正切定理课件

优秀正切定理课件欢迎来到正切定理的深入学习课程本课件将引导您探索这一重要的数学概念，揭示其在几何学和更广泛领域中的强大应用我们将从基础理论出发，逐步深入到各种实际应用场景，帮助您全面掌握这一数学工具正切定理作为三角学中的关键定理，不仅是数学理论的重要组成部分，也是解决实际问题的有力工具通过本课程的学习，您将获得扎实的理论基础和丰富的实践经验课程目标理解正切定理的概念掌握正切定理的应用12通过深入浅出的讲解和丰富的通过多样化的例题和实际案例图例，帮助学生全面理解正切，使学生能够灵活运用正切定定理的数学本质和几何意义，理解决各类几何问题，并了解掌握其在三角学中的独特地位其在工程、导航、天文等领域和重要作用的广泛应用价值提高解决几何问题的能力3培养学生的几何直觉和数学思维，提升分析问题、构建模型和推导解法的综合能力，为进一步学习高等数学奠定坚实基础正切定理简介重要地位连接作用正切定理是三角学中的关键定理之一，与正弦定理、余弦定理并正切定理巧妙地建立了三角形边长与角度之间的数学关系，填补列为解决三角形问题的三大基本工具它提供了一种强大的方法了其他三角函数定理无法覆盖的特定情况这一定理特别适用于，使我们能够在已知部分边长和角度的情况下，计算三角形的其需要处理三角形内角和边长比例关系的复杂问题他未知元素正切定理的历史古希腊起源1正切定理的雏形最早可以追溯到古希腊数学家的研究当时的学者们在研究天体运动和几何问题时，逐渐发现了三角形边长与角度之间的这一特殊关系，为后来正切定理的正式表述奠定了基础中世纪发展2在中世纪时期，阿拉伯数学家对三角学进行了系统研究，进一步完善了正切定理的表述和证明这一时期的天文观测需求推动了三角学的发展，正切定理在绘制星图和日历计算中发挥了重要作用现代应用3随着导航技术的发展，正切定理在航海和地图测绘中得到广泛应用现代科学技术的进步使正切定理在工程设计、卫星定位等领域展现出新的应用价值，成为解决实际问题的有力工具正切函数回顾几何意义直角三角形中的比值1代数定义2tanθ=sinθ/cosθ单位圆表示3切线长度正切函数是三角学中的基本函数，其定义为直角三角形中对边与邻边的比值对边邻边在单位圆中，正切值可以表示为从圆上tanθ=/一点到轴的切线长度cosθ,sinθy正切函数具有周期性，其周期为在角度为（即°°）处有无穷大的间断点了解正切函数的基本性质，是理解和ππ/2+nπ90+n·180应用正切定理的重要前提正切定理的表述代数表达式等价形式在任意三角形中，如果、正切定理还可以表示为ABC ab a/b、分别表示对应角、、的c A B