《信号与系统》课件

信号与系统欢迎来到信号与系统课程！本课程是电子信息工程、通信工程和自动化等专业的核心基础课，旨在帮助同学们掌握信号分析与系统分析的基本理论和方法在这门课程中，我们将深入探讨信号的时域和频域表示、线性时不变系统的特性以及各种变换方法，包括傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换等这些知识将为你未来学习通信原理、数字信号处理等高级课程奠定坚实基础课程概述课程目标学习内容12培养学生掌握信号与系统分析主要包括信号与系统基本概念的基本理论和方法，建立时域、连续时间系统的时域和频域分析与频域分析的概念，学会分析、拉普拉斯变换、离散时运用数学工具分析和设计系统间信号与系统、Z变换、状态，为后续专业课程学习打下坚变量分析以及随机信号分析等实基础内容考核方式3平时成绩（作业、出勤、课堂表现）占30%，期中考试占20%，期末考试占50%考试内容包括基本概念、基本方法应用以及综合分析能力第一章信号与系统基本概念信号的定义与分类探讨信号的基本概念、数学表示以及各种分类方法，包括确定性与随机信号、连续与离散信号等常见基本信号介绍工程中常用的基本信号，如单位阶跃信号、单位冲激信号、指数信号和正弦信号等，及其数学表达式系统的定义与特性讨论系统的概念、数学描述以及重要特性，包括线性性、时不变性、因果性和稳定性等信号的定义

1.1信号是消息的表现形式，是随时间或空间变化的物理量，数学上消息是信号的具体内容，是信号所承载的有意义的信息不同的可表示为一个或多个自变量的函数在工程中，信号通常携带有信号可以携带相同的消息，例如，同一句话可以用声音信号、电我们感兴趣的信息，如声音信号、电信号、光信号等信号或光信号来表达信号本质上是信息的载体，它将信息从信源传递到信宿例如，在信号处理过程中，我们关注的是如何从信号中提取有用的消息语音信号将人的思想通过声波传递给听者，而电信号则可以通过，以及如何设计系统使消息能够被准确地传递和还原这是信号电磁波传递信息与系统学科的核心任务之一信号的分类

1.2确定性信号与随机信号连续时间信号与离散时间信号确定性信号可以用确定的数学表达式描述，其值在任意时刻都可连续时间信号在时间轴上连续存以精确预测，如正弦信号随机在，如模拟电压信号离散时间信号则无法用确定的表达式描述信号仅在特定时间点上有定义，，只能用统计方法分析，如噪声如采样后的数字信号两种信号信号在数学处理和物理实现上有很大区别周期信号与非周期信号周期信号在经过一定时间间隔后会重复其波形，如正弦信号非周期信号则不具有这种重复性质周期信号可以用傅里叶级数表示，而非周期信号则需要傅里叶变换常见的基本信号

1.3单位阶跃信号单位冲激信号指数信号与正弦信号单位阶跃信号ut在t0时为0，在t≥0时为单位冲激信号δt是一种在t=0处具有无限指数信号e^at和正弦信号sinωt、1这是一种基本的非连续信号，常用于描大振幅、无限小持续时间，但积分为1的理cosωt是两类重要的基本信号指数信号述突变现象，如开关的接通它是许多系想信号它在系统分析中有重要作用，是常用于描述自然衰减过程，而正弦信号则统分析中的重要基本信号线性系统冲激响应的基础是通信系统中最基本的周期信号信号的运算

1.4时移时移操作将信号在时间轴上平移，表示为xt±t₀正向时移使信号向右移动，延迟信号的出现；负向时移使信号向左移动，提前信号的出现时移不改变信号的波形，只改变其出现的时间反转反转操作将信号关于纵轴翻转，表示为x-t这相当于将信号的时间轴反向，使信号倒放反转操作在卷积计算和系统分析中非常重要尺度变换尺度变换改变信号的时间比例，表示为xat当a1时，信号被压缩；当0微分与积分微分运算dxt/dt表示信号的变化率，积分运算∫xtdt表示信号的累积效果这两种运算在物理系统中有明确的意义，例如电容的电压与电流关系系统的定义与分类

1.5连续系统与离散系统连续系统处理连续时间信号，用微分方2程描述；离散系统处理离散时间信号，系统的概念用差分方程描述两种系统在数学工具和实现方式上有显著区别系统是将输入信号转换为输出信号的装1置或算法，可以用数学模型描述这种转线性系统与非线性系统换关系系统可以是物理实体（如电路）或抽象算法（如计算程序）线性系统满足叠加原理，输出对输入的响应具有比例性和可加性；非线性系统3则不满足这些性质，其分析和设计更为复杂系统的性质

1.6因果性时不变性因果系统的输出仅取决于当前和过去的时不变系统的特性不随时间而变化，即输入，不依赖于未来的输入这是现实对时移后的输入信号，其输出就是原输物理系统必须满足的性质，因为物理系12出的相应时移数学上，若输入xt产生统不能预知未来数学上，若ht=0（输出yt，则输入xt-t₀产生输出yt-t₀t0），则系统是因果的稳定性可逆性稳定系统对有界输入产生有界输出BIBO可逆系统能从输出信号唯一地恢复输入稳定数学上，若系统的冲激响应绝对43信号数学上，若存在另一个系统，使可积，即∫|ht|dt∞，则系统是稳定原系统的输出信号通过该系统后，能恢的稳定性是系统设计的重要指标复为原输入信号，则原系统是可逆的线性时不变系统

1.7系统的定义系统的性质LTI LTI线性时不变LTI系统同时满足线性性和时不变性线性性是指系LTI系统具有以下重要性质统满足叠加原理若输入x₁t产生输出y₁t，输入x₂t产生输出•可以通过其冲激响应ht完全描述y₂t，则输入ax₁t+bx₂t将产生输出ay₁t+by₂t，其中a和b为任意常数•输出可以通过输入与冲激响应的卷积计算yt=xt*ht•正弦信号通过LTI系统后，频率不变，只有幅度和相位可能改时不变性是指系统的特性不随时间变化若输入xt产生输出yt变，则输入xt-τ将产生输出yt-τ，其中τ为任意时移量•复指数信号e^st是LTI系统的特征函数第二章连续时间系统的时域分析系统时域响应1基于时域的系统分析方法卷积积分2LTI系统输入输出的时域关系系统响应特性3阶跃响应与冲激响应微分方程描述4系统的数学模型与求解连续时间系统的时域分析是研究系统在时间维度上的行为和响应通过分析系统对各种输入信号的时域响应，我们可以深入理解系统的特性和行为本章将重点介绍卷积积分这一强大的数学工具，以及利用微分方程描述和分析连续时间系统的方法卷积积分

