《线性代数课件精讲》讲义

线性代数课件精讲本课件旨在全面、系统地讲解线性代数的核心概念、理论与方法，帮助学生深入理解并掌握线性代数的基本知识和技能通过精选例题、详细解析和实际应用案例，我们将带领大家探索线性代数的奥妙，为后续学习和研究奠定坚实的基础课程概述课程目标学习要求考核方式使学生系统掌握线性代数的基本概念、认真听讲、积极思考、按时完成作业，平时成绩（作业、课堂表现）期末考试+基本理论和基本方法，培养抽象思维能注重理论联系实际，培养独立分析问题期末考试采用闭卷形式，重点考察学力和逻辑推理能力，提高解决实际问题和解决问题的能力生对基本概念、基本理论和基本方法的的能力掌握程度第一章行列式行列式的定义行列式的性质12行列式是一个将方阵映射到一行列式具有多种重要的性质，个标量的函数，表示矩阵中各如转置不变性、线性性质、行元素经过特定运算后得到的一（列）互换性质等，这些性质个数值为行列式的计算和应用提供了便利行列式的计算方法3计算行列式的方法包括三角化法、降阶法、递推法等，根据不同类型的行列式选择合适的计算方法可以简化计算过程二阶行列式定义几何意义计算示例由两行两列元素构成的表示由两个二维向量所通过具体的数值例子演行列式，其值为对角线张成的平行四边形的有示二阶行列式的计算过元素乘积之差向面积程，加深理解三阶行列式定义由三行三列元素构成的行列式，其计算涉及更复杂的元素乘积与求和沙路法则一种用于计算三阶行列式的简便方法，通过对角线元素的乘积之和与反对角线元素的乘积之差得到行列式的值计算示例通过具体的数值例子演示沙路法则的应用，掌握三阶行列式的计算技巧阶行列式n定义1由行列元素构成的行列式，其定义涉及排列和逆序数的概念n n排列和逆序数2排列是指个不同元素的有序排列，逆序数是指排列中逆序的总n个数，是计算阶行列式的基础n行列式的展开定理3通过按行或按列展开，将阶行列式的计算转化为低阶行列式的n计算，是计算高阶行列式的重要方法行列式的性质（）1转置不变性行列式的线性性质行列式的值与其转置行列式的值行列式的某一行（列）乘以一个相等，即常数，行列式的值也乘以该常数|A|=|AT|；行列式的某一行（列）是两个向量之和，则行列式可以分解为两个行列式之和行列互换性质交换行列式的任意两行（列），行列式的值变号行列式的性质（）2零行（列）性质倍加性质拉普拉斯展开如果行列式中有一行（列）的元素全为将行列式的某一行（列）的倍数加到另一种更一般的行列式展开方法，可以按零，则行列式的值为零一行（列）上，行列式的值不变任意行（列）展开，是行列式计算的重k要工具行列式的计算方法降阶法利用行列式的展开定理，将高阶行列式2的计算转化为低阶行列式的计算三角化法通过初等行变换将行列式化为上三角或1下三角行列式，其值为对角线元素之积递推法通过寻找行列式之间的递推关系，将行3列式的计算转化为递推公式的求解克莱姆法则定义应用条件12一种求解线性方程组的方法，适用于方程个数等于未知数个通过计算系数行列式和替换行数，且系数行列式不为零的线列式得到方程组的解性方程组求解线性方程组3通过克莱姆法则，可以快速求解满足条件的线性方程组，得到方程组的唯一解第二章矩阵矩阵的定义矩阵的运算特殊矩阵由×个数排成的矩形阵列，称为包括矩阵加法、数乘、乘法、转置等，如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵等，具m nm行列的矩阵是线性代数的重要组成部分有特殊的性质和应用n矩阵的基本概念矩阵的维度矩阵的元素矩阵的表示方法矩阵的行数和列数，通常表示为×矩阵中的每个数，用表示第行第列的用大写字母表示矩阵，如、、等；用m naij ij A B C元素括号或方括号将元素括起来矩阵的运算（）1运算定义性质矩阵加法对应元素相加满足交换律、结合律矩阵数乘每个元素乘以一个数满足分配律、结合律矩阵乘法行向量与列向量的内不满足交换律，满足积结合律、分配律矩阵的运算（）2矩阵转置将矩阵的行和列互换1矩阵的幂2矩阵与自身的多次乘积分块矩阵3将矩阵分成若干个子矩阵特殊矩阵零矩阵单位矩阵所有元素均为零的矩阵对角线元素为，其余元素为10的方阵对角矩阵非对角线元素均为的方阵0矩阵的初等变换行初等变换交换两行、用非零常数乘某一行、将某一行乘以一个常数加到另一行列初等变换交换两列、用非零常数乘某一列、将某一列乘以一个常数加到另一列等价矩阵通过初等变换可以互相转化的矩阵逆矩阵定义逆矩阵的性质12对于阶方阵，如果存在阶如果可逆，则也是可逆n An A