《优化算法导论》课件

优化算法导论欢迎来到《优化算法导论》课程本课程将系统地介绍优化算法的基本原理、分类和应用优化问题是现代科学和工程领域中的核心问题，我们将从理论基础出发，探索各类优化算法的工作机制通过本课程，你将理解如何构建数学模型，应用合适的优化算法求解实际问题，并学习评价不同算法的性能让我们一起探索这个既有挑战性又充满魅力的领域课程概述课程目标内容安排12本课程旨在帮助学生掌握各类课程内容涵盖线性规划、无约优化算法的基本原理和应用方束优化、约束优化、整数规划法通过系统学习，学生将能、非线性规划、动态规划、启够识别不同类型的优化问题，发式算法、多目标优化等多个选择适当的算法进行求解，并方向，从基础理论到前沿应用对算法性能进行分析和评价，全面介绍优化领域的核心知识考核方式3本课程采用多元化考核方式，包括课堂参与、作业完成、算法实现、案例分析和期末考试评分比例为平时作业、算法实现项目30%、期末考试30%40%第一章优化问题简介什么是优化问题优化问题的重要性实际应用举例优化问题是指在给定约束条件下，寻找优化问题广泛存在于科学研究、工程设优化算法在生产调度、路径规划、投资一组决策变量的值，使得目标函数达到计、经济管理等领域有效的优化算法组合、机器学习等众多领域有广泛应用最大值或最小值的数学问题这类问题可以帮助我们提高资源利用率，降低成例如，物流公司利用优化算法规划配的核心在于在众多可行解中寻找最优解本，增加效益，是现代决策科学的基础送路线，可大幅减少运输成本和时间优化问题的数学表示目标函数目标函数是优化问题的核心，表示我们希望最大化或最小化的量例如，在生产问题中，目标函数可能是利润最大化或成本最小化目标函数通常表示为，其中是决策变量向量fx x约束条件约束条件是对决策变量的限制，定义了决策变量的可行域约束条件可以是等式约束或不等式约束约束条件反映了问题中的各种物理、经济gx=0hx≤0或技术限制决策变量决策变量是优化问题中可以调整的量，是求解的对象在数学模型中，决策变量通常表示为向量决策变量的取值范围定义了问题的搜索空x=x₁,x₂,...,xₙ间优化问题的分类连续离散vs根据决策变量的取值范围，优化问题可分为连续型和离散型连续型问题中，2线性非线性vs变量可取实数值；离散型问题（如整数根据目标函数和约束条件的性质，优化规划）中，变量仅取离散值问题可分为线性和非线性线性问题中1，目标函数和约束都是决策变量的线性单目标多目标vs函数；非线性问题则包含非线性函数根据目标函数的数量，优化问题可分为单目标和多目标单目标优化只有一个3目标函数；多目标优化需同时优化多个可能冲突的目标优化算法的评价标准收敛性计算复杂度收敛性是评价优化算法的基本标准，包计算复杂度反映算法求解问题所需的计括是否能收敛到最优解以及收敛速度算资源，包括时间复杂度和空间复杂度良好的算法应当能够在合理时间内找到时间复杂度表示算法执行所需的计算足够接近最优解的解，并且不会陷入局步骤数，空间复杂度表示所需的存储空部最优间收敛性分析通常包括理论收敛性和实际在大规模优化问题中，计算复杂度往往收敛行为两个方面，对算法的选择和参是算法选择的关键因素，需要在求解精数调整有重要指导意义度和计算效率之间做出平衡鲁棒性鲁棒性指算法对初始条件、问题参数变化以及数值误差的敏感程度高鲁棒性的算法能在各种条件下稳定运行，不会因小的扰动而导致解的显著变化在实际应用中，问题数据常常含有噪声或不确定性，因此算法的鲁棒性对实用性有重要影响第二章线性规划线性规划问题定义线性规划是优化领域中最基础也最重要的分支Linear Programming,LP之一它研究在线性约束条件下，线性目标函数的最优化问题线性规划的特点是目标函数和所有约束都是决策变量的线性函数标准形式线性规划的标准形式是最小化或最大化目标函数，满足约束c^T x条件和其中是决策变量向量，是目标函数系数向量，Ax=b x≥0x