《立体空间解析》课件

立体空间解析空间几何问题的数学分析方法从基础坐标系到复杂曲面理论课程目标与学习要求掌握空间几何基础理解坐标系与向量运算建立数学模型能力用方程描述空间几何体培养空间想象力构建立体几何直觉应用解决工程问题第一章空间直角坐标系三维空间定位坐标轴垂直相交用三个数值确定点位置X、Y、Z轴两两垂直右手系统空间点的表示点的坐标原点八个卦限Px,y,z O0,0,0坐标正负不同组合三个数值唯一确定位置三坐标轴的交点两点间距离公式数学表达勾股定理扩展应用广泛d=√[x₂-x₁²+y₂-y₁²+z₂-z₁²]三维空间的距离计算空间向量的概念有大小有方向1由模长和方向确定表示方法2a=x,y,z或a=xi+yj+zk零向量3模长为零的特殊向量单位向量4模长为1的规范化向量向量的代数运算向量加减1对应分量相加减数乘运算2各分量同乘以常数点乘内积3a·b=|a||b|cosθ叉乘外积4a×b=|a||b|sinθ·n向量的几何应用面积计算垂直判定两向量叉积的模平行判定两向量点积为零方向角计算两向量成比例关系向量与坐标轴夹角第二章平面与直线空间基本元素点、线、面的数学表示1位置关系2平行、垂直、相交规律度量关系3距离、夹角计算方法平面的一般方程13一般式参数Ax+By+Cz+D=0A、B、C为法向量分量∞解集满足方程的无穷多点平面的截距式方程截距式方程x/a+y/b+z/c=1x轴截距ay轴截距bz轴截距c适用条件平面与三坐标轴都相交平面的法向量定义表示1垂直于平面的向量n=A,B,C2应用性质4确定平面方向和位置3平行平面有平行法向量点到平面的距离空间直线的参数方程x=x₀+aty=y₀+btz=z₀+ct点向式过点P₀x₀,y₀,z₀，方向向量sa,b,c空间直线的一般方程平面束方程标准方程对称式两平面相交表示法x-x₀/a=y-y₀/b=z-z₀/c各坐标等比变化直线与平面的位置关系相交平行一个交点无交点，方向向量与法向量垂直12包含43垂直直线完全在平面内方向向量与法向量平行直线与平面的夹角夹角定义1直线与平面法向量的余角计算公式2sinθ=|s·n|/|s|·|n|特殊情况3垂直时θ=90°，平行时θ=0°第三章曲面与曲线曲面定义1三元方程Fx,y,z=0的点集曲线定义2空间点的连续轨迹分类方法3按生成方式和几何特征研究重点4方程表示与几何性质球面方程标准方程几何意义截面特性x-x₀²+y-y₀²+z-z₀²=R²到定点距离等于R的点集任意平面截得圆椭球面方程标准方程半轴长度特殊情况x²/a²+y²/b²+z²/c²=1a、b、c分别为x、y、z方向半轴当a=b=c时退化为球面旋转抛物面方程标准方程焦点应用z=x²/2p+y²/2p F0,0,p/2，p为参数反射面、天线、灯具双曲面方程单叶双曲面双叶双曲面渐近锥面x²/a²+y²/b²-z²/c²=1-x²/a²-y²/b²+z²/c²=1x²/a²+y²/b²-z²/c²=0圆柱面方程定义1直线沿曲线平行移动形成标准方程2x²+y²=R²（z轴圆柱）截面特性3截面为圆或矩形应用实例4管道、柱状建筑设计圆锥面方程定义直线经过定点并沿曲线移动形成标准方程x²/a²+y²/b²=z²/c²顶点与轴顶点在原点，轴为z轴截面曲线可得圆、椭圆、抛物线、双曲线空间曲线的参数方程x=xty=ytz=zt参数t变化产生空间点轨迹空间曲线的一般方程两曲面交线投影方程隐式表示Fx,y,z=0,Gx,y,z=0在坐标平面上的投影曲线方程组联立确定曲线第四章二次曲面定义变量二次齐次方程表示的曲面1分类2椭球面、抛物面、双曲面等标准化3通过坐标变换简化方程应用4建筑设计、计算机图形学椭圆锥面112标准方程顶点部分x²/a²+y²/b²=z²/c²坐标原点上下两个锥体椭圆抛物面标准方程1z=x²/a²+y²/b²顶点2坐标原点轴向3z轴为对称轴横截面4平行于xy平面的截面为椭圆双曲抛物面标准方程形状特征几何性质z=x²/a²-y²/b²马鞍形曲面包含两族直线二次曲面的一般方程一般形式分类方法1Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Eyz+2Fxz通过不变量和特征多项式2+Gx+Hy+Iz+J=0旋转变换化简过程43消除混合二次项平移坐标系消去一次项二次曲面的几何性质渐近锥与曲面无限接近的锥面主截面包含主轴的平面截曲面直母线完全位于曲面上的直线圆截面特定方向的圆形横截面第五章坐标变换基本问题1同一几何体在不同坐标系下的表示变换类型2平移、旋转、比例、投影等矩阵表示3用矩阵乘法简化变换操作不变量4变换中保持不变的性质平移变换变换公式矩阵表示几何意义x=x+a齐次坐标下的矩阵乘法坐标系原点的位移y=y+bz=z+c旋转变换绕x轴y=y·cosα-z·sinα,z=y·sinα+z·cosα绕y轴x=x·cosβ+z·sinβ,z=-x·sinβ+z·cosβ绕z轴x=x·cosγ-y·sinγ,y=x·sinγ+y·cosγ比例变换变换公式等比变换非等比变换x=kx·x,y=ky·y,z=kz·z