《二次函数及其图像复习》课件

二次函数及其图像复习课程目标与要求掌握基本概念理解图像特征12理解并熟练运用二次函数的定掌握开口方向、对称轴、顶点义、一般形式和标准形式，掌等基本特征的判定和求解方法握函数形式间的转换，理解图像平移和伸缩规律掌握解题技巧知识框架导图基本概念定义、形式、转换图像特征开口、对称轴、顶点、平移、伸缩函数性质零点、值域、单调性函数应用最值问题、实际应用、物理、经济、几何复习内容概览概念回顾图像分析性质研究二次函数的定义、形式及其相互转换，深入剖析图像的开口方向、对称轴、顶探讨二次函数的零点、值域和单调性，为后续学习打下坚实基础点等特征，掌握平移和伸缩规律理解它们之间的内在联系二次函数的基本概念定义一般形式标准形式含有自变量的二次多项式函数fx=ax²+bx+c a≠0fx=ax-h²+k二次函数的定义回顾二次函数是指形如fx=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0二次函数的定义强调了自变量的最高次数为2，这是它区别于一次函数、三次函数等其他函数的重要标志深刻理解二次函数的定义，是掌握其性质和应用的前提二次函数的一般形式b2一次项系数，影响对称轴位置a1二次项系数，决定开口方向和大小c3常数项，决定与y轴的交点二次函数的标准形式二次函数的标准形式为fx=ax-h²+k，其中h,k为顶点坐标标准形式能够直观地反映出二次函数的顶点位置和开口方向，便于进行图像的平移和伸缩变换通过标准形式，我们可以快速确定函数的最大值或最小值，解决实际应用中的最优化问题函数形式间的转换一般式标准式→1配方法标准式一般式→2展开合并同类项二次函数图像的基本特征开口方向对称轴顶点a0时向上，a0时x=-b/2a-b/2a,4ac-b²/向下4a开口方向的判定二次函数fx=ax²+bx+c的开口方向由二次项系数a决定当a0时，图像开口向上，函数有最小值；当a0时，图像开口向下，函数有最大值开口方向是判断函数值变化趋势的重要依据，也是解决最值问题的关键对称轴的确定方法二次函数fx=ax²+bx+c的对称轴为x=-b/2a对称轴是图像的对称中心线，也是顶点横坐标的位置通过确定对称轴，我们可以快速了解图像的整体形态，并为求解顶点坐标、零点等问题提供便利顶点的求解技巧配方法1将一般式转化为标准式，直接得到顶点坐标公式法2利用顶点坐标公式，快速求解顶点坐标公式推导顶点坐标公式-b/2a,4ac-b²/4a是通过配方法将一般式fx=ax²+bx+c转化为标准式fx=ax-h²+k推导而来公式中的h=-b/2a，k=4ac-b²/4a掌握顶点坐标公式的推导过程，有助于理解其本质，并灵活应用于解题图像平移规律总结左加右减上加下减横坐标左移加，右移减纵坐标上移加，下移减向左平移的情况将二次函数fx的图像向左平移m个单位，得到新的函数gx=fx+m平移后的图像的对称轴和顶点坐标都会发生相应的变化理解向左平移的规律，能够帮助我们快速绘制平移后的图像，解决相关问题向右平移的情况将二次函数fx的图像向右平移m个单位，得到新的函数gx=fx-m平移后的图像的对称轴和顶点坐标都会发生相应的变化理解向右平移的规律，能够帮助我们快速绘制平移后的图像，解决相关问题向上平移的情况将二次函数fx的图像向上平移n个单位，得到新的函数gx=fx+n平移后的图像的顶点纵坐标会发生变化，但对称轴不变理解向上平移的规律，能够帮助我们快速绘制平移后的图像，解决相关问题向下平移的情况将二次函数fx的图像向下平移n个单位，得到新的函数gx=fx-n平移后的图像的顶点纵坐标会发生变化，但对称轴不变理解向下平移的规律，能够帮助我们快速绘制平移后的图像，解决相关问题二次函数图像伸缩规律纵向拉伸纵向压缩乘以大于1的系数乘以小于1的系数纵向拉伸与压缩将二次函数fx的图像纵向拉伸k倍，得到新的函数gx=kfx，其中k1图像的开口变大，函数值变化更快将图像纵向压缩k倍，得到新的函数gx=kfx，其中0k1图像的开口变小，函数值变化更慢理解纵向伸缩的规律，能够帮助我们更好地掌握图像的形态变化横向拉伸与压缩函数fx图像横向伸缩变换时，自变量x需做相应变化横向拉伸，x变为x/k