《高等数学基础理论》课件

高等数学基础理论欢迎来到高等数学基础理论课程本课程将系统介绍高等数学的核心概念、基本原理和应用方法，帮助学生建立扎实的数学基础，为后续专业课程的学习打下坚实基础通过本课程的学习，您将掌握微积分的精髓，提升数学思维能力，并能够应用所学知识解决实际问题课程概述1课程目标2主要内容培养学生的数学思维能力和抽本课程主要包括函数与极限、象思维能力，使学生掌握高等导数与微分、不定积分、定积数学的基本理论、计算方法和分以及多元函数微积分五大部应用技巧通过系统学习，学分每个部分都包含基本概念生将能够运用数学工具分析和、计算方法、理论证明和应用解决实际问题，为后续专业课实例，帮助学生全面理解高等程奠定基础数学的核心内容3学习方法建议学生注重理论与实践相结合，多做练习，培养数学直觉课前预习、课堂专注、课后及时复习是学好高等数学的关键同时，要善于提问和思考，主动探索数学概念背后的逻辑关系第一章函数与极限函数基础首先介绍函数的定义、表示方法和基本特性，建立函数的基本概念框架学习各类初等函数及其性质，为后续内容打下基础极限理论深入研究数列极限和函数极限的概念、性质及计算方法掌握极限运算法则，理解无穷小与无穷大的关系连续性最后学习函数的连续性概念，分析间断点类型，研究连续函数的重要性质，为导数概念的引入做准备函数的概念

1.1定义特性函数是指在定义域D内，对于任意函数的基本特性包括定义域、值域一个自变量x，都有唯一确定的值、单调性、奇偶性、周期性等这y与之对应，记为y=fx这种对些特性反映了函数的基本性质和变应关系可以用表达式、图像或表格化规律，是分析函数行为的重要依等方式表示函数的本质是变量之据通过特性分析，可以更全面地间的依赖关系，是描述客观世界变理解函数的本质化规律的数学工具常见函数类型根据解析式的不同，函数可分为代数函数和超越函数代数函数包括多项式函数、有理函数、幂函数等；超越函数包括指数函数、对数函数、三角函数等不同类型的函数具有不同的性质和应用场景函数的表示方法

1.2解析法图像法表格法解析法是使用数学公式或表达式直接表图像法是通过函数图像直观地表示函数表格法是通过列表的形式展示自变量和示函数关系的方法例如，y=2x+3表示关系的方法在直角坐标系中，函数图因变量对应关系的方法对于复杂函数一次函数，y=sinx表示正弦函数解像是所有满足函数关系的点x,y的集合或无法用简单表达式表示的函数，表格析法能够精确描述函数关系，便于进行图像法能够直观展示函数的整体性质法是一种有效的表示方式在实际应用数学运算和性质分析通过表达式，我，如单调性、极值点、对称性等，有助中，如数据分析、实验结果处理等，经们可以计算函数在任何点的函数值，并于我们从视觉上理解函数的行为常使用表格法描述函数关系进行后续的微积分运算初等函数

1.3幂函数1幂函数的一般形式为，其中为常数当为正整数时，函数y=x^n nn在全实数域上有定义；当为负整数时，函数在去除原点的实数域上n有定义；当为分数时，需要考虑分母为偶数的情况，此时自变量必n须为非负数幂函数的图像形状和性质随着指数的变化而变化n指数函数2指数函数的一般形式为，其中为正常数且当时，指y=a^x aa≠1a1数函数单调递增；当0对数函数3对数函数的一般形式为，是指数函数的反函数y=log_ax y=a^x对数函数的定义域为，值域为当时，对数函数0,+∞-∞,+∞a1单调递增；当0三角函数

1.4余弦函数余弦函数是周期为的偶函y=cosx2π数，定义域为，值域为其图R[-1,1]2像与正弦函数相似，但向左平移了正弦函数π/2个单位在处取得最大值，在x=2nπ1正弦函数是周期为的奇函y=sinx2π处取得最小值x=π+2nπ-11数，定义域为，值域为其图R[-1,1]像呈波浪状，在处取得最x=π/2+2nπ正切函数大值，在处取得最小值1x=3π/2+2nπ正切函数是周期为的奇函数y=tanxπ-1，定义域为，值域为其图x≠π/2+nπR3像在处有垂直渐近线，反映x=π/2+nπ了除数趋近于零时商趋向无穷的性质反三角函数

1.5反正弦函数反余弦函数反正切函数反正弦函数是正弦函数在适反余弦函数是余弦函数在适反正切函数是正切函数的反y=arcsinx y=arccosx y=arctanx当区间上的反函数其定义域为，当区间上的反函数其定义域为，函数其定义域为，值域为[-1,1][-1,1]R-π/2,π/2值域为[-π/2,π/2]反正弦函数是严格值域为[0,π]反余弦函数是严格单调递反正切函数是严格单调递增的奇函数，单调递增的奇函数，在定义域内连续可导减的函数，在定义域内连续可导当x=0在整个定义域内连续可导当x趋于正无当时，；当时，时，；当时，穷时，趋于；当趋于负无x=0arcsinx=0x=1arccosx=π/2x=1arctanxπ/2x；当时，；当时，穷时，趋于arcsinx=π/2x=-1arccosx=0x=-1arccosx=πarctanx-π/2arcsinx=-π/2复合函数

