《有理函数积分zsy》课件

什么是有理函数？定义示例由两个多项式相除得到的函数，其中分子和分母都是多项式有理函数的基本性质有理函数的定义域可以是整个有理函数可以是连续的，也可实数集，也可以是除某些点以以是不连续的，取决于函数的外的实数集，这些点被称为函定义域和函数的表达式数的奇点有理函数积分的基本思路拆分积分将有理函数拆分成多个简单函数分别对每个简单函数进行积分，的和，这些简单函数可以更容易然后将结果加在一起地积分合并将积分结果合并，得到最终的积分结果有理分式的定义定义示例由两个多项式相除得到的表达式，其中分子和分母都是多项式例如，表达式x²+1/x+2是一个有理分式真分式与假分式的区别真分式假分式分子的次数小于分母的次数分子的次数大于或等于分母的次数假分式化为真分式的方法长除法1使用多项式的长除法将假分式化为一个多项式和一个真分式的和分解2对真分式进行部分分式分解，将其拆分成多个简单函数的和积分3对每个简单函数进行积分，然后将结果加在一起多项式的长除法示例步骤1将分子和分母按照降幂排列步骤2用分母的第一项除以分子的第一项，得到商的第一个系数步骤3将商的第一个系数乘以分母，并将结果从分子中减去步骤4将分子中的下一项带下来，重复步骤2-3，直到分子的次数小于分母的次数有理分式的分解定理重一次因式一次因式对于分母中重一次因式ax+bⁿ，分解1对于分母中的一次因式ax+b，分解结果中对应项为A₁/ax+b+A₂/结果中对应项为A/ax+b2ax+b²+...+A/ax+bⁿₙ重二次因式二次因式对于分母中重二次因式ax²+bx+cⁿ4对于分母中不可约二次因式ax²+bx+，分解结果中对应项为A₁x+B₁/3c，分解结果中对应项为Ax+B/ax²+bx+c+A₂x+B₂/ax²+ax²+bx+cbx+c²+...+A x+B/ax²+ₙₙbx+cⁿ部分分式分解的基本步骤步骤1判断分式是否为真分式如果不是，先用长除法将其化为真分式步骤2将分母分解成不可约因式的乘积步骤3根据分解定理，对每个因式写出对应的部分分式步骤4将所有部分分式加起来，并将其与原分式相等步骤5通过比较系数或代入特殊值，求解未知系数分母中有一次因式的情况分解形式1A/ax+b系数确定2通过比较系数或代入特殊值来求解未知系数A一次因式示例1原分式分解形式系数确定分解结果1/x+2A/x+2令x=-2，得到A=11/x+2=1/x+2一次因式示例2原分式12x+1/x-1分解形式2A/x-1系数确定3令x=1，得到A=3分解结果42x+1/x-1=3/x-1分母中有重一次因式的情况1分解形式A₁/ax+b+A₂/ax+b²+...+A/ax+bⁿₙ2系数确定通过比较系数或代入特殊值来求解未知系数A₁,A₂,...,Aₙ重一次因式示例1原分式分解形式系数确定分解结果1/x+1²A/x+1+B/x+1²令x=-1，得到B=1比较1/x+1²=1/x+1²系数得到A=0重一次因式示例2原分式分解形式x²+1/x-1³A/x-1+B/x-1²+C/x-1³系数确定分解结果令x=1，得到C=2比较系数得到A=1，B=2x²+1/x-1³=1/x-1+2/x-1²+2/x-1³分母中有二次因式的情况分解形式1Ax+B/ax²+bx+c系数确定2通过比较系数或代入特殊值来求解未知系数A和B二次因式判别方法判别式Δ=b²-4ac判别结果如果Δ0，则二次因式不可约二次因式示例1原分式分解形式系数确定分解结果1/x²+1Ax+B/x²+1比较系数得到A=0，B=11/x²+1=1/x²+1二次因式示例2原分式2x+1/x²+2x+2分解形式Ax+B/x²+2x+2系数确定比较系数得到A=2，B=-3分解结果2x+1/x²+2x+2=2x-3/x²+2x+2分母中有重二次因式的情况1分解形式A₁x+B₁/ax²+bx+c+A₂x+B₂/ax²+bx+c²+...