《数学分析复习指南》课件

复习数学分析指南欢迎使用数学分析复习指南！本指南将帮助您系统地复习数学分析的核心概念、定理和计算方法，从实数系统到多元积分，涵盖了数学分析的全部重要内容我们将以清晰的结构和丰富的例题，帮助您掌握这门基础学科的精髓数学分析是高等数学的核心分支，也是理工科专业的基础课程通过本指南的学习，您将能够更好地理解数学思想，提升解题能力，为后续专业课程打下坚实基础课程概述1课程重要性2学习目标数学分析是高等数学的核心课通过本课程的学习，您应当掌程，是许多理工科专业的基础握实数理论、极限理论、微积掌握数学分析不仅有助于培分学、级数理论的基本概念和养严密的逻辑思维能力，还为方法，能够运用所学知识解决学习后续专业课程如复变函数实际问题，并建立起严谨的数、微分方程、概率论等奠定了学思维方式坚实的理论基础3复习策略建议采用理论学习-例题分析-习题练习的复习模式，注重基本概念和关键定理的理解，同时通过大量习题加深理解并提升解题能力复习过程中应注意知识点之间的联系，形成完整的知识体系实统第一章数系实质备数的性完性公理实数系统是数学分析的基础，它包含有理数和无理数实数系统具实数系统最重要的特性是其完备性，这是区别于有理数系统的关键有代数性质（加法和乘法的交换律、结合律、分配律）和序性质（完备性可以通过几种等价的方式表述，最常用的是确界原理非任意两个实数可比较大小）理解实数的这些基本性质对于后续学空有上界的实数集合必有上确界完备性公理保证了许多极限过程习极限、连续等概念至关重要的收敛性，是分析学的基石实数的基本定理质确界原理阿基米德性任何非空的有上界的实数集合必有对任意正实数a和b，总存在正整上确界；任何非空的有下界的实数数n，使得nab这一性质说明了集合必有下确界确界原理是实数无论多么小的正数，只要累加足够完备性的直接体现，在证明序列极多次，总能超过任何给定的数值，限存在性等问题时经常使用体现了实数系统没有无穷小元素稠密性在任意两个不同的实数之间，总存在无穷多个有理数和无穷多个无理数这一性质体现了实数系统的连续性，即实数轴上没有空隙数列极限义定如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当nN时，|an-a|ε恒成立，则称数列{an}收敛于a，记作limn→∞an=a这一定义是用ε-N语言描述的，体现了极限的任意接近的本质几何理解从几何角度看，数列极限a是指数列的项最终被限制在以a为中心，2ε为宽度的区间a-ε,a+ε内当n足够大时，数列的所有项都将落在这个区间内，不再跑出去重要性数列极限是微积分学的基础概念，它为描述无穷过程提供了严格的数学语言掌握极限的ε-N定义对于理解后续的函数极限、连续性等概念至关重要质数列极限的性唯一性有界性保号性如果数列{an}收敛，则如果数列{an}收敛，则如果limn→∞an=a，其极限唯一这一性质数列一定有界即存在且a0（或a0），则存保证了极限运算的确定常数M0，使得对所有在正整数N，当nN时，性，可以通过反证法证的n，都有|an|≤M这an0（或an0）这明假设存在两个不同是极限存在的必要条件表明当数列收敛到非零的极限值，然后构造矛，但不是充分条件反极限时，数列的项最终盾唯一性也意味着我之，数列有界不一定保将与极限同号这一性们可以明确地讨论数列证收敛，如-1^n就是质在不等式证明中经常的极限这一概念有界但发散的例子使用运则数列极限的算法则则和差法乘法法1如果lim an=A且lim bn=B，则如果lim an=A且lim bn=B，则2liman±bn=A±B liman·bn=A·B夹则则逼准除法法4若an≤bn≤cn且lim an=lim cn=a，则lim如果lim an=A且lim bn=B≠0，则3bn=a liman/bn=A/B数列极限的运算法则为计算复杂极限提供了有力工具除了基本的四则运算法则外，夹逼准则在处理含有三角函数、指数函数等的复杂极限时尤为有用在应用这些法则时，需要确保相关极限存在，特别是应用除法法则时，需要确保分母的极限不为零重要数列极限极限值重要性limn→∞1+1/n^n e≈

2.71828定义了自然底数elimn→∞n^1/n1常用于判断级数收敛性limn→∞a^1/n1a0幂的n次方根的极限limn→∞1+x/n^n e^x定义了指数函数e^xlimn→∞n·sin1/n1常用于证明重要极限这些基本极限是数学分析中的重要工具，掌握它们有助于计算更复杂的极限特别是自然底数e的定义极限1+1/n^n，它在自然科学和工程领域有广泛应用在求解极限问题时，常常需要将复杂表达式转化为这些基本极限的形式函数极限义函数极限的定对于函数fx，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0|x-x₀|δ时，恒有|fx-A|ε，则称A为fx当x→x₀时的极限，记为limx→x₀fx=A这就是著名的ε-δ定义，它精确描述了函数值任意接近极限的含义穷远处无的极限当讨论x→∞时的极限时，定义变为对任意ε0，存在正数X，使得当xX时，恒有|fx-A|ε，则limx→∞fx=A类似地可以定义x→-∞时的极限这些定义扩展了函数极限的概念到无穷远处单侧极限函数在点x₀处的左极限指的是x从x₀左侧趋近于x₀时的极限，记为limx→x₀-fx；右极限则是x从右侧趋近于x₀时的极限，记为limx→x₀+fx函数在点x₀处的极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等质函数极限的性1局部有界性如果limx→x₀fx=A，则fx在x₀的某个去心邻域内有界这是极限存在的必要条件，但不是充分条件例如，函数fx=sin1/x在x→0时虽然有界，但极限不存在局部有界性常用于证明复合函数极限的存在性2局部保号性如果limx→x₀fx=A且A0（或A0），则存在x₀的某个去心邻域，使得在该邻域内fx0（或fx0）这一性质表明函数值最终将与极限值同号，常用于不等式证明和函数性质分析敛夹则3迫性（逼准）如果在x₀的某个去心邻域内有gx≤fx≤hx，且limx→x₀gx=limx→x₀hx=A，则limx→x₀fx=A这一性质为处理复杂极限提供了有力工具，特别是在处理含三角函数、指数函数的极限时非常有用运则函数极限的算法复合函数的极限1limx→x₀fgx=flimx→x₀gx则乘除法2积的极限等于极限的积；商的极限等于极限的商减则加法3和的极限等于极限的和；差的极限等于极限的差函数极限的运算法则与数列极限的运算法则类似，包括和差、积商法则等这些法则使我们能够将复杂极限分解为简单极限的组合在应用这些法则时，需要确保相关极限存在特别地，在应用复合函数极限法则时，需要满足两个条件内层函数gx在x₀处极限存在，且该极限值是外层函数f的定义域内的点这些运算法则大大简化了极限的计算过程例如，要计算limx→0sin