1.6应用实例1解决实际问题求导法则2链式法则的应用基本性质3连续性、可导性的传递构造方法4内外函数的组合定义5函数套函数的结构复合函数是指由两个或多个函数通过函数复合运算而成的新函数设函数y=fu，u=gx，则由这两个函数构成的复合函数为y=f[gx]，记为y=f∘g复合函数的定义域是gx的定义域中使得gx落在fu定义域内的所有x值构成的集合复合函数的性质研究是高等数学中的重要内容，特别是在连续性、可导性和可积性的讨论中起着关键作用复合函数的求导需要应用链式法则，即f∘gx=f[gx]·gx，这是微积分中的基本工具之一反函数

1.7应用价值1解决实际问题图像特点2关于y=x对称求导关系3导数的倒数存在条件4原函数严格单调基本定义5对应关系的逆转反函数是指原函数的定义域与值域互换，自变量与因变量互换后得到的新函数设y=fx是一个函数，如果存在函数g，使得g[fx]=x（对任意x∈D_f）且f[gy]=y（对任意y∈R_f），则称g是f的反函数，记为f^-1反函数存在的充分必要条件是原函数严格单调（单射）反函数与原函数的图像关于直线y=x对称在导数理论中，如果fx在点x_0处可导且fx_0≠0，则其反函数f^-1y在点y_0=fx_0处也可导，且[f^-1]y_0=1/fx_0极限的概念

1.8数列极限是指，对于数列，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正整数，当时，都有，则称{a_n}AεN nN|a_n-A|ε常数是数列的极限，记作或A{a_n}limn→∞a_n=A a_n→An→∞函数极限是指，对于函数，如果存在常数，使得对于任意给定的正数，总存在正数，当时，都有，fx Aεδ0|x-x_0|δ|fx-A|ε则称常数是函数当时的极限，记作函数极限还包括时的极限，其定义方式类似A fx x→x_0limx→x_0fx=A x→∞极限的性质

1.91唯一性2有界性如果极限存在，则极限唯一这意如果极限存在，则数列或函数在趋味着一个数列或函数不可能同时趋近极限的过程中是有界的具体来近于两个不同的值唯一性是极限说，存在某个正数M和正整数N，最基本的性质，它保证了极限值的使得当nN时，|a_n|≤M；或者确定性在数学分析中，通过反证存在某个正数M和δ0，使得当法可以证明这一性质假设存在两0|x-x_0|δ时，|fx|≤M这个不同的极限值，然后导出矛盾一性质在证明中经常被用来排除发散的情况3保号性如果存在某个N，当nN时，a_n都大于（或小于）零，且limn→∞a_n=A，则A≥0（或A≤0）类似地，如果存在某个δ0，当0|x-x_0|δ时，fx都大于（或小于）零，且limx→x_0fx=A，则A≥0（或A≤0）这一性质反映了极限过程中的连续性极限的运算法则

1.10法则名称公式表达适用条件和的极限lim[fx+gx]=lim两个极限都存在fx+lim gx差的极限lim[fx-gx]=lim fx-两个极限都存在lim gx积的极限lim[fx·gx]=lim两个极限都存在fx·lim gx商的极限lim[fx/gx]=lim两个极限都存在且lim gx≠0fx/lim gx复合函数极限lim f[gx]=f[lim gx]内外极限都存在且f在limgx处连续极限的四则运算法则是计算极限的基础工具当计算复杂函数的极限时，通常的策略是将其分解为更简单的部分，分别求极限，然后应用运算法则合并结果需要注意的是，当遇到∞-∞、0/

0、∞/∞等未定式时，直接应用运算法则可能导致错误，需要使用等价无穷小替换、洛必达法则等技巧进行处理复合函数的极限需要注意连续性条件如果内层函数gx的极限存在，且外层函数f在该点连续，则复合函数的极限等于极限的复合否则，需要回到极限的定义或使用其他方法求解无穷小与无穷大

1.11无穷小的定义无穷大的定义无穷小的比较如果函数当（或）时的如果函数当（或）时，设和是当（或）时fx x→x_0x→∞fx x→x_0x→∞αxβx x→x_0x→∞极限为零，则称为当（或对于任意给定的正数，总存在正数（的无穷小量，且，如果fx x→x_0Mδβx≠0）时的无穷小量无穷小量是变量或正数），使得当（或，则称是比x→∞X0|x-x_0|δlim[αx/βx]=0αxβx，而不是常数例如，当x→0时，x、|x|X）时，都有|fx|M，则称fx为高阶的无穷小量；如果、都是无穷小量无穷小量的当（或）时的无穷大量例，则称是比x²sinx x→x_0x→∞lim[αx/βx]=∞αxβx特点是其绝对值可以小于任何预先给定如，当x→0时，1/x是无穷大量；当低阶的无穷小量；如果的正数x→∞时，x²是无穷大量lim[αx/βx]=c≠0，则称αx与βx是同阶无穷小量；如果，则称与是lim[αx/βx]=1αxβx等价无穷小量，记作αx~βx极限存在的充分条件