2.1卷积的定义卷积的物理意义卷积的应用卷积积分是线性时不变卷积可以理解为输入信卷积积分是分析LTI系统系统时域分析的核心，号与系统冲激响应的加的强大工具，广泛应用定义为yt=xt*权叠加当输入为单位于信号处理、通信系统ht=∫₋∞^∞xτht-冲激信号δt时，输出和控制系统等领域通τdτ其中xt是系统就是系统的冲激响应过卷积，我们可以求解输入，ht是系统的冲ht对任意输入信号系统对任意输入信号的激响应，yt是系统输，可以将其视为多个加响应，从而预测系统的出，符号*表示卷积运权冲激信号的叠加，系行为和性能算统输出即为相应冲激响应的加权叠加卷积积分的性质

2.2交换律1xt*ht=ht*xt，即卷积运算的顺序可以交换这说明从数学角度看，无法区分哪个是输入信号、哪个是系统响应分配律2xt*[h₁t+h₂t]=xt*h₁t+xt*h₂t，即卷积对加法满足分配律这反映了线性系统的叠加性质结合律3xt*[h₁t*h₂t]=[xt*h₁t]*h₂t，即多重卷积的计算顺序可以改变这对串联系统的分析非常重要卷积积分的这些性质使我们能够灵活处理复杂的系统分析问题例如，利用交换律，我们可以选择计算较为简便的方式进行卷积；利用分配律，我们可以将复杂系统分解为简单系统的组合；利用结合律，我们可以简化串联系统的分析卷积积分的计算方法

2.3图解法解析法图解法是一种直观的卷积计算方法，主要包括以下步骤

①绘制输入信号xτ和解析法是通过数学计算直接求解卷积积分的方法具体步骤为

①写出卷积积时间反转后的冲激响应ht-τ；

②将ht-τ沿τ轴平移t单位；

③计算两个函数的分表达式∫xτht-τdτ；

②确定积分区间，只考虑xτ和ht-τ同时不为零的区重叠部分乘积的积分值；

④改变t值，重复上述步骤，得到不同时刻的输出yt间；

③根据t的不同取值范围，分段计算积分；

④得到分段表示的输出函数yt选择合适的计算方法取决于信号的复杂度和问题的要求对于简单信号，图解法往往更为直观；对于复杂信号，解析法可能更为高效在实际工程中，我们通常会结合两种方法进行卷积计算系统的阶跃响应与冲激响应

2.4阶跃响应的定义冲激响应的定义12系统的阶跃响应st是系统对系统的冲激响应ht是系统对单位阶跃输入ut的输出响应单位冲激输入δt的输出响应阶跃响应直观地反映了系统冲激响应完整地描述了LTI从静止状态到稳定状态的过渡系统的特性，是系统分析的基过程，是表征系统动态特性的础一旦知道系统的冲激响应重要指标在工程中，阶跃响，就可以通过卷积计算系统对应通常用于分析系统的稳定时任意输入的响应间、超调量等性能指标阶跃响应与冲激响应的关系3冲激响应是阶跃响应的导数ht=dst/dt，或者阶跃响应是冲激响应的积分st=∫₋∞^t hτdτ这一关系源于单位冲激δt是单位阶跃ut的导数理解这一关系有助于系统分析中灵活使用两种响应系统的微分方程描述

2.5常系数线性微分方程初始条件的影响连续时间LTI系统通常可以用常系数线性微分方程描述微分方程的完整解包括特解和通解两部分特解由输入信号决定，通解由系统本身特性和初始条件决定a_nd^nyt/dt^n+...+a_1dyt/dt+a_0yt=b_md^mxt/dt^m+...+b_1dxt/dt+b_0xt求解微分方程需要n个初始条件（对于n阶方程），这些初始条件反映了系统在t=0时刻的状态初始条件对系统的暂态响应有显著其中，yt是系统输出，xt是系统输入，a_i和b_i是常数系数影响，但对稳态响应通常影响较小微分方程的阶数n决定了系统的复杂度和动态特性在实际工程中，初始条件通常对应于系统中储能元件（如电容、电感）的初始能量状态第三章连续时间信号与系统的频域分析傅里叶级数与变换1通过傅里叶级数和傅里叶变换，将时域信号分解为不同频率的正弦分量的叠加，实现从时域到频域的转换这是频域分析的数学基础系统频率响应2研究系统对不同频率的正弦信号的响应特性，分析系统的幅频特性和相频特性，这是系统频域分析的核心内容滤波器设计3基于频域分析理论，设计实现理想或近似理想的滤波器，用于信号的频率选择性处理，是频域分析的重要应用取样定理4研究连续信号取样与离散信号之间的关系，确定无失真重建连续信号所需的最小取样频率，是连接连续域和离散域的关键理论傅里叶级数

3.1周期信号的傅里叶级数展开傅里叶系数的计算任何周期信号xt（满足狄里赫利条件三角形式的傅里叶系数可以通过以下）都可以展开为三角傅里叶级数或复公式计算a₀=2/T∫₀ᵀxtdt,aₙ=指数傅里叶级数三角形式为xt=2/T∫₀ᵀxtcosnω₀tdt,bₙ=2/T∫₀ᵀa₀/2+Σ[aₙcosnω₀t+bₙsinnω₀t]xtsinnω₀tdt复指数形式的系数，其中a₀/2是直流分量，aₙ和bₙ是第n为cₙ=1/T∫₀ᵀxte^-jnω₀tdt次谐波的余弦和正弦分量的系数复这些公式表明傅里叶系数实际上是信指数形式为xt=Σcₙe^jnω₀t，其号与相应基函数的相关性度量中cₙ是复振幅傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性由狄里赫利条件保证

①信号在一个周期内绝对可积；

②信号在一个周期内仅有有限个不连续点；

③信号在一个周期内仅有有限个极值点满足这些条件的信号，其傅里叶级数在连续点处收敛到信号值，在不连续点处收敛到左右极限的平均值傅里叶变换

3.2非周期信号的傅里叶傅里叶变换的性质频谱分析变换傅里叶变换具有许多重要傅里叶变换Xjω通常是复傅里叶变换是傅里叶级数性质

①线性性若函数，可表示为Xjω=的自然扩展，适用于非周x₁t↔X₁jω，|Xjω|e^jφω，其中期信号对于满足一定条x₂t↔X₂jω，则|Xjω|是幅度谱，φω是件的非周期信号xt，其傅ax₁t+bx₂t↔aX₁jω+b相位谱幅度谱反映各频里叶变换定义为Xjω=X₂jω；

②时移性质xt-率分量的强度，相位谱反∫₋∞^∞xte^-jωtdt t₀↔Xjωe^-jωt₀；

③频映各频率分量的相位关系傅里叶反变换为xt=移性质频谱分析能揭示信号的1/2π∫₋∞^∞xte^jω₀t↔Xjω-ω₀频率组成，是信号处理的Xjωe^jωtdω傅里叶；

