《初中数学函数概念》课件

初中数学函数概念课程目标和学习要求理解函数的概念掌握函数的三要素能够准确地描述函数的概念，并能区分函数与非函数关系理解并能运用函数的定义域、值域和对应关系了解函数的常见表示方法初步掌握函数图像的特征熟悉函数的语言描述、表格表示、图像表示和解析式表示函数的直观认识日常生活中的函数关系函数关系的特点我们经常会遇到一些相互关联的量，比如商品价格与数量函数关系是指当一个量变化时，另一个量也随之发生变化，、时间与距离、体重与身高等等，这些量之间就存在着函数并且这两个量之间存在着唯一的对应关系关系生活中的函数关系举例出租车费用手机流量出租车的费用与行驶里程存在着函数关系行驶里程越长，手机流量费用与使用流量存在着函数关系使用流量越多，费用越高费用越高温度与时间的关系图上午8点1温度为15℃中午12点2温度升至25℃下午4点3温度降至20℃晚上8点4温度降至10℃身高与年龄的关系图儿童时期身高增长较快青春期身高增长加速成年后身高基本稳定函数的基本定义函数是初中数学中的重要概念，它是用来描述两个变量之间对应关系的一种数学工具它是一种特殊的对应关系，满足一个变量的每个值对应另一个变量唯一的对应值什么是对应关系对应关系的概念函数的对应关系对应关系是指两个集合之间元素的配对关系，可以将一个集函数的对应关系是一种特殊的对应关系，它要求一个变量的合中的每个元素与另一个集合中的一个或多个元素进行配对每个值都对应另一个变量唯一的对应值函数的三要素定义域值域对应关系自变量所有可能取值的集合因变量所有可能取值的集合自变量与因变量之间的对应关系函数的表示方法语言描述用语言描述自变量和因变量之间的对应关系表格表示用表格列出自变量和因变量的对应值图像表示用图像描绘自变量和因变量之间的对应关系解析式表示用公式表示自变量和因变量之间的对应关系用语言描述函数关系例如，圆的面积与半径的函数关系是圆的面积等于乘以半径的平S rπ方，即，用语言描述了圆的面积与半径之间的对应关系S=πr²用表格表示函数关系12243648表格列出了自变量和因变量的对应值，可以看出，用表格表示了与之间的对应关系x y y=2x y x用图像表示函数关系用图像表示函数关系可以直观地展现自变量与因变量之间的变化关系例如，的图像是一条过原点的直线，它反映了当变化时，也随之y=2x x y线性变化用解析式表示函数关系解析式是函数关系的最简洁、最精确的表示方法，它用公式的形式表达了自变量与因变量之间的对应关系例如，就是y=2x用解析式表示的函数关系变量的概念变量是指在函数关系中可以取不同值的量在函数中，我们一般用字母x、等表示变量变量可以是数值、图形、符号等它可以表示任何可以y改变的量，例如时间、温度、距离、速度等等自变量的含义自变量是指在函数关系中可以自由取值的变量它相当于函数的输入，它的取值范围就是函数的定义域自变量是函数关系的决定因素，它的变化会直接影响到因变量的变化因变量的含义因变量是指随着自变量的变化而变化的变量它相当于函数的输出，它的取值范围就是函数的值域因变量的值取决于自变量的值，它随着自变量的变化而变化函数的定义域定义域是指自变量所有可能取值的集合它决定了函数的范围，也就是函数可以接受的输入定义域可以是所有实数，也可以是某些特定的实数集合，例如大于的实数、小于的实数等等01定义域的实际意义定义域的实际意义就是函数能够接受的输入范围例如，一个表示商品价格与数量之间关系的函数，它的定义域就应该是所有可能的商品数量，而不能包括负数，因为商品数量不可能是负数如何确定定义域确定函数的定义域要根据函数表达式和实际问题来判断首先要考虑函数表达式的限制条件，比如分母不能为零、根号下的表达式必须大于等于零等等其次要考虑实际问题的限制条件，比如商品数量不能为负数、时间不能倒流等等函数的值域值域是指因变量所有可能取值的集合它决定了函数的输出范围，也就是函数可以产生的输出结果值域可以是所有实数，也可以是某些特定的实数集合，例如大于的实数、小于的实数等等01值域的实际意义值域的实际意义就是函数可以产生的输出结果范围例如，一个表示商品价格与数量之间关系的函数，它的值域就应该是所有可能的商品价格，而不能包括负数，因为商品价格不可能是负数如何确定值域确定函数的值域要根据函数表达式和实际问题来判断首先要考虑函数表达式的取值范围，比如函数表达式可以取到的最大值和最小值等等其次要考虑实际问题的限制条件，比如商品价格不能为负数等等一一对应的概念一一对应是指两个集合之间元素的配对关系，满足一个集合中的每个元素都对应另一个集合中的唯一一个元素，反之亦然例如，将班级中的学生与学号进行配对，每个学生都对应唯一的学号，每个学号也对应唯一的学生，这种关系就是一一对应多对一的概念多对一是指两个集合之间元素的配对关系，满足一个集合中的多个元素都对应另一个集合中的同一个元素例如，将班级中的学生与他们的星座进行配对，多个学生可能会出生在同一个星座，这种关系就是多对一判断函数关系的方法判断两个变量之间是否为函数关系，主要看是否满足一个变量的每个值都对应另一个变量唯一的对应值如果满足，则为函数关系；如果不满足，则不是函数关系常见错误辨析在学习函数概念时，要注意一些常见的错误，例如将函数关系与因果关系混淆，将定义域与值域混淆，将函数与方程混淆等等要仔细分析问题，避免犯这些错误函数与方程的区别函数方程描述两个变量之间的对应关系表示一个变量的值与其他变量的值之间的等量关系函数图像的基本特征函数图像的基本特征包括单调性、最值、对称性、周期性、奇偶性等等这些特征可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律如何描述函数图像描述函数图像可以用语言描述，也可以用数学语言描述例如，可以描述函数图像的单调递增区间、单调递减区间、最值点、对称轴等等函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间内，自变量的值增大时，因变量的值也随之增大或减小的性质如果函数在某个区间内，自变量的值增大时，因变量的值也随之增大，则称该函数在这个区间内单调递增；如果函数在某个区间内，自变量的值增大时，因变量的值也随之减小，则称该函数在这个区间内单调递减单调递增的定义当自变量在定义域内取值时，如果随着的增大，函数值也随之增大，x