《线性代数之矩阵运算》课件

《线性代数之矩阵运算》线性代数核心课程矩阵运算基础与应用课程概述课程目标主要内容掌握矩阵基本运算十大章节全面覆盖学习方法第一章矩阵的基本概念定义矩阵本质与表示类型各种特殊矩阵性质基本特性与操作矩阵的定义

1.1什么是矩阵矩阵的表示方法矩阵的维度个数按矩形方式排列行列记为m×n A=aijm×n mn m×n由行和列组成的二维数组使用方括号或圆括号表示行数列数确定矩阵大小×矩阵的类型

1.2方阵行数等于列数n阶方阵n×n对角矩阵非对角元素全为零形如diagd₁,d₂,...,dₙ单位矩阵主对角线全为1其余元素全为0零矩阵所有元素均为0记为O或0特殊矩阵

1.3对称矩阵上三角矩阵正交矩阵满足主对角线以下元素全为满足A=Aᵀ0Q·Qᵀ=I关于主对角线对称行列向量互相正交矩阵的基本性质

1.4转置2行列互换Aᵀᵀ=A相等对应元素都相等1维度必须相同共轭复数矩阵中各元素取共轭3实数矩阵共轭等于自身第二章矩阵的基本运算42∞基本运算类型维度要求应用广泛加减乘和转置加减要求相同维度各领域计算基础矩阵加法

2.1定义1对应位置元素相加C=A+B,cᵢⱼ=aᵢⱼ+bᵢⱼ性质2满足交换律:A+B=B+A满足结合律:A+B+C=A+B+C示例3二阶矩阵加法演示注意维度必须相同矩阵减法

2.2定义对应位置元素相减性质A-B=A+-B示例二阶矩阵减法演示矩阵数乘

2.3定义性质示例常数乘以矩阵每个元素kA+B=kA+kB2×[[1,2],[3,4]]=[[2,4],[6,8]]矩阵乘法

（一）

2.4计算结果阶1C=AB,m×p运算规则2至cᵢⱼ=Σaᵢₖ·bₖⱼk=1n条件3的列数必须等于的行数A B矩阵乘法

（二）

2.4性质不满足交换律满足结合律一般情况AB≠BA满足左右分配律特殊情况可交换矩阵反例图解ABᵀ=BᵀAᵀ矩阵乘法

（三）

2.4结合律左分配律ABC=ABC AB+C=AB+AC多矩阵连乘可任意加括号左侧因子分配到各项右分配律A+BC=AC+BC右侧因子分配到各项矩阵乘法

（四）

2.4确认可乘条件检查维度匹配逐元素计算行与列的内积填充结果矩阵按位置排列避免常见错误维度不匹配计算规则用错矩阵转置

2.5定义行列互换，变为A Aᵀ性质，，Aᵀᵀ=A A+Bᵀ=Aᵀ+BᵀABᵀ=BᵀAᵀ矩阵的幂

2.623幂的定义高次幂A²=A·A A³=A·A·An一般形式个Aⁿ=A·A·...·A nA第三章矩阵的行列式定义性质方阵的特征数值反映方阵的关键特性应用计算方程组求解关键多种高效方法行列式的定义

3.1×矩阵×矩阵阶行列式2233n萨吕法则项代数和|A|=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁n!对角线相乘减法主对角线乘积和副对角线乘积和递归定义-行列式的性质

（一）

3.2转置不变性|A|=|Aᵀ|行列式因子|kA|=kⁿ|A|行列式乘积|AB|=|A|·|B|行列式的性质

（二）

3.2行列互换行列式变号行列式可按任一行或列展开代数余子式Aᵢⱼ=-1ⁱ⁺ʲ·Mᵢⱼ行列式的计算方法

3.3三角化方法拉普拉斯展开初等行变换按行列展开/化为上三角形式递归计算子式主对角线元素乘积适合特殊结构矩阵克拉默法则

3.4定义1利用行列式求解线性方程组条件2系数矩阵行列式不为零解法3xᵢ=|Aᵢ|/|A|示例4二元线性方程组求解第四章矩阵的逆定义性质计算满足唯一性与可逆条件多种有效方法AA⁻¹=A⁻¹A=I逆矩阵的定义