x/x，可以利用基本极限结合复合函数极限法则直接得到结果为1重要函数极限1e正弦函数极限自然底数极限limx→0sin x/x=1limx→01+x^1/x=e11余切函数极限对数函数极限limx→01-cos x/x^2=1/2limx→0ln1+x/x=1这些重要极限是解决更复杂极限问题的基石特别是limx→0sin x/x=1这一极限，在微积分中频繁出现，可以通过几何方法（比较扇形面积与三角形面积）或夹逼准则证明掌握这些基本极限不仅有助于计算，也有助于理解函数在特定点附近的行为特征在求解实际问题中，常常需要将复杂表达式转化为这些基本形式，或者通过等价无穷小替换来简化计算例如，当x→0时，sin x~x，tan x~x，ln1+x~x等，这些等价替换大大简化了极限的计算过程穷穷无小量与无大量穷穷较无小量无大量比如果limx→x₀fx=0，则称fx为如果对于任意给定的正数M，存在δ0，若limx→x₀fx/gx=0，则称fx是x→x₀时的无穷小量无穷小量是极限为使得当0|x-x₀|δ时，恒有|fx|M，则比gx高阶的无穷小；若该极限为∞，则零的函数，描述了函数如何趋近于零常称fx为x→x₀时的无穷大量，记作称fx是比gx低阶的无穷小；若极限为见的无穷小量有x→0时的x、x²、sin x、limx→x₀fx=∞无穷大量描述了函数非零有限值c，则称fx与gx是同阶无穷1-cos x等无穷小量的阶是比较其趋近于值如何无限增大，常见例子有x→0时的1/x小，特别地，若c=1，则称它们是等价无穷零的速度的工具、1/x²等小，记作fx~gx连续函数的性1连续性定义2左右连续性函数fx在点x₀处连续，是指函数在点x₀处左连续是指limx→x₀fx=fx₀，即函limx→x₀-fx=fx₀，右连数值等于该点的函数极限这续是指limx→x₀+fx=fx₀意味着函数图像在该点没有断函数在点x₀处连续的充要条开、跳跃或无定义的情况件是同时左连续和右连续这连续性是微积分中的关键概念一概念在分段函数的连续性分，许多重要定理都基于函数的析中尤为重要连续性3间断点分类第一类间断点左右极限都存在但不相等，或者与函数值不同，如跳跃间断点；第二类间断点至少有一侧极限不存在，如无穷间断点、振荡间断点分析函数的间断点有助于理解函数的性质和图像特征连续质函数的性值值有界性与最定理介定理在闭区间[a,b]上连续的函数一定在闭区间[a,b]上连续的函数fx，有界，且一定能取到最大值和最小对于介于fa与fb之间的任何值值这一定理保证了在封闭有限区c，都存在ξ∈[a,b]使得fξ=c间上的连续函数行为良好，是优化几何上，这意味着连续函数的图像问题的理论基础最值定理的证明不能跳过中间值而不穿过它介值依赖于实数的完备性和函数的连续定理是许多存在性问题的基础性连续一致性函数fx在区间I上一致连续，是指对任意ε0，存在δ0，使得对区间I上的任意两点x₁和x₂，当|x₁-x₂|δ时，恒有|fx₁-fx₂|ε在闭区间上连续的函数必定一致连续，这是Cantor定理的内容连续初等函数的性对有理函数三角函数指数与数函数有理函数是由多项式的比值形成的函数，如基本三角函数sin x、cos x、tan x等在其定指数函数e^x在整个实数轴上连续，而对数fx=x²+2x+1/x-3有理函数在其定义义域内都是连续函数其中，sin x和cos x函数ln x在0,+∞上连续，在x=0处有无穷域内处处连续，但在分母为零的点处有间断在整个实数轴上连续，而tan x在点间断点一般地，a^xa0,a≠1在整个实点具体地，若px/qx是既约形式，则x=π/2+nπ（n为整数）处有无穷间断点，数轴上连续，而log_a x在0,+∞上连续在满足qx=0且px≠0的点处有无穷间断因为这些点对应的cos x值为零，导致tan x了解这些基本函数的连续性有助于分析复合点无定义函数的性质导义数的定义几何意1导数表示曲线在某点的切线斜率义物理意2导数表示变化率，如瞬时速度义数学定3fx₀=limΔx→0[fx₀+Δx-fx₀]/Δx导数是微积分中最基本的概念之一，描述了函数的瞬时变化率从几何角度看，导数fx₀表示函数图像在点x₀,fx₀处的切线斜率从物理角度看，如果ft表示物体在时刻t的位置，则ft表示物体在该时刻的瞬时速度导数的定义涉及极限概念fx₀=limh→0[fx₀+h-fx₀]/h，这个极限如果存在，则称函数fx在点x₀处可导，其值为fx₀需要注意的是，函数在点x₀处可导必定在该点连续，但连续不一定可导，如fx=|x|在x=0处连续但不可导导计规则数的算导则运则复导则基本数公式四算法合函数求法x^n=nx^n-1,sin x=cos x f±g=f±g如果y=fgx，则y=fgx·gxcos x=-sin x,e^x=e^xf·g=f·g+f·g这也称为链式法则，是求导的重要工具ln x=1/x,a^x=a^x·ln af/g=f·g-f·g/g²阶导高数高阶导数是指对函数进行多次求导的结果如果函数fx的导数fx仍然是可导函数，则fx的导数称为fx的二阶导数，记作fx或f^2x以此类推，可以定义三阶、四阶及更高阶的导数高阶导数在物理学中有重要应用如果st表示位置函数，则st表示速度，st表示加速度在泰勒公式中，函数在某点的各阶导数决定了函数在该点附近的近似展开式例如，对于常见函数如e^x，sin x等，求高阶导数常常具有规律性，如e^x^n=e^x，sin x^n=sinx+nπ/2隐导函数求识别隐应链则函数用式法1包含x和y的方程Fx,y=0对方程两边对x求导2验证结果4求解dy/dx3检查导数的正确性将含dy/dx的项移到一边并解出隐函数是指变量之间的关系通过一个方程Fx,y=0隐含给出，而非显式地表示为y=fx的形式隐函数存在性定理保证了在一定条件下（主要是偏导数∂F/∂y≠0），方程确实能在局部确定y作为x的函数求隐函数的导数时，关键步骤是对方程两边同时对x求导，注意y是x的函数，需要应用链式法则例如，对于方程x²+y²=1，求导得2x+2y·dy/dx=0，解得dy/dx=-x/y这种方法避免了显式解出y=fx的复杂性，直接得到导数表达式导参数方程求导计阶导参数方程形式数算二数参数方程是用参数t表示坐标x和y的方程组对于由参数方程表示的曲线，求dy/dx的参数方程的二阶导数可以通过以下公式计x=xt