x y则称函数在该定义域内是单调递增函数单调递减的定义当自变量在定义域内取值时，如果随着的增大，函数值随之减小，则x x y称函数在该定义域内是单调递减函数函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值最大值是指函数在定义域内取得的最大值，最小值是指函数在定义域内取得的最小值最大值的概念在一个函数的图像上，如果存在一个点，它的纵坐标比其他所有点的纵坐标都要大，那么这个点的纵坐标就是函数的最大值最大值是函数在定义域内的最大值，它也称为函数的极大值最小值的概念在一个函数的图像上，如果存在一个点，它的纵坐标比其他所有点的纵坐标都要小，那么这个点的纵坐标就是函数的最小值最小值是函数在定义域内的最小值，它也称为函数的极小值如何求函数的最值求函数的最值可以通过以下方法观察函数图像、利用函数的单调性、利用函数的解析式等等求最值是函数研究中的一个重要问题，它在实际应用中也具有广泛的应用函数应用举例一问题解答某公司生产一种产品，成本为每件元，售价为每件元利润售价成本产量，所以利润与产量5080y=-×=80x-50x=30x y x设生产件产品，利润为元，求利润与产量之间的函数关之间的函数关系式为当产量为件时，公司的利x y yx y=30x100系式，并求当产量为件时，公司的利润是多少？润为元100y=30×100=3000函数应用举例二问题解答某人骑自行车从地到地，行驶速度为公里小时设行行驶距离速度时间，所以行驶距离与行驶时间之A B10/y=×=10x yx驶时间为小时，行驶距离为公里，求行驶距离与行驶时间的函数关系式为当行驶时间为小时时，行驶距离x y yy=10x2间之间的函数关系式，并求当行驶时间为小时时，行驶距为公里x2y=10×2=20离是多少？函数应用举例三问题解答某商店出售某种商品，进价为每件元，售价为每件元利润售价进价销售量，所以利润与销2030y=-×=30x-20x=10x y设销售件商品，利润为元，求利润与销售量之间的函数售量之间的函数关系式为当销售量为件时，商xyyx xy=10x100关系式，并求当销售量为件时，商店的利润是多少？店的利润为元100y=10×100=1000一次函数的特点一次函数的图像是一条直线，它表示了自变量与因变量之间线性变化的关系一次函数的特点包括它的表达式是，其中和是常数，y=kx+b kb；它的图像是一条过点的直线；它的斜率为，即直线与轴正方k≠00,b kx向所成的角的正切值；它的截距为，即直线与轴的交点纵坐标b y反比例函数的特点反比例函数的图像是一条双曲线，它表示了自变量与因变量之间反比例变化的关系反比例函数的特点包括它的表达式是，其中是常y=k/x k数，；它的图像是一条中心对称图形，对称中心为原点；它的渐近线k≠0是轴和轴；它的定义域是；它的值域是xyx≠0y≠0二次函数的特点二次函数的图像是一个抛物线，它表示了自变量与因变量之间平方变化的关系二次函数的特点包括它的表达式是，其中、、y=ax²+bx+c a b是常数，；它的图像是一个对称图形，对称轴为直线；它的c a≠0x=-b/2a顶点坐标为△，其中△；它的开口方向由的符号决-b/2a,-/4a=b²-4ac a定时开口向上，时开口向下；它的对称轴的位置由和的符号a0a0b a决定；它的顶点坐标由、、的符号决定abc函数图像平移规律函数图像的平移规律是指将函数图像沿轴方向平移个单位，只需将x m函数解析式中的用代替；将函数图像沿轴方向平移个单位，只x x-m yn需将函数解析式中的用代替这两个规律可以帮助我们快速、准确yy-n地进行函数图像的平移函数图像对称规律函数图像的对称规律是指将函数图像关于轴对称，只需将函数解析式中的用代替；将函数图像关于轴对称，只需将函xy-yy数解析式中的用代替；将函数图像关于原点对称，只需将函数解析式中的和都用和代替这些规律可以帮助我们快速x-x xy-x-y、准确地进行函数图像的对称变换函数的周期性周期性是指函数图像在某个区间内重复出现的性质如果函数图像在某个区间内重复出现，那么这个区间称为函数的周期，函数的周期性可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律函数的奇偶性奇偶性是指函数图像关于原点对称的性质如果函数图像关于原点对称，则称该函数为奇函数；如果函数图像关于轴对称，则称该函数为偶函y数奇偶性可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律实际问题中的函数建模函数建模是指将实际问题转化为数学模型的过程函数模型可以帮助我们更好地理解实际问题，并利用数学方法进行分析和解决问题在函数建模过程中，需要将实际问题抽象为数学模型，并选择合适的函数关系来描述它们之间的对应关系函数问题解题步骤审题1仔细阅读题目，理解题意，明确已知条件和求解目标建模2将实际问题抽象为数学模型，选择合适的函数关系来描述它们之间的对应关系解题3利用函数的性质和解题技巧，求解问题检验4检验答案是否合理，是否符合实际问题的要求函数综合练习一已知函数，求当时，的值已知函数，求该