1.12夹逼定理单调有界准则如果存在函数gx和hx，使得在单调有界数列必有极限具体来说，如x_0的某去心邻域内有gx≤fx≤hx果数列{a_n}单调递增且有上界，则，且{a_n}的极限存在，且等于数列的上确界；如果数列单调递减且有下界limx→x_0gx=limx→x_0hx{a_n}=A，则limx→x_0fx=A这一定，则{a_n}的极限存在，且等于数列的理也适用于数列极限和x→∞的情况下确界单调有界准则是证明数列极限夹逼定理提供了一种间接求极限的方法存在的强有力工具，在理论分析和构造，特别适用于那些难以直接计算的复杂证明中经常使用表达式柯西收敛准则数列{a_n}收敛的充要条件是对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m,nN时，都有|a_m-a_n|ε这一准则不依赖于极限值本身，因此特别适用于证明极限存在而不需要知道极限具体值的情况柯西收敛准则反映了数列收敛的本质特征项与项之间的差异最终变得任意小两个重要极限

1.131e第一重要极限第二重要极限limx→0sin x/x=1，这个极限表明当x趋近于limn→∞1+1/n^n=e，这个极限定义了自然底0时，sin x与x是等价无穷小量数e，约等于

2.71828∞推广形式limx→∞1+1/x^x=e，limx→01+x^1/x=e，这些都是第二重要极限的等价形式这两个重要极限在微积分中具有基础性地位，它们的应用非常广泛第一重要极限在三角函数的导数计算、泰勒展开等方面起着关键作用它可以推广到limx→0tan x/x=1和limx→0arcsin x/x=1等形式第二重要极限定义了自然对数的底数e，这是一个无理数，在微积分、概率论、金融数学等众多领域都有重要应用它可以推广到limx→0e^x-1/x=1和limx→∞x^1/x=1等重要结果掌握这两个极限及其变形是理解和应用高等数学的关键函数的连续性

1.14函数连续的定义如果函数fx在点x_0的某个邻域内有定义，且limx→x_0fx=fx_0，则称函数fx在点x_0处连续这意味着函数值fx当x→x_0时的极限等于函数在处的值x_0函数连续的充要条件函数fx在点x_0处连续的充要条件是limΔx→0[fx_0+Δx-fx_0]=0，或者等价地，limΔx→0Δy=0，其中Δy=fx_0+Δx-是函数的增量fx_0间断点类型函数的间断点可分为第一类间断点和第二类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限都存在的间断点，可进一步分为可去间断点（左右极限相等但不等于函数值或函数在该点无定义）和跳跃间断点（左右极限存在但不相等）第二类间断点是指函数在该点至少有一侧极限不存在的间断点，如无穷间断点和振荡间断点连续函数的性质

1.15最大值最小值定理有界性定理1在闭区间上连续的函数在该区间上必能取得最大在闭区间上连续的函数在该区间上有界2值和最小值零点定理介值定理4若函数在闭区间上连续，且两端点函数值异号，在闭区间上连续的函数能取得该区间上任何两个3则区间内至少存在一点使函数值为零函数值之间的所有值连续函数的性质在数学分析和应用数学中具有重要地位有界性定理表明，闭区间上的连续函数不会无限增大或无限减小最大值最小值定理保证了在闭区间上连续函数必然存在全局最大值和最小值，这在优化问题中具有重要应用介值定理是连续性的本质体现，它保证了连续函数的图像是连在一起的，不会有跳跃这一定理的重要推论是零点定理，它保证了满足条件的函数必然有零点，在方程求解和证明存在性问题时有广泛应用这些性质共同构成了连续函数理论的基础，为后续的微积分理论提供了支撑第二章导数与微分导数基础本章首先介绍导数的概念、几何意义和物理意义，建立对导数的直观理解随后学习导数的计算方法，包括基本导数公式和求导法则，掌握导数计算的基本技能高阶导数与特殊函数求导进一步学习高阶导数的概念和计算方法，以及隐函数、参数方程的求导技巧，拓展导数应用的范围和深度微分概念与应用引入微分的概念及其几何意义，学习微分的基本公式和运算法则，掌握微分在近似计算中的应用方法导数应用与中值定理最后探讨导数在函数单调性、极值、最值问题中的应用，学习罗尔定理、拉格朗日中值定理等重要理论，以及洛必达法则、泰勒公式等高级工具导数的概念

2.1定义几何意义物理意义函数y=fx在点x_0处的导数定义为导数的几何意义是函数图像在该点处的导数在物理学中有丰富的应用例如，fx_0=limΔx→0[fx_0+Δx-切线斜率设函数y=fx在点位移对时间的导数是速度，速度对时间fx_0]/Δx，如果这个极限存在导数Px_0,fx_0处可导，则其导数的导数是加速度这种对物理量变化率表示函数在该点的变化率，是函数图像fx_0就是函数图像在点P处切线的斜的描述使得导数成为研究自然现象的重在该点切线的斜率导数的存在意味着率，切线方程为y-fx_0=fx_0x-要工具在经济学中，边际成本、边际函数在该点是可导的，这是一种比连续x_0导数的正负决定了函数在该点的收益等概念也是基于导数定义的实际性更强的性质可导必连续，但连续不增减性，导数为零的点可能是函数的极上，任何研究变化率的领域都离不开导一定可导值点数导数的计算