y=yt其中t是参数常见的公式为dy/dx=dy/dt/dx/dt这一算d²y/dx²=d/dtdy/dx/dx/dt这参数方程包括圆的参数方程x=R·cos t,y公式来自于链式法则，前提是dx/dt≠0一公式在研究曲线的凹凸性、曲率等性质=R·sin t，以及更复杂的曲线如摆线、螺通过这一公式，我们可以避免显式地解出时非常有用参数方程求导的方法在研究旋线等y=fx，直接计算曲线上任意点的切线斜平面曲线和空间曲线时都有广泛应用率值微分中定理罗尔值值定理拉格朗日中定理柯西中定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区如果函数fx和gx在闭区间[a,b]上连续，间a,b内可导，且fa=fb，则存在间a,b内可导，则存在ξ∈a,b，使得在开区间a,b内可导，且gx≠0，则存在ξ∈a,b，使得fξ=0几何上，这意味着fξ=fb-fa/b-a几何上，这意味ξ∈a,b，使得[fb-fa]/[gb-如果曲线的两个端点高度相同，则曲线上至着曲线上至少有一点的切线平行于连接曲线ga]=fξ/gξ柯西中值定理是拉格朗少有一点的切线平行于x轴两端点的弦日中值定理的推广形式泰勒公式1泰勒公式的概念泰勒公式将函数表示为幂级数形式，使我们能够用多项式来近似复杂函数具体来说，如果函数fx在点x₀处有n阶导数，则可以用n阶泰勒多项式加上一个余项来表示fx=P_nx+R_nx，其中P_nx是n阶泰勒多项式，R_nx是余项亚诺项2佩余带佩亚诺余项的泰勒公式为fx=fx₀+fx₀x-x₀+fx₀x-x₀²/2!+...+f^nx₀x-x₀^n/n!+ox-x₀^n佩亚诺余项强调了余项是比x-x₀^n高阶的无穷小，但没有给出具体表达式项3拉格朗日余带拉格朗日余项的泰勒公式为fx=fx₀+fx₀x-x₀+...+f^nx₀x-x₀^n/n!+f^n+1ξx-x₀^n+1/n+1!，其中ξ介于x₀和x之间拉格朗日余项给出了余项的具体表达式，便于估计近似误差单调值函数的性与极单调值值性判定极的必要条件极的充分条件如果函数fx在区间I上可导且fx0，如果函数fx在点x₀处可导且取得极值如果函数fx在点x₀处满足fx₀=0则fx在该区间上单调递增；如果，则fx₀=0这个条件称为费马原理且fx₀≠0，则当fx₀0时，fx0，则fx在该区间上单调递减，它指出极值点必定是函数的驻点（导fx在x₀处取得极小值；当fx₀0这一判定法则是分析函数性质的基本工数为零的点）或不可导点但需要注意时，fx在x₀处取得极大值这是通过具，直接来源于拉格朗日中值定理的是，导数为零只是取极值的必要条件二阶导数判定极值类型的方法，来源于，不是充分条件泰勒公式的二阶展开函数的凹凸性凹函数（凸向上）凸函数（凸向下）拐点如果函数fx在区间I上的二阶导数fx0如果函数fx在区间I上的二阶导数fx0如果函数fx在点x₀处的二阶导数，则fx在该区间上为凹函数（也称为凸向，则fx在该区间上为凸函数（也称为凸向fx₀=0，且在x₀的两侧二阶导数的符号上函数）几何上，凹函数的图像位于其任下函数）几何上，凸函数的图像位于其任相反，则点x₀,fx₀是函数图像的拐点意两点间的弦的下方，其切线位于图像的下意两点间的弦的上方，其切线位于图像的上拐点是函数图像凹凸性改变的位置，也是方凹函数的一个重要性质是，其任意弦上方凸函数的性质与凹函数相反，其任意弦曲线曲率取极值的点拐点的存在使得函数的点的函数值大于对应的图像上的点的函数上的点的函数值小于对应的图像上的点的函图像更加丰富多变值数值线渐线曲的近水平渐近线若limx→+∞fx=a或limx→-∞fx=a，则直线y=a是函数fx的水平渐近线水平渐近线描述了函数在x趋于无穷时的极限行为例如，函数fx=1/x在x→±∞时都趋近于0，所以y=0是其水平渐近线铅直渐近线若limx→a-fx=±∞或limx→a+fx=±∞，则直线x=a是函数fx的铅直渐近线铅直渐近线通常出现在函数的定义域边界或分母为零的点处例如，函数fx=1/x在x→0时趋近于无穷，所以x=0是其铅直渐近线斜渐近线若limx→±∞[fx-kx+b]=0，则直线y=kx+b是函数fx的斜渐近线其中，k=limx→±∞fx/x，b=limx→±∞[fx-kx]斜渐近线描述了函数在x趋于无穷时近似于一条直线的行为例如，函数fx=x+1/x在x→±∞时近似于y=x，所以y=x是其斜渐近线图绘函数形的描寻找渐近线，描绘图形计算导数，分析单调性和极分析函数在定义域边界和无穷远处分析对称性和周期性值的行为，确定可能的水平渐近线、分析定义域检查函数是否为奇函数、偶函数，求函数的一阶导数，找出驻点并判铅直渐近线和斜渐近线综合以上确定函数的定义域，分析可能的间是否具有周期性奇函数f-x=-断其性质通过一阶导数的符号，信息，描绘函数图形，注意特殊点断点例如，对于函数fx=√1-fx关于原点对称；偶函数f-确定函数的增减区间；通过二阶导（如极值点、拐点）的位置和函数x²，定义域是[-1,1]；对于函数x=fx关于y轴对称；周期函数数，确定函数的凹凸性和拐点这的整体趋势fx=1/x，定义域是R\{0}，即除0fx+T=fx每T为一个周期这些些信息帮助我们理解函数图像的起外的所有实数定义域的分析有助性质可以简化图形的描绘伏变化于理解函数的基本性质积不定分的概念积积积义原函数与不定分基本分表不定分的几何意如果函数Fx满足Fx=fx，则称Fx是基本积分表包含了常见函数的不定积分公不定积分∫fxdx表示曲线y=fx与x轴所fx的一个原函数fx的所有原函数构成式，如∫x^n dx=x^n+1/n+1+C围成的区域的面积函数，但由于积分常数的集合称为fx的不定积分，记为n≠-1∫sin x dx=-cos x+C∫cos x dx=C的存在，这一面积只确定到常数差，即∫fxdx=Fx+C，其中C是任意常数不sin x+C∫e^x dx=e^x+C∫1/x