《数学函数和方程》课件

数学函数和方程探索数学的规律之美课程大纲和学习目标课程大纲学习目标函数的基本概念和性质理解函数和方程的基本概念••常见函数类型（线性、二次、指数、对数、三角函数）掌握常见函数的性质和图像特征••函数图像的变换能够灵活运用函数图像的变换••方程的求解方法熟练掌握方程的求解方法••不等式与函数图像•函数与方程的实际应用•什么是函数基本概念函数是一种描述变量之间关系的数学工具简单来说，函数就是一个盒子，你给它一个输入（自变量），它就会按照一定的规则给你“”一个输出（因变量）这个规则就是函数的表达式函数在数学中扮演着至关重要的角色，是构建数学模型、解决实际问题的基石函数的定义域和值域定义域值域12函数的定义域是指自变量可以函数的值域是指因变量可以取取值的范围简单来说，就是值的范围简单来说，就是“盒子允许你放入哪些东西盒子可以输出哪些东西值“””定义域的确定需要考虑实际问域的确定需要通过分析函数的题和数学规则的限制，例如性质和定义域来得到分母不能为零、根号下不能为负数等重要性一对一函数和多对一函数的区别一对一函数多对一函数一对一函数是指对于定义域内的每一个自变量，都有唯一的值域多对一函数是指对于定义域内的多个自变量，可以对应同一个值与之对应，并且不同的自变量对应不同的因变量换句话说，每域换句话说，不同的输入可能产生相同的输出例如，y=x²个输入都对应一个唯一的输出，且不同的输入不会产生相同的输就是一个多对一函数，因为和都对应x=2x=-2y=4出常见函数类型概览线性函数二次函数指数函数形式简单，图像为直线图像为抛物线，用于描描述快速增长或衰减的，广泛应用于描述线性述具有顶点和对称轴的现象，例如人口增长关系曲线关系、放射性衰变对数函数与指数函数互为反函数，用于解决指数方程和描述数量级的变化线性函数的基本形式线性函数的基本形式为，其中代表斜率，代表轴截距斜y=kx+b k b y率决定了直线的倾斜程度，轴截距决定了直线与轴的交点位置线k yb y性函数是最简单也是最常用的函数类型之一通过改变和的值，我们可以得到不同的直线当时，直线向上倾kbk0斜；当时，直线向下倾斜；当时，直线为水平直线的值则k0k=0b决定了直线在轴上的位置y线性函数的图像特征直线线性函数的图像是一条直线，这是其最显著的特征斜率斜率决定了直线的倾斜程度，正斜率表示上升，负斜率表示下降截距轴截距表示直线与轴的交点，轴截距表示直线与轴的y y x x交点线性函数的斜率概念斜率是描述直线倾斜程度的量，通常用字母表示斜率的计算公式为，其中和是k k=y2-y1/x2-x1x1,y1x2,y2直线上的两个不同的点斜率的绝对值越大，直线越陡峭；斜率的绝对值越小，直线越平缓斜率的正负号表示直线的方向当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为零时，直线为水平直线；当斜率不存在时，直线为垂直直线线性函数的应用实例速度与时间成本与产量匀速直线运动中，速度与时间的在固定成本和单位变动成本的情关系可以用线性函数表示况下，总成本与产量的关系可以用线性函数表示温度变化在一定范围内，温度随时间的变化可以用线性函数近似表示二次函数的标准形式二次函数的标准形式为，其中、、为常数，且y=ax²+bx+c a b ca≠0决定了抛物线的开口方向和大小，决定了抛物线对称轴的位置，决定了abc抛物线与轴的交点位置二次函数是描述抛物线形状的常用函数y通过配方法，我们可以将二次函数的标准形式转化为顶点式y=ax-h²+k，其中为抛物线的顶点坐标顶点式可以更直观地反映抛物线的顶点位h,k置和开口方向二次函数的图像特征抛物线1二次函数的图像是一条抛物线，这是其最显著的特征顶点2抛物线有一个最高点或最低点，称为顶点对称轴3抛物线关于一条直线对称，这条直线称为对称轴开口方向4抛物线可以向上开口或向下开口，由的符号决定a抛物线的顶点和对称轴抛物线的顶点是其最高点或最低点，坐标为，其中，h,k h=-b/2a k=顶点的位置决定了抛物线的整体位置和形状对称轴是抛4ac-b²/4a物线关于其对称的直线，方程为，即对称轴的位置决x=h