A-1方阵，使得的，且；B AB=BA=E A-1-1=A（单位矩阵），则称为的B AAB-1=B-1A-1逆矩阵，记为A-1求逆矩阵的方法3利用伴随矩阵求逆矩阵、利用初等变换求逆矩阵矩阵的秩性质；0≤rA≤minm,n rA=2；rAT rAB≤minrA,rB定义1矩阵的秩是指中线性无关的行（或AA列）向量的最大个数，记为计算方法rA通过初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，阶梯形矩阵中非零行的行数即为矩阵的3秩第三章向量向量的定义向量的运算12具有大小和方向的量，可以用包括向量加法、数乘、内积等有序数组表示向量空间3由向量组成的集合，满足一定的公理向量的基本概念向量的表示向量的模单位向量用箭头表示向量，箭头的长度表示向量的向量的长度，记为模为的向量，可以用向量除以其模得到||a||1大小，箭头的方向表示向量的方向；用有序数组表示向量，如表示二维向量x,y向量的运算运算定义几何意义向量加法对应坐标相加平行四边形法则向量数乘每个坐标乘以一个数向量长度的变化和方向的变化向量的内积对应坐标乘积之和表示两个向量的夹角和投影向量的线性相关性线性相关的定义存在不全为零的数，使得1k1,k2,...,kn k1a1+k2a2+...+knan=0判断方法将向量组构成矩阵，计算矩阵的秩，如果秩小于向量的个数，则向量组线2性相关几何意义二维向量线性相关表示两个向量共线，三维向量线性相关表示3三个向量共面向量组的秩定义计算方法向量组中线性无关的向量的最大将向量组构成矩阵，计算矩阵的个数秩，矩阵的秩即为向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩正交向量和正交基正交向量的定义正交基的构造施密特正交化内积为零的两个向量由两两正交的向量组成的基将线性无关的向量组转化为正交向量组的方法第四章线性方程组线性方程组的形式由若干个线性方程组成的方程组解的结构唯一解、无解、无穷多解求解方法高斯消元法、克莱姆法则线性方程组的矩阵表示增广矩阵系数矩阵常数项向量系数矩阵加上常数项向由线性方程组的系数组由线性方程组的常数项量构成的矩阵成的矩阵组成的向量齐次线性方程组基础解系2线性无关的解向量的最大集合定义1常数项全为零的线性方程组通解基础解系的线性组合3非齐次线性方程组定义特解12常数项不全为零的线性方程组满足方程组的任意一个解通解3特解加上齐次线性方程组的通解高斯消元法原理1通过初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵步骤2消元、回代实例演示3通过具体的例子演示高斯消元法的步骤线性方程组解的判定定理有解的条件唯一解的条件系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于未知数的个数无穷多解的条件系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，但小于未知数的个数第五章特征值与特征向量特征值的定义对于阶方阵，如果存在数和非零向量，使得，n Aλx Ax=λx则称为的特征值，为的属于特征值的特征向量λA xAλ特征向量的定义满足的非零向量Ax=λx x特征方程|A-λE|=0特征值的性质迹与特征值的关系行列式与特征值的重根与重复特征值关系矩阵的迹等于其特征值特征方程的重根对应重之和矩阵的行列式等于其特复特征值征值之积特征向量的性质不同特征值的特征向量正交对于实对称矩阵，属于不同特征值的特2征向量正交线性无关性1属于不同特征值的特征向量线性无关特征空间由属于同一特征值的特征向量组成的向3量空间相似矩阵定义性质12存在可逆矩阵，使得相似矩阵具有相同的特征值、P B=，则称与相似相同的行列式、相同的迹P-1AP AB判断方法3计算矩阵的特征值，如果特征值相同，则矩阵可能相似，但需要进一步验证矩阵对角化可对角化的条件1阶方阵有个线性无关的特征向量n An对角化的步骤2求出矩阵的特征值和特征向量；构造矩阵，使得的列向量A PP为的特征向量；计算，得到对角矩阵A P-1AP应用实例3求解线性微分方程组实对称矩阵的性质特征值实数性特征向量正交性正交对角化实对称矩阵的特征值均实对称矩阵属于不同特存在正交矩阵，使得Q为实数征值的特征向量正交为对角矩阵QTAQ第六章二次型二次型的定义含有个变量的二次齐次多项式1n标准型2只含有平方项的二次型正定二次型3对于任意非零向量，x fx0二次型的矩阵表示对称矩阵二次型与矩阵的关系的矩阵二次型可以表示为aij=aji fx=xTAx，其中为对称矩阵A坐标变换通过坐标变换将二次型化为标准型合同变换性质2合同矩阵具有相同的正、负惯性指数定义1存在可逆矩阵，使得，则C B=CTAC称与合同AB惯性定理二次型的正、负惯性指数在合同变换下不变3二次型的标准型定义化二次型为标准型的方12法只含有平方项的二次型，即配方法、正交变换法fx=k1x12+k2x22+...