dx=只知道面积的变化量而非绝对值这一几定积分与导数互为逆运算，理解这一关系ln|x|+C熟记这些基本公式是计算复杂积何解释帮助我们理解不定积分的物理含义是学习积分学的基础分的前提积质不定分的性1线性性质2保号性不定积分满足线性运算，即对如果在区间I上恒有fx≥gx，于任意常数a和b，有则对I上的任意[a,b]，有∫[fx-∫[afx+bgx]dx=a∫fxdx+gx]dx≥0，即Fb-Fa≥b∫gxdx这一性质源于导数Gb-Ga，其中F和G分别是f的线性性质，是计算复杂积分和g的原函数这一性质反映了的基本工具例如，∫2x+3sin积分与不等式的关系，在估计xdx=2∫x dx+3∫sin x dx=x²积分值时有重要应用+3-cos x+C=x²-3cos x+C3积分中值定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，则存在ξ∈[a,b]，使得∫a,bfxdx=fξb-a这一定理说明，区间上函数的平均值等于函数在某点的值，是积分学中的重要结论换积元分法1第一类换元法（凑微分法）如果被积函数中含有某函数的导数形式，可以尝试将其凑成该函数的微分具体地，∫f[gx]·gxdx=∫fudu，其中u=gx这种方法适用于被积函数中含有复合函数的情况，通过换元简化计算例如，∫cosx²·2x dx可通过换元u=x²转化为∫cosudu2第二类换元法（三角换元）对于含有√a²-x²、√a²+x²或√x²-a²的积分，可以分别使用x=a·sin t、x=a·tan t或x=a·sec t进行换元这类换元能将根式转化为有理函数表达式，从而简化计算例如，∫dx/√1-x²可通过换元x=sin t转化为∫dt3有理分式换元对于有理分式∫Rxdx，可以通过部分分式分解将其转化为简单分式的和，然后分别积分部分分式分解的关键是确定分母多项式的因式分解，然后根据因式的形式和重数确定分子的形式例如，∫dx/x²-1可分解为∫1/2·[1/x-1-1/x+1]dx积分部分法则公式与原理LIATE法分部积分法基于公式∫uxvxdx=选择ux的顺序可以遵循LIATE法则uxvx-∫uxvxdx这一公式源L对数函数、I反三角函数、A代数自积的导数法则uv=uv+uv函数、T三角函数、E指数函数分部积分法适用于被积函数是两个不这个顺序是基于经验总结的，通常能同类型函数的积，如∫x·sinxdx、使计算更为简便例如，对于∫lnx·dx等使用时，关键是合理选∫e^x·sinxdx，应选择ux=sinx，择ux和vx，使得转化后的积分更vx=e^x，因为指数函数在LIATE中容易计算排序靠后环积循型分部分某些积分经过分部积分后，会在右侧再次出现原积分，形成方程例如，∫e^x·sinxdx经两次分部积分后可得∫e^x·sinxdx=e^x·sinx-e^x·cosx+∫e^x·sinxdx解这个方程即可得到原积分的表达式∫e^x·sinxdx=e^x·sinx-cosx/2+C积有理函数的分可积有理分式类型积分公式包括∫1/x-adx=ln|x-a|+C∫1/[x-a^n]dx=-1/[n-1x-a^n-1]+C n1真分式与假分式∫1/x^2+a^2dx=1/aarctanx/a+C∫1/x^2-a^2dx=1/2aln|x-a/x+a|+C∫1/a^2-部分分式分解有理函数Rx=Px/Qx中，若分子的次数低于分x^2dx=1/2aln|a+x/a-x|+C掌握这些基母的次数，则称为真分式；否则称为假分式对于任何真分式都可分解为基本分式之和步骤包括本形式有助于计算复杂有理分式积分假分式，需先用多项式除法将其分解为多项式与真

1.将分母因式分解为一次和不可约二次因式的乘积分式之和，再分别积分例如，x^3+x/x^2+

12.根据分解结果写出部分分式的形式

3.通过待定=x+x/x^2+1，第一项是多项式，第二项是真分系数法求解各部分分式的系数例如，1/x^2-1=式A/x-1+B/x+1，解得A=1/2，B=-1/2213积三角函数的分三角函数的积分包括多种类型，如∫sin^mx·cos^nxdx当m或n为奇数时，可将一个奇指数因子保留一个，其余用同角公式降幂；当m和n都是偶数时，可用降幂公式将全部转化为cos2x或sin2x的幂例如，∫sin²xdx=∫1-cos2x/2dx=x/2-sin2x/4+C有理式的三角函数积分形如∫Rsin x,cos xdx，可通过万能代换t=tanx/2将其转化为有理函数的积分代换后有sin x=2t/1+t²，cos x=1-t²/1+t²，dx=2dt/1+t²这一方法虽然普适，但有时计算较为繁琐，实际应用中可根据具体情况选择更简便的方法，如分部积分法或特殊的三角替换积定分的概念黎曼和1将区间[a,b]分成n个小区间，在每个小区间取一点计算函数值并求和积义定分定2当分割的最大长度趋近于零时，黎曼和的极限值（若存在）义几何意3函数图像与x轴之间的有向面积定积分的严格定义是通过黎曼和的极限给出的∫a,bfxdx=limn→∞Σi=1,nfξᵢ·Δxᵢ，其中Δxᵢ是第i个小区间的长度，ξᵢ是该区间内的任意一点这一定义刻画了函数在区间上的累积效应，是微积分基本思想之一从几何角度看，当fx≥0时，定积分∫a,bfxdx表示曲线y=fx与x轴以及直线x=a、x=b所围成的区域的面积；当fx可正可负时，则表示区域的有向面积，即曲线在x轴上方部分的面积减去在下方部分的面积这一几何解释使定积分概念更为直观积质定分的性1线性性质2可加性对于任意常数α和β，有∫a,b[αfx+βgx]dx=对于任意c∈[a,b]，有∫a,bfxdx=∫a,cfxdx+α∫a,bfxdx+β∫a,bgxdx这一性质直接来源于黎曼和∫c,bfxdx这一性质体现了定积分的累加性，使我们能够的线性性质，是计算定积分的基本工具例如，∫0,π[2sin将区间分割后分段计算积分例如，计算∫0,2x²dx时，可x+3cos x]dx=2∫0,πsin x dx+3∫0,πcos xdx=2·2+以分为∫0,1x²dx+∫1,2x²dx，再分别计算3·0=43保号性4估值定理如果在[a,b]上恒有fx≥gx，则∫a,bfxdx≥如果函数fx在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使∫a,bgxdx特别地，如果在[a,b]上恒有fx≥0，则得∫a,bfxdx=fξ·b-a这一定理说明，定积分的几何∫a,bfxdx≥0这一性质帮助我们估计定积分的大小，在意义可以解释为曲线下的面积等于以区间长度为底、以函证明不等式时常用例如，∫0,1x²dx≤∫0,1xdx，因为在数在某点的值为高的矩形面积[0,1]上有x²≤x积微分基本定理变上限积分函数对于连续函数fx，定义变上限积分函数Fx=∫a,xftdt微积分第一基本定理指出，Fx是可导函数，且Fx=fx这意味着变上限积分函数是原函数的一种特殊形式，建立了微分与积分之间的联系牛顿-莱布尼茨公式微积分第二基本定理，即牛顿-莱布尼茨公式如果函数fx在[a,b]上连续，Fx是fx的任一原函数，则∫a,bfxdx=Fb-Fa，简记为[Fx]_a^b这一公式是计算定积分的最常用工具，将定积分的计算转化为原函数的求值应用实例计算∫0,π/2sin xdx