x=-b/2a定了抛物线的对称性通过顶点和对称轴，我们可以快速了解抛物线的整体特征，并进行图像绘制和问题求解顶点和对称轴是分析二次函数的重要工具二次函数的应用场景投掷运动桥梁设计1物体在重力作用下的投掷运动轨迹可以某些桥梁的拱形结构可以用二次函数近用二次函数描述2似描述优化问题利润最大化4许多优化问题可以用二次函数建模并求在经济学中，可以用二次函数模型分析3解利润最大化问题指数函数的定义指数函数的定义为，其中为常数，且且，为自变量指数函数描述了变量以指数形式增长或衰减的现象指y=a^x aa0a≠1x数函数的底数决定了增长或衰减的速度，的值决定了增长或衰减的程度a x当时，指数函数为增函数，越大，的值越大；当时，指数函数为减函数，越大，的值越小指数函数在数学a1x y0a1x y、物理、化学、生物等领域都有广泛的应用指数函数的性质单调性1时为增函数，时为减函数a10a1定义域2定义域为所有实数值域3值域为大于的所有实数0过定点4图像恒过点0,1指数函数的图像特征增长或衰减非负性渐近线图像呈现快速增长或衰减的趋势图像始终位于轴上方轴是其水平渐近线x x自然指数的介绍e自然指数是一个重要的数学常数，其值约为自然指数在微积分、概率论、统计学等领域都有广泛的应用以为底的e

2.71828e e指数函数称为自然指数函数，记为y=e^x自然指数的重要性在于其导数等于自身，即这一性质使得自然指数函数在描述自然现象和解决微分方程中具有独特的e e^x=e^x优势例如，放射性衰变、人口增长等现象都可以用自然指数函数进行建模对数函数的定义对数函数是指数函数的反函数对数函数的定义为，其中为常数，且且，为自变量对数函数解决了已y=logₐx aa0a≠1x知底数和幂，求指数的问题对数函数的底数决定了增长或衰减的速度，的值决定了增长或衰减的程度a x对数函数与指数函数互为反函数，它们的图像关于直线对称对数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用y=x对数函数与指数函数的关系互为反函数1对数函数是指数函数的反函数，反之亦然图像对称2它们的图像关于直线对称y=x运算互逆3对数运算是指数运算的逆运算常用对数和自然对数常用对数自然对数以为底的对数称为常用对数，记为或₁₀常以为底的对数称为自然对数，记为或自然对数10lgx logx elnx logₑx用对数在工程计算和科学研究中应用广泛例如，声音的强度、在数学分析和物理学中应用广泛例如，放射性衰变、复利计算地震的震级等都可以用常用对数来表示等都可以用自然对数来表示对数的运算法则法则公式积的对数logₐMN=logₐM+logₐN商的对数logₐM/N=logₐM-logₐN幂的对数logₐMⁿ=n*logₐM换底公式logₐM=logₓM/logₓA三角函数简介三角函数是描述三角形内角与边长关系的函数常见的三角函数包括正弦函数（）、余弦函数（）和正切函数（）三角函数在数学、物理、工程sin costan等领域都有广泛的应用，例如描述周期性现象、解决几何问题等三角函数的自变量通常是角度，可以用度数或弧度来表示三角函数的图像呈现周期性变化，这使得它们在描述波动、振动等周期性现象时非常有用正弦函数的定义和图像定义图像12在直角三角形中，正弦函数定正弦函数的图像是一条波浪线义为对边与斜边的比值，记为，呈现周期性变化，周期为对边斜边sinθ=/2π性质3值域为，是奇函数，具有周期性[-1,1]余弦函数的定义和图像定义图像在直角三角形中，余弦函数定义余弦函数的图像是一条波浪线，为邻边与斜边的比值，记为呈现周期性变化，周期为2π邻边斜边cosθ=/性质值域为，是偶函数，具有周期性[-1,1]正切函数的定义和图像定义1在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值，记为对边邻边tanθ=/=sinθ/cosθ图像2正切函数的图像是一系列垂直线段，呈现周期性变化，周期为π性质3值域为所有实数，是奇函数，具有周期性，存在垂直渐近线三角函数的周期性正弦函数和余弦函数正切函数正弦函数和余弦函数的周期都是，这意味着它们的图像每隔正切函数的周期是，这意味着它的图像每隔就会重复一次2πππ就会重复一次2π反三角函数介绍反正弦函数反正弦函数是正弦函数的反函数，记为或⁻arcsinx