④尺度变换重要手段变换将时域信号映射到频xat↔1/|a|Xjω/a；域，Xjω称为xt的频谱

⑤时域微分dxt/dt↔jωXjω；

⑥频域微分-jtxt↔dXjω/dω常用信号的傅里叶变换

3.3信号类型时域表达式频域表达式（傅里叶变换）矩形脉冲rectt/τ={1,|t|≤τ/2;0,τsincωτ/2=|t|τ/2}τsinωτ/2/ωτ/2单位冲激函数δt1（所有频率分量幅度相等）单位阶跃函数ut={1,t≥0;0,t0}πδω+1/jω指数函数e^-atut,a01/a+jω余弦信号cosω₀tπ[δω-ω₀+δω+ω₀]正弦信号sinω₀t jπ[δω+ω₀-δω-ω₀]理解这些基本信号的傅里叶变换对分析复杂信号的频谱特性非常有帮助例如，矩形脉冲的频谱是sinc函数，这说明即使是时间上有限的信号，其频谱也可能在所有频率上都有分量单位冲激函数的频谱是常数1，表明它包含所有频率的分量，且各频率分量的幅度相等系统的频率响应

3.4频率响应的定义系统的频率响应Hjω是系统传递函数Hs在s=jω时的值，表示系统对不同频率正弦信号的响应特性对于LTI系统，频率响应Hjω等于冲激响应ht的傅里叶变换，即Hjω=ℱ{ht}输入输出关系在频域中，LTI系统的输出频谱等于输入频谱与系统频率响应的乘积，即Yjω=Xjω·Hjω这一简单关系是频域分析的最大优势之一，将时域中的卷积转化为频域中的乘积，大大简化了系统分析幅频特性与相频特性频率响应Hjω通常是复函数，可以表示为Hjω=|Hjω|e^jφω|Hjω|是幅频特性，表示系统对不同频率正弦信号的幅度放大或衰减倍数；φω是相频特性，表示系统对不同频率正弦信号引入的相位延迟理想滤波器

3.5低通滤波器高通滤波器带通滤波器理想低通滤波器允许低于截止频率ω_c的频理想高通滤波器允许高于截止频率ω_c的频理想带通滤波器允许指定频带内的频率分量率分量通过，而完全阻止高于截止频率的分率分量通过，而完全阻止低于截止频率的分通过，而阻止频带外的分量其频率响应为量其频率响应为Hjω={1,|ω|≤ω_c;0,量其频率响应为Hjω={0,|ω|≤ω_c;1,Hjω={1,ω_L≤|ω|≤ω_H;0,其他}，其中|ω|ω_c}理想低通滤波器的冲激响应是|ω|ω_c}与低通滤波器类似，理想高通ω_L和ω_H分别是下限截止频率和上限截止sinc函数ht=ω_c/πsincω_ct/π，这滤波器在物理上也不可实现，但可以通过各频率带通滤波器在通信系统中广泛应用，是一个非因果且不绝对可积的函数，因此理种近似方法设计实际可用的高通滤波器用于选择特定频段的信号，如无线电接收机想低通滤波器在物理上不可实现中的调谐电路取样定理

3.61取样定理的内容2取样过程的数学描述取样定理（奈奎斯特定理）是信号对连续信号xt的取样可以表示为处理中的基本定理，它指出对于x_st=xt·∑δt-nT_s，其中T_s带宽限制在[-W,W]范围内的信号是取样周期在频域中，取样信号xt，如果取样频率ω_s2W，那的频谱是原信号频谱的周期重复么原信号可以从其取样值中无失真X_sjω=1/T_s∑Xjω-nω_s地重建数学上，取样频率必须高如果取样频率满足奈奎斯特准则，于信号最高频率的两倍（称为奈奎这些重复的频谱不会相互重叠，从斯特率）而可以通过理想低通滤波恢复原信号3取样定理的应用取样定理是数字信号处理的理论基础，广泛应用于数模转换、数字通信、音频和视频压缩等领域例如，音频CD的取样率为

44.1kHz，远高于人耳能听到的最高频率（约20kHz），确保了高质量的声音重现在实际应用中，为避免频谱混叠，通常在取样前使用抗混叠滤波器限制信号带宽第四章拉普拉斯变换变换定义系统函数1拉普拉斯变换是时域信号到复频域的映射系统函数是系统在复频域的完整描述，反2，扩展了傅里叶变换的适用范围映了系统的动态特性反变换极点与零点4通过反变换可以从复频域返回到时域，求系统函数的极点与零点决定了系统响应的3解系统响应基本特性和稳定性拉普拉斯变换是信号与系统分析中的强大工具，它将时域中的微分方程转化为复频域中的代数方程，大大简化了系统分析和设计拉普拉斯变换不仅适用于稳定系统，还能处理不稳定系统；不仅适用于周期信号，还能处理非周期信号和增长信号本章将系统地介绍拉普拉斯变换的理论和应用拉普拉斯变换的定义

4.1单边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换主要用于因果信号（t0时信号为零），定义为双边拉普拉斯变换适用于所有信号，定义为Xs=ℒ{xt}=∫₋∞^∞xte^-stdtXs=ℒ{xt}=∫₀^∞xte^-stdt双边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广当s=jω时，双边拉普拉其中s=σ+jω是复变量，Xs是xt的拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换退化为傅里叶变换双边变换理论上更完备，但在处理含斯变换特别适合求解初值问题，如含有初始条件的微分方程，因有初始条件的系统时不如单边变换方便此在系统分析中更为常用拉普拉斯变换的收敛域

4.2收敛域的概念收敛域的确定12拉普拉斯变换的收敛域（ROC）收敛域的确定主要取决于信号的是指使积分∫xte^-stdt绝对收增长特性一般地，如果敛的复变量s的区域收敛域通常|xt|≤Ke^αt（t→∞），则收是s平面上的条带区域σ₁σ₀或左半敛域包含Resα；如果平面Resσ₀收敛域是拉普拉|xt|≤Ke^βt（t→-∞），则收斯变换的重要组成部分，不同的敛域包含Resβ对于有限持续收敛域对应不同的信号，即使它时间的信号，收敛域通常是整个s们的变换表达式相同平面，或者除去有限个点以外的整个s平面收敛域的性质3收敛域具有以下重要性质

①收敛域是平行于jω轴的连续条带区域；

②如果ROC包含s=s₀，则它也包含所有Res=Res₀的点；

③对于因果信号，如果ROC包含点s=s₀，则它也包含所有ResRes₀的点；

④对于反因果信号，如果ROC包含点s=s₀，则它也包含所有Res拉普拉斯变换的性质

4.3线性性质时移性质如果x₁t的拉普拉斯变换为X₁s，如果xt的拉普拉斯变换为Xs，收收敛域为ROC₁，x₂t的拉普拉斯变敛域为ROC，则xt-t₀的拉普拉斯变换为X₂s，收敛域为ROC₂，则换为e^-st₀Xs，收敛域不变这ax₁t+bx₂t的拉普拉斯变换为一性质描述了时间延迟在拉普拉斯aX₁s+bX₂s，收敛域至少包含域中的表现，即时域延迟对应于频ROC₁∩ROC₂（即两个收敛域的交集域中乘以一个相位因子这在分析）这一性质使我们能够分解复杂含有延迟的系统时非常有用信号，单独计算简单部分的变换，再组合得到最终结果频移性质如果xt的拉普拉斯变换为Xs，收敛域为ROC，则e^s₀txt的拉普拉斯变换为Xs-s₀，收敛域变为ROC+Re{s₀}这一性质描述了频率搬移在拉普拉斯域中的表现，常用于调制信号的分析常用信号的拉普拉斯变换