2.2函数类型导数公式适用条件常数函数C=0C为常数幂函数x^n=nx^n-1n为实数指数函数a^x=a^x·ln a，特别地，e^x=e^x a0且a≠1对数函数log_a x=1/x·ln a，特别地，ln x=1/x a0且a≠1，x0三角函数sin x=cos x，cos x=-sin x，tan x x在定义域内=sec^2x反三角函数arcsin x=1/√1-x^2，arccos x=-x在定义域内1/√1-x^2，arctan x=1/1+x^2导数的四则运算法则包括u±v=u±v，uv=uv+uv，u/v=uv-uv/v^2这些法则使我们能够将复杂函数分解为基本函数，然后应用链式法则f[gx]=f[gx]·gx进行求导在实际应用中，往往需要综合运用这些公式和法则例如，求y=x·sin x的导数，可以应用乘法法则得到y=x·sin x+x·sin x=x·cos x+1·sin x=x·cos x+sin x熟练掌握导数计算是解决微积分问题的基础高阶导数

2.3定义莱布尼茨公式求解技巧函数fx的n阶导数是对于乘积函数uv^n计算高阶导数时，可以指对fx求n次导数的，可以使用莱布尼茨公寻找规律或建立递推关结果，记作式系例如，对于f^nx uv^n=y=e^x例如，二阶导数，有；对于fx∑k=0to y^n=e^x是一阶导数的导数，有fx nCn,ku^kv^n-y=sin x，表示函数的加速度，k，其中Cn,k是二y^n=sinx+nπ/2描述曲率变化高阶导项式系数这个公式是对于复杂函数，可以通数在泰勒展开、微分方二项式定理在导数运算过泰勒展开或生成函数程等领域有重要应用中的体现，大大简化了等方法求解，有时也可复杂函数的高阶导数计以利用微分方程简化计算算过程隐函数求导

2.41定义2计算方法隐函数是指由方程所确定对方程两边关于求导，Fx,y=0Fx,y=0x的函数，其中不能显式地表得到，解得y=fx yF_x+F_y·y=0y=-示为的函数隐函数求导就是求这这里应用了复合函数求x F_x/F_y种函数的导数根据隐函数存在定导法则，将y视为x的函数计算时理，如果在点的需要注意，所有含的项都要考虑乘Fx,y x_0,y_0y某邻域内具有连续偏导数，且以y例如，d/dxy^2=2y·y，F_yx_0,y_0≠0，则方程这与直接对自变量求导不同在该点附近唯一确定一个Fx,y=0隐函数，且该函数可导y=fx3实例应用例如，对方程求，可得，解得再如，对方程x^2+y^2=1y2x+2y·y=0y=-x/y求，可得，解得x^3+y^3=3xy y3x^2+3y^2·y=3y+3x·y y=y-x^2/y^2-x隐函数求导在曲线切线、法线方程以及最优化问题中有广泛应用参数方程求导

2.5参数方程的概念导数的计算方法高阶导数的求法参数方程是用参数t表示的方程组x=xt对于由参数方程x=xt，y=yt给出的曲对于参数方程的二阶导数，可以使用公式，，它确定了平面上的一条曲线线，在处的切线斜率（即导数）可y=yt t=t_0d^2y/dx^2=d/dxdy/dx=d/dtdy/参数方程适合描述某些复杂曲线，如圆、以表示为dy/dx=dy/dt/dx/dt，条件dx/dx/dt展开后得到椭圆、摆线等例如，圆的参数方程可以是dx/dt≠0这一结果是由链式法则推导d^2y/dx^2=[yt·xt-表示为，，其中是参出的计算时，先分别求出和关于的，其中撇号表示x=r·cos ty=r·sin tt x y tyt·xt]/[xt]^3数，代表角度导数，然后求商即可得到曲线在对应点的对t的导数这一方法可以推广到更高阶的导数导数计算微分的概念

2.6定义几何意义函数在点处的微分定义为微分的几何意义是曲线在点y=fx x dy，其中是自变量的增处的切线上的纵坐标的增量dy=fxdx dx xx,fx量微分是因变量的增量当自变量从增加到时，函数dy y xx+dxΔy=fx+dx-fx的线性主部，当dx图像上对应点的纵坐标从fx变为很小时，dy近似等于Δy如果函数fx+dx，增量为Δy=fx+dx-fx在某点可导，则函数在该点可微；反而微分dy=fxdx则是切线上的纵之，函数在某点可微，则函数在该点坐标的增量当dx很小时，Δy≈dy，可导即可微与可导是等价的即实际增量近似等于切线上的增量物理意义微分在物理学中表示物理量的微小变化例如，位移的微分表示瞬时速度与时间微元的乘积，即微分方程广泛应用于描述自然现象的变化规律，如牛ds=v·dt顿运动定律、热传导方程等微分思想是现代科学的基础之一，它使我们能够用数学语言精确描述连续变化的过程微分的基本公式和运算法则

