《电磁学复习教程》课件

电磁学复习教程欢迎参加电磁学复习课程！本课程将系统地介绍电磁学的核心概念和应用，从静电场基础到麦克斯韦方程组，再到特殊相对论通过深入浅出的讲解和丰富的例题，帮助你掌握电磁学的基本原理和解题技巧电磁学是物理学的重要分支，它解释了电和磁如何相互作用，以及它们如何影响我们的世界掌握电磁学不仅对理解自然现象至关重要，也是现代技术发展的基础课程概述课程目标本课程旨在帮助学生系统掌握电磁学的基本概念和理论体系，培养分析和解决电磁学问题的能力通过本课程的学习，学生将能够理解电磁现象的物理本质，掌握电磁学的数学描述方法，并能够应用所学知识解决实际问题学习重点课程重点包括静电场与静磁场的基本规律、导体电磁特性、电磁感应现象、麦克斯韦方程组以及电磁波理论这些内容是电磁学的核心，也是理解更高级物理概念的基础特别注意各个物理量之间的关系及其物理意义考核方式课程考核采用平时成绩（）和期末考试（）相结合的方式平时成绩30%70%包括课堂表现、作业完成情况和小测验成绩期末考试主要考察基础知识点掌握程度和解决实际问题的能力，题型包括选择题、填空题、计算题和综合题第一章静电场基础静电场的本质数学工具应用场景静电场是由静止电荷产生的力场，是电静电场的描述需要借助矢量分析等数学静电场理论在许多领域有广泛应用，包磁场的重要组成部分在这一章中，我工具我们将学习如何使用矢量、散度括静电防护、静电喷涂、复印机、粒子们将从电荷的基本性质出发，研究库仑、旋度等概念来描述电场的分布和变化加速器等理解静电场基础对于研究这力、电场强度、电势等基本概念，建立，以及如何应用高斯定理简化电场计算些应用至关重要，也是后续学习电动力起静电场的理论框架学的基础电荷与库仑定律

1.1电荷的基本性质库仑定律的数学表达电荷是物质的基本属性之一，具有两种类型正电荷和负电荷库仑定律描述了点电荷之间的相互作用力两个点电荷₁和₂q q同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引电荷具有量子化特性，之间的相互作用力大小为即电荷总是以基本电荷（约×库仑）的整数倍e

1.60210^-19₁₂F=k|q q|/r²存在其中为库仑常数（×），为两电荷间k k=

8.9910^9N·m²/C²r电荷还具有守恒性和可加性守恒性指孤立系统中电荷的代数和距离力的方向沿着连接两电荷的直线，同种电荷相互排斥，异保持不变；可加性指多个电荷的合效应等于各个电荷效应的矢量种电荷相互吸引库仑定律是静电学的基础，适用于静止的点电和荷电场强度

1.2电场强度的定义点电荷产生的电场12电场强度是描述电场在空间各点电荷在距离为处产生的电q r点强弱和方向的物理量，定义场强度为，方向E=kq/r²为单位正电荷在该点受到的电沿着从电荷指向该点的径向方场力其数学表达式为向（对于正电荷）或相反方向E=₀，其中是电场力，₀（对于负电荷）多个点电荷F/q Fq是试探电荷电场强度的单位产生的合电场强度遵循叠加原是牛顿库仑（）或伏特理，即₁₂/N/C/E=E+E+...+米（）V/m Eₙ电场线的概念3电场线是表示电场分布的一种方法，它是一条切线方向处处与电场强度方向一致的曲线电场线的疏密程度表示电场强度的大小；电场线起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处）；电场线不会相交高斯定理

1.3高斯定理的应用高斯定理的数学表达高斯定理是计算具有高度对称性电荷分布产生高斯定理的物理意义高斯定理的积分形式为∮₀，的电场的强大工具通过选择合适的高斯面，E·dS=q/ε高斯定理是电场理论中的基本定理之一，它建其中左边是电场强度与面元的点积在整个可以大大简化电场强度的计算常见应用包括E dS立了穿过任意闭合曲面的电场强度通量与该闭闭合曲面上的积分（即电场通量），右边是闭计算无限长均匀带电直线、无限大均匀带电平合曲面所包含的净电荷量之间的关系高斯定合曲面内的净电荷量除以真空介电常数₀面、均匀带电球体等产生的电场qε理表明，穿过闭合曲面的电场线数量与曲面内包含的净电荷成正比电势

1.4电势的定义电势的计算电势是描述电场中某点电势能状态的标量物点电荷在距离处产生的电势为q r V=kq/r理量，定义为单位正电荷从参考点（通常选多个点电荷产生的合电势遵循代数和原则12取无穷远处）移动到该点所做的功，即₁₂对于连续分布V=V=V+V+...+Vₙ₀电势的单位是伏特（）电势是标的电荷，可以通过积分计算合电势W/q VV=量场，与矢量场电场强度不同k∫dq/r等势面电势与电场强度的关系等势面是电势相等的点组成的面等势面必电场强度是电势的负梯度∇在一E=-V定与电场线垂直相交，因为电荷沿等势面移维情况下，电场强度等于电势沿该方向的负43动时电场不做功等势面不会相交，且电场导数这表明电场力总是指向E=-dV/dx强度方向总是指向电势减小最快的方向等电势降低的方向，电荷在电场中自发运动时势面的疏密程度反映了电场强度的大小总是从高电势区域向低电势区域移动静电场的能量

1.5静电场能量源于电荷间的相互作用对于点电荷系统，总静电能为:W=∑ᵢ∑ⱼ₍ⱼ₎qᵢqⱼ/rᵢⱼ，其中i≠j这表示将各电荷从无穷远处逐ₖ个移动到其位置所需的总功对于连续电荷分布，静电能可表示为，其中是电荷密度，是该点电势另一种等效表达是通过电场能量密:W=1/2∫ρrVrdτρr Vr度₀，整个空间的静电场能量为₀:w=1/2εE²:W=1/2ε∫E²dτ静电场能量在电容器、粒子加速器和能量储存系统中有重要应用理解静电场能量对分析带电系统稳定性和能量转换过程至关重要第一章习题讲解基础知识题电场计算题能量分析题习题两个相距米的习题计算均匀带电习题计算电场能量1223点电荷₁和球壳内外的电场强度分密度₀在q=3μC w=1/2εE²₂，求它们之布均匀电场中的分布q=-4μC间的静电力解答应用高斯定理解答在均匀电场中，解答应用库仑定律对于（球壳外），处处相等，因此能量rR E₁₂，代入；对于密度也处处相等对F=k|q q|/r²E=kQ/r²r w数据计算于场强为₀的均匀电E×⁻×场，能量密度F=k|310⁶-×⁻×₀₀，单410⁶|/2²=

2.7w=1/2εE²⁻，方向为₁指位为10⁵N qJ/m³向₂q第二章导体与电容导体中电荷与场的分布规律静电平衡条件下的本质特征1静电屏蔽原理与应用2电磁干扰防护的基础电容器类型与特性3储能元件的基本原理电容器电路与能量计算4电路分析与能量存储的关键问题本章探讨导体在静电场中的行为及其应用导体是电子可以自由移动的物质，在外电场作用下，自由电荷重新分布直至达到静电平衡我们将研究导体表面和内部的电场特性，静电屏蔽原理，以及电容器的工作原理和能量存储电容器作为储能元件在现代电子技术中扮演着重要角色理解电容器的基本原理有助于我们分析复杂电路和设计电子系统通过本章学习，将掌握导体电磁特性和电容器应用的核心知识导体的静电平衡