4.4信号拉普拉斯变换收敛域单位阶跃信号ut1/s Res0单位冲激信号δt1全s平面指数信号e^-atut1/s+a Res-a正弦信号sinω₀tutω₀/s²+ω₀²Res0余弦信号cosω₀tut s/s²+ω₀²Res0衰减正弦e^-atsinω₀tutω₀/s+a²+ω₀²Res-a斜坡信号tut1/s²Res0n阶幂信号t^n utn!/s^n+1Res0熟悉常用信号的拉普拉斯变换对于系统分析和设计至关重要通过这些基本变换对，结合拉普拉斯变换的各种性质，我们可以计算出更复杂信号的拉普拉斯变换在求解微分方程、计算系统响应等问题中，这些变换对被广泛使用系统函数

4.5系统函数的定义系统函数与微分方程系统函数与冲激响应的关系系统函数Hs是系统输出的拉普拉斯变换Ys与如果系统由常系数线性微分方程系统函数Hs是系统冲激响应ht的拉普拉斯变输入的拉普拉斯变换Xs之比，即Hs=a_nd^nyt/dt^n+...+a_1dyt/dt+换，即Hs=ℒ{ht}反之，冲激响应ht是Ys/Xs对于线性时不变系统，系统函数完整a_0yt=b_md^mxt/dt^m+...+系统函数Hs的反拉普拉斯变换，即ht=ℒ^-描述了系统的特性，是系统分析和设计的基础b_1dxt/dt+b_0xt描述，则系统函数为1{Hs}这一关系使我们能够通过系统函数直系统函数也是系统冲激响应ht的拉普拉斯变Hs=b_ms^m+...+b_1s+b_0/a_ns^n+接确定系统的时域响应特性，或从系统的时域换，即Hs=ℒ{ht}...+a_1s+a_0系统函数将时域中的微分方程响应推导出系统函数转化为s域中的代数方程，大大简化了系统分析系统的极点与零点

4.6极点的概念零点的概念系统函数Hs的极点是使Hs变为无穷大的s值对于有理分式形系统函数Hs的零点是使Hs为零的s值对于有理分式形式的系式的系统函数Hs=Bs/As，极点是分母多项式As的根极统函数Hs=Bs/As，零点是分子多项式Bs的根零点影响点在s平面上的位置决定了系统的稳定性和动态响应特性系统的瞬态响应和频率响应如果所有极点都位于s平面的左半部分（即实部为负），则系统是零点可以用来抵消极点的影响，或者设计特定的频率响应例稳定的；如果有极点位于右半平面，则系统不稳定；如果有极点如，在带阻滤波器中，零点被放置在需要抑制的频率上；在最小位于虚轴上，则系统处于临界稳定状态相位系统中，所有零点都位于左半平面极点和零点在s平面上的分布直观地反映了系统的特性通过极零图（即在s平面上标出所有极点和零点的图），我们可以快速判断系统的稳定性、响应类型（如阻尼不足、过阻尼或临界阻尼）以及频率响应的基本特征在系统设计中，极点和零点的配置是一种直观有效的方法拉普拉斯反变换

4.7部分分式展开法部分分式展开是求解拉普拉斯反变换的常用方法对于有理分式形式的Fs=Bs/As，如果分母阶次高于分子，可以将其展开为简单分式之和展开后的每个简单分式都有对应的标准反变换形式展开方法包括待定系数法、留数法等对于重极点情况，展开形式略有不同，需要特别处理留数定理留数定理是复变函数理论中的重要定理，在拉普拉斯反变换中有重要应用根据留数定理，拉普拉斯反变换可以表示为ft=1/2πj∮Fse^stds，其中积分路径是在收敛域内、包围所有奇点的闭合曲线通过计算Fse^st在各个极点处的留数，可以求出ft查表法对于常见的拉普拉斯变换对，可以直接通过查找变换对表进行反变换这种方法简单直接，但局限于表中已有的变换对对于复杂的函数，通常需要结合拉普拉斯变换的性质，将其分解为基本变换对的组合，然后利用线性性质得到最终结果第五章离散时间信号与系统离散信号基础1介绍离散时间信号的定义、表示和基本运算，以及常见的离散时间信号类型，如单位脉冲序列、单位阶跃序列等离散系统分析2研究离散时间系统的特性和分类，包括线性时不变性、因果性和稳定性等，以及系统的时域描述方法，如差分方程和卷积和频域分析方法3探讨离散时间信号的频域分析工具，包括离散时间傅里叶变换DTFT、离散傅里叶变换DFT和快速傅里叶变换FFT算法等离散时间信号与系统是现代数字信号处理的理论基础随着数字计算和存储技术的发展，离散时间信号处理已成为工程应用中的主流技术本章将系统地介绍离散时间信号与系统的基本理论和分析方法，为后续章节的Z变换分析奠定基础离散时间信号

5.1离散时间信号的定义常见的离散时间信号离散时间信号是一个定义在离散时间点上的序列，通常表示为常见的基本离散时间信号包括x[n]，其中n为整数，表示时间索引离散时间信号可以来源于连•单位脉冲序列δ[n]在n=0时值为1，其他时间为0续时间信号的采样，也可以直接在离散时间域产生•单位阶跃序列u[n]在n≥0时值为1，n0时值为0与连续时间信号相比，离散时间信号只在离散时间点上有定义，•矩形脉冲序列在特定范围内为常数，其他为0其取值可以是连续的（如浮点数值）或离散的（如整数值）在•指数序列a^n类似于连续时间的指数信号数字计算机中，信号的幅度通常被量化为有限的数字值，形成完全离散的数字信号•正弦序列sinω₀n和余弦序列cosω₀n离散时间系统

5.2离散时间系统的定义离散时间系统的分类离散时间系统是将输入离散时间信号x[n]离散时间系统可以按不同标准分类

①线映射或转换为输出离散时间信号y[n]的装性系统与非线性系统线性系统满足叠加置或算法数学上，系统可以表示为算子原理，即T{a₁x₁[n]+a₂x₂[n]}=T{·}，即y[n]=T{x[n]}离散时间系统广a₁T{x₁[n]}+a₂T{x₂[n]}；

②时不变系统与泛应用于数字信号处理、数字控制和数字时变系统时不变系统的特性不随时间变通信等领域，是现代信息技术的核心组成化，即如果y[n]=T{x[n]}，则y[n-n₀]=部分T{x[n-n₀]}；