1.找出sin x的原函数Fx=-cos x

2.应用牛顿-莱布尼茨公式∫0,π/2sin xdx=[-cos x]_0^π/2=-cosπ/2--cos0=0--1=1从几何角度看，这代表sin x曲线在[0,π/2]区间与x轴围成的面积为1积换定分的元法间换应有限区上的元奇偶性的用在有限区间[a,b]上的定积分如果fx是偶函数，即f-x=fx∫a,bfxdx，若令x=φt，则有，则∫-a,afxdx=∫a,bfxdx=2∫0,afxdx如果fx是奇函∫α,βfφt·φtdt其中数，即f-x=-fx，则∫-α=φ⁻¹a，β=φ⁻¹b使用这一a,afxdx=0这些性质可以简方法时，需注意换元函数φt应当化积分计算例如，∫-π,πsin x是一一映射，且具有连续导数dx=0，因为sin x是奇函数积周期函数的分如果fx是周期为T的周期函数，则对任意实数a，有∫a,a+Tfxdx=∫0,Tfxdx利用这一性质，可以将定积分的区间转化为一个周期例如，∫π,3πsin xdx=∫0,2πsin xdx=0，因为sin x的周期为2π积积定分的分部分法应环积公式与用循型分定积分的分部积分公式为∫a,buxvxdx=[uxvx]_a^b某些积分经过一次或多次分部积分后，会在右侧再次出现原积分，-∫a,buxvxdx这一公式是不定积分分部积分法的定积分版本形成方程例如，计算∫0,2πe^x·sin xdx∫e^x·sin xdx=使用时，应注意边界值的计算，即[uxvx]_a^b=ubvb e^x·sin x-∫e^x·cos xdx=e^x·sin x-[e^x·cos x-∫e^x·-sin-uava例如，计算∫0,π/2x·sin xdx时，可选择ux=x，xdx]=e^x·sin x-e^x·cos x-∫e^x·sin xdx整理得vx=sin x，则vx=-cos x，从而∫0,π/2x·sin xdx=[x·-2∫e^x·sin xdx=e^x·sin x-e^x·cos x+C所以∫e^x·sin xdx=cos x]_0^π/2-∫0,π/21·-cos xdx=π/2·0-0·1-[-sin e^x·sin x-e^x·cos x/2+C应用定积分公式得x]_0^π/2=0--1=1∫0,2πe^x·sin xdx=[e^x·sin x-e^x·cos x/2]_0^2π=0积反常分穷积无限反常分1无穷限反常积分形如∫a,+∞fxdx或∫-∞,bfxdx，定义为∫a,+∞fxdx=limt→+∞∫a,tfxdx∫-∞,bfxdx积2无界函数反常分=limt→-∞∫t,bfxdx如果极限存在且有限，则称该反常积分收敛；否则称其发散例如，∫1,+∞1/x²dx=如果函数fx在点c∈[a,b]处无界，则定义∫a,bfxdx=limt→+∞∫1,t1/x²dx=limt→+∞[-1/x]_1^t=limε→0+∫a,c-εfxdx+limε→0+∫c+ε,bfxdx如果limt→+∞1-1/t=1，所以该积分收敛，值为1两个极限都存在且有限，则称该反常积分收敛例如，∫0,11/√xdx=limε→0+∫ε,11/√xdx=limε→0+[2√x]_ε^1=limε→0+2-2√ε=2，所以该义积广分3积分收敛，值为2反常积分也称为广义积分，它扩展了定积分的概念，使我们能够处理无限区间上的积分或者被积函数无界的情况在物理、工程等领域，广义积分有广泛应用，如概率密度函数的积分、傅里叶变换等判断广义积分的收敛性是实际应用中的重要问题积审敛反常分的法比较判别法如果对所有充分大的x有0≤fx≤gx，且∫a,+∞gxdx收敛，则∫a,+∞fxdx也收敛；如果对所有充分大的x有0≤gx≤fx，且∫a,+∞gxdx发散，则∫a,+∞fxdx也发散这是最常用的判别法，特别是与基本反常积分∫1,+∞1/x^p dx（当p1时收敛，当p≤1时发散）比较Abel判别法如果φx在[a,+∞上单调有界，而∫a,tfxdx对任意t≥a都有界，则∫a,+∞fxφxdx收敛Dirichlet判别法如果φx在[a,+∞上单调且趋于零，而∫a,tfxdx对任意t≥a都有界，则∫a,+∞fxφxdx收敛这两个判别法在处理含有振荡函数的反常积分时特别有用，如∫0,+∞sin x/xdx积应定分的用积计积计质计面算体算心算平面区域的面积可以通过定积分计算例如，曲旋转体的体积可通过定积分计算如果将曲线均匀平面区域的质心坐标可通过定积分计算如线y=fx与x轴以及直线x=a、x=b围成的区域面y=fx（fx≥0）与x轴以及直线x=a、x=b围成果区域由曲线y=fx与x轴以及直线x=a、x=b围积为S=∫a,bfxdx（当fx≥0时）如果区域的平面区域绕x轴旋转，所得旋转体的体积为成，则质心坐标为x̄=∫a,bx·fxdx/由曲线y=fx、y=gx与直线x=a、x=b围成，V=π∫a,b[fx]²dx如果绕y轴旋转，则体积为∫a,bfxdxȳ=∫a,b[fx]²/2dx/且fx≥gx，则面积S=∫a,b[fx-gx]dx