2.7函数微分公式常数函数y=C dy=0幂函数y=x^n dy=nx^n-1dx指数函数y=a^xdy=a^x·ln a·dx，特别地，de^x=e^x·dx对数函数y=log_a xdy=1/x·ln a·dx，特别地，dln x=1/x·dx三角函数y=sin xdy=cos x·dx三角函数y=cos xdy=-sin x·dx三角函数y=tan xdy=sec^2x·dx反三角函数y=arcsin xdy=1/√1-x^2·dx反三角函数y=arccos xdy=-1/√1-x^2·dx反三角函数y=arctan xdy=1/1+x^2·dx微分的四则运算法则与导数的运算法则类似du±v=du±dv，duv=u·dv+v·du，du/v=v·du-u·dv/v^2复合函数的微分遵循链式法则如果y=fu，u=gx，则dy=fu·du=fgx·gx·dx高阶微分是对微分进行多次运算的结果例如，二阶微分d^2y是对一阶微分dy进行微分运算的结果在直角坐标系中，如果y=fx，则d^2y=fxdx^2，这里假设dx是常量高阶微分在泰勒公式和微分方程中有重要应用微分在近似计算中的应用

2.8线性近似误差估计实际应用函数y=fx在点x_0附使用微分进行近似计算微分在工程、物理、经近的线性近似为时，误差Δy-dy的绝对济等领域的近似计算中y≈fx_0+fx_0x-值近似等于|fξx-有广泛应用例如，计，其中，其中是算可以利用x_0x_0^2/2|ξ√17就是与之间的某个值fx_0x-x_0x_0x√17≈√16+1/2√16·1=微分dy这种近似基于这一结果来自拉格朗4+1/8=

4.125，这比直函数在局部区域可以用日余项的估计通过分接计算更简便又如，其切线代替的思想，适析误差的大小，可以判计算小角度的正弦值可用于x与x_0足够接近断近似计算的精度，并以利用sin x≈x（弧度的情况线性近似也称在必要时采用更高阶的制），这在很多物理问为一阶泰勒近似，是泰近似题中都很有用勒展开的特例导数的应用单调性与极值

2.9函数的单调性极值点的必要条件极值点的充分条件设函数在区间上可导，如果对任意如果函数在点处可导并且取得极如果函数在点处可导且fx Ifx x_0fx x_0∈，都有，则函数在该区间上值，则这一条件是函数取得，并且在的某个去心邻域x Ifx0fx_0=0fx_0=0x_0严格单调递增；如果对任意x∈I，都有极值的必要条件，但不是充分条件满内，当x0，当xx_0时，fx0，则函，则函数在该区间上严格单调递足的点称为函数的驻点或临界数在点处取得极大值；如果在的fx0fx_0=0x_0x_0减这一结论是函数单调性的必要充分点，它可能是极大值点、极小值点，也某个去心邻域内，当xx_0时，fx0条件，它将函数的单调性与导数的符号可能都不是（如拐点）导数为零但不，则函数在点x_0处取得极小值这一直接联系起来在实际应用中，通常通是极值点的典型例子是函数y=x^3在点条件通过分析导数符号的变化来判断极过求解fx=0和分析fx的符号来确定x=0处值类型函数的单调区间导数的应用最值问题

2.10闭区间上的最值求函数fx在闭区间[a,b]上的最大值和最小值的步骤首先求出函数的所有驻点，即满足fx=0的点；然后计算函数在这些驻点和区间端点a、b处的函数值；最后，这些函数值中的最大值就是函数在该区间上的最大值，最小值就是函数在该区间上的最小值应用题解法建立函数解决最值应用问题的第一步是建立目标函数这通常需要将问题中的条件和约束关系转化为数学表达式例如，在求解最大面积问题时，需要建立面积与变量之间的函数关系；在求解最短距离问题时，需要建立距离与变量之间的函数关系应用题解法确定定义域确定目标函数的定义域是解决最值问题的关键步骤定义域通常由问题的实际背景和约束条件决定例如，在几何问题中，长度和面积通常是非负的；在经济问题中，产量和成本通常有现实意义的上下限正确确定定义域有助于避免得到无实际意义的解应用题解法求解最值在确定目标函数和定义域后，可以应用导数方法求解最值如果定义域是闭区间，则应用闭区间最值方法；如果定义域是开区间或半开半闭区间，则需要结合函数的渐近行为分析最后，将得到的数学解释回原问题的实际背景，给出最终答案中值定理

2.11罗尔定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=0几何上，这意味着如果曲线的两个端点高度相同，则曲线上至少有一点的切线平行于轴x拉格朗日中值定理如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=[fb-fa]/b-a几何上，这意味着在曲线上至少存在一点，使得该点的切线平行于连接曲线两端点的割线柯西中值定理如果函数fx和gx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且对任意x∈a,b，gx≠0，并且ga≠gb，则至少存在一点ξ∈a,b，使得[fb-fa]/[gb-ga]=fξ/gξ柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广形式洛必达法则