+A xₙ+B/ax²+bx+cⁿₙ2系数确定通过比较系数或代入特殊值来求解未知系数A₁,B₁,A₂,B₂,...,A,Bₙₙ重二次因式示例1原分式分解形式系数确定分解结果1/x²+1²Ax+B/x²+1+Cx+比较系数得到A=0，B=11/x²+1²=1/x²+1²D/x²+1²，C=0，D=0重二次因式示例2原分式x⁴+1/x²+1³分解形式Ax+B/x²+1+Cx+D/x²+1²+Ex+F/x²+1³系数确定比较系数得到A=0，B=1，C=0，D=0，E=0，F=1分解结果x⁴+1/x²+1³=1/x²+1+1/x²+1³部分分式分解的完整流程步骤11判断分式是否为真分式，如果不是，则用长除法将其化为真分式步骤22将分母分解成不可约因式的乘积步骤33根据分解定理，对每个因式写出对应的部分分式步骤44将所有部分分式加起来，并将其与原分式相等步骤55通过比较系数或代入特殊值，求解未知系数综合例题简单有理函数积分1例题求∫1/x dx的值综合例题详解第一步1步骤1步骤2步骤3判断被积函数是否为有理函数，是判断被积函数是否为真分式，是将分母分解成不可约因式的乘积，x=x综合例题详解第二步1步骤4步骤5根据分解定理，对每个因式写出将所有部分分式加起来，并将其对应的部分分式，A/x与原分式相等，A/x=1/x步骤6通过比较系数或代入特殊值，求解未知系数，A=1综合例题详解第三步1步骤71对每个简单函数进行积分，∫1/x dx=ln|x|+C步骤82将积分结果合并，得到最终的积分结果，∫1/x dx=ln|x|+C综合例题含一次因式2例题求∫2x+1/x-1dx的值综合例题的分解过程2步骤1步骤2步骤3步骤4判断被积函数是否为有理函判断被积函数是否为真分式用长除法将被积函数化为真对真分式进行部分分式分解数，是，否分式，2x+1/x-1=2+，3/x-1=3/x-13/x-1综合例题的积分求解2步骤5对每个简单函数进行积分，∫2dx=2x+C，∫3/x-1dx=3ln|x-1|+C步骤6将积分结果合并，得到最终的积分结果，∫2x+1/x-1dx=2x+3ln|x-1|+C综合例题含重一次因式3例题求∫1/x+1²dx的值综合例题的分解方法3步骤1步骤2步骤3步骤4判断被积函数是否为有理函判断被积函数是否为真分式将分母分解成不可约因式的根据分解定理，对每个因式数，是，是乘积，x+1²=x+1²写出对应的部分分式，A/x+1+B/x+1²综合例题的计算过程3步骤7对每个简单函数进行积分，∫1/x+1²dx=-1/x+1+C综合例题含二次因式4例题求∫2x+1/x²+2x+2dx的值综合例题的关键点分析4步骤1步骤2步骤3判断被积函数是否为有理函数，是判断被积函数是否为真分式，是将分母分解成不可约因式的乘积，x²+2x+2=x+1²+1综合例题的解题技巧4步骤4步骤5步骤6根据分解定理，对每个因式写出对应将所有部分分式加起来，并将其与原通过比较系数或代入特殊值，求解未的部分分式，Ax+B/x²+2x+2分式相等，Ax+B/x²+2x+2=知系数，A=2，B=-32x+1/x²+2x+2步骤7步骤8对每个简单函数进行积分，∫2x-3/x²+2x+2dx=将积分结果合并，得到最终的积分结果，∫2x+1/x²+2xln|x²+2x+2|-3arctanx+1+C+2dx=ln|x²+2x+2|-3arctanx+1+C综合例题含重二次因式5例题求∫x⁴+1/x²+1³dx的值综合例题的分解策略5步骤1步骤2步骤3步骤4判断被积函数是否为有理函判断被积函数是否为真分式将分母分解成不可约因式的根据分解定理，对每个因式数，是，是乘积，x²+1³=x²+1³写出对应的部分分式，Ax+B/x²+1+Cx+D/x²+1²+Ex+F/x²+1³综合例题的详细解答5步骤7对每个简单函数进行积分，∫1/x²+1dx=arctanx+C，∫1/x²+1³dx=1/8arctanx+x/2x²+1+C步骤8将积分结果合并，得到最终的积分结果，∫x⁴+1/x²+1³dx=arctanx+1/8arctanx+x/2x²+1+C常见易错点总结1分式分解时漏掉某些因式，导致结2系数确定时计算错误，导致结果不3积分过程中忽略积分常数，导致结果不完整准确果不完整分式分解时的符号问题错误示例正确示例1/x²-1=A/x-1+B/x+11/x²-1=A/x-1-B/x+1系数确定时的注意事项比较系数代入特殊值将分解后的分式与原分式展开，比较选择一些特殊的值代入分解后的分式相同项的系数，得到关于未知系数的和原分式，得到关于未知系数的方程方程组组积分常数的处理方法步骤11在每个简单函数积分时，都应该加上一个积分常数步骤22将所有简单函数的积分结果合并时，只需要保留一个积分常数题型变式与拓展有理函数积分的应用物理学研究运动、振动、电化学研究化学反应速率、平磁场等物理现象衡常数等化学问题经济学研究经济增长、市场均衡等经济问题实际问题中的应用案例案例1案例2汽车行驶的距离可以用积分来求解电路中电流的变化可以用积分来求解解题方法归纳步骤11判断被积函数是否为有理函数，如果不是，则用长除法将其化为真分式步骤22将分母分解成不可约因式的乘积步骤33根据分解定理，对每个因式写出对应的部分分式步骤44将所有部分分式加起来，并将其与原分式相等步骤55通过比较系数或代入特殊值，求解未知系数步骤66对每个简单函数进行积分步骤77将积分结果合并，得到最终的积分结果解题思路总结步骤11理解有理函数的定义和基本性质步骤22掌握部分分式分解的方法和技巧步骤33熟悉常见积分公式和积分方法常用公式速查典型例题回顾例题1例题2例题3求∫1/x+1dx的值求∫x²+1/x-1dx的值求∫1/x²+1²dx的值重点知识梳理有理函数的定义、性质、积分部分分式分解的步骤、技巧和方法常见情况常用积分公式的应用考试答题技巧步骤1步骤2步骤3步骤4仔细审题，明确题目的要求选择合适的积分方法和技巧规范解题步骤，避免遗漏检查结果，确保答案正确练习题型分类类型1类型2类型3简单有理函数积分含一次因式的有理函数积分含重一次因式的有理函数积分类型4类型5含二次因式的有理函数积分含重二次因式的有理函数积分重点题型解析类型11例如，∫1/x dx类型22例如，∫2x+1/x-1dx类型33例如，∫1/x+1²dx类型44例如，∫2x+1/x²+2x+2dx类型55例如，∫x⁴+1/x²+1³dx难点突破指导难点1分母的分解难点2系数的确定难点3积分结果的合并解题模板总结步骤2步骤1判断被积函数是否为真分式判断被积函数是否为有理函数12步骤37将分母分解成不可约因式的乘积步骤73将积分结果合并步骤4根据分解定理，写出对应的部分分式64步骤6步骤55对每个简单函数进行积分求解未知系数常见陷阱提醒12陷阱1陷阱2漏掉某些因式系数确定错误3陷阱3积分常数处理错误复习要点整理1有理函数的定义、性质、积分方法2部分分式分解的步骤、技巧和常见情况3常用积分公式的应用4常见易错点和解题陷阱知识点串联。