k1；横向压缩，x变为kx0k1注意伸缩变化对函数解析式的影响，以及函数图像随之发生的变化二次函数的零点问题零点判别式函数与x轴的交点Δ=b²-4ac，决定零点个数零点存在性判断Δ01两个不相等的实数根Δ=02两个相等的实数根Δ03没有实数根二次函数fx=ax²+bx+c的零点存在性由判别式Δ=b²-4ac决定当Δ0时，函数有两个不相等的实数根；当Δ=0时，函数有两个相等的实数根；当Δ0时，函数没有实数根掌握零点存在性的判断方法，能够帮助我们快速了解函数的根的情况，解决相关问题零点求解方法一因式分解法因式分解法适用于能够将二次函数fx=ax²+bx+c分解成两个一次因式乘积的情况通过将函数分解成fx=x-x₁x-x₂的形式，可以直接得到函数的零点x₁和x₂因式分解法简单易懂，是求解零点的常用方法之一零点求解方法二配方法配方法通过将二次函数fx=ax²+bx+c配成完全平方的形式，求解零点配方法的过程需要一定的代数技巧，但它可以适用于各种形式的二次函数通过配方法，我们可以更好地理解二次函数的结构，并为解决其他问题提供思路零点求解方法三公式法公式法是求解二次函数fx=ax²+bx+c零点的通用方法通过公式x=-b±√b²-4ac/2a，可以直接得到函数的零点公式法适用于各种形式的二次函数，但需要熟练掌握公式，并注意计算的准确性二次函数的值域问题开口方向确定函数有最大值还是最小值顶点坐标求出顶点纵坐标，即最值值域范围根据最值和开口方向，写出值域值域求解步骤求出对称轴1x=-b/2a确定顶点坐标2-b/2a,f-b/2a判断开口方向3a0时，有最小值；a0时，有最大值写出值域4根据最值和开口方向，确定值域范围最值点的确定二次函数fx=ax²+bx+c的最值点位于顶点处当a0时，函数有最小值，最小值为顶点纵坐标；当a0时，函数有最大值，最大值为顶点纵坐标确定最值点是求解值域问题的关键，也是解决实际应用中的最优化问题的基础值域范围的表示当a0时，值域为[最小值,+∞；当a0时，值域为-∞,最大值]值域范围的表示需要根据最值和开口方向进行确定正确表示值域范围，能够完整地描述函数值的变化情况二次函数的单调性对称轴开口方向1单调性的分界线决定增减性2单调区间的判定二次函数fx=ax²+bx+c的单调区间由对称轴x=-b/2a和开口方向a决定当a0时，在-∞,-b/2a]上单调递减，在[-b/2a,+∞上单调递增；当a0时，在-∞,-b/2a]上单调递增，在[-b/2a,+∞上单调递减掌握单调区间的判定方法，能够帮助我们更好地了解函数值的变化趋势单调性与零点关系零点单调性函数的零点位于单调区间的交界处，也是函数值符号改变的点函数的单调性决定了函数值在不同区间内的变化趋势二次函数的应用最值问题物理学求最大利润、最小成本等抛物运动轨迹经济学成本、收益分析最值问题应用二次函数在最值问题中有着广泛的应用，例如，求最大利润、最小成本、最大产量等通过建立二次函数模型，利用其性质，我们可以找到最优解，从而解决实际问题掌握最值问题的应用，能够提高我们的解决实际问题的能力实际生活中的应用案例拱桥设计喷泉设计确定桥梁的跨度和高度，