2.120/0/∞∞∞0/0型未定式∞/∞型未定式连续应用如果函数fx和gx在点x_0处的极限都为0，如果函数fx和gx在点x_0处的极限都为∞，如果应用洛必达法则后得到的极限仍然是未定即limx→x_0fx=limx→x_0gx=0，即limx→x_0fx=limx→x_0gx=∞，式，可以继续应用洛必达法则，直到得到确定且fx和gx在点x_0的某去心邻域内可导，且fx和gx在点x_0的某去心邻域内可导，的极限值例如，limx→0sin x-x/x^3可gx≠0，并且limx→x_0fx/gx存在（gx≠0，并且limx→x_0fx/gx存在（以连续应用洛必达法则，得到limx→0cos或等于∞），则或等于∞），则x-1/3x^2=limx→0-sinlimx→x_0fx/gx=limx→x_0fx/g limx→x_0fx/gx=limx→x_0fx/g x/6x=limx→0-cos x/6=-1/6xx洛必达法则是计算某些未定式类型极限的有力工具除了0/0和∞/∞型外，其他类型的未定式如0·∞、∞-∞、0^

0、∞^

0、1^∞等，通常可以通过适当变形转化为0/0或∞/∞型，然后应用洛必达法则在应用洛必达法则时需要注意几点首先，必须验证极限符合未定式的形式；其次，要确保函数在考虑的区间内满足可导条件；最后，洛必达法则不一定是求极限的最佳方法，有时使用等价无穷小替换、泰勒展开等方法可能更简便正确选择和应用求极限的方法需要综合考虑具体情况泰勒公式

2.13泰勒展开函数在点处的阶泰勒展开式为fx x_0n fx=fx_0+fx_0x-x_0+fx_0x-x_0^2/2!+...+，其中是阶泰勒余项，表示展开式与原函数之间的误差f^nx_0x-x_0^n/n!+R_nx R_nx n麦克劳林展开当时，泰勒展开式称为麦克劳林展开式x_0=0fx=f0+f0x+f0x^2/2!+...+f^n0x^n/n!+常见函数的麦克劳林展开式包括R_nx e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+...,sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-...,cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-...泰勒余项拉格朗日余项形式，其中介于和之间佩亚诺余项形式R_nx=f^n+1ξx-x_0^n+1/n+1!ξx_0x，表示当时，比高阶的无穷小泰勒余项用于估计展开式的精度R_nx=ox-x_0^n x→x_0R_nx x-x_0^n，对于确定使用多少项才能达到所需精度很有帮助第三章不定积分积分方法深入学习换元积分法和分部积分法两种主要2的不定积分计算方法掌握第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（三角代换法）概念基础的应用技巧，以及分部积分法的使用条件和本章首先介绍原函数与不定积分的基本概念计算步骤，建立微积分基本定理的理论基础学习不1定积分的性质和基本积分公式，为后续计算特殊函数积分技巧的学习打下基础研究有理函数和三角函数的积分方法学习有理函数的分解技巧，掌握三角函数的积分3公式和常见类型的处理方法，拓展不定积分的应用范围原函数与不定积分的概念

3.1原函数的定义不定积分的定义如果在区间上，函数的导数等于函数在区间上的所有原函数的全I Fxfx I，即，则称为体称为在区间上的不定积分，记fx Fx=fx Fxfx fxI在区间I上的一个原函数例如，作∫fxdx=Fx+C，其中Fx=fx是的一个原函数，，是任意常数，称为积分常数不定Fx=x^2/2fx=x C因为dx^2/2/dx=x需要注意的是积分与导数互为逆运算，即，如果Fx是fx的一个原函数，那么d[∫fxdx]/dx=fx，Fx+C（其中C是任意常数）也是fx∫[Fx]dx=Fx+C不定积分的几何的原函数意义是函数图像与x轴围成的区域的面积（带常数项）不定积分的性质不定积分的基本性质包括线性性质∫[afx+bgx]dx=a∫fxdx+b∫gxdx，其中a、b为常数；换元性质∫f[gx]gxdx=∫fudu|u=gx这些性质是不定积分计算的基础，使得复杂函数的积分可以分解为简单函数积分的组合基本积分公式

3.2函数类型积分公式条件常数函数∫Cdx=Cx+C C为常数幂函数∫x^ndx=x^n+1/n+1+C n≠-1幂函数特例∫1/xdx=ln|x|+C x≠0指数函数∫a^xdx=a^x/ln a+C，特别地，∫e^xdx=e^x+C a0且a≠1对数函数∫ln xdx=xln x-x+C x0三角函数∫sin xdx=-cos x+C，∫cos xdx=sin x+C三角函数∫tan xdx=-ln|cos x|+C，∫cot xdx=ln|sin x|+C x≠kπ或x≠kπ/2三角函数∫sec^2xdx=tan x+C，∫csc^2xdx=-cot x+C x≠kπ/2或x≠kπ反三角函数∫1/√1-x^2dx=arcsin x+C|x|1反三角函数∫1/1+x^2dx=arctan x+C这些基本积分公式是不定积分计算的基础，通过适当的代换和变形，许多复杂函数的积分都可以转化为这些基本积分的组合例如，∫sin^2xdx可以通过三角恒等式转化为∫1-cos2x/2dx=x/2-sin2x/4+C在实际应用中，熟练掌握这些基本积分公式并灵活运用是计算不定积分的关键同时，了解这些公式背后的推导过程也有助于理解不定积分的本质和应用例如，∫1/xdx=ln|x|+C这一公式反映了对数函数是幂函数x^-1的原函数这一深刻联系换元积分法