③因果系统与非因果系统因果系统的输出仅依赖于当前和过去的输入；

④稳定系统与不稳定系统稳定系统对有界输入产生有界输出离散时间系统的实现离散时间系统可以通过各种方式实现

①硬件实现如数字信号处理器DSP、现场可编程门阵列FPGA等；

②软件实现通过计算机程序实现系统的输入输出映射；

③混合实现结合硬件和软件的优势不同实现方式有各自的优缺点，选择何种实现方式取决于应用需求、性能要求和成本考虑离散时间系统的时域分析

5.3卷积和差分方程卷积和是离散时间线性时不变LTI系统时域分析的核心工具对于输入信号x[n]和差分方程是描述离散时间系统的另一种重要方法，特别适合于描述递归系统一般系统单位脉冲响应h[n]，输出信号y[n]可以表示为卷积和y[n]=x[n]*h[n]=形式为Σᵢ₌₀ᴺaᵢy[n-i]=Σⱼ₌₀ᴹbⱼx[n-j]差分方程是离散时间系统的时域描述，类Σₖx[k]h[n-k]卷积和反映了LTI系统的输入与输出之间的关系，类似于连续时间似于连续时间系统的微分方程它描述了系统当前输出与过去输出以及当前和过去系统中的卷积积分卷积和的物理意义是输入序列每个脉冲激励产生的响应的叠加输入之间的关系系统的阶数通常由方程中最高阶的延迟项决定离散时间系统的时域分析方法直观且实用，特别适合于分析系统的暂态响应和稳态响应卷积和提供了一种统一的方法来计算任意输入的系统响应，而差分方程则提供了一种实现系统的直接方法，尤其适合于实时处理这两种方法互为补充，共同构成了离散时间系统时域分析的基础离散时间傅里叶变换（）

5.4DTFT的定义的性质的应用DTFT DTFTDTFT离散时间傅里叶变换DTFT是离散时间信号与其DTFT具有多种重要性质

①线性性若DTFT在离散时间信号分析和系统设计中有广泛应频谱之间的桥梁，定义为Xe^jω=Σₙ₌₋∞^∞x₁[n]↔X₁e^jω，x₂[n]↔X₂e^jω，则用

①频谱分析通过DTFT可以观察信号的频率x[n]e^-jωnDTFT将离散时间信号映射到连续ax₁[n]+bx₂[n]↔aX₁e^jω+bX₂e^jω；

②时成分；

②系统分析离散时间LTI系统的频率响应频率域，得到的频谱Xe^jω是ω的周期函数，移性质x[n-n₀]↔Xe^jωe^-jωn₀；

③频移性He^jω是系统单位脉冲响应h[n]的DTFT；

③滤周期为2π反变换为x[n]=1/2π∫₋ᵨ^ᵨ质x[n]e^jω₀n↔Xe^jω-ω₀；

④时域卷积波器设计基于DTFT可以设计满足特定频率响应Xe^jωe^jωndωx₁[n]*x₂[n]↔X₁e^jωX₂e^jω；

⑤频域卷要求的数字滤波器；

④信号处理如时域信号的积x₁[n]x₂[n]↔1/2π∫₋ᵨ^ᵨ平滑、锐化、去噪等X₁e^jλX₂e^jω-λdλ离散傅里叶变换（）

5.5DFT1DFT的定义2DFT与DTFT的关系3DFT的性质与应用离散傅里叶变换DFT是将长度为N的有DFT可以看作是DTFT在频率轴上的均匀DFT具有多种重要性质，如线性性、循环限离散序列x[n]变换为另一个长度为N的采样当原始信号是周期的或有限长的时移位性、对称性等这些性质使DFT成为离散序列X[k]的变换，定义为X[k]=，DFT提供了频谱在离散频率点上的精确数字信号处理的强大工具，广泛应用于频Σₙ₌₀^N-1x[n]e^-j2πnk/N，k=表示对于无限长信号，需要对其截断（谱分析、数字滤波、卷积计算、相关分析0,1,...,N-1反变换为x[n]=加窗），这会导致频谱泄漏增加DFT的等领域特别是在快速傅里叶变换FFT1/NΣₖ₌₀^N-1X[k]e^j2πnk/N，n=长度N可以提高频率分辨率DFT的频谱算法的支持下，DFT的计算效率大大提高0,1,...,N-1DFT是计算机实现的离散傅是离散的且周期性重复的，周期为N，使实时信号处理成为可能里叶分析的基础快速傅里叶变换（）

5.6FFT算法的基本原理的计算效率FFT FFT快速傅里叶变换FFT是一种高效计算DFT的算法，基本思想是将直接计算N点DFT需要ON²的复数乘法和加法运算，而FFT算法N点DFT分解为较小规模的DFT，从而减少计算量最常用的是基将计算复杂度降低到ON logN这一显著的效率提升使得实时2-FFT算法（Cooley-Tukey算法），它基于分治策略，将N点频谱分析和大规模信号处理成为可能DFT（N为2的幂次）分解为两个N/2点DFT，再将这些较小的例如，对于N=1024的信号，直接计算DFT需要约1百万次复数乘DFT进一步分解，直至达到最小规模法，而使用FFT算法只需约1万次，效率提高了约100倍这种高FFT算法利用了DFT的对称性和周期性，以及旋转因子e^-效率使FFT成为现代数字信号处理不可或缺的工具j2πnk/N的特性，避免了重复计算，从而大大提高了计算效率现代FFT实现还采用了各种优化技术，如预计算旋转因子、并行计算、流水线处理等，进一步提高了计算速度第六章变换Z域分析Z1离散时间系统的复变量分析工具变换定义与性质2Z变换的数学定义及其基本性质系统分析应用3利用Z变换分析离散系统的响应与其他变换的联系4Z变换与拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系Z变换是离散时间信号与系统分析的强大工具，类似于连续时间系统中的拉普拉斯变换它将时域中的差分方程转换为Z域中的代数方程，简化了系统分析和设计Z变换在数字信号处理、数字控制系统和通信系统中有广泛应用，是现代数字信号处理的理论基础之一变换的定义

6.1Z单边变换双边变换Z Z单边Z变换适用于因果序列（n0时x[n]=0），定义为双边Z变换适用于所有离散时间信号，定义为Xz=Z{x[n]}=Σₙ₌₀^∞x[n]z^-n Xz=Z{x[n]}=Σₙ₌₋∞^∞x[n]z^-n其中z是复变量单边Z变换特别适合求解含有初始条件的差分方双边Z变换是双边拉普拉斯变换在离散时间域的对应物它在理论程，因此在系统分析中更为常用单边Z变换可以看作是单边拉普上更完备，但在处理含有初始条件的系统时不如单边Z变换方便拉斯变换在离散时间域的对应物当z=e^jω时，双边Z变换退化为离散时间傅里叶变换DTFT变换的收敛域

6.2Z1收敛域的概念2收敛域的确定方法3收敛域的性质Z变换的收敛域ROC是指使Z变换定义中收敛域的确定主要取决于序列的增长特性Z变换收敛域具有以下重要性质

①收敛的无穷级数绝对收敛的z值的集合收敛一般地，如果序列x[n]是右边序列（域是以原点为中心的环形区域（可能包括域通常是复z平面上的环形区域r₁|z|r或na；如果序列是左边序列（nN₂时无穷大或原点）；