V=2π∫a,bx·fxdx对于更复杂的情况，如绕∫a,bfxdx质心的计算在物理、工程等领域有对于由参数方程x=xt，y=yt给出的曲线围成直线y=h旋转，需要调整积分公式截面面积法广泛应用，如计算力矩、压力中心等的区域，可以转化为参数积分也是计算体积的重要方法如果实体截面积为Ax，则体积V=∫a,bAxdx积应续定分的用（）曲线长度旋转体表面积物理应用如果曲线由函数y=fx给出如果将曲线y=fx（fx≥0定积分在物理学中有广泛应，且fx在[a,b]上连续，）与x轴以及直线x=a、x=b用，如计算功、压力、重心则曲线在[a,b]上的长度为围成的平面区域绕x轴旋转、转动惯量等例如，变力L=∫a,b√1+[fx]²dx，所得旋转体的侧面积为Fx在位移区间[a,b]上所这一公式来源于微分几何，S=2π∫a,bfx·√1+[fx]做的功为W=∫a,bFxdx通过将曲线分割成小段直线²dx如果绕y轴旋转，则液体压力计算液体对垂近似，然后取极限得到例侧面积为直于液面的平板所施加的压如，抛物线y=x²在[0,1]上S=2π∫a,bx·√1+[fx]²d力为的长度为x这些公式可通过微分几P=ρg∫a,bhy·wydy，L=∫0,1√1+4x²dx对于何方法导出，实际计算时常其中ρ是液体密度，g是重参数方程x=xt，y=yt，需结合换元法或数值方法力加速度，hy是深度函数曲线长度公式为例如，球面的面积可通过绕，wy是宽度函数这些L=∫α,β√[xt]²+[yt]²x轴旋转半圆求得应用展示了定积分作为累加dt工具的广泛实用性项级数数的概念级义级调级数的定几何数和数给定数列{a}，构造部分和数列{S}，几何级数∑n=0,∞ar^n的收敛性取决于公调和级数∑n=1,∞1/n发散，这是一个重要ₙₙ其中S=a₁+a₂+...+a如果极限比r当|r|1时，级数收敛，其和为的结论虽然项的极限为零，但级数仍然ₙₙlimn→∞S存在且有限，称为S，则称S=a/1-r；当|r|≥1时，级数发散几何级发散，这表明项的极限为零是级数收敛的ₙ级数∑n=1,∞a收敛，其和为S；否则称数是最基本的级数类型，在实际应用中常必要条件但不是充分条件p级数ₙ级数发散级数可以看作无限多项相加的用作比较的标准例如，级数∑n=1,∞1/n^p在p1时收敛，在p≤1时发表达式，是数学分析中研究无限过程的重∑n=1,∞1/2^n是公比为1/2的几何级数，散这些结论是判断级数收敛性的重要参要工具收敛于1考项级正数义质1定与性正项级数是指所有项都是正数的级数，即对所有n都有a0正ₙ项级数的一个重要性质是其部分和数列{S}单调递增，因此级ₙ数收敛的充要条件是部分和数列有界这一性质大大简化了正项级数收敛性的判断例如，要证明级数∑n=1,∞1/n²收敛，只需证明其部分和数列有上界较别2比判法比较判别法如果对所有n≥n₀有01时收敛）比较例如，级数∑1/n²+1收敛，因为对所有n≥1有1/n²+11/n²，而∑1/n²收敛较别3极限比判法极限比较判别法如果存在极限limn→∞a/b=c（0ₙₙ项级别正数的判法1比值判别法若limn→∞a/a=ρ，则当ρ1时，级数收敛；当ρ1时，级数发散；当ρ=1时，判别法失效ₙ₊₁ₙ2根值判别法若limn→∞n√a=ρ，则当ρ1时，级数收敛；当ρ1时，级数发散；当ρ=1时，判别法失效ₙ3积分判别法若函数fx在[1,+∞上非负且递减，则级数∑n=1,∞fn与反常积分∫1,+∞fxdx有相同的收敛性4柯西判别法级数∑a收敛的充要条件是对任意ε0，存在N0，使得对所有nN和任意p0，都有|a+a+...+a|εₙₙ₊₁ₙ₊₂ₙ₊ₚ比值判别法和根值判别法适用于含有阶乘、指数的级数，如∑n!/n^n积分判别法则适合项中含有简单函数的级数，如∑1/n^p在应用这些判别法时，应根据级数的具体形式选择最合适的方法例如，对于级数∑n^n/n!，使用比值判别法最为简便错级交数绝对敛敛收与条件收1绝对收敛原级数的项取绝对值后的级数仍收敛别莱布尼茨判法2项递减且趋于零的交错级数必定收敛错级义交数的定3相邻项符号相反的级数，通常形式为∑-1^n·aₙ交错级数是指相邻项符号相反的级数，最常见的形式是∑-1^n·a或∑-1^n-1·a，其中a0莱布尼茨判别法（也称为交错级数判别法ₙₙₙ）是判断交错级数收敛性的重要工具如果对所有n都有a≥a0，且limn→∞a=0，则交错级数∑-1^n-1·a收敛ₙₙ₊₁ₙₙ交错级数可能是绝对收敛的，也可能是条件收敛的若∑|a|收敛，则称∑a绝对收敛；若∑a收敛但∑|a|发散，则称∑a条件收敛例如，ₙₙₙₙₙ交错调和级数∑-1^n-1/n收敛（根据莱布尼茨判别法），但由于∑1/n发散，所以它是条件收敛的绝对收敛级数具有良好的性质，如可以任意重排；而条件收敛级数则较为脆弱，重排可能导致和的改变项级任意数绝对收敛条件收敛1若∑|a|收敛，则∑a必定收敛若∑a收敛但∑|a|发散ₙₙ2ₙₙ重排级数4Cauchy收敛准则3绝对收敛级数可任意重排，条件收敛级数不可级数收敛当且仅当任意项段和可以任意小任意项级数是指项可正可负甚至可以是复数的级数判断其收敛性的基本策略是先检验绝对收敛性，即∑|a|是否收敛；如果不是绝对收敛，再检验条件收敛ₙ性绝对收敛的级数具有良好的性质，如可以任意重排项的顺序而和不变，可以按任意方式分组等Riemann重排定理是级数理论中的一个重要结果如果级数∑a是条件收敛的，则对于任意实数r（甚至包括±∞），都存在级数项的某种重排，使得重排后的ₙ级数和为r这一定理说明条件收敛级数的和对项的排列顺序高度敏感，从而在实际应用中需要格外小心处理例如，条件收敛的交错调和级数∑-1^n-1/n的和为ln2，但通过适当重排，可以使其和为任意给定的实数项级函数数敛义敛则别一致收的定Cauchy收准Weierstrass判法函数项级数∑f x在区间I上一致收敛到函函数项级数∑f x在区间I上一致收敛的充若存在数列{M}使得对所有n和所有x∈Iₙₙₙ数Sx，是指对任意ε0，存在N0，使要条件是对任意ε0，存在N0，使得，都有|f x|≤M，且级数∑M收敛，ₙₙₙ得对所有nN和所有x∈I，都有|S x-对所有nN、任意p0和所有x∈I，都有则函数项级数∑f x在I上一致收敛这是ₙₙSx|ε，其中S x是部分和函数一致|f x+f x+...+f x|ε最常用的一致收敛判别法，它将函数项级ₙₙ₊₁ₙ₊₂ₙ₊ₚ收敛比点态收敛要求更强，它确保了级数这一准则避免了需要知道和函数Sx的数的一致收敛转化为数项级数的收敛问题的和函数在整个区间上有良好的性质具体表达式，在实际应用中非常有用例如，对于幂级数∑x^n/n!，在任意有界区间上都有|x^n/n!|≤M^n/n!（其中M是区间上|x|的上界），而∑M^n/n!收敛，因此原幂级数在任意有界区间上一致收敛幂级数幂级数的形式幂级数是形如∑n=0,∞a x-x₀^n的级数，其中x₀是中心点，a是系数最常见的幂级数形ₙₙ式是以0为中心的幂级数∑a x^n幂级数是数学分析中最重要的函数项级数之一，它能表示很多常ₙ见函数，如指数函数、三角函数等收敛半径根据Abel定理，幂级数∑a x-x₀^n具有收敛半径R，满足当|x-x₀|R时，级数发散收敛ₙ半径可通过公式R=1/limn→∞n√|a|或R=limn→∞|a/a|（如果极限存在）计算收ₙₙₙ₊₁敛半径R可能是有限正数、零或无穷大收敛域的确定幂级数的收敛域是指级数收敛的所有x值构成的集合确定收敛域需要三步