C+c=tan[A+B+C/2]/对边，则有，这一形a/b-c=tan[A-B-C/2]式在某些特定问题中更为便于应tan[A+B-C/2]/用tan[A-B+C/2]特殊情况当三角形为等边三角形时，正切定理会产生简化形式；当三角形为直角三角形时，正切定理与勾股定理有着特定的联系正切定理的几何意义边角关系计算工具深层联系正切定理揭示了三角形内部角度与边长之作为强大的计算工具，正切定理使我们能正切定理反映了三角形中角度和边长之间间的精确数学关系，提供了一种不同于余够在已知三角形部分元素的情况下，精确存在的深层几何联系，揭示了三角形这一弦定理和正弦定理的计算视角通过正切计算出其他未知量这在实际测量和几何基本几何图形中蕴含的数学美感和和谐关定理，我们可以更直观地理解三角形的几设计中具有重要的实用价值系何结构正切定理的证明（第部分）1出发点从三角形的基本性质出发，我们首先引入辅助线来建立角度ABC和边长之间的关系通过构造适当的几何图形，我们可以将问题转化为三角函数的关系式应用正弦定理在证明过程中，我们需要应用正弦定理作为中介通过正弦定理，我们可以将三角形的边长表示为角度的函数，为后续推导奠定基础三角函数变换利用三角函数的加法定理和二倍角公式，我们可以对表达式进行一系列的代数变换这一步骤需要熟练掌握三角函数的各种恒等式和变换技巧正切定理的证明（第部分）2最终证明关键步骤经过一系列严谨的推导，我们最终得到正切定代数推导证明中的关键在于将三角形边长之比转化为特理的标准形式a/b-c=tan[A+B-在前一部分的基础上，我们继续进行代数推导定角度的正切函数之比通过分子分母同时除，完成了定C/2]/tan[A-B+C/2]通过对三角函数表达式的巧妙变换，逐步简以特定值，可以使表达式逐渐向正切定理的形理的证明化复杂的关系式，向最终结果靠近这一过程式转变体现了数学推理的严谨与美感正切定理的应用场景测量与导航工程设计物理学问题正切定理在测量学和导航技术中有广泛应在建筑和工程设计中，正切定理帮助工程在物理学中，许多涉及力的分解、轨道计用地形测量、定位系统、航海导航等领师计算结构角度、支撑力和稳定性从古算和波动分析的问题都需要应用正切定理域都需要运用正切定理进行距离和角度的代建筑到现代桥梁，正切定理都在其中发它帮助物理学家建立数学模型，描述和精确计算，为人类的探索和出行提供数学挥着重要作用，确保结构的安全和稳定预测自然现象，推动科学的进步支持例题基本应用1已知条件边长厘米，边长厘米，角°a=5b=8C=602问题描述（弧度）π/3在三角形中，已知两边长厘米ABC a=51，厘米，夹角°请求出第b=8C=60三边的长度c求解目标3求边长（边长是角的对边）c c A这是正切定理的基本应用场景，我们需要利用已知的两边长和一个角度，计算出第三边的长度这类问题在实际测量和几何设计中经常遇到，掌握其解法具有重要的实用价值例题解析1应用公式根据正切定理，我们有a/b-c=tan[A+B-C/2]在这个问题中，我们需要首先利用已/tan[A-B+C/2]知条件来计算未知的角度和A B计算内角利用三角形内角和为°的性质，结合余弦定理计算角和180A B通过代入已知的边长和角cosA=b²+c²-a²/2bc度，求得角和角的值A B求解边长将计算得到的角度代入正切定理公式，通过代数运算解出边长c最终得到厘米此解可通过余弦定理验证其正确性c=