②如果ROC包含|z|=r|z|x[n]=0），且|x[n]|≤M·b^n（n→-∞），则它也包含所有满足|z|=r的点（即圆，则收敛域包含|z|周上的所有点）；

③对于因果序列，如果ROC包含点z=z₀，则它也包含所有|z||z₀|的点；

④对于反因果序列，如果ROC包含点z=z₀，则它也包含所有|z||z₀|的点变换的性质

6.3Z线性性质如果x₁[n]的Z变换为X₁z，收敛域为ROC₁，x₂[n]的Z变换为X₂z，收敛域为ROC₂，则ax₁[n]+bx₂[n]的Z变换为1aX₁z+bX₂z，收敛域至少包含ROC₁∩ROC₂这一性质使我们能够将复杂序列分解为简单序列的组合，分别计算Z变换，再组合得到最终结果时移性质如果x[n]的Z变换为Xz，收敛域为ROC，则x[n-n₀]的Z变换为z^-n₀Xz，收敛域不变（可能需2要额外条件）这一性质描述了时间延迟在Z域中的表现，即时域延迟对应于Z域中乘以一个z的幂次因子时移性质在分析含有延迟的系统时非常有用频移性质如果x[n]的Z变换为Xz，收敛域为ROC，则a^nx[n]的Z变换为Xz/a3，收敛域变为a·ROC这一性质描述了频率搬移（即乘以指数序列）在Z域中的表现，常用于分析调制信号例如，序列乘以-1^n相当于频谱搬移π，在Z域中表现为X-z常用序列的变换

6.4Z序列Z变换收敛域单位脉冲δ[n]1全z平面单位阶跃u[n]z/z-1|z|1指数序列a^n·u[n]z/z-a|z||a|正弦序列sinω₀n·u[n]zsinω₀/z²-2zcosω₀+1|z|1余弦序列cosω₀n·u[n]zz-cosω₀/z²-|z|12zcosω₀+1衰减正弦a^n·sinω₀n·u[n]azsinω₀/z²-2azcosω₀+a²|z||a|斜坡序列n·u[n]z/z-1²|z|1指数乘斜坡n·a^n·u[n]az/z-a²|z||a|熟悉常用序列的Z变换对于系统分析和设计至关重要通过这些基本变换对，结合Z变换的各种性质，我们可以计算出更复杂序列的Z变换在求解差分方程、计算系统响应等问题中，这些变换对被广泛使用反变换

6.5Z1长除法2部分分式展开法长除法适用于求解简单有理函数的Z部分分式展开是求解Z反变换的常用反变换，特别是当我们只需要序列的方法对于有理分式形式的Xz=前几项时方法是将Xz表示为z的Bz/Az，可以将其展开为简单分式负幂级数，即Xz=Σₙ₌₀^∞x[n]z^-之和每个简单分式都有对应的标准n，通过多项式长除法得到系数x[n]Z反变换形式展开方法包括待定系这种方法直观但计算量大，不适合数法、留数法等对于重极点情况，复杂函数或需要完整序列表达式的情展开形式略有不同，需要特别处理况部分分式展开法适用于大多数实际问题，能得到序列的解析表达式3留数定理和幂级数法根据复变函数理论的留数定理，Z反变换可以表示为x[n]=1/2πj∮Xzz^n-1dz，其中积分路径是在收敛域内、包围所有奇点的闭合曲线通过计算Xzz^n-1在各个极点处的留数，可以求出x[n]另一种方法是通过麦克劳林级数展开Xz，直接读取z^-n项的系数作为x[n]这些方法在理论上更为严格，但实际计算中不如部分分式展开法方便变换与拉普拉斯变换的关系

6.6Z取样与变换平面与平面的映射关系Z szZ变换与连续时间信号的取样有密切关系如果连续时间信号xt通过变换z=e^sT，s平面映射到z平面以周期T取样得到离散时间信号x[n]=xnT，则x[n]的Z变换Xz•s平面上的虚轴（s=jω）映射到z平面上的单位圆（|z|=1）与xt的拉普拉斯变换Xs之间存在关系•s平面上的左半平面（Re{s}0）映射到z平面上的单位圆内部Xz=Σₙ₌₋∞^∞Xs+jnω_s（|z|1）其中z=e^sT，ω_s=2π/T是取样角频率这个关系说明了Z变•s平面上的右半平面（Re{s}0）映射到z平面上的单位圆外部换在离散化连续系统中的作用，是数字控制系统设计的重要理论（|z|1）基础这种映射关系使我们能够将连续系统的稳定性、频率响应等概念转化到离散系统中例如，连续系统的稳定性条件（极点在左半平面）对应于离散系统的稳定性条件（极点在单位圆内）第七章状态变量分析状态空间表示系统的状态空间表示法是一种基于系统内部状态的描述方法，通过状态变量、状态方程和输出方程完整描述系统的动态特性状态方程求解通过分析系统的零输入响应和零状态响应，可以求解状态方程，得到系统对任意输入的完整响应连续与离散系统连续时间系统和离散时间系统的状态方程有各自的特点，但共享许多基本原理和分析方法状态变量分析是现代控制理论的基础，它从系统内部状态的角度描述系统的动态特性，比传统的输入-输出描述更为全面和深入对于多输入多输出系统、时变系统等复杂系统，状态变量分析方法尤为有效本章将介绍状态变量的基本概念、状态方程的建立和求解方法，以及连续时间和离散时间系统的状态分析状态变量的概念

7.1状态变量的定义状态向量与状态空间状态变量是描述系统内部状态的一组变将所有状态变量组成一个向量xt，称量，它们的值在任何时刻完全确定了系为状态向量状态向量所在的空间称为统在该时刻的状态从数学上讲，如果状态空间状态空间的维数等于系统的已知t=t₀时刻的状态变量值和t≥t₀时刻阶数，即状态变量的个数例如，一个的输入，则可以唯一确定t≥t₀时刻的系n阶系统的状态空间是n维的状态空间统输出状态变量通常表示系统中的能中的一点代表系统处于一种特定状态，量存储或记忆元件的状态，如电容的电系统的动态行为可以表示为状态空间中压、电感的电流等的轨迹状态方程与输出方程状态方程描述了状态变量的变化率与当前状态和输入的关系，一般形式为dxt/dt=Axt+But，其中A是状态矩阵，B是输入矩阵，ut是输入向量输出方程描述了系统输出与当前状态和输入的关系，一般形式为yt=Cxt+Dut，其中C是输出矩阵，D是直接传输矩阵，yt是输出向量这两个方程共同构成了系统的状态空间表示状态方程的求解