2.1导体的基本特性1导体中含有大量可自由移动的电荷载体（通常是电子）这些自由电荷使导体具有良好的导电性，也决定了导体在静电场中的独特行为当外电场作用于导体时，自由电荷会重新分布，直至达到静电平衡状态导体表面的电场特性2在静电平衡状态下，导体表面的电场方向必须垂直于导体表面，否则电场的切向分量会导致表面电荷继续移动导体表面是等势面，表面上各点电势相等表面电荷密度与表面曲率有关，曲率大的地方电荷密度大导体内部的电场特性3在静电平衡状态下，导体内部的电场强度为零这是因为如果内部存在电场，自由电荷会在电场力作用下移动，直到电场被完全抵消导体内部也是等势体，内部各点电势相等任何多余电荷只能分布在导体表面静电屏蔽

2.2静电屏蔽的原理法拉第笼静电屏蔽是利用导体在静电平衡时内部电场为零的特性，使用导法拉第笼是静电屏蔽的经典应用，由英国科学家迈克尔法拉第发·体将某一区域与外部电场隔离当外部存在电场时，导体表面会明它是一种由导电材料（通常是金属）制成的封闭网状结构，感应出电荷，产生一个与外电场方向相反的感应电场，使得导体能够屏蔽内部空间不受外部电场的影响内部的合电场为零法拉第笼在许多领域有广泛应用，如电子设备的电磁屏蔽、防静电屏蔽的效果与导体的完整性和厚度有关完全封闭的金属壳雷设施、微波炉的网状门（防止微波泄漏）、汽车在雷雨中提供可以提供完美的静电屏蔽，而有孔洞或太薄的导体屏蔽效果则会的安全空间等法拉第笼证明了导体能够有效地重分配电荷以抵降低消内部电场电容器

2.3平行板电容器球形电容器圆柱形电容器由两个平行金属板组成，板间充满介质其由两个同心球壳组成，球壳间充满介质其由两个同轴圆柱组成，圆柱间充满介质其电容，其中为介质的介电常数，电容，其中和分别是电容，其中为圆柱长度，C=εS/dεS C=4πε/1/a-1/b ab C=2πεL/lnb/a L为板的面积，为板间距离平行板电容器内球和外球的半径球形电容器在高压设备和分别是内外圆柱半径这类电容器在同d ab是最基本的电容器类型，易于分析和计算中有应用，具有良好的对称性轴电缆和某些特殊应用中使用电容的定义电容是描述导体储存电荷能力的物理量，定义为导体上的电荷量与其电势的比值电容的单位是法拉（），C=Q/V F电容的大小只与导体的几何形状和介质的介电常数有关，与电荷量和电势无关1F=1C/V电容器的串并联

2.4并联电容的等效计算电容器并联时，各电容器的电压相同，总电荷等于各电容器电荷之和并联电容的等效电容等于各电容之和₁₂并联连C=C+C+...+Cₙ接增大了总电容，常用于需要大电容的场合串联电容的等效计算电容器串联时，各电容器的电荷相同，总电压等于各电容器电压之和串联电容的等效电容满足₁₂等效1/C=1/C+1/C+...+1/Cₙ电容小于任一单个电容，常用于高压应用，可降低每个电容承受的电压复杂电容网络对于复杂的电容器网络，可以通过逐步简化串并联部分来计算等效电容也可以应用节点电压法或网孔电流法等电路分析方法有些特殊结构（如星形、三角形连接）可以通过特定公式进行等效变换带电导体系统的能量

2.5₀1/2εE²/2电容器储能公式静电场能量密度电容器储存的能量可以通过三种等效公式计算静电场能量可以看作分布在空间中，能量密度，其中为₀，单位为整个空间的总W=QV/2=Q²/2C=CV²/2Q w=εE²/2J/m³是电荷量，是电容两端电压，是电容值这能量可以通过体积分积分计算V CW=∫w·dV=些公式在不同情况下使用，但结果相同₀∫εE²/2·dVCV²/2多导体系统能量对于多导体系统，总静电能为W=1/2∑ᵢ∑ⱼCᵢⱼVᵢVⱼ，其中Cᵢⱼ是导体之间的电容系数，Vᵢ和Vⱼ是各导体的电势实际应用中，常通过测量系统参数来确定这些系数第二章习题讲解导体静电平衡问题电容计算问题习题一个带电金属球放入均匀外电场习题计算半径为和的两个同心导12a2a中，描述导体表面电荷分布和电场分布体球壳之间的电容解答应用球形电容器公式解答导体表面为等势面，表面电场垂直₀C=4πε/1/a-于表面外电场会使金属球表面感应出非₀1/2a=4πε/1/a·1-均匀电荷分布，正对电场方向的一侧感应₀注意单位是法拉（）1/2=8πεa F出负电荷，背对电场方向的一侧感应出正电荷球内部电场为零球外电场是原外电场与球表面感应电荷产生电场的叠加电容串并联问题习题三个电容₁，₂和₃，计算串联和并联时的等效电容3C=2μF C=4μF C=6μF解答并联时，等效₁₂₃；串联时，等效C=C+C+C=2+4+6=12μF1/C₁₂₃，所以等效=1/C+1/C+1/C=1/2+1/4+1/6=6/12+3/12+2/12=11/12C=12/11μF≈

1.09μF第三章恒定电流电流的基本概念1研究电荷定向移动的现象欧姆定律与电动势2电流、电压与电阻的基本关系电路分析方法3解决复杂电路问题的系统方法电路的暂态过程4电路状态变化时的动态行为恒定电流是电磁学研究的重要领域，它处理电荷在导体中的有序运动本章将从微观和宏观两个层面探讨电流的本质、电动势的来源、电路的分析方法以及电路的暂态过程掌握恒定电流理论对于理解电子设备的工作原理、设计电路以及分析复杂电路系统至关重要本章的知识将为后续学习电磁感应和交流电路奠定基础通过实例和习题，我们将加深对理论的理解并提高解决实际问题的能力电流密度与欧姆定律

3.1电流密度的定义微观欧姆定律电流密度是描述电流空间分布的矢量，定义为单位面积上垂直通微观欧姆定律描述了电流密度与电场强度的关系，其中j=σEσ过的电流其方向为正电荷移动方向（或负电荷移动是导体的电导率，是导体材料的特性，表示导体导电能力的强弱j=dI/dS的反方向），单位为电导率的单位是西门子米（）A/m²/S/m从微观角度看，电流密度可表示为，其中是载流子数微观欧姆定律的物理意义是在导体中，电流密度与电场强度成j=nqvd n密度，是载流子电荷，是载流子漂移速度电流密度与电流正比，比例系数为电导率这一关系反映了载流子在电场作用下q vd的关系为，即电流等于电流密度穿过截面的积分加速，同时与晶格原子碰撞达到平衡的结果通常与温度有关，I=∫j·dSσ对于大多数金属，温度升高时减小σ电动势与闭合电路欧姆定律