cA是约束条件系数矩阵，是约束条件右侧常数向量b线性规划的应用线性规划在生产计划、运输问题、资源分配、网络流等领域有广泛应用例如，工厂可以利用线性规划确定最优生产计划，最大化利润或最小化成本线性规划的图解法二维问题示例对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法直观地找出最优解在二维坐标系中，每个约束1条件表示为一条直线，这些直线共同划定了可行域可行域概念可行域是满足所有约束条件的点的集合，在二维问题中表现为一个凸多边形线性规2划的最优解总是在可行域的顶点处取得，或者在最优值相同的顶点连线上目标函数分析目标函数在二维平面上表示为一系列平行直线最优解位于可3行域与目标函数等值线相切的点，该点是可行域中使目标函数取最优值的点单纯形法原理基本思想1单纯形法是求解线性规划最常用的算法，由在年提出George Dantzig1947其核心思想是从可行域的一个顶点出发，沿着可行域的边界移动，每次移动都使目标函数值改善，直到达到最优解迭代过程2单纯形法的每次迭代包括选择一个非基变量进入基变量集（进基），选择一个基变量离开基变量集（出基），然后更新基本可行解选择进基和出基变量的规则保证了目标函数值的持续改善终止条件3单纯形法的迭代过程会在两种情况下终止一是当所有检验数都满足最优性条件时，表明当前解已是最优解；二是当某个非基变量对应的所有约束系数都不能阻止其无限增大时，表明问题无界单纯形法示例决策变量x₁x₂s₁s₂RHS目标函数32000z约束1211018约束2230142考虑最大化目标函数，约束条件为和，且z=3x₁+2x₂2x₁+x₂≤182x₁+3x₂≤42x₁,x₂≥0通过引入松弛变量和，构建初始单纯形表经过迭代计算，确定进基，出基，s₁s₂x₁s₁再确定进基，出基最终得到最优解，最大目标函数值x₂s₂x₁=6,x₂=6z=30单纯形法的每一步操作严格遵循选择进基变量和出基变量的规则，确保每次迭代都能使目标函数值向最优方向改进对偶理论原问题与对偶问题对偶定理对偶应用每个线性规划问题（原对偶理论的核心是弱对对偶理论在算法设计、问题）都对应一个对偶偶定理和强对偶定理灵敏度分析和经济解释问题如果原问题是最弱对偶定理指出原问方面有重要应用通过小化目标函数，则对偶题的任何可行解的目标对偶问题可以更有效地问题是最大化；如果原值不小于对偶问题任何求解某些特殊结构的线问题有个约束和个变可行解的目标值；强对性规划；对偶变量的最m n量，则对偶问题有个约偶定理则指出如果原优值提供了约束资源的n束和个变量问题有最优解，则对偶边际价值信息，帮助决m问题也有最优解，且两策者进行资源配置原问题与对偶问题之间者目标函数的最优值相存在紧密的数学联系，等对偶变量可以解释为原问题约束的影子价格或边际价值灵敏度分析概念及意义变化范围分析计算方法灵敏度分析研究线性规划问题参数变化对最灵敏度分析的一个重要内容是确定参数变化灵敏度分析的计算主要基于线性规划最优单优解的影响它帮助我们理解模型对输入参的允许范围，即在什么范围内参数的变化不纯形表和对偶理论通过分析最优单纯形表数变化的敏感程度，评估解的稳定性，并为会改变最优解的结构（基变量不变）这种中的检验数和替换比，可以计算出目标函数决策者提供有价值的管理信息范围信息帮助决策者了解模型的稳定性区间系数、约束右端项和约束系数的允许变化范围在实际应用中，问题参数（如资源限制、成本系数）往往存在不确定性，灵敏度分析可现代优化软件通常会自动提供灵敏度分析报以指导决策者应对这些不确定性告，包括影子价格和允许变化范围等信息第三章无约束优化无约束优化问题研究在没有约束条件的情况下，寻找使目标函数取最小值（或最大值）的点其数学表达为最小化，其中∈，是从fx xRⁿf