3.3第一类换元法第二类换元法第一类换元法又称为凑微分法，其基本思想是将被积函数fx写第二类换元法是通过引入新的变量代替原变量进行积分常见的成某个函数的导数与某个函数的乘积形式，即代换包括三角代换（如处理含、、gx hgx√a^2-x^2√a^2+x^2，然后利用复合函数的积分公式的积分）；倒代换；幂函数代换等fx=gx·hgx√x^2-a^2x=1/t x=t^n进行计算例如，计算例如，计算时，可以令，则∫hgxgxdx=∫hudu|u=gx∫dx/√4-x^2x=2sin tdx=2cos时，可以令，则，原积分，，原积分化为∫x^2+1^5·2xdx u=x^2+1du=2xdx tdt√4-x^2=√4-4sin^2t=2cos t∫2cos化为∫u^5du=u^6/6+C=x^2+1^6/6+C t/2cos tdt=∫dt=t+C=arcsinx/2+C分部积分法

3.4公式应用循环使用分部积分法基于公式分部积分法适用于被积函有时需要多次应用分部积∫uxvxdx=uxvx-数是两个函数乘积的情况分法，甚至会形成循环∫uxvxdx，其中ux，特别是当其中一个函数例如，计算∫e^xsinxdx时和vx是两个可导函数求导后变得更简单，而另，第一次分部积分后得到这一公式源自乘积函数的一个函数积分后不会变得e^xcosx-∫e^xcosxdx；导数公式uv=uv+uv太复杂时常见的应用类第二次分部积分计算，通过对等式两边积分并型包括∫x^nsinxdx，∫e^xcosxdx得到移项得到分部积分法本∫x^ncosxdx，e^xsinx-∫e^xsinxdx，质上是将原积分转化为可∫x^ne^xdx，∫lnxdx，此时出现了与原积分相同能更简单的另一个积分∫arctanxdx等选择哪部的形式通过代数运算，分作为ux，哪部分作为可以得到是应用分部积分法的vx∫e^xsinxdx=e^xsinx-关键e^xcosx/2+C有理函数的积分

3.51有理函数的概念2部分分式分解3系数确定方法有理函数是指两个多项式的商，形如对于真分式Rx=Px/Qx，如果分确定部分分式分解中的系数主要有两种Rx=Px/Qx，其中Px和Qx是母Qx可以分解为不可约因式的乘积，方法待定系数法和留数法待定系数多项式，且Qx≠0根据分子的次数与则Rx可以分解为更简单的部分分式之法是将分解后的部分分式通分，与原有分母的次数的关系，有理函数可分为真和根据因式的不同，部分分式有不同理函数对比系数得到关于待定系数的方分式（分子次数小于分母次数）和假分的形式对于线性不可约因式x-a，程组；留数法是利用特定点的留数确定式（分子次数大于或等于分母次数）对应的部分分式形式为A/x-a；对于系数，适用于分母因式简单的情况例任何假分式都可以通过多项式长除法分重线性因式x-a^m，对应的部分分式如，对于分式1/x^2-1，可以分解为解为多项式与真分式之和形式为A_1/x-a+A_2/x-1/2·1/x-1-1/2·1/x+1，然后分别积；对于二次不分得到最终结果a^2+...+A_m/x-a^m1/2·ln|x-1|-可约因式，对应的部分分x^2+px+q1/2·ln|x+1|+C=1/2·ln|x-1/x+1|+C式形式为Ax+B/x^2+px+q；对于重二次不可约因式，对x^2+px+q^n应的部分分式形式为A_1x+B_1/x^2+px+q+...+A_nx+B_n/x^2+px+q^n三角函数的积分

3.6三角函数积分的基本类型包括形式的积分，通常可以利用降幂公式、升幂公式或三角恒等式转化为更简单的形式1∫sin^m xcos^n x dx例如，当为奇数时，可以提取并用代换；当为奇数时，可以提取并用代换；当和都m sin x sin^2x=1-cos^2x ncos xcos^2x=1-sin^2x mn是偶数时，可以使用半角公式等进行转化其他类型的三角函数积分还包括，，形式的积分，可以利用积化和差或和差2∫sinaxsinbxdx∫sinaxcosbxdx∫cosaxcosbxdx化积公式转化为更简单的积分；形式的积分，即被积函数是和的有理函数，可以通过万能代换将3∫Rsin x,cos xdxsin xcos xt=tanx/2积分转化为有理函数的积分；含有、、等形式的积分，可以通过三角代换简化计算正确选择和应用4√a^2-x^2√a^2+x^2√x^2-a^2这些方法是计算三角函数积分的关键第四章定积分基本概念本章首先介绍定积分的概念、几何意义和基本性质，建立定积分的理论框架学习中值定理和微积分基本定理，掌握定积分的计算原理计算方法深入学习定积分的计算方法，包括牛顿莱布尼茨公式、换元法和分部-积分法掌握这些技巧对于解决实际问题至关重要反常积分研究反常积分的概念和计算方法，包括无穷限反常积分和瑕积分两种类型理解其收敛性和发散性的判断标准应用领域最后学习定积分在计算面积、体积、弧长等方面的应用，掌握定积分解决实际问题的方法和技巧定积分的概念