3.2电动势的概念1电动势（）是非静电力对单位正电荷做功的大小，使电荷能够从低电势移向高电势电动EMF势的单位是伏特（），与电压单位相同电动势是维持导体中电流持续流动的能量来源，由电V源（如电池、发电机）提供电源的内阻2实际电源除了提供电动势外，还有内阻内阻使电源的端电压小于电动势，关系为rVE V=E-，其中是电流内阻使部分电能以热能形式损失在电源内部，降低了电源的效率理想电源Ir I的内阻为零闭合电路欧姆定律3闭合电路欧姆定律表示为，其中是电动势，是外电路电阻，是电源内阻这I=E/R+r ER r一定律表明，闭合电路中的电流等于电动势除以电路总电阻（外电阻加内阻）当外电路短路（）时，电流达到最大值R=0I=E/r最大功率传输定理4当外电阻等于内阻时，电源向外电路传递的功率达到最大值这一定理R rPmax=E²/4r在电力传输和信号处理中有重要应用，但需注意最大功率传输并不等同于最高效率电路效率η，越大效率越高=R/R+r R基尔霍夫定律

3.3电流定律（）电压定律（）应用基尔霍夫定律KCL KVL基尔霍夫电流定律（基尔霍夫电压定律（应用基尔霍夫定律分析）基于电荷守恒原）基于能量守恒原电路时，首先确定电流KCL KVL理，指出在任何节点（理，指出在任何闭合回方向（可假设），然后导线连接点），流入节路中，电压降（电位减列出足够数量的独立方点的电流总和等于流出小）的代数和等于电压程（由和得到KCL KVL节点的电流总和，即升（电位增加）的代数）对于含有个节点∑I n（考虑方向）这和，即这表、个支路的电路，需=0∑V=0b表明电荷不会在节点累明电场是保守场，电荷要个独立方程，可以b积或消失在闭合回路中运动一周使用个节点方程n-1，能量变化为零和个回路方程b-n+1直流电路的分析方法

3.4网孔电流法支路电流法以闭合回路中的网孔电流为未知量，减少方程2数量以各支路电流为未知量，利用基尔霍夫定律列1方程求解节点电压法以节点对参考点的电压为未知量，适合并联较3多的电路5等效变换叠加原理将复杂电路简化为等效电路，如星三角变换-4将多源电路分解为单源电路求解后叠加直流电路分析是电磁学和电子工程的基础技能支路电流法直接应用基尔霍夫定律，但方程较多网孔电流法和节点电压法则通过减少未知量，简化计算过程叠加原理适用于线性电路，允许分别计算每个电源的影响后叠加选择合适的分析方法取决于电路结构和已知条件复杂电路常需结合多种方法掌握这些方法不仅有助于解决理论问题，也是电子设计和故障分析的基础熟练应用这些方法需要大量练习和实际应用经验电路的稳态与暂态过程

3.5电路RC电路由电阻和电容组成当电压源突变时，电容不能瞬间充电或放电，RC RC电压需要一定时间达到稳态充电过程中，电容电压满足₀V=V1-e^-；放电过程中，电压满足₀其中是电路的时间常t/τV=V e^-t/ττ=RC数，表示电压变化到最终值的所需时间

63.2%电路RL电路由电阻和电感组成当电压源突变时，电感不允许电流瞬变，电流需RL RL要时间达到稳态电流建立过程满足₀；电流衰减过程满足I=I1-e^-t/τI₀其中是电路的时间常数，表示电流变化到最终值的=I e^-t/ττ=L/R所需时间

63.2%暂态分析方法暂态分析通常采用以下步骤确定初始条件（⁻时刻的电容电压和电感1t=0电流）；确定稳态条件（时刻的值）；根据电路类型选择合适的时间2t=∞3函数表达式；代入初始条件和稳态条件确定常数；计算特定时刻的电路45参数暂态分析在电路设计、信号处理和控制系统中有广泛应用第三章习题讲解难度指数出现频率习题1（电流密度）一根截面积为2mm²的铜导线中流过5A电流，计算电流密度解答j=I/S=5/2×10⁻⁶=

2.5×10⁶A/m²习题（基尔霍夫定律）在一个包含两个电池（₁₁₂₂）和三个电阻（₁₂₃）的电路中，应用网孔电流法求解各支路电流2E=12V,r=1Ω;E=6V,r=

0.5ΩR=5Ω,R=10Ω,R=15Ω习题（电路暂态）一个电路（）连接到电源计算电容充电至所需时间解答，₀，代入得₀3RC RCR=10kΩ,C=10μF12V6Vτ=RC=

0.1s V=V1-e^-t/τt=-τln1-V/V=-

0.1ln1-6/12=

0.1ln2≈

0.069s第四章磁场基础磁场的直观表示磁场与电流的相互作用磁场的测量与应用磁场是空间中的一种特殊状态，可通过磁力带电粒子和载流导体在磁场中受力，这种相现代技术提供了多种磁场测量方法，从简单线直观表示磁力线是闭合曲线，密度表示互作用是电动机和发电机工作原理的基础的指南针到精密的高斯计和磁力显微镜这场强大小，切线方向表示场方向铁屑实验理解磁场中的力对分析电磁设备和设计电磁些工具使我们能够精确测量磁场并应用于科可以可视化磁场分布，帮助我们理解磁场结系统至关重要学研究和工程领域构本章介绍磁场的基本概念、测量方法和理论基础磁场是电磁学的核心内容之一，与电场一起构成完整的电磁场理论我们将学习磁感应强度、毕奥萨伐尔定律、安培环路定理等基本概念和规律，以及磁场中的力和磁偶极矩-磁感应强度

4.1磁感应强度的定义毕奥萨伐尔定律-磁感应强度（）是描述磁场强弱和方向的物理量，其定义基于毕奥萨伐尔定律描述了电流元产生的磁场，是计算磁场分布的基B-磁场对运动电荷的作用对于速度为的电荷，在磁感应强度为本定律电流元在距离为的点处产生的磁感应强度为v qIdL rP的磁场中受到的磁场力为×磁感应强度的单位是特斯B F=qv B₀×dB=μ/4π·IdL r/r³拉（）T其中₀是真空磁导率（×⁻）这个公式表明磁μ4π10⁷H/m磁感应强度是矢量，方向可用右手定则确定右手四指指向电流感应强度与电流成正比，与距离的平方成反比，方向垂直于电流方向，拇指方向即为磁场方向磁场无源无汇，磁力线是闭合曲元与距离矢量确定的平面对于有限长导线，需要对电流元的贡线，这与电场有明显区别献进行积分安培环路定理

4.2安培环路定理的物理意义安培环路定理的数学表达12安培环路定理是磁场理论的基本安培环路定理的积分形式为定理之一，它表明磁场强度沿闭∮₀，其中左边是磁感B·dl=μI合曲线的线积分等于穿过该闭合应强度沿闭合曲线的线积分，B C曲线的总电流乘以真空磁导率右边是穿过由围成的任意曲面C这一定理反映了电流是磁场的源的总电流乘以真空磁导率₀Iμ，电流的存在必然伴随着磁场的当电流分布具有高度对称性时，产生这一定理可大大简化磁场计算安培环路定理的应用3安培环路定理在计算具有对称性的磁场问题中非常有用如无限长直导线的磁场₀，其中是到导线的垂直距离；无限长螺线管内部的磁B=μI/2πr r场₀，其中是单位长度上的匝数定理也适用于计算环形线圈和螺B=μnI n线管等结构的磁场磁通量与磁场的高斯定理