sin¹x反余弦函数反余弦函数是余弦函数的反函数，记为或⁻arccosx cos¹x反正切函数反正切函数是正切函数的反函数，记为或⁻arctanx tan¹x函数的复合运算函数的复合运算是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入例如，如果，，那么，复合函fx=x²gx=x+1fgx=x+1²gfx=x²+1数的计算顺序是从内到外，先计算内层函数的值，再将结果作为外层函数的输入复合运算可以用于构建更复杂的函数模型，例如描述多个变量之间的关系、模拟多步骤过程等理解复合运算是深入学习函数的重要一步复合函数的例子y=e^x+12内层函数为，外层函数为x+1e^xy=sinx²1内层函数为，外层函数为x²sinxy=lgx²+1内层函数为，外层函数为3x²+1lgx函数的反函数概念如果一个函数存在反函数，那么它的反函数记为⁻反函数的作用fx f¹x是将函数的输出作为输入，返回对应的输入值只有一对一函数才存在反fx函数反函数与原函数关于直线对称y=x反函数可以用于解决一些逆向问题，例如已知某个函数的值，求自变量的值反函数是理解函数关系的重要工具如何求函数的反函数写出原函数1交换和2x y解出3y写成反函数形式4分段函数的定义分段函数是指在不同的定义域范围内，使用不同的表达式定义的函数分段函数通常用于描述具有分段性质的实际问题，例如阶梯电价、分段计费等在处理分段函数时，需要根据自变量的取值范围，选择相应的表达式进行计算分段函数的图像通常由多个不同的函数图像拼接而成，可能存在不连续点常见分段函数举例符号函数阶跃函数绝对值函数sgnx=1x0,0x=0,-1x0Hx=1x=0,0x0|x|=x x=0,-x x0These aresome examplesof piecewisefunctions andthe differentmathematical definitions.绝对值函数的性质定义图像性质绝对值函数定义为图像呈字形，关于轴对称值域为非负实数，是偶函数，具有非负性|x|=x x=0,-x Vyx0函数图像的变换函数图像的变换是指通过对函数表达式进行修改，从而改变函数的图像形状和位置常见的图像变换包括平移变换、伸缩变换和对称变换图像变换可以帮助我们更好地理解函数的性质和关系，并进行图像绘制和问题求解通过掌握图像变换的规律，我们可以快速绘制出复杂函数的图像，并解决相关的几何问题图像变换是分析函数的重要工具平移变换的规律左右平移1将函数的图像向左平移个单位得到的图像；向右平移fx h fx+h个单位得到的图像hfx-h上下平移2将函数的图像向上平移个单位得到的图像；向下平移fx k fx+k个单位得到的图像kfx-k伸缩变换的规律水平伸缩将函数的图像水平伸长到原来的倍得到的图像；水平缩fx mfx/m短到原来的倍得到的图像1/m fmx垂直伸缩将函数的图像垂直伸长到原来的倍得到的图像；垂直缩短fx nn*fx到原来的倍得到的图像1/n1/n*fx对称变换的规律关于轴对称x1将函数的图像关于轴对称得到的图像fx x-fx关于轴对称y2将函数的图像关于轴对称得到的图像fx yf-x关于原点对称3将函数的图像关于原点对称得到的图像fx-f-x方程与函数的关系方程可以看作是函数在特定值下的表达式例如，方程可以看作是函fx=0数与轴的交点方程的解就是函数图像与轴的交点的横坐标y=fx xx通过函数图像，我们可以直观地了解方程的解的情况函数与方程是紧密联系的，通过函数我们可以解决方程的问题，通过方程我们可以分析函数的性质函数与方程是数学中重要的思想方法一次方程的求解方程形式一次方程的一般形式为ax+b=0a≠0求解方法将方程变形为，即可得到方程的解x=-b/a图像表示一次方程的解对应于线性函数与轴的交点y=ax+b