Rⁿ到的函数R无约束优化的最优性条件主要包括一阶必要条件（在最优点处梯度为零）和二阶充分条件（在最优点处矩阵正定）这些条件是大多数Hessian无约束优化算法的理论基础无约束优化算法通常采用迭代方法，从初始点出发，沿着某个方向移动，不断改进解的质量不同算法在搜索方向和步长选择上有所不同，影响其收敛性和计算效率梯度下降法原理梯度下降法是最基础的无约束优化算法，其核心思想是沿着目标函数的负梯度方向（即函数值下降最快的方向）移动函数的梯度∇在每fx一点都指向函数增长最快的方向，因此负梯度∇指向函数下降最快-fx的方向算法步骤梯度下降法的基本步骤包括选择初始点和精度要求；计算当1x₀ε2前点的梯度∇；判断是否满足停止条件∇；若不fx3||fx||≤ε4ₖₖ满足，则沿负梯度方向更新，其中为步长；x₊₁=x-αfxαₖₖₖ∇ₖₖ返回步骤继续迭代52步长选择步长的选择对算法性能有重要影响常用的方法包括固定步长、线αₖ搜索法（如精确线搜索、准则）和自适应步长合适的步长能保Armijo证每次迭代都能使目标函数值下降，同时加快收敛速度梯度下降法收敛性分析迭代次数标准梯度下降Momentum自适应步长梯度下降法的收敛性取决于目标函数的性质和算法参数的选择对于凸函数，梯度下降法能收敛到全局最优解；对于非凸函数，则可能收敛到局部最优解当目标函数满足Lipschitz连续条件时，使用固定步长的梯度下降法可以保证线性收敛如果目标函数是强凸的，则收敛速度可以进一步提高对于二次函数，收敛速度与Hessian矩阵的条件数有关上图比较了标准梯度下降法、带动量项的梯度下降法和使用自适应步长的梯度下降法在求解测试函数时的收敛性能可以看出，改进的梯度下降方法能显著加快收敛速度牛顿法原理牛顿法是基于函数的二阶泰勒展开的优化算法与仅使用一阶导数信息的梯度下降法不同，牛顿法同时利用了函数的一阶导数（梯度）和二阶导数（矩阵）信息，从而能更准确地捕捉函数的局部曲率特性Hessian算法步骤牛顿法的主要步骤包括选择初始点和精度要求；计算当前点的梯1x₀ε2度∇和矩阵；解线性方程组∇得fxHessian Hx3Hx d=-fxₖₖₖₖₖ到搜索方向；更新；判断是否满足停止条件，若不d4x₊₁=x+d5ₖₖₖₖ满足则返回步骤继续迭代2修正牛顿法标准牛顿法要求矩阵正定，否则可能沿着非下降方向移动修Hessian正牛顿法通过对矩阵进行修正（如加上适当的对角矩阵）确保Hessian搜索方向是下降方向，同时引入线搜索确定合适的步长，提高算法的鲁棒性牛顿法与梯度下降法比较收敛速度计算复杂度12牛顿法利用二阶导数信息，能牛顿法每次迭代需要计算更准确地捕捉函数的局部曲率矩阵及其逆（或解线Hessian特性，在最优点附近通常表现性方程组），计算成本较高，出二次收敛速度，而梯度下降尤其是在高维问题中相比之法仅能达到线性收敛在接近下，梯度下降法每次迭代只需最优解时，牛顿法需要的迭代计算梯度，计算负担小得多，次数远少于梯度下降法适合处理大规模问题适用场景3牛顿法适合处理中小规模、目标函数光滑且矩阵容易计算的问Hessian题；而对于大规模问题或矩阵计算困难的情况，梯度下降法可Hessian能更为实用在实际应用中，可根据问题规模和计算资源选择合适的算法拟牛顿法拟牛顿基本思想避免计算矩阵的逆1Hessian算法BFGS2最常用的拟牛顿方法算法DFP3早期提出的拟牛顿方法算法L-BFGS4适用于大规模问题的变种拟牛顿法是介于梯度下降法和牛顿法之间的优化算法，它避免了直接计算和存储矩阵及其逆，而是通过迭代过程中梯度的变化来构造矩阵的近Hessian Hessian似逆算法是最常用的拟牛顿方法，它构造的近似逆保持对称正定性，保证了搜索方向是下降方向算法是早期提出的拟牛顿方法，现已较少使用BFGS HessianDFP算法通过仅存储最近几次迭代的向量信息来隐式构造近似，显著降低了存储需求，适合大规模问题L-BFGS Hessian共轭梯度法1初始化设置初始点和搜索方向N迭代次数理论上N步内收敛0存储需求仅需存储几个向量2信息利用利用一阶导数信息共轭梯度法是一种既避免了梯度下降法收敛慢的缺点，又规避了牛顿法计算复杂的问题的有效算法其核心思想是构造一组共轭方向，沿这些方向依次进行线搜索，每次搜索都能最小化对应方向上的函数值对于n维二次函数，共轭梯度法理论上可以在n步内精确收敛到最优解对于非二次函数，可以通过周期性重启或结合其他技术来保证收敛性Fletcher-Reeves算法是经典的共轭梯度法实现，它通过梯度向量的范数比来计算共轭方向的构造参数共轭梯度法的显著优势在于其低存储需求和较好的收敛性能，特别适合求解大规模问题，如训练大型机器学习模型第四章约束优化问题定义条件求解方法KKT约束优化问题研究在一约束优化问题的求解方Karush-Kuhn-Tucker组约束条件下寻找目标（）条件是约束优法多种多样，包括直接KKT函数的最优值其一般化问题的一阶必要条件法（如罚函数法、增广形式为最小化，，是拉格朗日乘数法的拉格朗日法、序列二次fx满足推广条件包括规划等）和间接法（如g_ix≤0KKT，可行性条件、互补松弛内点法）这些方法各i=1,2,...,m