《线性代数课件复习：向量空间与线性变换》

线性代数课件复习向量空间与线性变换课程概述向量空间基本概念理解向量、线性组合、基与维数线性变换定义和性质掌握映射特性、矩阵表示、核与像两者联系第一部分向量空间83向量公理常见空间满足八条基本运算法则、矩阵空间、多项式空间R^n∞应用领域向量空间的定义加法封闭性数乘封闭性条运算法则8任意两向量相加仍在空间中向量与标量相乘仍在空间中向量空间的例子空间矩阵空间R^n维实数向量构成的空间所有×矩阵构成的集合n mn最直观的向量空间例子矩阵加法和数乘满足向量空间公理多项式空间所有最高次数不超过的多项式n多项式加法和数乘构成向量空间向量的线性组合定义几何解释形如₁₁₂₂二维空间中表示为向量的伸缩和相加c v+c v+...+c vₙₙ其中₁₂为实数常数可视为向量的加权和c,c,...,cₙ线性相关与线性无关线性相关线性无关判定方法存在非全零系数使线性组合为零向量仅有全零系数使线性组合为零向量行列式为零则线性相关至少一个向量可由其他向量表示每个向量都提供新信息解齐次方程组判断向量组的秩秩的定义向量组中线性无关向量的最大个数等价表述生成子空间的维数计算方法行阶梯形矩阵的非零行数向量空间的基基的性质基的定义空间中任意向量可唯一表示为基的线性线性无关且张成整个空间的向量组组合基的变换标准基不同基之间通过可逆变换联系中的单位向量组成的基R^n向量空间的维数定义基中向量的个数与基的关系所有基的向量个数相同性质表征空间的大小例子的维数为R^n n坐标与坐标变换坐标的定义不同基下的坐标变换向量在给定基下的线性组合系数通过过渡矩阵实现转换P₁₁₂₂v=c e+c e+...+c e[v]ᵦ=P[v]ₐₙₙ由基向量坐标组成P子空间定义向量空间的非空子集，满足向量空间公理子空间判定包含零向量，对加法和数乘封闭例子平面中的一条直线子空间的运算交∈且∈S∩T={v|v Sv T}和∈∈S+T={s+t|s S,t T}直和⊕且S T S+TS∩T={0}商空间定义性质∈V/U={v+U|v V}dimV/U=dimV-dimU是的子空间等价类的集合U V陪集形成向量空间第二部分线性变换定义与性质保持线性结构的映射矩阵表示通过矩阵刻画变换核与像描述变换的基本特征可逆性一对一对应的条件线性变换的定义加法保持性数乘保持性Tu+v=Tu+Tv Tcv=cTv线性性保持线性组合线性变换的性质零向量的像线性组合的像₁₁₂₂₁₁₂₂T0=0Tc v+c v=c Tv+c Tv零向量必须映射到零向量保持线性组合结构子空间的像子空间的像是子空间保持子空间结构线性变换的矩阵表示定义计算方法线性变换可由方阵唯一表示确定基向量的像矩阵的列是基向量的像组成变换矩阵A ATv=A[v]线性变换的核定义核∈T={v V|Tv=0}性质核是定义域的子空间零度核的维数称为变换的零度线性变换的像定义像∈T={Tv|v V}性质像是值域的子空间秩像的维数称为变换的秩线性变换的秩定义与矩阵秩的关系12变换像的维数等于表示矩阵的秩计算方法计算表示矩阵的秩线性变换的零度定义与核的维数的关系变换核的维数直接等于核的维数计算方法求解齐次方程组Ax=0秩零化度定理-=dimV定理内容空间维数定义域的维数rankT+nullityT=dimV证明证明思路基础定理，证明通过核与像补空间的同构线性变换的逆定义存在条件⁻∘且∘⁻是满射且单射T¹T=I_V TT¹=I_W T逆变换满足复合等于恒等变换当且仅当kerT={0}当且仅当rankT=dimV可逆线性变换定义性质存在逆变换的线性变换保持维数一对一且满射的变换可逆变换的逆唯一判定矩阵可逆秩等于空间维数同构线性变换判定条件2维数相同的空间同构定义1存在可逆线性变换的两个空间称为同构意义具有相同的代数结构线性变换的合成定义∘S Tv=STv矩阵表示∘[S T]=[S][T]性质满足结合律但不满足交换律第三部分向量空间与线性变换的联系统一视角基变换特征结构变换通过矩阵联系不同同一空间不同表示之间揭示变换的内在性质的向量空间的关系基变换与线性变换关系应用基变换影响线性变换矩阵表示选择合适基简化变换表示表示矩阵随基的选择变化便于计算特征值和特征向量线性变换的矩阵与基变换原始基下的矩阵表示[T]_B过渡矩阵将表示为的线性组合P BC新基下的矩阵表示⁻[T]_C=P¹[T]_BP相似矩阵与线性变换定义∃可逆，使⁻A~B PB=P¹AP⟺线性变换视角表示同一线性变换在不同基下的矩阵性质有相同特征多项式，相同行列式不变量秩、特征值、迹保持不变不变子空间定义性质⊂且⊂限制在上为上的线性变换W