1.y=2x+1x=2y\

2.y=x²-2x+1函数的定义域、值域和对称轴函数综合练习二已知函数，求当时，时的值，并画出该函数的图像

1.y=k/xx=1y=2k\

2.已知函数，求当，，时，该函数的对称轴和顶点y=ax²+bx+c a=1b=2c=3坐标函数综合练习三已知函数的图像关于原点对称，且，求的值已知函数的图像关于直线对称，且，求

1.y=fx f1=2f-1\

2.y=fx x=2f1=3f3的值常见函数题型分析常见函数题型包括求函数的定义域、值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等等要熟练掌握这些题型的解题方法，才能更好地解决函数问题解题技巧总结解题技巧包括观察函数图像、利用函数的性质、利用函数的解析式等等要灵活运用这些技巧，才能更好地解决函数问题函数知识点归纳函数知识点包括函数的概念、函数的三要素、函数的表示方法、函数图像的特征、函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性、函数的周期性等等要牢固掌握这些知识点，才能更好地理解函数的概念和应用重点内容回顾本节课的重点内容包括函数的概念、函数的三要素、函数的表示方法、函数图像的基本特征要重点理解和掌握这些内容，才能更好地理解函数的概念和应用易错点提醒在学习函数概念时，要注意一些常见的错误，例如将函数关系与因果关系混淆，将定义域与值域混淆，将函数与方程混淆等等要仔细分析问题，避免犯这些错误学习方法指导学习函数概念需要多做练习，将理论知识与实际应用相结合，才能更好地理解和掌握函数的概念和应用要善于总结归纳，将知识点串联起来，形成完整的知识体系拓展思考题在现实生活中，你能举出更多函数关系的例子吗？除了我们学习的

1.\

2.几种函数类型，还有哪些其他类型的函数？函数在实际生活中有哪些\

3.应用？本节课总结本节课我们学习了函数的基本概念、性质和应用通过学习，我们了解了函数的概念、函数的三要素、函数的表示方法、函数图像的基本特征，并学习了一些函数的应用举例希望通过本节课的学习，大家能够更好地理解和掌握函数的概念和应用。