4.3磁通量的定义磁通量是磁感应强度穿过某一面积的通量，定义为，其中是ΦBΦ=∫B·dS B磁感应强度，是面积元矢量磁通量的单位是韦伯（），dS Wb1Wb=1磁通量是描述穿过曲面的磁力线数量的物理量，它在电磁感应现象中T·m²起重要作用磁场高斯定理的数学表达磁场的高斯定理表述为∮，即磁感应强度通过任意闭合曲面B·dS=0B S的积分恒为零这个定理表明，不存在磁单极子，任何闭合曲面内的磁通入等于磁通出，磁力线没有起点和终点，磁力线总是构成闭合回路磁场高斯定理的应用磁场高斯定理是麦克斯韦方程组的重要组成部分，表明磁场无源无汇这一定理可用于验证计算得到的磁场分布是否合理，也可用于某些具有高度对称性磁场问题的计算与电场高斯定理相比，磁场高斯定理右侧始终为，这反映了磁单极子不存在的事实0磁场中的力

4.4洛伦兹力1洛伦兹力是带电粒子在电磁场中受到的力，磁场部分的力表达式为×，其F=qv B中是粒子电荷，是粒子速度，是磁感应强度力的方向垂直于速度和磁场方向，q v B可用右手定则确定洛伦兹力大小与电荷、速度和磁场强度的乘积成正比，与速度和磁场的夹角的正弦值成正比安培力2安培力是载流导体在磁场中受到的力，表达式为×，其中是电流，是F=I∫dl BI dl导体微元矢量，是磁感应强度对于直导线，简化为，其中是导体B F=ILB·sinθL长度，是电流方向与磁场方向的夹角安培力是电动机工作原理的基础，使电能转θ化为机械能磁场中的运动3带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，半径，周期这r=mv/qB T=2πm/qB一原理应用于回旋加速器、质谱仪等设备在非均匀磁场中，带电粒子可能做螺旋运动或更复杂运动磁场对带电粒子只改变其运动方向，不改变速度大小，因此不做功磁偶极矩

4.5磁偶极矩的定义磁偶极矩在磁场中的力矩磁偶极矩是描述微小电流回路磁性特征的物磁偶极矩在外磁场中受到力矩×，τ=μB理量，定义为，其中是环形电流，μ=IS I力矩使磁偶极矩趋向于与磁场方向一致力是环形电流所围面积的矢量（方向由右手定S12矩大小为，其中是磁偶极矩与τ=μB·sinθθ则确定）磁偶极矩的单位是安培平方米（·磁场方向的夹角这一原理应用于指南针、）磁偶极矩是描述电流回路或永磁体A·m²电流计和电动机等设备磁性特征的基本量原子磁矩磁偶极矩的势能在微观尺度上，原子具有磁矩，主要来源于磁偶极矩在磁场中具有势能U=-μ·B=-电子的自旋和轨道运动原子磁矩是物质磁43当时（磁偶极矩与磁场方向一μB·cosθθ=0性的微观基础根据原子中电子排布和相互致），势能最小；当°时（磁偶极矩θ=180作用不同，物质可表现出顺磁性、抗磁性或与磁场方向相反），势能最大这解释了磁铁磁性等不同磁性特征偶极矩在磁场中趋于稳定取向的原因第四章习题讲解习题1计算无限长直导线中流过10A电流时，距离导线5cm处的磁感应强度解答应用B=μ₀I/2πr，代入得B=4π×10⁻⁷×10/2π×

0.05=4×10⁻⁶T习题2一个半径为2cm的圆形线圈中流过5A电流，计算圆心处的磁感应强度解答应用B=μ₀I/2r，代入得B=4π×10⁻⁷×5/2×

0.02=

1.57×10⁻⁴T习题3一个电子在1T的匀强磁场中垂直于磁场方向以2×10⁷m/s的速度运动，计算其轨道半径解答r=mv/qB=

9.1×10⁻³¹×2×10⁷/

1.6×10⁻¹⁹×1=

1.14×10⁻³m=

1.14mm第五章电磁感应电磁感应的历史背景电磁感应的基本定律电磁感应的应用电磁感应现象由英国物理学家迈克尔法电磁感应的基本规律由法拉第电磁感应电磁感应现象在现代科技中有广泛应用·拉第于年发现这一发现为电力定律和楞次定律描述这些定律解释了，包括发电机、变压器、电磁炉、感应1831工业的发展奠定了基础，也是麦克斯韦感应电动势的产生机制和方向，为理解电机、磁流体发电等理解电磁感应原电磁理论的重要组成部分法拉第通过发电机、变压器等电气设备的工作原理理对于分析这些设备的工作机制和设计实验观察到，当磁场通过导体或导体穿提供了理论基础通过这些定律，我们新型电磁装置至关重要电磁感应是现过磁场时，导体中会产生电流可以计算各种情况下的感应电动势代电力系统的基础法拉第电磁感应定律

5.1感应电动势的产生楞次定律法拉第电磁感应定律指出，闭合回路中的感应电动势大小等于穿楞次定律补充了法拉第定律，说明了感应电动势的方向感应电过该回路的磁通量对时间的变化率的负值磁通流的磁场总是阻碍引起感应的磁通量的变化这是能量守恒原理ε=-dΦ/dt量的变化可能由以下因素引起磁场强度变化；回路面积在电磁感应中的体现，表明需要做功才能克服感应电动势产生的12变化；回路与磁场夹角变化；以上因素的组合阻力34这一定律解释了为什么移动导体和变化磁场能产生电流感应电确定感应电流方向的步骤确定初始磁通量方向；确定磁12动势的单位是伏特（），与电池等电源产生的电动势单位相同通量变化方向（增加或减少）；确定感应电流产生的磁场方向V3感应电动势的大小与磁通量变化率成正比（反对磁通量增加或支持磁通量减少）；应用右手定则确定感4应电流方向楞次定律反映了能量守恒和作用反作用原理-动生电动势

5.2动生电动势的基本概念1动生电动势是导体在磁场中运动时产生的感应电动势当导体切割磁力线时，导体中的自由电荷受到洛伦兹力作用，在导体两端产生电位差，形成电动势动生电动势的计算动生电动势是将机械能转化为电能的基本机制，是发电机工作的基础2对于长度为的直导体，以速度垂直于磁感应强度移动时，产生的动生电动L vB势为一般情况下，动生电动势可表示为×，其中ε=BLvε=∫vB·dl v是导体速度，是磁感应强度，是导体微元这表明动生电动势与磁场强度B dl应用实例

3、导体长度和运动速度成正比动生电动势在许多设备中有应用，如直流发电机（导体在旋转过程中切割磁力线产生电动势）；电磁流量计（利用导电液体流动产生的电动势测量流速）；霍尔效应传感器（利用半导体中载流子在磁场中偏转产生的电压测量磁场）；磁流体发电（利用导电流体在磁场中流动产生电动势）感生电动势

5.3感生电动势的基本概念自感与互感互感应用感生电动势是由于周围磁场随时间变化而在静自感是指电路中电流变化引起自身磁通量变化互感是指一个电路中电流变化引起另一电路磁止导体中产生的感应电动势与动生电动势不而产生的感应电动势自感系数定义为通量变化而产生的感应电动势互感系数定L L=M同，感生电动势不需要导体移动，只需磁场变，单位是亨利（）自感电动势为义为₂₁₁，单位也是亨利互感Φ/I Hε=M=Φ/I化感生电动势是变压器工作的基础，也是电自感解释了为什么断开电感电路时电动势为₂₁互感是变压-LdI/dtε=-MdI/dt磁波传播中电场产生的机制会产生火花，以及为什么电感电路的电流不能器工作原理的基础，实现电能的无接触传输和突变电压变换涡电流