h_jx=0约束条件条件、稳定性条件和非有特点，适用于不同类j=1,2,...,p定义了决策变量的可行负条件在正则条件下型的约束优化问题选域，最优解必须在可行，条件是局部最优择合适的算法需考虑问KKT域内解的必要条件，对于凸题的规模、结构和特性优化问题，则是全局最优解的充分条件罚函数法外点法内点法外点法（惩罚函数法）从可行域外部点开始迭代，通过在目标函内点法从可行域内部点开始迭代，通过在目标函数中加入障碍项数中加入罚项来惩罚约束违反，将约束优化问题转化为一系列无来阻止解靠近可行域边界对于不等式约束，常用对数g_ix≤0约束问题罚函数通常采用二次罚函数形式障碍函数，其中是障碍参数Bx=fx-μ∑log-g_ixμ，其中是罚因子Px=fx+c∑max{0,g_ix}²+c∑h_jx²c随着障碍参数的减小，解将逐渐接近可行域边界内点法能有μ随着罚因子的增大，约束违反的惩罚越来越严重，解将被逐渐效处理大规模凸优化问题，特别是线性和二次规划，已成为现代c推入可行域外点法的优点是实现简单，但在很大时可能出现优化求解器的核心技术之一，但要求初始点严格可行c病态问题，影响算法的数值稳定性增广拉格朗日法原理1增广拉格朗日法结合了拉格朗日乘数法和罚函数法的优点，通过构造增广拉格朗日函数算法步骤2L_Ax,λ,μ=fx+∑λ_ih_ix+∑μ_jmax{0,g_jx}+c/2∑h_ix²+∑max{0,g_jx}²，将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题增广拉格朗日法的基本步骤包括1初始化乘子λ⁰,μ⁰和罚因子c⁰；2求解无约束子问题min L_Ax,λᵏ,μᵏ得到xᵏ⁺¹；3更新乘子λᵏ⁺¹=λᵏ+ch_ixᵏ⁺¹，μᵏ⁺¹=max{0,μᵏ+cg_jxᵏ⁺¹}；4视情况更新罚因子c；5返回步骤2继续迭代，优点与应用3直到满足收敛条件增广拉格朗日法相比单纯的罚函数法具有更好的数值稳定性，不需要罚因子趋于无穷大同时，它能处理等式和不等式约束，适用范围广，已在非线性优化、最优控制等领域得到广泛应用方法的一个重要变种是交替方向乘子法ADMM，特别适合求解带有分块结构的大规模优化问题序列二次规划SQP基本思想序列二次规划是求解非线性约束优化问题的一种有效方法，其核心思想SQP是在当前迭代点将非线性问题局部近似为二次规划子问题，求解该子问题QP获得搜索方向，然后进行线搜索确定步长，不断迭代直至收敛子问题构造QP在每次迭代中，将目标函数用二次模型近似，将约束用线性近似，构造SQPQP子问题最小化∇fxᵏᵀd+1/2dᵀBᵏd，满足∇h_ixᵏᵀd+h_ixᵏ=0，∇g_jxᵏᵀd+g_jxᵏ≤0其中Bᵏ是拉格朗日函数Hessian矩阵的近似算法流程的基本流程包括初始化和；构造并求解子问题得到搜索方SQP1x⁰B⁰2QP向dᵏ；3进行线搜索确定步长αᵏ，更新xᵏ⁺¹=xᵏ+αᵏdᵏ；4使用BFGS公式或类似方法更新Bᵏ⁺¹；5检查收敛条件，若不满足则返回步骤2继续迭代第五章整数规划问题定义应用场景整数规划Integer Programming,IP是线性规划的扩展，要求部分或全部决策变整数规划在实际生活中有广泛应用在生产调度中，设备运行、工人排班等决策量取整数值当所有变量都要求取整数值时称为纯整数规划，部分变量要求取整通常是不可分割的整数单位；在设施选址问题中，开设与否的决策是二元的；在数值时称为混合整数规划，变量仅取0或1时称为0-1整数规划投资组合优化中，某些资产可能只能整数交易；在网络设计中，链路的建立与否也是二元决策整数规划的一般形式为最小化，满足，，∈（对部分或全部c^T