+knxn2正交变换法3利用正交矩阵将二次型化为标准型正定二次型定义1对于任意非零向量，x fx0判别法2所有特征值大于零；所有顺序主子式大于零应用3判断多元函数的极值第七章向量空间向量空间的定义子空间基与维数满足一定公理的向量集合向量空间的子集，满足向量空间的公理基是向量空间中线性无关的向量的最大集合，维数是基中向量的个数向量空间的公理加法封闭性数乘封闭性对于任意向量和，仍然对于任意向量和数，仍然属a b a+bak ka属于向量空间于向量空间其他公理加法交换律、加法结合律、存在零向量、存在负向量、数乘结合律、数乘分配律、存在单位元素子空间定义判断方法常见子空间向量空间的子集，满足向量空间的公理判断子集是否满足加法封闭性和数乘封零空间、列空间、行空间闭性生成子空间性质2是包含向量组的最小子空间定义1由向量组线性组合得到的所有向量组成的集合计算方法求出向量组的线性组合3基与维数基的定义维数的定义12向量空间中线性无关的向量的基中向量的个数最大集合基变换3从一个基到另一个基的变换坐标与坐标变换坐标的定义坐标变换矩阵应用实例向量在基下的表示将一个基下的坐标变换图像处理、机器人控制到另一个基下的坐标的矩阵第八章内积空间内积的定义满足一定公理的向量运算，结果为标量正交性内积为零的两个向量正交投影一个向量在另一个向量上的投影内积的性质对称性正定性，且当且仅当=≥0=0a=0柯西施瓦茨不等式-||≤||a||||b||正交补空间性质是向量空间的子空间；向量空间可以分2解为子空间和其正交补空间的直和定义1与子空间中所有向量都正交的向量组成的集合计算方法求出子空间的一组基，然后求出与这些3基向量都正交的向量正交投影定义计算公式12一个向量在另一个向量上的投projba=/||b||2b影，使得投影向量与原向量的差与投影向量正交几何意义3将一个向量分解为与另一个向量平行和垂直的分量第九章线性变换线性变换的定义矩阵表示不变子空间满足可加性和齐次性的向量空间之间的线性变换可以用矩阵表示在线性变换下保持不变的子空间映射线性变换的性质可加性齐次性复合变换两个线性变换的复合仍Ta+b=Ta+Tka=kTa然是线性变换Tb线性变换的矩阵表示表示矩阵将基向量经过线性变换后的坐标向量作2为列向量构成的矩阵坐标向量1向量在基下的坐标表示基变换下的矩阵表示线性变换在不同基下的表示矩阵不同，3但它们是相似的不变子空间定义特征子空间12在线性变换下保持不变的子空由属于同一特征值的特征向量间，即对于任意属于子空间的组成的子空间，是线性变换的向量，仍然属于该子空不变子空间a Ta间循环子空间3由一个向量及其经过线性变换后的向量张成的子空间第十章线性代数的应用最小二乘法用于求解线性方程组的近似解主成分分析用于数据降维和特征提取马尔可夫链用于描述具有马尔可夫性质的随机过程最小二乘法原理正规方程应用实例使得误差的平方和最小求解最小二乘解的方程曲线拟合、线性回归主成分分析（）PCA步骤数据标准化、计算协方差矩阵、计算特2原理征值和特征向量、选择主成分、数据降维通过正交变换将原始数据变换为一组线1性无关的主成分，使得第一个主成分的方差最大，第二个主成分的方差次之，以此类推应用场景3图像处理、模式识别、数据挖掘马尔可夫链定义转移矩阵12具有马尔可夫性质的随机过程表示状态之间转移概率的矩阵，即未来状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关稳态分布3经过长时间后，状态的概率分布趋于稳定课程总结知识点回顾重要定理汇总学习建议行列式、矩阵、向量、线性方程组、特克莱姆法则、线性方程组解的判定定理理解基本概念、掌握基本理论、熟练运征值与特征向量、二次型、向量空间、、矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的用基本方法、注重理论联系实际、培养内积空间、线性变换、线性代数的应用性质、惯性定理独立分析问题和解决问题的能力。