VTW W W W子空间在变换下映射回自身核与像均为不变子空间应用简化复杂变换的分析构造标准型的基础Jordan特征值与特征向量定义计算方法几何意义，求解特征方程特征向量对应的方向在变换下保持Tv=λv v≠0detA-λI=0向量在变换下只改变尺度对每个特征值求解特征值表示拉伸或压缩程度A-λIv=0特征空间定义∈E_λ={v V|Tv=λv}性质是的子空间V代数重数特征值作为特征多项式根的重数几何重数对应特征空间的维数对角化定义找使⁻为对角矩阵P P¹AP条件个线性无关特征向量n应用简化矩阵幂次计算标准型Jordan问题并非所有矩阵可对角化解决方案广义特征向量和块Jordan结构对角线为特征值，上对角线为或10构造方法复杂，需使用广义特征向量最小多项式定义性质使的最低次非零多项能整除特征多项式TPA=0式有相同的不可约因子满足的最低次多项式mA=0应用判断矩阵可对角化计算矩阵函数定理Hamilton-Cayley次0n定理内容降次，其中是的特征多项式可将的高次幂降至次及以下PA=0P AA n-1简化应用计算矩阵函数和矩阵幂第四部分应用实例线性方程组微分方程量子力学核空间对应解的结构线性算子与解的表示自伴随算子与可观测量计算机图形学变换矩阵与几何操作线性方程组与线性变换关系解法表示线性变换齐次求核空间Ax=b作用于得到值非齐次特解齐次解A xb+方程解对应核平移应用秩零化度定理分析解的结构-二次型与线性变换关系二次型qx=x^TAx对称矩阵二次型对应唯一对称矩阵正交对角化主轴变换简化二次型应用圆锥曲线、正定性判定微分方程与线性变换线性微分方程解的结构形如齐次解为微分算子的核a_n y^n+...+a_1y+a_0y=fx通解特解齐次通解=+微分算子是线性变换D特征值应用特征值对应指数解e^λx求解常系数线性微分方程傅里叶变换与线性变换傅里叶变换的线性性质应用信号处理分解为简单频率成分F[af+bg]=aF[f]+bF[g]是函数空间上的线性变换微分方程转换为代数方程图像处理频域分析和滤波主成分分析与线性变换原理PCA寻找数据最大方差方向协方差矩阵特征向量确定主成分方向线性变换视角旋转坐标系到主轴方向机器学习中的线性变换神经网络中的线性层形式的仿射变换Wx+b线性回归最小化均方误差的线性映射降维技术、等线性投影方法PCA LDA3量子力学中的线性算子线性算子的定义希尔伯特空间上的线性变换厄米算子表示可观测量的自伴随算子本征态算子的特征向量表示稳定状态测量投影到特征空间的过程计算机图形学中的线性变换旋转缩放投影齐次坐标保持距离的正交变换改变尺寸的对角矩阵降维的奇异矩阵表示平移的技巧第五部分高级主题内积空间定义性质配备内积的向量空间能定义长度u,v||v||=√v,v⟨⟩⟨⟩满足线性性、对称性、正定性能定义角度cosθ=u,v/||u||||v||⟨⟩例子欧氏空间u,v=u^Tv⟨⟩函数空间f,g=∫fxgxdx⟨⟩正交补空间定义性质⊥∈∀∈正交补是子空间W^={v V|v,w=0,w W}⟨⟩与子空间中所有向量正交的向量集合⊥W dimW+dimW^=dimV⊕⊥（正交直和）V=WW^正交化Schmidt起始1线性无关向量组₁{v,...,v}ₙ过程逐步投影并正交化结果正交向量组₁{u,...,u}ₙ单位化4获得标准正交基自伴随算子定义Tu,v=u,Tv⟨⟩⟨⟩矩阵表示厄米矩阵对称矩阵/特征值全为实数特征向量不同特征值的特征向量正交谱定理定理内容1自伴随算子可正交对角化应用2二次型化简，振动分析推广正规算子的谱分解奇异值分解定义A=UΣVᵀ正交矩阵和包含左右奇异向量U V奇异值对角线上的非负实数Σ应用图像压缩，，伪逆PCA广义逆矩阵定义伪逆⁺满足特定条件的矩阵A计算通过⁺⁺SVD:A=VΣUᵀ性质⁺⁺⁺⁺AA A=A,A AA=A应用求解最小二乘问题张量积定义应用⊗表示两个向量空间的张量积量子力学中复合系统V W基为{vᵢ⊗wⱼ}，维数为dimV·dimW多线性代数与微分几何张量网络计算第六部分总结与展望课程回顾应用实例从理论到实践的桥梁1交叉关联向量空间与线性变换的联系线性变换保持结构的映射向量空间线性代数的基础概念深入学习方向泛函分析代数拓扑微分几何研究无限维向量空间与用代数工具研究拓扑空研究曲线曲面的几何性算子间质结语基础地位现代数学的核心理论之一广泛应用2从物理到计算机科学的各个领域未来前景线性代数在和量子计算中愈发重要AI。