy=0,在风险约束下寻求回报{∂f/∂x=λ·∂g/∂x,x²+y²=1}解得候选点最大化拉格朗日乘数λ∂f/∂y=λ·∂g/∂y,√5/5,2√5/5和-有明确经济意义，表示gx,y=0}该方法将√5/5,-2√5/5，分别约束条件变动对目标函条件极值问题转化为无对应极大值和极小值数的影响率，如预算约条件极值问题束中的边际效用二重积分

4.9定义性质设函数fx,y在有界闭区域D上有界二重积分的主要性质线性性；积分，将D分割为n个小区域ΔSᵢ，在每个区域可加性；不等式性质（若小区域内取一点ξᵢ,ηᵢ，构造黎曼和fx,y≤gx,y，则∬_D fx,ydxdyS_n=Σi=1→nfξᵢ,ηᵢ·ΔSᵢ当最大≤∬_D gx,ydxdy）；若fx,y≥0分割区域直径趋于零时，若S_n极限，则∬_D fx,ydxdy≥0二重积存在，则称此极限为fx,y在区域D分可理解为函数图像与xy平面所围成上的二重积分，记作∬_D的三维体积fx,ydxdy或∬_D fx,ydS计算方法二重积分常通过化为重积分计算对于直角坐标系中的一般区域D，有∬_Dfx,ydxdy=∫_a^b[∫_φ₁x^φ₂x fx,ydy]dx或∫_c^d[∫_ψ₁y^ψ₂y fx,ydx]dy对于复杂区域，可考虑换元法，如极坐标变换∬_D fx,ydxdy=∬_D fr·cosθ,r·sinθ·r drdθ三重积分

4.10定义1三重积分∭_Ωfx,y,zdxdydz的定义类似于二重积分，表示函数fx,y,z在三维空间区域Ω上的累加效果当函数fx,y,z=1时，三重积分等于区域Ω的体积；当fx,y,z表示密度函数时，三重积分表示区域Ω的总质量计算方法三重积分可以化为多重积分计算在直角坐标系中，对于形如Ω={x,y,z|a≤x≤b,2φ₁x≤y≤φ₂x,ψ₁x,y≤z≤ψ₂x,y}的区域，有∭_Ωfx,y,zdxdydz=∫_a^b[∫_φ₁x^φ₂x[∫_ψ₁x,y^ψ₂x,y fx,y,zdz]dy]dx积分次序可以调整，视问题性质选择最合适的计算顺序柱坐标和球坐标柱坐标变换x=r·cosθ,y=r·sinθ,z=z，雅可比行列式J=r，三重积分3变为∭_Ωfr·cosθ,r·sinθ,z·r drdθdz球坐标变换x=ρ·sinφ·cosθ,y=ρ·sinφ·sinθ,z=ρ·cosφ，雅可比行列式J=ρ²·sinφ，三重积分变为∭_Ωfρ·sinφ·cosθ,ρ·sinφ·sinθ,ρ·cosφ·ρ²·sinφdρdφdθ曲线积分

4.11第一类曲线积分第二类曲线积分格林公式第一类曲线积分∫_L fx,yds表示函第二类曲线积分∫_L设D是由分段光滑的简单闭曲线L围数fx,y沿曲线L的累积效果，其中Px,ydx+Qx,ydy表示向量场成的平面区域，Px,y和Qx,y在Dds是曲线的弧长元素若曲线L由参F=P,Q沿曲线L的功若曲线L由参上具有一阶连续偏导数，则有∮_L数方程x=xt,y=yt,α≤t≤β给出数方程表示，则∫_L Px,ydx+Qx,ydy=∬_D，则∫_L fx,yds=∫_α^βPx,ydx+Qx,ydy=∫_α^β[∂Q/∂x-∂P/∂y]dxdy，其中L为Dfxt,yt·√dx/dt²+dy/dt²[Pxt,yt·dx/dt+Qxt,yt·的正向边界（逆时针方向）格林公dt第一类曲线积分与曲线的方向无dy/dt]dt第二类曲线积分与曲线式将第二类曲线积分转化为二重积分关的方向有关，反向积分等于原积分的，是向量分析中的基本定理之一负值曲面积分