7.21例题复杂情况2在这个复杂例题中，我们面对的是一个含有辅助线的三角形问题在三角形中，已知点是边上的一点，是角平分线，已知ABC DBC AD厘米，厘米，角°求和的长度AB=6AC=8A=60BD DC这类问题的特点是需要引入辅助线或辅助点，将复杂问题分解为若干个简单问题，然后综合应用正切定理和其他几何知识求解这种思路在处理高级几何问题时非常有效例题解析2问题分解1首先，我们需要利用角平分线的性质角平分线将对边分成与相邻边成比例的两段即BD:DC=AB:AC应用正切定理2使用正切定理分析三角形和三角形，建立含有和的方程组ABD ACDBD DC代数求解3解方程组得到和的值，厘米，厘米BD DCBD=

2.4DC=

3.2这个例题展示了正切定理在复杂几何问题中的强大应用能力通过合理的问题分解和数学工具的灵活运用，我们能够高效地解决看似复杂的几何问题这种解题思路对于提高学生的几何直觉和数学建模能力有很大帮助正切定理与其他三角函数定理的关系与正弦定理的比较与余弦定理的联系正弦定理关注的是边与对角正弦值余弦定理（a²=b²+c²-的比例关系）侧重于边长与角度余a/sinA=b/sinB2bc·cosA，适用于已知角度和对应弦值的关系，特别适合于已知三边=c/sinC边的情况而正切定理则关注边长求角或已知两边及其夹角求第三边差与角度正切值的关系，两者互为的情况正切定理与余弦定理在某补充，共同构成了三角形求解的基些特殊情况下可以相互转化本工具集综合应用在实际问题解决中，往往需要综合运用这三大定理比如，可以先用余弦定理求出一个角度，再用正弦定理求出一条边长，最后运用正切定理完成最终的计算正切定理在解析几何中的应用坐标平面应用向量方法结合实际应用实例在坐标平面中，三角形的顶点可以用坐标将正切定理与向量方法结合，可以更简洁在计算机图形学中，正切定理结合解析几表示，边长可以通过距离公式计算结合地处理空间几何问题向量提供了描述方何方法被用于图像渲染、模型构建和3D正切定理，我们可以解决许多涉及坐标和向和大小的工具，而正切定理则提供了角视觉效果模拟这种结合为数字世界的视角度的复杂问题，例如判断特定点是否在度和边长之间的关系，两者结合使用能够觉呈现提供了数学基础给定区域内，或计算特定路径的最短距离高效解决诸多几何问题正切定理在立体几何中的扩展三维空间应用球面三角学引入工程实践123在三维空间中，正切定理可以扩展球面三角学是研究球面上三角形的在建筑工程、航空航天等领域，立应用于二面角计算、多面体边角关学科，它与平面三角学有着本质区体几何问题频繁出现正切定理的系分析等问题通过将复杂的立体别在球面三角学中，正切定理有三维扩展为解决这些实际工程问题几何问题分解为平面三角形问题，其特殊形式，被用于大圆弧长度、提供了有力工具，帮助工程师进行结合正切定理进行求解，能够有效球面角度等计算，广泛应用于天文精确计算和结构设计处理诸多空间几何难题学、导航和地图投影常见错误和误区角度单位混淆公式使用不当最常见的错误是在计算过程中混淆弧度错误地应用正切定理公式或将其与正弦1和角度单位正切函数的计算需要明确定理、余弦定理混淆，导致解题思路错2统一的角度单位，否则会导致计算结果误严重错误代数符号错误计算近似误差4在处理三角形的边和角时，未正确对应在数值计算中，由于舍入或近似处理不3边与角的关系，导致推导过程出现逻辑当，导致最终结果出现较大误差错误避免错误的技巧统一角度单位绘制精确图形验证结果合理性在计算过程中始终保持统一的角度单位（解题前先绘制准确的图形，标明已知条件计算完成后，通过三角不等式、角度和为要么全部使用弧度，要么全部使用角度）和待求量，帮助自己直观理解问题，减少°等基本性质验证结果的合理性如180，避免在同一计算中混用不同单位计算概念混淆的可能性图形应尽可能按比例果条件允许，可以尝试用不同方法（如余完成后，根据需要再进行单位转换绘制，以便发现明显的错误弦定理）重新计算，比对结果是否一致练习题1问题描述在三角形中，已知，，°，求角的大小ABC a=7cm b=5cm C=40A已知条件边长，边长，角°a=7cm b=5cm C=40求解目标角的度数A提示可以先利用正切定理求出边长，再利用正弦定理求角c A这道练习题考查了正切定理的基本应用能力以及与其他三角函数定理的结合运用通过这类问题的训练，可以帮助学生熟练掌握正切定理的应用方法，提高解决三角形问题的综合能力在解答过程中，要特别注意角度单位的统一性，避免弧度与角度的混淆同时，也要注意保持适当的计算精度，确保最终结果的准确性练习题讲解1分析问题1本题已知两边和一角，需求另一角可以考虑使用正切定理结合正弦定理或余弦定理求解首先需要确定解题路径是先求边再求角，还是直接通过正切定理导出角c AA应用正切定理2利用正切定理公式，a/b-c=tan[A+B-C/2]/tan[A-B+C/2]代入已知条件由于我们不知道边，可以通过余弦定理先计算c c²=a²+b²-2ab·cosC求解角3A计算得到后，可利用正弦定理，从而得到c≈

4.53cm a/sinA=c/sinC sinA=计算得到角°a·sinC/cA≈

68.5验证结果4可以通过角°°°°°，再利用余弦B=180-A-C=180-

68.5-40=

71.5定理验证边长关系，确认结果的正确性练习题2综合应用题解题关键技巧提示在一个圆内接四边形中，已知圆内接四边形的对角互补（可以考虑将四边形划分为两个三角形，分ABCD，，，°），可借助勾股定理和别计算其面积，也可以利用四边形面积公AB=5cm BC=8cm CD=7cm A+C=B+D=180求四边形的面积正切定理分析四边形的对角线，进而求得式结合三角函数求解DA=6cm ABCD面积练习题讲解2分析性质计算对角线圆内接四边形的一个重要性质是对角互首先计算对角线和的长度利用AC BD补，即°利用这一性1A+C=B+D=180余弦定理在三角形和三角形中ABC ACD质，结合正切定理，我们可以分析四边2应用，可求得对角线的长度AC形的结构验证结果求解面积计算得到四边形的面积约为使用四边形面积公式ABCD