1.计算收敛半径R

2.确定开区间x₀-R,x₀+R

3.检查端点x₀-R和x₀+R处的收敛性收敛域可能是开区间、半开区间或闭区间，取决于端点处的收敛情况例如，级数∑x^n/n的收敛半径为1，收敛域为-1,1]，因为它在x=-1处发散，在x=1处收敛（为调和级数）阿贝尔定理如果幂级数∑a x-x₀^n的收敛半径为R0，则该级数在区间x₀-R,x₀+R内一致收ₙ敛这一定理保证了幂级数的和函数在收敛区间内有良好的性质，如连续性、可积性和可导性例如，如果fx=∑a x^n在-R,R内收敛，则fx在该区间内无限次可导，且ₙf^kx=∑nn-

1...n-k+1a x^n-kₙ幂级运数的算则运项四算逐微分幂级数可以进行四则运算，包括加如果幂级数fx=∑a x^n的收敛半ₙ减乘除例如，如果fx=∑a x^n径为R0，则在-R,R内可以逐项ₙ，gx=∑b x^n，则加法求导fx=∑n·a x^n-1逐项求ₙₙfx+gx=∑a+b x^n乘法导后的幂级数与原级数有相同的收ₙₙfx·gx=∑c x^n，其中敛半径例如，若fx=∑x^n/n!，ₙc=∑k=0,na·b（则fx=∑nx^n-1/n!=∑x^n-ₙₖₙ₋ₖCauchy乘积）这些运算在幂级数1/n-1!，所以fx=fx，即的收敛半径内都是有效的fx=e^x项积逐分如果幂级数fx=∑a x^n的收敛半径为R0，则在-R,R内可以逐项积分ₙ∫fxdx=∑a∫x^n dx=∑a x^n+1/n+1+C逐项积分后的幂级数与原级数有ₙₙ相同的收敛半径这一性质使得我们可以通过幂级数表示复杂函数的积分例如，∫e^xdx=∫∑x^n/n!dx=∑x^n+1/[n+1·n!]=e^x+C幂级函数展开成数Taylor展开1如果函数fx在点x₀的某个邻域内有任意阶导数，则它在该点附近的Taylor展开式为fx=fx₀+fx₀x-x₀+fx₀x-2Maclaurin展开x₀²/2!+...+f^nx₀x-x₀^n/n!+...其系数a=f^nx₀/n!这一展开式将函数表示为幂级数形式，使得当x₀=0时，Taylor展开称为Maclaurin展开ₙ函数的许多性质可以通过代数方法研究fx=f0+f0x+f0x²/2!+...+f^n0x^n/n!+...一些常见函数的Maclaurin展开式e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...（收敛半径R=∞）sin x=x-x³/3!+x⁵/5!-...（收敛半径R=∞）cos x=1-项计余估3x²/2!+x⁴/4!-...（收敛半径R=∞）ln1+x=x-x²/2+x³/3-...（收敛要确定Taylor展开式是否真正等于原函数，需要分析余项半径R=1）R x=fx-P x，其中P x是n阶Taylor多项式有几种ₙₙₙ形式的余项表达式，最常用的是拉格朗日余项R x=f^n+1ξx-x₀^n+1/n+1!，其中ξ介于x₀和x之ₙ间如果limn→∞R x=0，则Taylor级数收敛于原函数例ₙ如，对于e^x，可以证明|R x|≤e^|x|·|x|^n+1/n+1!→0（当ₙn→∞时），所以e^x的Taylor级数在整个实数轴上收敛于e^x级傅里叶数三角级数傅里叶级数将周期函数表示为三角函数的线性组合fx=a₀/2+∑n=1,∞[a cosnx+b sinnx]其中a₀,a,b是傅里叶系数ₙₙₙₙ，通过积分计算a₀=1/π∫-π,πfxdx a=1/π∫-π,πfxcosnxdxₙn≥1b=1/π∫-π,πfxsinnxdx n≥1ₙ收敛性傅里叶级数的收敛性比一般函数项级数更为复杂对于分段连续且具有有限个极值点的周期函数，傅里叶级数在连续点处收敛于函数值，在间断点处收敛于左右极限的平均值更一般地，如果fx满足Dirichlet条件（分段连续且具有有限个极值点），则其傅里叶级数在每点都收敛于函数的修正值复形式傅里叶级数也可以用复指数形式表示fx=∑n=-∞,∞c e^inx其中傅里叶系ₙ数c=1/2π∫-π,πfxe^-inxdx这一形式更为简洁，且直接联系到傅里叶变ₙ换，在信号处理、量子力学等领域有广泛应用例如，复形式使得卷积定理的表述更为简单导偏数定义与几何意义计算方法高阶偏导数对于二元函数z=fx,y，x方向的偏导数定义为计算偏导数时，将其他变量视为常数，然后按照普高阶偏导数是指对函数进行多次偏导数运算的结果∂f/∂x=limΔx→0[fx+Δx,y-fx,y]/Δx几何上通导数的规则求导例如，对于fx,y=x²y+y³，对于二元函数fx,y，常见的二阶偏导数包括，∂f/∂x表示曲面z=fx,y在点x,y,fx,y处沿x方有∂f/∂x=2xy（视y为常数）∂f/∂y=x²+3y²（∂²f/∂x²=∂∂f/∂x/∂x二阶x偏导数∂²f/∂y²=向的切线斜率，即固定y值时z关于x的变化率类视x为常数）这种方法适用于显式表达的函数，对∂∂f/∂y/∂y二阶y偏导数∂²f/∂x∂y=似地，∂f/∂y表示沿y方向的切线斜率这些偏导于隐函数需要使用隐函数求导法则例如，对于方∂∂f/∂x/∂y混合偏导数若混合偏导数连续，则数描述了多元函数在各个自变量方向上的瞬时变化程Fx,y,z=0，可以利用链式法则求解∂z/∂x和求导顺序可交换，即∂²f/∂x∂y=∂²f/∂y∂x，这称率∂z/∂y为Schwarz定理例如，对于fx,y=x³y²，有∂²f/∂x∂y=∂3x²y²/∂y=6x²y，而∂²f/∂y∂x=∂2x³y/∂x=6x²y，两者相等全微分定义可微条件函数fx,y在点x₀,y₀的全微分定义为df=1函数在点x₀,y₀可微的充要条件是偏导数∂f/∂x∂f/∂xdx+∂f/∂ydy其中dx和dy是自变量的微2和∂f/∂y在该点存在且连续小变化量与连续的关系几何解释4函数可微必然连续，但连续不一定可微；偏导数存3全微分表示函数值的微小变化量，可用切平面近似在也不保证可微曲面在该点附近的变化全微分是多元函数微分学的核心概念，它表示函数值