x二次方程的求解方法配方法2将二次方程配成完全平方的形式，然后求解因式分解法1将二次方程分解为两个一次方程的乘积，然后分别求解公式法利用求根公式±x=-b√b²-4ac3直接求解/2a完全平方公式的应用配方法1将二次方程配成完全平方的形式，简化求解过程化简表达式2利用完全平方公式化简复杂的代数表达式证明恒等式3利用完全平方公式证明一些恒等式判别式的使用判别式解的判别对于二次方程，判别式方程有两个不相等的实数根ax²+bx+c=0Δ=b²-4ac•Δ0方程有两个相等的实数根•Δ=0方程没有实数根•Δ0高次方程的求解思路因式分解法1尝试将高次方程分解为低次方程的乘积换元法2通过换元将高次方程转化为低次方程数值解法3利用数值方法近似求解高次方程的解因式分解法方法适用场景将方程左侧分解成几个因式的乘积，使右侧为零这样，原方程当方程容易分解成一次或二次因式的乘积时，因式分解法非常有就转化为几个较低次的方程，分别解这些较低次的方程，得到的效然而，并非所有方程都容易因式分解，因此需要结合其他方解就是原方程的解法换元法解方程核心思想1将复杂的代数式用一个新变量代替，简化方程结构步骤2选择合适的代数式进行替换

1.解出新变量的值

2.将新变量的值代回，求出原变量的值

3.指数方程的求解同底法将方程两边化为同底数的形式，然后比较指数对数法对方程两边取对数，将指数转化为系数换元法将指数式用新变量代替，转化为代数方程对数方程的求解消去对数符号2利用对数与指数的互逆关系，消去对数符号化为同底1尽量将对数化为同底，方便进行运算注意检验求解对数方程后，必须检验解是否满足3真数为正的条件三角方程的求解正弦方程余弦方程正切方程的解为的解为的解为sinx=a x=arcsina+2kπcosx=a x=arccosa+2kπtanx=a x=arctana+kπ或∈或∈∈x=π-arcsina+2kπk Zx=-arccosa+2kπk Zk ZRememberto accountfor periodicsolutions.不等式与函数图像不等式可以看作是函数在特定范围内的表达式例如，不等式可以看fx0作是函数图像位于轴上方的部分通过函数图像，我们可以直观地y=fx x了解不等式的解的情况函数图像可以帮助我们解决不等式的问题，例如求不等式的解集、判断不等式的解是否存在等函数与不等式是紧密联系的一元一次不等式形式求解或将不等式变形为或ax+b0,≥,≤a≠0x-b/a,，即可得到解集≥,≤注意当时，不等号方向需要改变a0一元二次不等式求根1求出对应二次方程的根判别式2判断判别式的符号，确定根的情况画图3根据根的情况画出函数图像解集4根据图像确定不等式的解集分式不等式形式求解注意或将不等式转化为或讨论的符号，确定不等号方向是否fx/gx0,≥,≤fx*gx0,gx，注意需要改变≥,≤gx≠0无理方程的求解移项1将无理式移到一边平方2方程两边同时平方，消去根号解方程3解所得的代数方程检验4检验解是否满足原方程方程组的解法代入消元法加减消元法矩阵法将一个方程中的变量用另一个方程表示，通过加减方程，消去一个变量将方程组表示成矩阵形式，利用矩阵的运代入另一个方程，消去一个变量算求解Equation systemsolving.函数与方程的实际应用建模求解分析将实际问题转化为函数或方程模型利用函数和方程的知识解决实际问题对解进行分析，解释实际意义建立数学模型的方法明确问题准确理解问题的含义和目标确定变量选择合适的变量来描述问题建立关系找出变量之间的关系，建立函数或方程模型求解模型利用数学知识求解模型验证结果将解代入实际问题中进行验证解决实际问题的策略理解问题分析问题1仔细阅读题目，弄清已知条件和所求问分析题目中的数量关系，确定解题思路题2回顾反思解决问题4检查解题过程，反思解题方法，总结经3选择合适的数学方法，解决问题验教训本课程重点内容回顾函数概念定义、定义域、值域、图像常见函数线性、二次、指数、对数、三角函数方程求解一次、二次、高次方程，指数、对数、三角方程实际应用数学建模，解决实际问题。