xAx≤b x≥0x_j Zj）由于整数约束导致可行域不再是凸集，整数规划问题通常比线性规划更难求整数约束能够更准确地反映现实世界的离散决策，但同时也大大增加了问题的求解解难度，属于难问题NP-分支定界法分支定界法是求解整数规划最常用的精确算法，其核心思想是通过不断分割问题的可行域，并利用界限信息剪枝，逐步缩小搜索空间，最终找到整数规划的最优解分支定界法首先求解线性规划松弛问题（即忽略整数约束的问题）如果松弛问题的最优解已经满足整数约束，则该解也是整数规划的最优解；否则，选择一个取非整数值的变量，创建两个子问题一个添加约束，另一个添加约束，然后递归求解这些子问题x_j x_j≤x_j x_j≥x_j⌊⌋⌈⌉在搜索过程中，算法维护当前已知的最优整数解（上界）和各节点的松弛问题解（下界）如果某节点的下界大于等于当前上界，则可以剪枝，不再探索该节点的子树这种分支和定界的结合使算法能够高效地找到最优整数解割平面法割平面算法流程优缺点分析Gomory割平面是最经典的整数规划割平面割平面法的基本流程包括求解线性规割平面法的理论优势在于可以在松弛问题Gomory1方法它通过分析单纯形表中的非整数基划松弛问题；检查最优解是否满足整数的框架内求解整数规划，避免了分支定界2变量，构造有效的切割平面，逐步缩小松约束；若不满足，生成切割平面并添加法的组合爆炸但纯割平面法在实践中往3弛问题的可行域，使其最优解向整数解靠到问题中；重新求解修改后的线性规划往收敛缓慢，数值稳定性也较差现代整4拢割平面可以保证在有限步内得问题；重复步骤直到获得整数解数规划求解器通常将割平面法与分支定界Gomory52-4到最优整数解或确定问题无解法结合，形成分支切割算法Branch-and-，发挥两者的优势Cut第六章非线性规划问题特点求解难点1目标函数或约束为非线性函数目标函数可能存在多个局部最优解2主要算法类别应用领域4梯度法、牛顿法、直接搜索法等3工程设计、控制系统、机器学习等非线性规划是优化问题中最广泛的一类，其目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数与线性规划相比，非线性规划的求解难度大大增加，主要原因在于目标函数可能具有多个局部最优解，算法容易陷入局部最优而无法找到全局最优解非线性规划问题的类型多样，包括无约束非线性规划、等式约束非线性规划、不等式约束非线性规划以及混合约束非线性规划不同类型的问题需要运用不同的算法策略进行求解，算法选择应考虑问题的规模、结构特点以及对解的精度要求一维搜索方法一维搜索方法是求解单变量函数最优化问题的基础算法，也是多维优化算法中确定步长的重要工具这类方法通常基于区间搜索策略，通过不断缩小包含最优点的区间来逼近最优解黄金分割法是一种经典的区间搜索方法，其核心思想是在每次迭代中，以黄金分割比约划分当前区间，计算两个内点的函数值，

0.618:

0.382根据比较结果保留有希望包含最优点的子区间黄金分割法的优点是每次迭代只需计算一个新的函数值，计算效率高斐波那契搜索法是另一种重要的区间搜索方法，它使用斐波那契数列来确定搜索点的位置与黄金分割法相比，斐波那契搜索在预先知道所需迭代次数的情况下，能够更有效地缩小搜索区间，但实现略微复杂这两种方法都不需要计算函数导数，适用于导数难以计算或不存在的情况多维搜索方法方法Powell方法是一种不使用导数的多维搜索方法，它通过一系列一维搜索来找到多维函数的最优解算法首先沿坐标轴方1Powell向进行搜索，然后根据搜索结果构造新的搜索方向，逐步改进搜索方向集，使其更适应目标函数的特性单纯形法Nelder-Mead单纯形法是另一种经典的无导数优化方法它在维空间中维护一个有个顶点Nelder-Mead