5.4涡电流的产生涡电流的危害涡电流的应用涡电流（又称涡旋电流或感应电流）是在导体涡电流会导致能量损耗，产生热量（焦耳热）涡电流虽有时造成能量损失，但也有许多有益内部产生的环形感应电流当变化的磁场穿过，这在变压器、电动机和发电机铁芯中是不希应用电磁炉（利用涡电流加热锅具）；12体积较大的导体时，导体内部会产生闭合路径望的为减少涡电流损耗，通常采用叠片结构金属探测器（利用金属中产生的涡电流影响探的电流涡电流的路径和强度取决于导体形状（将铁芯分割成绝缘的薄片），或使用电阻率测器电路）；电磁制动器（利用涡电流产生

3、磁场变化率和导体电阻率较高的合金（如硅钢）制作铁芯的反向磁场实现无接触制动）；无损检测（4利用涡电流检测金属中的裂纹和缺陷）涡电流是电磁感应在体积导体中的宏观表现，遵循法拉第感应定律和楞次定律理解涡电流的产生机制和特性对于分析电磁设备中的能量转换和损耗至关重要位移电流

5.5位移电流的概念数学表达1由麦克斯韦提出以解释电场变化产生磁场的现位移电流密度₀，与传导电流具有相jd=ε∂E/∂t2象同磁效应重要性物理意义43完善了麦克斯韦方程组，预言了电磁波的存在电介质中电场变化等效于电流，确保电荷守恒位移电流是麦克斯韦电磁理论的重要创新，它解决了电容器充放电过程中电流连续性的问题在经典电流理论中，电容器两板间绝缘介质不能通过电流，似乎违反了电流连续性原理麦克斯韦提出，变化的电场产生等效的位移电流，维持了电流的连续性位移电流不是真正的电荷移动，而是电场变化的效果位移电流与传导电流一样能产生磁场，遵循安培定律位移电流的引入使麦克斯韦方程组具有了完美的对称性，导致了电磁波理论的诞生，这是现代无线通信、雷达和光学技术的理论基础第五章习题讲解基础概念题计算应用题应用分析题习题解释为什么磁铁在铜管中下落时会比在习题一个矩形线圈（×，习题一个自感系数为的线圈中，电流以1220cm30cm1032H空气中慢得多？匝）放在均匀磁场中，磁场强度为，方向每秒的速率增加，计算感应电动势，并说明

0.5T5A垂直于线圈平面如果磁场以每秒的速率其方向与电源电动势的关系

0.1T解答这是涡电流制动的结果当磁铁下落时，减弱，计算线圈中的感应电动势磁场相对于铜管移动，在铜管中产生涡电流根解答感应电动势×ε=-L·dI/dt=-25=-据楞次定律，涡电流产生的磁场方向阻碍磁铁下解答应用法拉第定律，负号表示感应电动势的方向阻碍电流增ε=-N·dΦ/dt=-10V落，从而减慢磁铁下落速度这种效应被用于电加，与电源电动势方向相反（反电动势）这解N·dBS/dt=-N·S·dB/dt=-磁阻尼器和制动装置中×××释了为什么电感电路中电流不能瞬间建立

100.

20.3-

0.1=

0.06V第六章麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组的统一性电磁场理论的集大成者1电场与磁场的对称表达2完美展现电磁场的双重性质电磁场的数学描述3积分形式与微分形式的等效表达物理学中的重大统一4将电磁现象纳入单一理论框架麦克斯韦方程组是电磁学的核心，由英国物理学家詹姆斯克拉克麦克斯韦于年提出这组方程统一了电场和磁场，将之前的电磁学理论（库仑定律、安培··1864定律、法拉第定律等）融合为一个完整的理论体系麦克斯韦方程组的伟大之处在于，它不仅总结了已知的电磁现象，还预言了电磁波的存在通过麦克斯韦方程组，我们可以完整描述电磁场在空间和时间中的行为这组方程是现代电子学、通信技术、光学和相对论的理论基础，被认为是物理学史上最重要的方程组之一，与牛顿运动定律和爱因斯坦相对论并列为物理学的重大成就麦克斯韦方程组的积分形式

6.1高斯定律（电场）高斯定律（磁场）麦克斯韦第一方程是电场的高斯定律，表示为∮₀麦克斯韦第二方程是磁场的高斯定律，表示为∮它E·dS=q/εB·dS=0它描述了电荷作为电场的源，电荷量决定了通过闭合曲面的电表明磁场无源无汇，磁力线总是构成闭合回路，不存在磁单极子场通量这个方程是库仑定律的一般形式，表明电场从正电荷发这与电场的高斯定律形成对比，电场可以有始有终出，终止于负电荷磁场高斯定律的物理意义是，穿入任何闭合曲面的磁通量总等于对于连续分布的电荷，方程可以写为∮₀，其穿出的磁通量，磁通量的净流入或流出永远为零这也意味着，E·dS=∫ρdV/ε中是电荷密度这个方程在静电学中广泛应用，例如用于计算具磁力线不会像电力线那样从某处开始并在另一处结束，而是永远ρ有高度对称性电荷分布的电场形成闭合回路麦克斯韦方程组的积分形式（续）

6.2法拉第电磁感应定律安培麦克斯韦定律-麦克斯韦第三方程是法拉第电磁感应定律，表示为∮麦克斯韦第四方程是扩展的安培环路定律，表示为∮E·dl=-B·dl=它描述了变化的磁场产生电场的现象，是发电机和变₀₀₀它描述了电流和变化电场产生磁场的现dΦB/dtμI+μεdΦE/dt压器工作原理的基础这个方程表明，闭合回路中的感应电动势象麦克斯韦通过引入位移电流（第二项）扩展了安培定律，解等于穿过该回路的磁通量对时间的变化率的负值决了电流连续性问题法拉第定律的负号体现了楞次定律，表明感应电流的方向总是阻位移电流的引入是麦克斯韦的重大贡献，它表明变化的电场和传碍产生它的磁通量变化这个方程解释了为什么变化的磁场可以导电流一样能产生磁场这完善了电磁理论的对称性，预言了电产生电场，而这种电场具有非保守场的特性，不同于静电场磁波的存在位移电流使电场和磁场可以在空间中相互支持、传播，形成电磁波麦克斯韦方程组的微分形式

6.3散度方程1电场散度方程∇₀（对应电场高斯定律）这个方程表明电荷密度是电场散度的·E=ρ/ε源，正电荷区域电场线发散（散度为正），负电荷区域电场线聚集（散度为负）在无电荷区域，电场散度为零磁场散度方程2磁场散度方程∇（对应磁场高斯定律）这个方程表明磁场散度处处为零，磁力·B=0线没有源或汇，磁力线总是形成闭合回路这反映了磁单极子不存在的事实电场旋度方程3电场旋度方程∇×（对应法拉第电磁感应定律）这个方程表明变化的磁场E=-∂B/∂t产生旋转的电场旋转电场不是保守场，不能用标量势描述，这与静电场不同磁场旋度方程4磁场旋度方程∇×₀₀₀（对应安培麦克斯韦定律）这个方程表B=μJ+με∂E/∂t-明电流密度和变化的电场都是磁场旋度的源其中第二项是麦克斯韦引入的位移电流项，完善了电流连续性边界条件