24.5S=4平方厘米可以通过另一种方法，如将1/4·√[a+b+c+d-a+b+c+da-3四边形分割为三角形计算面积和，来验，代入已知的四边边b+c+da+b-c+d]证结果长正切定理的推广广义正切定理适用于更广泛的几何图形1极坐标系推广2在极坐标下的表达形式非欧几何应用3在曲面和非欧空间中的形式高维空间扩展4在高维几何中的应用正切定理的推广形式使其应用范围大大扩展在广义正切定理中，我们不再局限于平面三角形，而是将其扩展到多边形和空间图形中在极坐标系中，正切定理有其特殊的表达形式，便于处理带有角度的极坐标问题在非欧几何中，如黎曼几何和双曲几何，正切定理有着不同的形式这些推广使正切定理成为连接不同几何体系的桥梁，也为现代数学和物理学的发展提供了工具在高维空间中，正切定理的类似形式帮助数学家探索高维几何的性质和规律正切定理在计算机图形学中的应用建模游戏开发虚拟现实3D在三维建模软件中，正切定理被用于计算游戏引擎中的渲染系统大量使用正切定在虚拟现实技术中，正切定理帮助计算头3D模型表面的角度和边长，确保模型的几何理来计算光线角度、视角变换和物体碰撞显与现实世界的角度对应，提供准确的空精确性设计师可以利用基于正切定理的这些计算确保了游戏中角色和场景的自间定位和视觉透视这使得用户在虚拟环算法创建复杂的曲面和立体结构，实现逼然运动，以及光影效果的真实呈现境中能够获得逼真的空间体验和沉浸感真的视觉效果正切定理与测量技术测绘学应用现代测量仪器精度与校准在测绘学中，正切定理是三角测量的基本工现代测量仪器如激光测距仪、接收器等测量仪器的精度校准过程中，正切定理被用GPS具之一测量师使用经纬仪或全站仪测量角，其工作原理与算法都结合了正切定理的应于分析和修正系统误差通过建立数学模型度和某些已知距离，然后利用正切定理计算用这些仪器能够通过测量角度和时间差，，工程师可以提高测量设备的准确性，确保出难以直接测量的距离或高度，比如山脉高准确计算出距离和位置，为各种工程和科学在各种环境条件下获得可靠的测量结果度或宽阔河流的宽度研究提供数据支持小组讨论题目实际问题设计评分标准请小组成员共同设计一个利用正切问题的原创性和实用性（）、30%定理解决的实际问题问题应该来问题描述的清晰度（）、应用20%源于日常生活或工程实践，需要明正切定理的合理性（）、解题25%确给出已知条件和待求解的目标思路的完整性（）每个小组25%设计完成后，请分析问题的求解思将有分钟时间进行展示，之后是5路和应用正切定理的具体步骤分钟的问答环节2讨论指导可以考虑从建筑测量、导航定位、工程设计等方向思考确保问题既有挑战性又具有可解性，避免过于简单或复杂得无法在有限时间内解决的问题鼓励小组成员充分发挥创造力，结合各自专业背景提出独特视角小组讨论成果展示小组城市高楼测高小组桥梁设计挑战小组导航定位系统ABC设计了一个利用正切定理测量城市高楼高探讨了在桥梁设计中利用正切定理计算拱开发了一个基于正切定理的简化定位GPS度的方案通过在不同距离处测量仰角，形结构关键参数的方法通过建立数学模算法模型通过测量与三个已知位置信号结合正切定理计算高度方案考虑了地面型，分析了不同载荷条件下桥梁结构的稳源的角度，运用正切定理确定当前位置不平、视线受阻等实际因素，提供了误差定性，并提出了优化设计的建议演示了算法在复杂地形条件下的适应性和分析和校正方法精度正切定理的数值计算计算器使用数值近似方法误差分析在使用计算器进行正切定理相关计算时，对于复杂的正切定理应用，有时需要使用在应用正切定理进行数值计算时，误差来需要注意角度模式的设置（角度制或弧度数值近似方法，如牛顿迭代法求解非线性源主要包括测量误差、舍入误差和截断误制）现代科学计算器通常提供直接的三方程理解这些方法的原理和局限性，对差通过误差分析和传播规律的研究，可角函数键，但在复杂计算中，合理安排计于处理实际问题中的数值计算至关重要以评估最终结果的可靠性，并采取措施减算顺序可以减少舍入误差，提高精度小误差影响代码示例Python以下是一个使用实现正切定理计算的函数示例该函数接收三角形的三边长度，返回三个内角的值函数内部使用正切定理的变形公式进行计算，并处理了一些边界情况和精度问题Pythonimport mathimportnumpy asnpdef tangent_theorema,b,c:使用正切定理计算三角形的三个内角参数:a,b,c:三角形的三边长度返回:A,B,C:三角形的三个内角（以弧度为单位）#验证三角形不等式if a+b=c ora+c=b orb+c=a:raise ValueError输入的边长不能构成三角形#使用余弦定理计算角度A=math.acosb**2+c**2-a**2/2*b*cB=math.acosa**2+c**2-b**2/2*a*cC=math.acosa**2+b**2-c**2/2*a*breturn A,B,C正切定理在天文学中的应用亿万