7.2零输入响应零状态响应零输入响应是指系统在没有外部输入（ut=0）但有初始状态xt₀≠0的情况下零状态响应是指系统在有外部输入ut≠0但初始状态xt₀=0的情况下的响应的响应此时，状态方程简化为dxt/dt=Axt，其解为xt=e^At-t₀xt₀此时，状态方程的解为xt=∫ₜ₀ᵗe^At-τBuτdτ零状态响应反映了系统对，其中e^At-t₀是状态转移矩阵零输入响应反映了系统的自由响应或自然响外部输入的响应，完全由系统的特性和输入信号决定应，完全由系统的特性和初始状态决定完全响应是零输入响应和零状态响应的叠加，即xt=e^At-t₀xt₀+∫ₜ₀ᵗe^At-τBuτdτ这种分解方法使我们能够分别分析系统的自然行为和强迫行为，有助于理解系统的动态特性对于特定的输入函数，如阶跃、斜坡或正弦函数，零状态响应常有解析解；对于一般输入，可能需要数值方法求解状态转移矩阵

7.3状态转移矩阵的定义状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的计算方法状态转移矩阵Φt,t₀=e^At-t₀描述了系统状态状态转移矩阵具有多种重要性质

①初始条件计算状态转移矩阵的方法包括

①矩阵指数级数从时刻t₀到时刻t的演化关系，即xt=Φt₀,t₀=I（单位矩阵）；

②微分方程e^At=I+At+At²/2!+...；

②拉普拉斯变换Φt,t₀xt₀它完全由系统的状态矩阵A决定，是dΦt,t₀/dt=AΦt,t₀；

③群性质Φt₂,t₀=法将e^At的拉普拉斯变换sI-A⁻¹求出，再通解状态方程的关键状态转移矩阵的维数与状态Φt₂,t₁Φt₁,t₀；

④可逆性Φ⁻¹t,t₀=Φt₀,t过反变换得到e^At；

③特征值分解法如果A可矩阵相同，对于n阶系统，它是一个n×n矩阵；

⑤时不变性对于时不变系统，Φt,t₀=Φt-对角化，则e^At=Pe^ΛtP⁻¹，其中Λ是A的特t₀,0=e^At-t₀征值构成的对角矩阵，P是对应的特征向量矩阵；

④Cayley-Hamilton定理法利用矩阵的特征多项式建立e^At的表达式连续时间系统的状态方程

7.4状态方程的建立状态方程的求解对于由常系数线性微分方程描述的连续时间系统，建立状态方程连续时间线性时不变系统的状态方程dxt/dt=Axt+But的完的一般步骤是全解为

1.将高阶微分方程转换为一阶微分方程组xt=e^At-t₀xt₀+∫ₜ₀ᵗe^At-τBuτdτ

2.选择适当的状态变量，通常是输出及其各阶导数其中第一项是零输入响应，第二项是零状态响应对于特定输入

3.表示状态变量的导数与状态变量和输入的关系和初始条件，可以获得具体解析解例如，对于阶跃输入ut=

4.构建状态矩阵A和输入矩阵B u₀·1t，零状态响应为xt=A⁻¹e^At-IBu₀，前提是A可逆

5.确定输出方程中的输出矩阵C和直接传输矩阵D状态方程的求解可以通过拉普拉斯变换简化在s域中，状态方程变为sXs-x0=AXs+BUs，解得Xs=sI-A⁻¹x0+sI不同的状态变量选择会导致不同形式的状态方程，常见的标准形-A⁻¹BUs，再通过反变换得到时域解式包括控制标准型、观测标准型和对角标准型等离散时间系统的状态方程

7.51离散状态方程的建立2离散状态方程的求解对于由差分方程描述的离散时间系统，离散时间线性时不变系统的状态方程离散状态方程的一般形式为x[k+1]=x[k+1]=Ax[k]+Bu[k]的完全解为Ax[k]+Bu[k]，输出方程为y[k]=Cx[k]x[k]=A^k x

[0]+Σᵢ₌₀^k-1A^k-1-+Du[k]其中x[k]是离散时间状态向量iBu[i]其中A^k是离散状态转移矩阵，，u[k]是输入向量，y[k]是输出向量，A类似于连续系统中的e^At第一项A^k、B、C、D是系统矩阵离散状态方程x

[0]是零输入响应，第二项Σᵢ₌₀^k-1的建立方法与连续系统类似，但需要考A^k-1-iBu[i]是零状态响应离散系统虑离散化效应例如，可以通过对连续的求解通常比连续系统更为直接，因为系统进行离散化得到离散状态方程，常积分操作被求和操作替代用的方法包括欧拉法、修正欧拉法和双线性变换等3离散系统的稳定性离散时间系统的稳定性取决于离散状态转移矩阵A的特征值系统稳定的充要条件是A的所有特征值的模小于1，即所有特征值都位于z平面的单位圆内这对应于连续系统中特征值位于s平面左半部分的条件如果有特征值模等于1，系统处于临界稳定状态；如果有特征值模大于1，系统不稳定稳定性分析在离散系统设计中至关重要，特别是在数字控制系统中第八章随机信号分析相关分析随机过程基础分析信号内部和信号之间的相关关系2研究随机信号的统计特性和数学描述1谱分析研究随机信号的频域特性和功率分布35最佳系统设计系统响应基于随机信号特性优化系统性能分析随机信号通过系统后的统计特性变化4随机信号是现实世界中普遍存在的一类信号，如通信中的噪声、雷达回波、生物电信号等与确定性信号不同，随机信号不能用确定的函数表示，而需要用统计方法描述本章将介绍随机信号分析的基本概念和方法，包括随机过程的统计特性、相关函数、功率谱密度以及随机信号通过线性系统的分析方法随机信号的基本概念

8.1随机过程平稳过程随机过程是一组随时间变化的随机变量集合，数学上表示为平稳过程是一类特殊的随机过程，其统计特性不随时间平移而改{Xt,ξ}，其中t是时间参数，ξ是样本空间的元素对于固定的变严格平稳过程要求所有统计特性都不随时间变化，而宽平稳ξ=ξ₀，Xt,ξ₀是随机过程的一个样本函数或实现，表示为xt；对过程（或弱平稳过程）只要求一阶矩（均值）和二阶矩（自相关于固定的t=t₀，Xt₀,ξ是一个随机变量函数）与时间无关随机过程的统计特性通常通过概率分布函数、概率密度函数、矩宽平稳过程具有以下特性

①均值E[Xt]=常数；

②自相关函数函数等描述一阶矩E[Xt]是随机过程的均值，二阶中心矩R_Xt₁,t₂=R_Xt₂-t₁仅依赖于时间差τ=t₂-t₁；

③方差E[Xt-E[Xt-E[Xt]²]是随机过程的方差，它们分别描述了随机过程的E[Xt]²]=常数平稳性质大大简化了随机过程的分析，使得许多平均水平和波动程度理论工具（如功率谱分析）可以应用相关函数

8.2自相关函数互相关函数相关函数的应用自相关函数描述了随机过互相关函数描述了两个随相关函数在信号处理和系程在不同时刻之间的相关机过程之间的相关性，定统分析中有广泛应用