4.12第二类曲面积分第二类曲面积分∬_SPx,y,zdydz+Qx,y,zdzdx+Rx,y,zdxdy表示向量场F=P,Q,R通过曲面S的通量计第一类曲面积分算时常利用投影法，如∬_S Px,y,zdydz=2±∬_D Px,y,zx,y·∂y,z/∂u,vdudv，第一类曲面积分∬_S fx,y,zdS表示函数符号取决于曲面的方向fx,y,z在曲面S上的累积效果，其中dS是曲1面面积元素若曲面S由方程z=zx,y给出，高斯公式则∬_S fx,y,zdS=∬_D设Ω是由分片光滑的闭曲面S所围成的三维空fx,y,zx,y·√1+∂z/∂x²+∂z/∂y²dxd间区域，Px,y,z、Qx,y,z、Rx,y,z在Ωy，其中D是曲面S在xy平面上的投影区域上具有一阶连续偏导数，则有∬_S3Px,y,zdydz+Qx,y,zdzdx+Rx,y,zdxdy=∭_Ω[∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z]dxdydz，其中S为Ω的外侧曲面高斯公式将第二类曲面积分转化为三重积分第五章无穷级数常数项级数1研究形如Σn=1→∞a的级数收敛性，掌握基本判别法ₙ正项级数2学习比较判别法、比值判别法和根值判别法等判断正项级数收敛性的方法交错级数3了解莱布尼茨判别法，区分绝对收敛与条件收敛的区别幂级数4研究形如Σn=0→∞a x-x₀ⁿ的级数，确定收敛半径ₙ和收敛区间函数展开5学习将函数展开为幂级数和傅里叶级数的方法及其应用常数项级数

5.1收敛性定义收敛级数的性质常见级数级数Σn=1→∞a收敛，是指其部若级数Σa和Σb收敛，则

1.几何级数Σn=0→∞r^n，当|r|1ₙₙₙ分和数列{S}收敛，其中Σa±b收敛，且时收敛，和为1/1-r；p-级数ₙₙₙS=Σi=1→naᵢ若极限Σa±b=Σa±Σb；

2.Σn=1→∞1/n^p，当p1时收敛，ₙₙₙₙₙlimn→∞S=S存在，则称S为级Σc·a收敛，且Σc·a=c·Σa（当p≤1时发散；调和级数ₙₙₙₙ数的和若{S}发散，则称级数发c为常数）；

3.若Σa收敛，则加入Σn=1→∞1/n发散；交错调和级数ₙₙ散收敛级数的判断是级数理论的基、减去或改变有限项不影响收敛性；Σn=1→∞-1^n+1/n收敛（条本问题，有多种判别方法

4.若Σa收敛，则limn→∞a=0件收敛）；指数级数ₙₙ（但反之不一定成立）Σn=0→∞x^n/n!对任意x都收敛，和为e^x正项级数

5.21比较判别法2比值判别法若对所有n≥N（N为某固定正若limn→∞a/a=ρₙ₊₁ₙ整数），有0≤a≤b，则，则

1.当ρ1时，级数Σaₙₙₙ

1.若Σb收敛，则Σa收敛收敛；

2.当ρ1时，级数Σaₙₙₙ；

2.若Σa发散，则Σb发发散；

3.当ρ=1时，无法确定ₙₙ散极限形式若，需要使用其他方法比值判limn→∞a/b=c（0别法特别适用于含有阶乘或指ₙₙ数的级数，如Σn!/n^n或Σr^n/n!等3根值判别法若limn→∞a^1/n=ρ，则

1.当ρ1时，级数Σa收敛；

2.当ₙₙρ1时，级数Σa发散；

3.当ρ=1时，无法确定，需要使用其他方法ₙ根值判别法适用于含有n次幂的级数，如Σn·r^n或Σx^n/n等交错级数

5.3莱布尼茨判别法若交错级数Σn=1→∞-1^n-1a满足

1.a0；

2.{a}单调递ₙₙₙ减；

3.limn→∞a=0；则级数收敛莱布尼茨判别法提供了判断交ₙ错级数收敛性的简单方法，但不能确定级数的和典型应用如交错调和级数Σn=1→∞-1^n-1/n绝对收敛与条件收敛若级数Σ|a|收敛，则称级数Σa绝对收敛；若Σa收敛但Σ|a|发散ₙₙₙₙ，则称Σa条件收敛绝对收敛级数的性质较好，如可以任意重排项的ₙ顺序而不改变其和；条件收敛级数则不具有这一性质，重排可能导致级数和发生变化，甚至发散例题分析判断级数Σn=1→∞-1^n/n^p的收敛性

1.当p0时，{1/n^p}单调递减且趋于零，由莱布尼茨判别法，级数收敛；

2.当p1时，Σ1/n^p收敛，原级数绝对收敛；

3.当0幂级数

5.4收敛半径1幂级数在收敛域内表现良好和函数2级数所表示的函数及其性质阿贝尔定理3幂级数的基本收敛性质收敛区间4幂级数收敛的自变量取值范围端点收敛性5需单独判断的边界情况函数展开成幂级数