6.4边界条件的意义边界条件描述了电磁场在不同介质界面上的连续性和跳变关系，是求解实际电磁问题的重要工具当电磁波从一种介质传播到另一种介质时，场量会发生变化，边界条件给出了这些变化的定量关系电场的边界条件在两种介质的界面上，电场的切向分量连续₂₁×，其中E-En=0n是从介质指向介质的单位法向量电场的法向分量不连续，满足12₂₂₁₁，其中是界面上的自由电荷面密度这些条件反εE·n-εE·n=σσ映了电场在界面上的行为，解释了为什么电场在导体表面必须垂直于表面磁场的边界条件在两种介质的界面上，磁场的法向分量连续₂₁磁场B-B·n=0的切向分量不连续，满足₂₂×₁₁×，1/μB n-1/μB n=J_s其中是界面上的自由电流面密度这些条件解释了磁场在铁磁材料表J_s面的行为，以及磁力线如何在界面上发生折射坡印廷定理

6.5坡印廷矢量的物理意义坡印廷矢量×表示电磁场能量流动的方向和强度，单位是瓦特平方米（S=E H/）它描述了单位时间内通过单位面积的电磁能量，反映了电磁波传播能量W/m²的特性坡印廷矢量的方向垂直于电场和磁场，与电磁波传播方向一致坡印廷定理坡印廷定理描述了区域内电磁能量的守恒关系∮，其-S·dA=∫E·J+∂w/∂tdV中左侧表示流出区域的电磁能量，右侧第一项表示电磁场对电荷做功，第二项表示区域内电磁能量的增加率这一定理是电磁场能量守恒的数学表达电磁场能量守恒坡印廷定理反映了电磁场能量不会凭空产生或消失，只能通过空间传播或与物质交换电磁波传播过程中，电场能量和磁场能量交替转换，总能量保持不变在导体中，电磁能量转化为焦耳热，表现为电磁波的能量衰减理解电磁场能量守恒对分析电磁波传播、天线辐射和电路能量传输至关重要第六章习题讲解麦克斯韦方程应用边界条件问题坡印廷矢量计算习题利用麦克斯韦方程习题一个电场强度为习题平面电磁波在空气123组证明电磁波在真空中的传的均匀电场从空中传播，电场强度为5000V/m播速度为₀₀气进入相对介电常数为的，计算磁场强度c=1/√με4300V/m介质，计算介质中的电场强和坡印廷矢量解答在真空中，取∇×E度和场方向的变化和∇×解答平面波中与垂直=-∂B/∂t B=E H₀₀，对第一个方解答根据电场边界条件，，且₀με∂E/∂t E/H=Z=377Ω程两边取旋度，得切向分量连续，法向分量与，所以₀H=E/Z=∇×∇×介电常数成反比若电场垂E=-300/377≈

0.8A/m∇×∂B/∂t利用矢量恒直于界面，则E₂=E₁/εᵣ坡印廷矢量S=E×H，大等式和两个方程，得到波动小为×=5000/4=1250V/m|S|=EH=

3000.8方程∇₀₀，方向不变；若电场平行于，方向垂直于²E=με∂²E/∂t²=240W/m²，比较波动方程标准形式，界面，则₂₁和，与波传播方向一致E=E=E H得波速₀₀；若电场与界面v=1/√με=5000V/m成₁角，则₂cθtanθ=tanθ₁/εᵣ，法向分量减小，切向分量不变第七章电磁波电磁波谱传播特性现代应用电磁波按频率（或波长）分为无线电波、微波电磁波是横波，电场和磁场相互垂直且都垂直电磁波在现代技术中应用广泛，包括无线通信、红外线、可见光、紫外线、射线和射线于传播方向在真空中以光速传播，在介质中、雷达、导航、医学成像、天文观测等麦克Xγ等虽然物理性质相同，但不同频段的电磁波速度减慢电磁波具有反射、折射、衍射和干斯韦电磁波理论的成功验证和应用是现代物理与物质相互作用方式不同，导致应用领域差异涉等特性，这些特性在通信、雷达和光学中有学最重要的成就之一，为信息时代奠定了基础巨大重要应用电磁波是麦克斯韦方程组预言的重要结果，由电场和磁场的周期性变化组成，在空间中传播而不需要介质电磁波的存在首先由麦克斯韦理论预言，后由赫兹实验证实，是电磁学最重要的发现之一本章将介绍电磁波的基本性质、传播规律和应用，帮助理解现代通信和光学技术的物理基础电磁波方程

7.1波动方程的推导平面电磁波电磁波方程可以从麦克斯韦方程组推导在无源区域（，平面电磁波是最简单的电磁波形式，其波前是无限大的平面对ρ=0），微分形式的麦克斯韦方程为∇，∇，于沿轴正方向传播的平面电磁波，电场和磁场可表示为J=0·E=0·B=0z∇×，∇×₀₀对∇×两边取₀和₀，其中是波数，E=-∂B/∂t B=με∂E/∂t E=-∂B/∂t E=E coskz-ωt B=B coskz-ωt k=ω/cω旋度，并利用矢量恒等式∇×∇×∇∇∇，结合麦克是角频率，₀和₀是振幅E=·E-²E EB斯韦方程，可得电场波动方程∇₀₀²E=με∂²E/∂t²平面电磁波具有以下特性电场和磁场相互垂直，且都垂直于1类似地，可得磁场波动方程∇₀₀这两个方程传播方向，构成右手系统；电场和磁场同相位变化；电场²B=με∂²B/∂t²23的形式与经典波动方程∇相同，表明电场和磁和磁场振幅比值为光速₀₀；电磁波在真空中以光速²ψ=1/v²∂²ψ/∂t²E/B=c4场都满足波动方程，可以以波的形式传播波速传播；电磁波是横波，振动方向垂直于传播方向c5₀₀，即光速v=1/√με=c电磁波的性质

7.2电磁波的传播速度电磁波的能量电磁波在真空中的传播速度为电磁波携带能量，能量密度包括电场能量密度₀₀×，这就是光速₀和磁场能量密度₀c=1/√με≈310⁸m/s wₑ=εE²/2w=B²/2μₘ在介质中，电磁波速度减小为，其中平面电磁波中，，总能量密度v=c/n wₑ=wₘ是介质的折射率，和分别是介质₀能量传输由坡印廷矢量n=√εᵣμᵣεᵣμᵣw=wₑ+w=εE²ₘ的相对介电常数和相对磁导率对于大多数非12描述×，大小为S=E H磁性介质，，因此₀₀，方向为波传播μᵣ≈1n≈√εᵣ|S|=EH=E²/μc=cB²/μ方向电磁波的衰减电磁波的动量电磁波在导体和介质中传播时会衰减在导体电磁波不仅携带能量，还携带动量单位体积43中，电磁波强度随深度指数衰减₀电磁波的动量密度为，单位时间内入射E=E e^-p=S/c²，其中是趋肤深度，表示到单位面积上的动量即为电磁波的辐射压力z/δδ=√2/ωμσ电磁波强度减小到原来的所需的深度这，其中是反射系数（完全1/e P=|S|/c=1+RwₑR解释了为什么高频电流主要分布在导体表面（吸收，完全反射）辐射压力证明了R=0R=1趋肤效应）电磁波具有粒子性质电磁波的偏振