kx=ky=kz，保持形状三方向系数不等，形状变化正交变换定义1保持距离不变的线性变换矩阵特性2正交矩阵，AᵀA=I几何意义3坐标轴旋转不改变长度和角度应用4刚体运动、坐标系转换仿射变换应用不变量计算机图形学、投影几何矩阵表示平行关系、分点比定义线性变换加平移的组合保持直线性和平行性的变换第六章曲面积分分类计算方法第一类和第二类曲面积分参数化和投影法定义物理意义函数在曲面上的累积和质量、流量、通量等2314第一类曲面积分定义式物理意义计算方法∬_S fx,y,zdS曲面质量、表面密度转化为二重积分第二类曲面积分定义∬_S Px,y,zdydz+Qx,y,zdzdx+Rx,y,zdxdy向量形式∬_S F·ndS物理意义通量、流量计算方法参数方程或投影法高斯公式积分关系散度定理应用∭_V divFdV=∬_S体积散度等于通过闭合表电磁学、流体力学、热传F·ndS面的通量导斯托克斯公式第七章空间向量分析研究对象1向量场的微分运算梯度场2标量函数的向量性质通量与环流3向量场的积分特性守恒定律4物理场的数学表达梯度定义grad f=∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z几何意义最大增长率方向的向量性质垂直于等值面应用优化问题、电场理论散度div F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z正值源点流出；负值汇点流入；零值无源物理意义单位体积流出率旋度定义式无旋场物理意义curl F=∂R/∂y-∂Q/∂z,∂P/∂z-∂R/∂x,curl F=0流体旋转强度∂Q/∂x-∂P/∂y拉普拉斯算子定义∇²f=∂²f/∂x²+∂²f/∂y²+∂²f/∂z²调和函数满足∇²f=0的函数物理应用热传导、扩散、电位波动方程∇²f=1/c²·∂²f/∂t²第八章空间曲线论研究焦点曲线的局部几何性质1切线和法平面2一阶微分特性曲率和挠率3二阶和三阶微分特性弗莱纳公式4描述曲线运动学曲线的切线和法平面切向量切线方程法平面方程T=rt/|rt|x-x₀/xt₀=y-y₀/yt₀=z-z₀/zt₀xt₀x-x₀+yt₀y-y₀+zt₀z-z₀=0曲率和挠率曲率挠率计算公式κτ曲线偏离直线的程度曲线偏离平面的程度κ=|r×r|/|r|³,τ=r×r·r/|r×r|²弗莱纳公式31正交向量标架切向量T、主法向量N、副法向量B随体坐标系{T,N,B}3公式数T=κN,N=-κT+τB,B=-τN第九章曲面论研究内容1曲面的局部微分几何性质切平面与法线2一阶微分特性曲面曲率3二阶微分特性测地线4曲面上的最短路径曲面的切平面和法线切平面方程参数曲面1x-x₀∂F/∂x+y-y₀∂F/∂y+z-ru,v=xu,v,yu,v,zu,v2z₀∂F/∂z=0法线方程法向量4x-x₀/∂F/∂x=y-y₀/∂F/∂y=z-3n=ru×rv/|ru×rv|z₀/∂F/∂z曲面的第一基本形式定义ds²=Edu²+2Fdudv+Gdv²系数E E=ru·ru系数F F=ru·rv系数G G=rv·rv几何意义度量曲面上点间距离曲面的第二基本形式定义1II=Ldu²+2Mdudv+Ndv²系数计算2L=ruu·n,M=ruv·n,N=rvv·n几何意义3曲面弯曲程度的度量应用4确定曲面的主曲率方向高斯曲率和平均曲率高斯曲率平均曲率曲面类型K HK=LN-M²/EG-F²H=EN-2FM+GL/2EG-F²K0椭圆点内蕴量，不随弯曲变化外蕴量，与嵌入空间有关K0双曲点K=0抛物点或平点第十章立体空间解析的应用计算机图形学三维建模、渲染、动画工程设计CAD/CAM系统、结构分析物理模拟场论、流体动力学地理信息系统地形建模、空间数据分析在工程设计中的应用计算机辅助设计建筑设计机械设计复杂曲面建模与分析参数化曲线曲面的应用零件几何形状精确计算课程总结与展望基础理论计算方法坐标系、向量、曲线曲面方程几何量计算、微分特性分析12发展方向43应用能力计算几何、微分几何、计算机图形学解决工程问题的空间分析方法。