462.5太阳距离测量恒星光年距离天文学家利用正切定理测量地球与太阳之正切定理在测定恒星距离中扮演核心角色间的距离，即天文单位通过在不同时间通过测量恒星的视差角（地球绕太阳公测量金星经过太阳盘面的角度变化，结合转时恒星位置的微小变化角度），天文学正切定理计算出太阳系的尺度家可以计算出数万光年内恒星的距离°360天球坐标定位天文学中的赤道坐标系和地平坐标系依赖于角度测量和转换正切定理被用于这些坐标系之间的变换计算，帮助天文学家准确定位天体位置实际案例分析桥梁设计拱桥设计力学分析计算机模拟在拱桥设计中，工程师需要精确计算拱的工程师利用正切定理分析桥梁结构各部分现代桥梁设计软件中内置了基于正切定理形状和支撑角度正切定理帮助确定拱形受力情况，计算剪力和弯矩分布这些计的算法，用于模拟不同载荷和环境条件下曲线上各点的切线角度，确保力的传递路算对于确定材料用量、支撑位置和安全系桥梁的性能这些模拟帮助工程师优化设径最优，使桥梁既美观又稳固这种应用数至关重要，直接关系到桥梁的安全性和计，预测潜在问题，并在实际建造前进行在悬索桥和拱桥设计中尤为重要使用寿命虚拟测试实际案例分析定位GPS三角测量原理1全球定位系统的核心原理基于三角测量，而正切定理在其中起着GPS关键作用接收器通过接收至少四颗卫星的信号，测量信号传播时间差，从而计算出接收器与各卫星之间的距离位置计算2接收器利用已知的卫星位置和测量的距离，通过正切定理的应用GPS建立方程组，求解出接收器的精确位置坐标正切定理帮助处理测量角度和距离之间的关系，提高定位精度误差校正3实际系统中存在各种误差源，如大气延迟、卫星轨道误差等基GPS于正切定理的复杂算法能够分析这些误差，通过差分和实时动态GPS定位技术进行校正，最终实现米级甚至厘米级的定位精度高级应用正切定理与复数复平面表示欧拉公式联系在复平面上，正切函数可以通过复指数通过欧拉公式e^iθ=cosθ+i sinθ函数表示正切定理在复平面上有着优1，正切函数可表示为tanθ=e^iθ-雅的几何解释，能够描述复数的角度和2这一形e^-iθ/ie^iθ+e^-iθ模长之间的关系式将正切定理与复变函数理论联系起来工程应用变换群应用在电气工程中，阻抗计算和波反射系数在变换群理论中，正切定理可用于分析4的推导都涉及复数形式的正切函数这特定变换下的不变量这一应用在量子3些应用展示了正切定理超越基础几何的力学和相对论的数学基础中有重要意义广泛实用性正切定理的可视化动态几何软件如为正切定理的教学和理解提供了强大工具这些软件允许用户创建可交互的几何构造，实时观察变量变化对结GeoGebra果的影响通过拖动三角形的顶点，学生可以直观地看到各个角度和边长如何相互关联，加深对正切定理的理解这种可视化方法特别适合探索正切定理的极限情况和特殊案例例如，当一个角接近度时，正切值趋近无穷大，这种情况在静态图表90中难以表现，但在动态软件中可以清晰展示教师可以设计引导式探索活动，鼓励学生通过亲自操作发现数学规律学生常见疑问正切定理与余弦定理的选择正切定理的记忆方法数值计算精度问题123问题在解三角形问题时，如何选择使问题正切定理的公式较为复杂，有什问题使用正切定理计算时，有时会出用正切定理还是余弦定理？答当已知么好的记忆方法？答可以通过理解定现精度不够的情况，如何处理？