保证桥梁的计算喷泉的射程和高度，创造出美丽安全和美观的喷水效果物理学中的应用抛物运动物体在重力作用下的运动轨迹，例如投掷物体、炮弹飞行等经济学中的应用成本分析收益分析建立成本函数模型，分析成本与产量之间的关系，寻找最优生产建立收益函数模型，分析收益与销售量之间的关系，寻找最优销方案售策略几何学中的应用面积问题1求解图形的最大面积或最小面积二次函数图像与方程函数方程图像直观反映函数性质求根转化为求交点二次方程的几何意义二次方程ax²+bx+c=0的几何意义是求二次函数fx=ax²+bx+c的图像与x轴的交点方程的根就是函数的零点，也是图像与x轴的交点横坐标理解二次方程的几何意义，能够帮助我们利用图像解决方程问题，反之亦然二次不等式的几何解法图像1绘制函数图像区域2找出满足不等式的图像区域二次不等式ax²+bx+c0或0的几何解法是通过绘制二次函数fx=ax²+bx+c的图像，找出满足不等式的图像区域当a0且不等式为ax²+bx+c0时，解为图像位于x轴上方的区域；当a0且不等式为ax²+bx+c0时，解为图像位于x轴下方的区域掌握二次不等式的几何解法，能够帮助我们更直观地理解不等式的含义，并快速求解函数图像的交点问题联立方程求解方程组将两个函数解析式联立成方程组求出方程组的解，即交点坐标典型例题讲解一例题已知二次函数fx=x²-4x+3，求其对称轴、顶点坐标和零点解对称轴为x=--4/2=2，顶点坐标为2,-1，零点为x₁=1，x₂=3通过本例，我们复习了求解对称轴、顶点坐标和零点的基本方法，巩固了基础知识典型例题讲解二例题已知二次函数fx=-x²+2x+1，求其最大值和值域解最大值为2，值域为-∞,2]本例考察了求解最大值和值域的方法，强调了开口方向对最值的影响，提升了综合解题能力典型例题讲解三例题已知二次函数fx=x²+mx+n的图像经过点1,0和3,0，求m和n的值解m=-4，n=3本例考察了利用已知点求解函数解析式的方法，强化了方程思想的应用常见易错点分析符号错误公式记错计算过程中忽略符号，导致结果错误记错公式，导致无法正确求解解题技巧总结图像分析代数运算利用图像直观地理解函数性质熟练掌握代数运算技巧，提高解题效率图像分析方法图像分析方法是指利用二次函数的图像直观地理解函数性质，例如，开口方向、对称轴、顶点、零点等通过图像分析，我们可以快速了解函数的整体形态，并为解决相关问题提供思路掌握图像分析方法，能够提高我们的解题效率和准确性代数运算技巧配方法公式法1灵活运用配方法，将一般式转化为标准熟练掌握公式法，快速求解零点2式解题思路点拨审题仔细阅读题目，明确已知条件和求解目标分析分析题目涉及的知识点，选择合适的解题方法解答规范书写解题过程，注意计算的准确性反思检查答案是否合理，总结解题经验重点知识回顾定义与形式图像特征函数性质123二次函数的定义、一般形式和标准开口方向、对称轴、顶点坐标零点、值域、单调性形式二次函数的关键性质性质描述对称性图像关于对称轴对称单调性在对称轴两侧单调性相反最值性有最大值或最小值图像特征速记口诀开口向上a为正，开口向下a为负；对称轴在顶点处，左右增减看正负；顶点坐标要记清，最值问题它来定掌握口诀，能够帮助我们快速记忆和应用图像特征解题方法归纳配方法1适用于求解顶点坐标和值域公式法2适用于求解零点练习题精选本节提供一系列练习题，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力练习题涵盖基础题、中等难度题和挑战题，适合不同层次的学生希望同学们认真完成练习题，并及时总结解题经验，提升应试水平基础巩固题填空题选择题中等难度题解答题挑战提高题综合题。