①性，定义为R_Xτ=义为R_XYτ=信号检测在噪声背景中E[XtXt+τ]对于宽平稳E[XtYt+τ]对于联合宽检测已知信号；

②信号估过程，自相关函数仅依赖平稳的随机过程Xt和Yt计从噪声背景中提取有于时间差τ，而与具体时刻，互相关函数仅依赖于时用信号；

③时延估计确t无关自相关函数具有以间差τ互相关函数可以用定信号传播延迟；

④系统下性质

①R_X0≥于检测信号中的已知模式识别确定未知系统的冲|R_Xτ|（最大值性质）、估计信号之间的延迟、激响应；

⑤模式识别识；

②R_X-τ=R_Xτ（偶识别系统等互相关函数别信号中的周期性模式函数性质）；

③若随机过与自相关函数不同，一般相关分析是现代信号处理程包含周期分量，则自相不具有偶函数性质，但有和通信系统的基本工具关函数也包含相同周期的R_XYτ=R_YX-τ的关系分量功率谱密度

8.3功率谱密度的定义功率谱密度的性质功率谱密度PSD描述了随机过程功率功率谱密度具有以下重要性质在频域的分布，是自相关函数的傅里叶

①S_Xω≥0（非负性）；

②S_Xω=变换S_Xω=∫₋∞^∞R_Xτe^-S_X-ω（偶函数，对于实值过程）；

③jωτdτ反之，自相关函数是功率谱密随机过程的平均功率等于功率谱密度的度的逆傅里叶变换R_Xτ=积分P_X=R_X0=1/2π∫₋∞^∞1/2π∫₋∞^∞S_Xωe^jωτdω这S_Xωdω；

④窄带过程的功率谱密度对傅里叶变换对称关系称为维纳-辛钦集中在特定频率范围，而宽带过程（如Wiener-Khinchin定理，是随机信号白噪声）的功率谱密度分布较广频谱分析的基础功率谱密度的估计实际应用中，功率谱密度通常需要从有限长度的信号记录中估计常用的估计方法包括

①周期图法基于信号的离散傅里叶变换；

②自相关法先估计自相关函数，再通过傅里叶变换得到功率谱密度；

③参数化方法如自回归AR模型、移动平均MA模型等；

④现代谱估计方法如最大熵方法、子空间方法等不同方法有各自的优缺点，选择取决于信号特性和分析需求随机信号通过线性系统

8.4输入输出关系1-当宽平稳随机过程Xt通过线性时不变系统Hjω时，输出Yt也是宽平稳随机过程输出的均值与输入均值的关系为μ_Y=H0μ_X，其中H0是系统的直流增益这表明系统只改变信号的直流分量大小，而不改变其统计特性相关函数传递2输出随机过程的自相关函数与输入的自相关函数之间的关系为R_Yτ=hτ*h-τ*R_Xτ，其中ht是系统的冲激响应，*表示卷积运算这意味着系统不仅改变信号的波形，还改变其相关结构对于互相关函数，关系为R_XYτ=hτ*R_Xτ，这描述了输入与输出之间的相关性功率谱密度传递3输出随机过程的功率谱密度与输入的功率谱密度之间的关系为S_Yω=|Hjω|²S_Xω这是一个简单的乘积关系，表明系统的频率响应决定了功率如何从输入到输出进行传递例如，带通滤波器只允许特定频带的功率通过，抑制其他频带的功率互功率谱密度的关系为S_XYω=HjωS_Xω最佳线性系统

8.5维纳滤波器匹配滤波器维纳滤波器是一种最佳线性滤波器，目标是最小化估计误差的均方值在频域中，匹配滤波器是一种特殊的最佳线性滤波器，设计目标是在加性白噪声背景中最大化维纳滤波器的最优传递函数为H_optjω=S_XSω/S_Xω，其中S_XSω是输信号检测的信噪比匹配滤波器的冲激响应是已知信号波形的时间反转版本ht入信号Xt与理想信号St的互功率谱密度，S_Xω是输入信号的功率谱密度维=sT-t，其中st是待检测信号，T是某个固定延迟在频域中，匹配滤波器的传纳滤波器广泛应用于信号分离、噪声抑制和系统辨识等领域递函数为Hjω=S*jωe^-jωT，其中S*jω是信号频谱的共轭匹配滤波器在雷达、声纳和通信系统中广泛应用最佳线性系统的设计基于优化理论，目标是在特定条件下实现最优性能除了维纳滤波器和匹配滤波器外，还有卡尔曼滤波器（处理非平稳随机过程）、自适应滤波器（系统参数随时间调整）等这些滤波器构成了现代信号处理和通信系统的核心组件，为从噪声环境中提取有用信息提供了有力工具课程总结84课程章节分析方法本课程共包含8个章节，从信号与系统的基本概念到高级分析方法，系统地介绍了时域分析、频域分学习了四种主要分析方法时域分析（卷积）、频域分析（傅里叶）、复频域分析（拉普拉斯/Z变换析、复频域分析以及状态空间分析等核心内容）和状态空间分析，每种方法各有优势和适用场景100+3应用范例主要变换通过100多个应用实例和习题，将理论知识与工程实践相结合，培养了分析和解决实际问题的能力掌握了三种关键变换傅里叶变换（频域分析）、拉普拉斯变换（连续系统）和Z变换（离散系统），它们是信号与系统分析的强大数学工具本课程通过系统的理论讲解和丰富的实例分析，建立了信号处理与系统分析的坚实基础各章节之间有着紧密的联系第一章的基本概念贯穿全课程；第

二、三章的时域和频域分析是传统分析方法；第四章拉普拉斯变换和第六章Z变换分别是连续系统和离散系统的复频域分析工具；第五章专注于离散系统的特性；第七章介绍了现代控制理论中的状态空间方法；第八章则扩展到随机信号的分析应用实例通信系统中的应用信号与系统理论在通信系统中有广泛应用，如调制解调技术（基于频域分析）、数字通信中的滤波器设计（利用Z变换）、信道均衡（基于系统识别）、扩频通信（利用信号的时频特性）以及现代无线通信技术（如OFDM，基于DFT）这些应用使得通信系统能够在噪声和干扰环境中可靠传输信息控制系统中的应用在控制系统中，拉普拉斯变换和Z变换用于系统建模与分析，传递函数用于稳定性分析和控制器设计，状态空间方法用于复杂系统控制，频域方法用于滤波和补偿设计这些技术广泛应用于工业过程控制、机器人控制、航空航天控制等领域，确保系统性能满足设计要求信号处理中的应用信号处理是信号与系统理论的主要应用领域，包括数字滤波（消除噪声、提取特征）、图像处理（增强、压缩、识别）、语音处理（识别、合成、编码）、生物医学信号处理（心电图分析、脑电图处理）等这些应用极大地提高了信息提取和处理的能力，推动了诸多技术领域的发展结语与展望通过本课程的学习，你已经掌握了信号与系统分析的基本理论和方法这些知识将在你未来的专业学习和工作中发挥重要作用信号与系统理论是电子信息类专业的核心基础，对后续课程如通信原理、数字信号处理、自动控制等有着直接的支撑作用随着科技的发展，信号与系统理论正在向多学科交叉方向扩展，在人工智能、大数据分析、生物医学工程等新兴领域有着广阔的应用前景希望大家能够将所学知识灵活应用于实际问题，并在此基础上不断探索和创新。