在各个自变量同时变化时的总体变化量对于函数fx,y，当点x,y有微小变动Δx,Δy时，函数值的变化量近似为Δf≈∂f/∂xΔx+∂f/∂yΔy，这一近似中忽略了高阶无穷小量函数可微与函数连续、偏导数存在之间的关系是重要的理论问题函数fx,y在点x₀,y₀可微必然在该点连续，但反之不成立同样，函数的各个偏导数在点x₀,y₀存在不足以保证函数在该点可微，还需要偏导数的连续性例如，函数fx,y=xy/x²+y²（当x,y≠0,0时）且f0,0=0在原点的偏导数都存在（均为0），但函数在原点不可微复导则多元合函数的求法链式法则多元复合函数求导的核心是链式法则对于函数z=fx,y，其中x=xt,y=yt，有dz/dt=∂f/∂xdx/dt+∂f/∂ydy/dt这一公式表明，复合函数的导数等于对各个中间变量的偏导数与这些变量关于独立变量的导数的乘积之和链式法则是处理实际问题中参数化曲线、曲面上函数变化的重要工具多元链式法则对于更一般的情况，如z=fx,y,x=gs,t,y=hs,t，偏导数的链式法则为∂z/∂s=∂f/∂x∂x/∂s+∂f/∂y∂y/∂s∂z/∂t=∂f/∂x∂x/∂t+∂f/∂y∂y/∂t这些公式在处理复杂的空间曲面、参数化问题时非常有用例如，在计算曲面上某点的切平面或法向量时，常需使用这些链式法则隐函数求导对于由方程Fx,y,z=0确定的隐函数z=zx,y，其偏导数可以通过隐函数求导公式计算∂z/∂x=-∂F/∂x/∂F/∂z∂z/∂y=-∂F/∂y/∂F/∂z这些公式避免了显式解出z=zx,y的困难，直接给出了偏导数的计算方法例如，对于球面方程x²+y²+z²=R²，有∂z/∂x=-x/z,∂z/∂y=-y/z（在z≠0的区域）值多元函数的极多元函数的极值是指函数在某点取得局部最大值或最小值对于二元函数z=fx,y，极值的必要条件是一阶偏导数为零，即∂f/∂x=0且∂f/∂y=0，满足这一条件的点称为驻点或临界点然而，与一元函数不同，多元函数的驻点可能是极大值点、极小值点，也可能是既非极大又非极小的鞍点判断驻点性质的充分条件涉及二阶偏导数令A=∂²f/∂x²,B=∂²f/∂x∂y,C=∂²f/∂y²，计算判别式D=AC-B²，则若D0且A0，则为极大值点若D0且A0，则为极小值点若D0，则为鞍点若D=0，则需要进一步分析例如，对于函数fx,y=x²+y²，原点0,0是极小值点；对于函数fx,y=x²-y²，原点是鞍点这些判别方法在优化问题、物理建模等领域有广泛应用值条件极1拉格朗日乘数法2多个约束条件3实际应用条件极值问题是指在约束条件gx,y,z=0对于具有多个约束条件g₁x,y,z=0,条件极值问题在物理、经济、工程等领域下求函数fx,y,z的极值拉格朗日乘数g₂x,y,z=0,...,g x,y,z=0的极值问有广泛应用例如，在固定体积下求最小ₘ法通过构造拉格朗日函数题，拉格朗日函数扩展为表面积的容器形状、在固定成本下最大化Lx,y,z,λ=fx,y,z-λgx,y,z，将条件极Lx,y,z,λ₁,λ₂,...,λ=fx,y,z-产量的生产组合等一个经典问题是在体ₘ值问题转化为无条件极值问题极值点必λ₁g₁x,y,z-λ₂g₂x,y,z-...-积为V的长方体中，求表面积最小时的边须满足方程组∂L/∂x=0,∂L/∂y=0,λg x,y,z解法仍是令所有偏导数为零长比例，这可通过拉格朗日乘数法确定最ₘₘ∂L/∂z=0,∂L/∂λ=0这一方法的优势在于，但现在有更多的未知数和方程优解为立方体直接性，避免了显式解出约束条件积二重分计算方法二重积分最常用的计算方法是将其转化为迭代积分（也称为累次积分）对于类型I区域（由两个曲线y=g₁x和y=g₂x以及两条垂线x=a和x=b围成）坐标变换，有∬Dfx,ydA=当区域形状复杂或积分表达式特殊时，可考虑坐标变定义与性质∫a,bdx∫g₁x,g₂xfx,ydy类似地，对于类换简化计算最常用的是极坐标变换，对于二重积分型II区域，有∬Dfx,ydA=二重积分表示函数fx,y在区域D上的体积，记为有∬Dfx,ydA=∬Dfr·cosθ,r·sinθ·r dr∫c,ddy∫h₁y,h₂yfx,ydx∬Dfx,ydA它可以通过将区域划分为小矩形并dθ这里的r是雅可比行列式的值，表示面积元素的变取极限定义，类似于一元函数的定积分二重积分具换比例极坐标变换在处理圆形、环形区域上的积分有线性性、单调性等基本性质，是多元积分学的基础时特别有效213积三重分间空区域的表示1三重积分的计算域是三维空间中的立体区域积迭代分2将三重积分转化为三次累次积分进行计算标变换坐3使用球坐标、柱坐标等简化特定形状区域的积分三重积分∭Vfx,y,zdV表示函数fx,y,z在空间区域V上的积分它可以理解为函数在该区域的超体积计算三重积分最常用的方法是将其转化为三次累次积分，即首先对z积分，然后对y积分，最后对x积分（或其他顺序）例如，对于由z=0,z=h,和圆柱面x²+y²=R²围成的区域，有∭Vfx,y,zdV=∫-R,Rdx∫-√R²-x²,√R²-x²dy∫0,hfx,y,zdz在特定情况下，可以使用适当的坐标变换简化计算柱坐标变换x=r·cosθ,y=r·sinθ,z=z适用于圆柱形区域；球坐标变换x=ρ·sinφ·cosθ,y=ρ·sinφ·sinθ,z=ρ·cosφ适用于球形区域在使用这些变换时，需要考虑雅可比行列式，即体积元素的变换关系dV=r·dr·dθ·dz（柱坐标）或dV=ρ²·sinφ·dρ·dφ·dθ（球坐标）复习试策略与考技巧难总结时间议题重点点分配建答技巧数学分析的核心概念包复习时间分配建议答题时注意逻辑性和条括极限、连续性、微分30%用于理论学习，理性，尤其是证明题要和积分特别需要掌握40%用于典型例题分析清晰列出已知条件、待ε-δ语言描述的极限定义，30%用于习题练习证结论和证明思路计、中值定理、泰勒公式考试前两周重点复习计算题要写出关键步骤，、级数收敛判别法等算题和证明题的解题技不跳步对于综合题，这些概念不仅是考试重巧，最后一周进行模拟要善于拆分问题，分步点，也是后续高等数学测试并总结错题考试骤求解遇到难题不要学习的基础务必理解期间，先浏览全卷，从慌张，可以先思考特殊每个定理的条件和结论擅长的题目开始作答，情况或尝试将问题转化，注意定理之间的联系注意合理分配每道题的为已知问题记得检查，形成完整的知识网络时间，确保不遗漏任何答案的合理性，避免计题目算错误。