4.1概念存在条件矩阵的逆矩阵矩阵可逆A A⁻¹⟺|A|≠0满足非奇异矩阵才有逆AA⁻¹=A⁻¹A=I特点方阵才可能有逆满秩是必要条件逆矩阵的性质

4.2唯一性若存在，则唯一转置与逆A⁻¹ᵀ=Aᵀ⁻¹乘积的逆AB⁻¹=B⁻¹A⁻¹幂与逆Aⁿ⁻¹=A⁻¹ⁿ逆矩阵的计算方法

（一）

4.3验证读取结果检查AA⁻¹=I行初等变换右侧即为A⁻¹构造增广矩阵将左侧变为单位矩阵[A|I]逆矩阵的计算方法

（二）

4.3计算行列式1求|A|求代数余子式矩阵2计算所有Aᵢⱼ构造伴随矩阵3adjA=Aᵢⱼᵀ应用公式4A⁻¹=adjA/|A|分块矩阵的逆

4.4计算复杂度适用性第五章矩阵的秩定义性质计算线性无关向量最大数目反映矩阵的退化程度初等变换与子式法矩阵的秩的定义

5.1概念表示最大线性无关列行向量数表示矩阵的秩rA A非零子式的最高阶数0≤rA≤minm,n矩阵的秩的性质

5.2满秩矩阵秩与转置rA=minm,n rA=rAᵀ所有行列向量线性无关行秩等于列秩秩与线性方程组时有解rA=rA|b时有无穷多解rAn矩阵的秩的计算方法

5.3初等变换法子式法行阶梯形矩阵检验各阶子式非零行数即为秩最高阶非零子式高斯消元适用于特殊结构矩阵第六章特征值和特征向量特征值特征向量矩阵作用的缩放因子方向不变的向量对角化特征方程矩阵的简化形式求解特征值的关键特征值和特征向量的定义

6.1数学定义几何意义线性变换方向不变Ax=λx非零向量是特征向量只改变向量长度x标量是对应特征值缩放因子为λλ特征方程

6.2定义1|A-λI|=0展开2次多项式方程n求根3为特征值λ₁,λ₂,...,λₙ求特征向量4解A-λᵢIx=0特征值的性质

6.3特征值之和等于矩阵的迹特征值之积等于矩阵的行列式代数重数特征值作为特征方程根的重数几何重数对应特征空间的维数相似矩阵

6.4定义性质1特征值相同B=P⁻¹AP2对角化步骤对角化条件4由特征向量构成3个线性无关特征向量P n第七章矩阵分解分解为何主要类型应用广泛便于计算与理解特征值数值计算基础LU,QR,,SVD分解

7.1LU定义计算方法应用高斯消元法高效求解线性方程组A=LU为下三角矩阵杜利特尔算法矩阵求逆L Doolittle为上三角矩阵克劳特算法行列式计算U Crout分解

7.2QR定义A=QR和性质Q R为正交矩阵Q性质R为上三角矩阵R计算方法格拉姆施密特正交化-特征值分解

7.3应用幂运算简化、主成分分析1计算方法2特征值和特征向量求解数学形式3A=PDP⁻¹条件4方阵且可对角化奇异值分解（）

7.4SVD定义1A=UΣVᵀ和性质2U V正交矩阵性质3Σ对角矩阵，对角元为奇异值应用4数据压缩、降维、噪声过滤第八章向量空间与线性变换向量空间线性变换满足特定公理集合保持向量运算性质基与维数描述空间结构可用矩阵表示向量空间的定义

8.1定义加法公理带有加法和数乘运算的集合结合律，交换律满足八条公理零元素，负元素数乘公理结合律，分配律单位元素子空间

8.2定义向量空间的非空子集条件对加法和数乘封闭示例零空间，列空间，行空间基与维数

8.3基1线性无关向量组生成空间2基的线性组合能生成整个空间维数3基中向量的个数线性变换

8.4定义保持向量加法和数乘的映射性质Tu+v=Tu+Tv性质Tcv=cTv矩阵表示矩阵表示线性变换n×m第九章正定矩阵定义判定对称且特征值全为正多种等价判定条件应用优化问题关键正定矩阵的定义

9.1概念判定条件实对称矩阵特征值全为正A对任意非零向量顺序主子式全为正x满足可表示为形式xᵀAx0Bᵀ·B配方法得正平方和正定矩阵的性质

9.2特征值性质可逆性所有特征值均为正正定矩阵必可逆迹为正行列式为正分解性质存在唯一的正定平方根可进行分解Cholesky正定矩阵的应用

9.3二次型判别正定矩阵对应正二次型最优化正定矩阵保证严格凸函数统计学协方差矩阵为半正定第十章矩阵运算的应用数据分析最小二乘法图像处理降维与特征提取PCA数据拟合与优化图像变换与压缩线性方程组机器学习工程问题建模与求解算法基础与优化线性方程组求解

10.1高斯消元法矩阵求逆法系数矩阵行阶梯形X=A⁻¹B前向消元和回代过程适用于多个右端向量可处理任意方程组要求系数矩阵可逆最小二乘法

10.2原理1最小化误差平方和矩阵表示2法方程AᵀAX=AᵀB解法3X=AᵀA⁻¹AᵀB应用4曲线拟合、预测模型主成分分析（）

10.3PCA原理寻找数据最大方差方向矩阵运算协方差矩阵特征分解降维选取前个主成分k应用数据压缩、特征提取图像处理中的矩阵运算

10.4图像变换图像滤波图像压缩旋转、缩放、平移卷积矩阵实现各种滤波分解低秩近似SVD机器学习中的矩阵运算

10.5课程总结1048核心章节关键概念系统覆盖矩阵理论从基础到高级应用20+实用方法矩阵计算与问题求解结语与展望探索前沿张量分析与高维数据1深入学习2高级线性代数理论巩固基础3多做习题与应用。