nn+12的单纯形（如二维中的三角形，三维中的四面体），通过反射、扩展、收缩和收敛等操作不断更新单纯形，使其逐渐包围并逼近最优点模式搜索法模式搜索法是一类结构化的直接搜索方法，它通过在预定义的模式点3集上评估函数值来确定搜索方向这类方法理论基础扎实，可以保证在一定条件下收敛到驻点，适用于非光滑函数优化第七章动态规划最优决策寻找整体最优解1状态转移方程2连接各子问题的数学表达式最优子结构3问题的最优解包含子问题的最优解重叠子问题4需多次求解相同的子问题动态规划是求解具有最优子结构和重叠子问题特性的优化问题的有力工具其核心思想是将原问题分解为相互关联的子问题，通过求解子问题并存储其结果来避免重复计算，从而大大提高算法效率动态规划的应用范围极广，包括资源分配、路径规划、序列比对、投资决策等领域与分治法相比，动态规划处理的子问题之间不是相互独立的，而是存在重叠；与贪心算法相比，动态规划不是在每一步做出局部最优决策，而是通过综合考虑所有可能的决策序列，保证找到全局最优解动态规划基本步骤定义状态1状态定义是动态规划的关键第一步，它决定了问题的表示方式和求解思路状态应该能够完整描述问题在某一阶段的情况，为后续决策提供足够信息例如，在路径问题中，状态可能是到达某位置的最短距离；在背包问题中，状态可能是考虑前i个物品、背包容量为j时的最大价值建立状态转移方程2状态转移方程描述了问题的递推关系，即如何由已知状态推导出未知状态这一步通常需要分析问题的最优子结构，确定当前状态与其相关子问题状态之间的数学关系例如，最短路径问题的状态转移方程可能是dp[i][j]=min{dp[i-1][j],dp[i][j-1]}+cost[i][j]确定边界条件3边界条件是指问题求解过程中最基本、可以直接确定的状态值这些值通常对应于问题的最简单情况，是状态转移的起点例如，在路径问题中，起始位置的距离为0；在序列问题中，空序列的结果通常有明确定义设计计算顺序4根据状态转移方程确定状态的计算顺序，确保在计算某个状态时，其依赖的所有子状态都已经计算完毕计算顺序可以是自底向上（表格法）或自顶向下（记忆化搜索），选择合适的方式可以提高算法效率动态规划经典问题背包问题最长公共子序列背包问题是动态规划的经典例子，特别是背包问题给定个物品，每个物品最长公共子序列问题给定两个序列和，找出它们的最长公共子序列0-1n LCSX Y有重量w_i和价值v_i，在总重量不超过W的前提下，如何选择物品使总价值最大子序列是指从原序列中删除某些元素（可以不删）而不改变剩余元素相对顺序形成的序列使用动态规划解决此问题，可以定义状态表示考虑前个物品、背包容量为使用动态规划解决问题，可以定义状态表示序列的前个元素与序列dp[i][j]i LCSdp[i][j]X iY时的最大价值状态转移方程为（的前个元素的长度状态转移方程为若，则j dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]+v_i}j LCSX[i]=Y[j]dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1若）通过填充二维表格，最终即为所求最大价值；否则最终即为所求长度j≥w_i dp[n][W]dp[i][j]=max{dp[i-1][j],dp[i][j-1]}dp[m][n]LCS第八章启发式算法定义与特点应用场景算法分类启发式算法是一类基于经验启发式算法广泛应用于各类启发式算法可大致分为以下法则或启发规则设计的优化难问题，如旅行商问题几类基于自然现象的算NP1算法，用于解决精确算法难、车辆路径问题、作业调度法，如遗传算法、蚁群算法以在合理时间内求解的复杂问题、设施选址问题等这、粒子群优化等；基于2问题这类算法通常不保证些问题在实际规模下难以用物理过程的算法，如模拟退找到全局最优解，但能在可精确算法求解，而启发式算火、禁忌搜索等；局部3接受的时间内找到近似最优法能在合理时间内提供满足搜索算法，如爬山法、变邻解实际需求的解决方案域搜索等；混合启发式4算法，结合多种启发式策略启发式算法的核心特点包括此外，启发式算法在机器学或与精确算法相结合计算效率高、实现相对简习、神经网络训练、图像处单、能够处理高维复杂问题理等领域也有广泛应用，特、对问题的数学性质要求低别是在模型参数存在大量局然而，这类算法通常缺乏部最优的情况下，能够帮助理论保障，解的质量依赖于跳出局部最优陷阱具体实现和参数设置。