答对两边和一角，且需要求不与已知角相对理的几何意义来记忆，也可以将公式分于接近度的角，正切值变化很大，90的边时，正切定理通常比余弦定理更为解为几个部分，如边长比与角度函数比可能导致计算误差此时可以考虑使用便捷而在已知三边求角或已知两边及的对应关系定期练习应用是加深记忆余弦定理或正弦定理替代，或采用高精其夹角求第三边的情况下，余弦定理往的最佳方法度计算工具往更为直接正切定理的历史发展古代起源1正切定理的雏形最早出现在古希腊数学家的著作中欧几里得的《几何原本》虽然没有直接提及正切定理，但包含了许多相关的几何性质在古印度，数学家阿耶波多也发现了类似的三角关系伊斯兰黄金时代2至世纪的伊斯兰数学家大大发展了三角学哈桑伊本海塔姆和纳西尔丁图西等人系统研究913···了三角函数关系，建立了更完整的三角学体系，为正切定理的正式表述奠定了基础欧洲文艺复兴3世纪，欧洲数学家如莱吉奥蒙塔努斯和维埃塔进一步发展了三角学，正式表述了今天我们熟知16的正切定理他们的工作使三角学从几何学中独立出来，成为一门独立的数学分支现代应用4世纪以来，随着微积分和分析学的发展，正切定理被纳入更广泛的数学体系中现代数学家发18现了正切定理与复分析、傅里叶变换等领域的深刻联系，拓展了其应用范围正切定理在其他学科中的应用物理学工程学经济学在光学中，正切定理用于计算光线折射和土木工程师利用正切定理设计稳固的结构在经济建模中，正切函数被用于描述某些反射角度在力学中，它帮助分析物体受电气工程师在电路分析和信号处理中应非线性关系，如边际效用变化率金融分力分解和合成在波动理论中，正切函数用正切函数机械工程中，正切定理帮助析师使用包含正切函数的数学模型预测市描述了波的特定性质量子力学和相对论计算齿轮角度和传动比这些应用使工程场趋势和价格变动这些应用帮助经济学中也可以找到正切定理的应用痕迹结构更安全，设备更高效家更准确地分析复杂的经济现象综合练习题1问题描述相关知识点在△中，已知边长本题综合应用了角平分线定理（ABC a=12cm，，点在边角平分线将对边分成与相邻边成b=8cm c=10cm D上，且是三角形的角平分比例的两段）、正切定理（求解BC AD线求与的长度，以及三角度）、三角形面积公式等多个BD DC角形的面积知识点，需要灵活运用几何性质和代数技巧解题提示可以先利用余弦定理计算三角形的三个内角，然后应用角平分线定理，结合可求解和BD:DC=AB:AC=8:10=4:5BD+DC=BC=c BDDC，最后计算三角形面积综合练习题讲解1计算内角首先利用余弦定理计算三角形的三个内角××ABC cosA=b²+c²-a²/2bc=8²+10²-12²/2810=64+100-，因此°同理可计算°，°144/160=

0.125A=arccos

0.125≈

82.8B≈

41.4C≈

55.8应用角平分线定理根据角平分线定理，有因此，，，其中是一个常数又因为BD:DC=AB:AC=8:10=4:5BD=4k DC=5k kBD+DC=BC=，所以，解得，进而，10cm4k+5k=10k=10/9BD=40/9≈

4.44cm DC=50/9≈

5.56cm计算三角形面积三角形面积可用海伦公式计算，其中代入得S=√[pp-ap-bp-c]p=a+b+c/2=12+8+10/2=15S=√[1515-×××平方厘米1215-815-10]=√

[15375]=√

[1575]≈

39.7验证结果我们可以通过其他方法验证面积，如用正弦定理计算高度，再用×底×高公式计算面积两种方法应得到相同结果，验证我S=1/2们的计算无误。