7.3偏振的基本概念1偏振描述了电磁波中电场矢量振动方向的分布特性由于电磁波是横波，电场振动方向垂直于传播方向，可以有不同的偏振状态磁场振动方向与电场垂直，因此通常只需关注电场的偏振状态偏振是区分电磁波和纵波（如声波）的重要特征之一线偏振2线偏振（直线偏振）是最简单的偏振状态，电场矢量沿固定方向振动例如，沿轴z传播的线偏振波可表示为E=E₀x̂coskz-ωt，电场仅在x方向振动线偏振光可通过偏振片产生，当非偏振光通过偏振片时，只允许与偏振片轴平行的电场分量通过圆偏振和椭圆偏振3在圆偏振中，电场矢量端点沿圆周旋转，可表示为E=E₀[x̂coskz-ωt±ŷsinkz-，表示右旋（顺时针），表示左旋（逆时针）椭圆偏振是更一般的情况ωt]+-，电场端点沿椭圆轨迹运动圆偏振可用四分之一波片将线偏振光转换而成电磁波的反射和折射

7.4反射定律和折射定律反射系数和透射系数全反射现象当电磁波从一种介质进入另一种介质时，会发生反射系数和透射系数描述了边界处电磁波能量当光从高折射率介质（如玻璃）进入低折射率介R T反射和折射反射定律入射角等于反射角（θᵢ的分配垂直入射时，能量反射系数为R=|n₂-质（如空气）时，若入射角大于临界角=θᵣ）折射定律（斯涅尔定律）n₁sinθᵢn₁/n₂+n₁|²，能量透射系数为θc=arcsinn₂/n₁，则发生全反射，所有能量₂，其中₁和₂是两种介质的折射率₁₂₂₁，满足（能量守被反射回原介质，没有能量透射全反射现象是=n sinθn nT=4n n/n+n²R+T=1ₜ，θᵢ是入射角，θ是折射角这些定律适用于所恒）反射系数和透射系数与入射角度、偏振方光纤通信、棱镜和钻石闪耀的物理基础虽然没ₜ有频率的电磁波，包括可见光、无线电波等向和介质性质有关，可由菲涅耳公式完整描述有能量透射，但折射介质中存在非传播的消逝波，可通过隧道效应传递能量电磁波谱

7.5电磁波谱是按频率（或波长）排列的电磁波的连续分布虽然所有电磁波本质上都是同一种物理现象，但不同频率的电磁波与物质相互作用方式不同，导致它们的特性和应用差异巨大无线电波用于通信，微波用于雷达和加热，红外线用于热成像，可见光让我们看到世界，紫外线用于杀菌，射线用于医学成像，射线用于癌症治疗Xγ电磁波的频率与能量直接相关（），高频电磁波具有更高的能量理解电磁波谱对于研究电磁波在不同领域的应用至关重要电磁波谱的发现和应用是人类科技发展的重要里程碑E=hf第七章习题讲解波动传播问题能量计算问题反射折射问题习题计算电磁波在折射率的玻璃中的传习题一平面电磁波的电场强度峰值为习题光从空气₁入射到水₂1n=

1.523n=1n=

1.33播速度，计算其能量密度和坡印廷矢量表面，计算临界角和全反射条件100V/m解答介质中电磁波速度解答能量密度解答全反射只发生在光从高折射率介质入射到××这表明电磁₀×⁻××低折射率介质时，所以从空气到水不会发生全反v=c/n=310⁸/

1.5=210⁸m/s w=εE²=

8.8510¹²100²=

8.8510波在介质中传播速度降低，是光在介质中慢于真⁻磁场强度射若从水入射到空气，临界角⁸J/m³空的原因₀坡印廷矢₂₁°H=E/Z=100/377=

0.265A/mθc=arcsinn/n=arcsin1/

1.33=

48.8量大小×，方入射角大于°时发生全反射|S|=EH=

1000.265=

26.5W/m²

48.8向为波传播方向第八章特殊相对论基础特殊相对论是由阿尔伯特爱因斯坦于年提出的革命性理论，它彻底改变了我们对时间、空间和运动的理解该理论基于两个基本假设物·1905理定律在所有惯性参考系中形式相同（相对性原理），以及光速在所有惯性参考系中都相同（光速不变原理）特殊相对论导致了许多违反直觉但经实验证实的结论，如时间膨胀、长度收缩和质能等价这些效应在日常速度下几乎不可察觉，但在接近光速的高速运动中变得显著相对论已成为现代物理学基石，不仅解释了高能粒子行为，还为技术应用如系统提供了必要的理论校正GPS本章将介绍特殊相对论的基本原理、洛伦兹变换、相对论效应及其应用，帮助理解这一改变物理学面貌的重要理论相对论的基本原理

8.1伽利略相对性原理爱因斯坦相对性原理伽利略相对性原理是经典力学的基础，它指出力学定律在所有匀爱因斯坦扩展了相对性原理，认为所有物理定律（不仅是力学定速直线运动（惯性）参考系中形式相同即，闭合系统内部无法律）在所有惯性参考系中形式相同同时，他提出光速不变原理通过力学实验确定系统是静止的还是匀速直线运动的这一原理光在真空中的传播速度对所有惯性观察者都相同，不受光源或c可通过伽利略变换表示，，，，观察者运动的影响这两个原理共同构成特殊相对论的基础x=x-vt y=y z=z t=t其中和分别是两个惯性系中的坐标和时间x,y,z,t x,y,z,t伽利略变换隐含了时间和空间是绝对的假设，即所有观察者测量光速不变原理打破了传统的速度叠加定律在经典物理中，如果的时间流逝率相同，空间距离也相同这在低速情况下是很好的光源以速度移动，则光的速度应为或但实验（迈克尔v c+v c-v近似，但在高速运动时出现问题，特别是无法解释光速不变原理逊莫雷实验）证明，无论光源如何运动，测得的光速总是这-c表明经典的时空观念需要修正，导致了洛伦兹变换的引入洛伦兹变换

8.2洛伦兹变换方程洛伦兹变换的含义时空图123洛伦兹变换描述了两个相对运动的惯性参洛伦兹变换表明，不同参考系中的时间和时空图是可视化相对论效应的有力工具，考系之间坐标和时间的转换关系假设参空间测量结果不同，打破了经典物理中时将时间作为第四维与空间坐标一起表示考系相对于以速度沿轴正方向运动间和空间绝对性的观念特别是，不同参在时空图中，物体的运动轨迹表示为世S Sv x，则洛伦兹变换为，考系的观察者对同一事件的时间和位置测界线，光在真空中传播的轨迹是与时间x=γx-vt y=，，，其中量会不同，而且事件在不同参考系中的时轴成°角的直线不同参考系对应时y z=z t=γt-vx/c²γ=45是洛伦兹因子当远小间顺序可能改变（对于空间分离的事件）空图中的不同坐标系，通过洛伦兹变换相1/√1-v²/c²v于时，，洛伦兹变换近似为伽利略互转换时空图帮助理解同时性的相对性cγ≈1变换、时间膨胀和长度收缩等相对论效应相对论的时空效应