5.5泰勒级数麦克劳林级数常见函数展开式函数fx在点x₀的泰勒级数展开式为函数fx的麦克劳林级数是指在点ln1+x=Σn=1→∞-1^n-x₀=0处的泰勒级数1·x^n/n（|x|1）；arctanfx=Σn=0→∞f^nx₀/n!·x-fx=Σn=0→∞f^n0/n!·x^n x=Σn=0→∞-x₀^n该展开要求函数在点x₀具常见函数的麦克劳林展开式有1^n·x^2n+1/2n+1（|x|≤1）；有各阶导数泰勒级数不一定收敛于e^x=Σn=0→∞x^n/n!；sin1+x^α=Σn=0→∞Cα,n·x^n（原函数，需要满足一定条件，如莱曼x=Σn=0→∞-|x|1），其中Cα,n=αα-

1...α-定理，才能确保展开式在某区间内收1^n·x^2n+1/2n+1!；cos n+1/n!这些展开式在近似计算、极敛于原函数x=Σn=0→∞-1^n·x^2n/2n!限求解和微分方程解法中有广泛应用傅里叶级数

5.6傅里叶级数将周期函数表示为三角函数的无穷级数fx=a₀/2+Σn=1→∞[a·cosnx+b·sinnx]，其中a₀=1/π·∫₍₋π,π₎fxdx，a=1/π·∫₍₋π,π₎fx·cosnxdx，ₙₙₙb=1/π·∫₍₋π,π₎fx·sinnxdxₙ傅里叶级数的收敛性受函数性质影响若函数fx在[-π,π]上满足狄利克雷条件（分段连续且有有限个极值点），则傅里叶级数在连续点处收敛于fx，在间断点处收敛于左右极限的平均值傅里叶级数广泛应用于信号处理、偏微分方程求解、数学物理等领域它将复杂的周期函数分解为简单的三角函数组合，便于分析和处理，是现代信号与系统分析的基础工具第六章常微分方程1微分方程的基本概念2一阶微分方程的类型与求解微分方程是含有未知函数及其导数的方程常微分方程仅含有一个自常见的一阶微分方程包括可分离变变量的导数，而偏微分方程含有多量方程、齐次方程、一阶线性方程个自变量的偏导数微分方程的阶等不同类型的方程有专门的解法是方程中出现的最高阶导数的阶数，如可分离变量方程通过分离变量解微分方程就是找到满足方程的后积分求解；齐次方程通过变量替函数换转化为可分离变量方程；一阶线性方程常用常数变易法或积分因子法求解3高阶微分方程与应用高阶微分方程，特别是二阶线性微分方程，在物理学、工程学中有广泛应用例如，质点运动方程、弹簧振动、RLC电路等都可以用二阶微分方程描述解高阶方程的方法包括降阶法、常数变易法、特征方程法（针对常系数线性方程）等一阶微分方程

6.1可分离变量方程齐次方程线性方程形如gydy=fxdx或dy/dx=hxgy形如dy/dx=Fy/x的方程解法是令形如dy/dx+Pxy=Qx的方程标准解的方程求解步骤将变量分离，即将含y u=y/x，则y=ux，dy/dx=u+x·du/dx，法是常数变易法或积分因子法积分因子的项放在等式一边，含x的项放在另一边；代入原方程得x·du/dx=Fu-u，这是关μx=e^∫Pxdx，则原方程变为两边积分得到隐函数解；若可能，解出显于u和x的可分离变量方程例如，方程dμxy/dx=μxQx，积分后得到式表达式y=φx例如，方程dy/dx=x/y dy/dx=x+y/x可转化为dy/dx=1+y/x，μxy=∫μxQxdx+C例如，方程可写成y·dy=x·dx，两边积分得令u=y/x，得x·du/dx=0，解得u=C，即dy/dx+2x·y=x有Px=2x，μx=e^x²y²/2=x²/2+C，即y²=x²+C₁y=Cx，这是一族过原点的直线，解得y=x/2+Ce^-x²课程总结知识点回顾1本课程系统讲解了高级微积分的核心内容，包括极限与连续性、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分、无穷级数和常微分方程这些内容共同构建了微积分的理论体系，为学习更高级的数学理论和应用打下了坚实基础应用前景2微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等多个领域有着广泛应用物理学中的力学、电磁学、量子力学；工程学中的控制理论、信号处理；经济学中的优化问题、增长模型；生物学中的种群动力学等，都大量应用微积分理论和方法进一步学习建议3对于有志于深入研究的学生，建议进一步学习泛函分析、微分几何、微分拓扑、变分法等高等数学分支，或根据自身专业方向选择学习数学物理方程、最优控制理论、随机过程等应用数学课程保持解决问题的热情和严谨的数学思维是成功的关键。