8.3同时性的相对性1在经典物理中，事件的同时性是绝对的但特殊相对论指出，同时性是相对的在一个参考系中同时发生的事件，在另一个参考系中可能不同时这可以通过洛伦兹变换的时间部分证明对于在参考系中同时发生的两个不同位置的事件，在中t=γt-vx/c²S S的时间差为，不为零这打破了经典物理中时间流逝的绝对性概念Δt=-γvΔx/c²尺缩效应2尺缩效应指运动物体在运动方向上的长度收缩如果物体在自身静止系中长度为₀（固L有长度），则在相对它以速度运动的参考系中测得的长度为₀₀v L=L/γ=L√1-尺缩仅发生在运动方向，垂直于运动方向的尺寸不变尺缩效应表明空间测量v²/c²依赖于观察者的运动状态钟慢效应3钟慢效应指运动中的时钟比静止时钟走得慢如果在静止系中时间间隔为₀（固有时Δt间），则在相对它以速度运动的参考系中测得的时间间隔为₀vΔt=γΔt=₀钟慢效应适用于所有时间过程，包括生物钟这导致了著名的双胞Δt/√1-v²/c²胎佯谬太空旅行的双胞胎比留在地球的兄弟年轻钟慢效应已被介子寿命和原子钟μ实验证实相对论动力学

8.4相对论质量相对论动量在特殊相对论中，物体的质量随速度考虑相对论效应，物体的动量表达式增加而增加如果物体在静止状态下修正为₀₀p=γm v=m v/√1-质量为₀（静止质量），则在相对当远小于时，₀，m v²/c²v cp≈m v观察者以速度运动时，其相对论质量回到经典表达式相对论动量满足守v为₀₀恒定律，与经典力学类似，但在高速m=γm=m/√1-v²/c²当接近光速时，相对论质量趋于无碰撞中必须使用相对论公式才能正确v c穷大，这解释了为什么物体不能达到描述物理过程这在粒子加速器和核或超过光速需要无穷大的能量反应研究中特别重要质能关系爱因斯坦著名的质能等价方程表明质量和能量是同一实体的不同形式物E=mc²体的总能量为₀₀，其中第一项₀是静止能量E=γm c²=m c²/√1-v²/c²m c²，表示物体存在本身所具有的能量物体的动能为₀₀Ek=E-m c²=m c²γ-当远小于时，₀，回到经典表达式1v cEk≈½m v²四维时空

8.5闵可夫斯基空间四维矢量时空图解闵可夫斯基空间是特殊相对论的几何框架，由数在四维时空中，物理量表示为四维矢量，包括四在时空图中，光锥表示光信号可达的区域，将时学家赫尔曼闵可夫斯基提出它将时间和空间统维位置矢量、四维速度、四维动量等空分为类时、类空和类光三个区域类时区·x,y,z,ct一为四维连续体，称为时空在闵可夫斯基空间四维矢量在洛伦兹变换下保持不变的量称为洛域内的事件可以因果相关，类空区域内的事件不中，任何事件都由四个坐标表示，其伦兹不变量例如，四维间隔能因果相关这种几何表示直观展示了相对论中x,y,z,cts²=c²t²-x²-中是光速，将时间转换为与空间坐标相同的单是洛伦兹不变量，在所有惯性参考系中值的因果关系和信息传播限制，帮助理解相对论的c cty²-z²位相同物理意义四维时空观念是理解相对论的关键它不仅提供了优雅的数学框架，也揭示了时间和空间本质上是统一的整体，而非独立的实体在四维时空中，相对论效应（如时间膨胀、长度收缩）可以简单理解为坐标系的旋转，就像欧氏几何中的旋转一样自然这种统一的时空观为后来的广义相对论奠定了基础第八章习题讲解速度（光速的百分比）洛伦兹因子习题一个宇宙飞船以的速度相对地球运动，飞船上的宇航员测量飞船长度为米，计算地球观察者测量的飞船长度

10.8c100解答应用长度收缩公式₀，其中₀米是飞船固有长度，，代入得×××米地球观察者测得的飞船长度比飞船自身测量短，体现了尺缩效应L=L√1-v²/c²L=100v=

0.8c L=100√1-

0.8²=100√

0.36=

1000.6=60习题一颗粒子的静止质量为₀，以的速度运动，计算其相对论质量、动量和总能量2m

0.9c解答相对论质量₀₀动量₀×₀×₀总能量₀₀，其中静止能量为₀，动能为₀₀γ=1/√1-v²/c²=1/√1-

0.9²=1/√

0.19≈

2.29m=γm=

2.29m p=γm v=

2.29m

0.9c=

2.06m cE=γm c²=

2.29m c²m c²E-m c²=

1.29m c²总复习与考试重点静电场与磁场基础导体与电容12重点掌握库仑定律、高斯定律、电势概念和计算方法；磁场方面需掌重点理解导体静电平衡条件、电容的计算方法、串并联等效以及电场握毕奥萨伐尔定律、安培环路定理及其应用这些是电磁学的基础能量这部分与电路分析关系密切，需注意电容储能原理和能量密度-，也是后续章节的理论基石特别注意场的物理意义和数学表达之间概念实际应用中，掌握用高斯定理计算常见电容器（平行板、球形的联系，以及如何利用对称性简化计算、圆柱形）的电容值尤为重要恒定电流与电路分析电磁感应34重点掌握欧姆定律（微观和宏观形式）、基尔霍夫定律及各种电路分重点理解法拉第电磁感应定律、动生电动势和感生电动势的区别、自析方法需特别注意电动势概念与电势的区别，以及电路的暂态分析感和互感概念需掌握计算感应电动势的方法，特别是在复杂磁场中方法和电路的时间常数和响应特性是考试重点运动导体的情况涡电流和位移电流也是重要考点RC RL麦克斯韦方程组相对论基础56重点掌握麦克斯韦方程组的物理意义、积分形式和微分形式的相互转重点理解相对性原理、光速不变原理、洛伦兹变换及其导致的时空效换理解方程组如何统一描述电磁现象，特别是位移电流的重要性应掌握时间膨胀、长度收缩公式及相对论动力学基本方程相对论边界条件和坡印廷定理是解决实际电磁问题的关键工具中的悖论分析和解释也是理解的关键这部分更注重概念理解而非大量计算结语与学习建议系统学习重视数学工具结合实验理解电磁学是一个体系完整、内在电磁学需要一定的数学基础，电磁学源于实验，理论联系实联系紧密的学科建议从基本包括微积分、矢量分析等熟际是学好电磁学的关键通过概念开始，循序渐进地理解各练掌握梯度、散度、旋度以及观察实验现象、分析实验数据章节内容，特别注意各物理量高斯定理、斯托克斯定理等数，加深对理论的理解如条件之间的关系以及定律的物理意学工具，这些是分析电磁场问允许，亲自动手做一些简单的义建立清晰的知识体系图，题的基础通过多做习题，提电磁学实验，如验证欧姆定律将电场、磁场、电磁感应等内高数学计算能力和物理思维能、观察电磁感应现象等，这将容有机联系起来，形成完整的力，学会利用对称性简化复杂极大提高学习兴趣和效果认知结构问题电磁学是现代物理学和工程技术的重要基础，它不仅解释了大量自然现象，也是现代通信、电子、能源等技术的理论支撑通过本课程的学习，希望大家不仅掌握电磁学的基本原理和应用方法，更能领略物理学的美妙和科学研究的方法论学习电磁学需要耐心和毅力，遇到困难不要气馁，通过同学间的讨论、向老师请教以及查阅资料等多种方式解决问题最后，祝愿大家在电磁学的学习旅程中收获知识、培养能力、享受思考的乐趣！。