4.1定义几何意义物理意义设函数fx在闭区间[a,b]上有界，将区间定积分∫_a^b fxdx的几何意义是曲线y=fx定积分在物理学中有丰富的应用例如，变力[a,b]任意分割为n个小区间[x_{i-1},x_i]与x轴及直线x=a、x=b所围成的区域的面积（沿直线做功可表示为∫_a^b Fxdx，其中Fxi=1,2,...,n，在每个小区间上任取一点ξ_i，当fx≥0时）更一般地，∫_a^b fxdx表示是力的大小；变密度物体的质量可表示为构造黎曼和S_n=∑_{i=1}^n fξ_iΔx_i，其中函数图像与x轴之间的有向面积当fx0时∫_a^bρxdx，其中ρx是密度函数；变速运Δx_i=x_i-x_{i-1}如果当最大小区间长度，面积取正值；当fx0时，面积取负值定动的位移可表示为∫_{t_1}^{t_2}vtdt，其中λ→0时，黎曼和S_n的极限存在且唯一，则称积分实际上是面积的代数和vt是速度函数这种将连续变化的量累积求此极限为函数fx在区间[a,b]上的定积分，和的思想是定积分应用的核心记作∫_a^b fxdx定积分的性质

4.2可加性线性性质∫_a^b fxdx=∫_a^c fxdx+∫_c^b fxdx2∫_a^b[αfx+βgx]dx=α∫_a^b fxdx+1β∫_a^b gxdx保号性若fx≥0，则∫_a^b fxdx≥0；特别地，若3fx0，则∫_a^bfxdx0估值不等式5mb-a≤∫_a^b fxdx≤Mb-a，其中m和M比较性分别是fx在[a,b]上的最小值和最大值4若fx≤gx，则∫_a^b fxdx≤∫_a^b gxdx定积分的线性性质和可加性反映了积分作为连续求和的基本特性，它们在积分计算和理论分析中有广泛应用例如，线性性质使我们能够将复杂积分分解为简单积分的线性组合；可加性则允许我们将积分区间分割成更小的区间，分别计算后再求和保号性、比较性和估值不等式是定积分值估计的重要工具保号性表明非负函数的积分非负，这与面积的非负性一致；比较性使我们能够通过已知积分估计未知积分；估值不等式提供了积分值的上下界，特别是当精确计算困难时，这一性质尤为有用定积分的这些性质共同构成了积分学的理论基础，也是解决实际问题的重要工具积分中值定理

4.3定理内容几何意义如果函数fx在闭区间[a,b]上连续从几何角度看，积分中值定理表明，，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得曲线y=fx与x轴及直线x=a、x=b所∫_a^b fxdx=fξb-a这个定围成的区域，其面积等于以区间理表明，连续函数在区间上的积分等[a,b]为底、高度为fξ的矩形面积于函数在某点的值乘以区间长度换换言之，存在一个矩形，其底边与句话说，存在一个点，使得函数在该积分区间相同，高度为函数值中的某点的值等于函数在整个区间上的平均一值，且该矩形的面积等于曲边梯形值的面积推广形式积分第一中值定理的推广形式为如果函数和在闭区间上连续，且fx gx[a,b]gx在[a,b]上不变号，则存在ξ∈[a,b]，使得∫_a^b fxgxdx=fξ∫_a^b这一推广考虑了带权重的平均值，在数学物理和近似计算中有重要应用gxdx微积分基本定理

4.4牛顿-莱布尼茨公式1∫_a^b fxdx=Fb-Fa导数与积分的关系2d/dx[∫_a^x ftdt]=fx变上限积分函数3Φx=∫_a^x ftdt是fx的一个原函数原函数存在定理4连续函数必有原函数积分与导数的互逆性5积分和导数互为逆运算微积分基本定理是连接导数和积分的桥梁，它表明定积分可以通过原函数的差值计算具体来说，如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，Fx是fx的任一原函数，则∫_a^b fxdx=Fb-Fa这一结果通常记作[Fx]_a^b，读作Fx从a到b微积分基本定理的另一形式是关于变上限积分函数的可导性如果函数fx在闭区间[a,b]上连续，定义Φx=∫_a^x ftdt，则Φx在[a,b]上可导，且Φx=fx这表明变上限积分函数Φx是fx的一个原函数，这一结果为寻找原函数提供了理论依据，特别是当积分不能用初等函数表示时尤为重要定积分的换元法

4.5第一类换元法1设函数fx在区间[a,b]上连续，函数x=gt具有连续导数，且gα=a，gβ=b，则有∫_a^b fxdx=∫_α^βfgtgtdt这一公式是不定积分换元公式的直接推广，但需要注意积分限的变化代换后，原积分中的变量x被新变量t替代，积分限也从[a,b]变为[α,β]第二类换元法2在某些情况下，可以通过特殊的代换简化积分计算例如，对于奇函数和偶函数在对称区间[-a,a]上的积分，有∫_{-a}^a fxdx=0（fx为奇函数）和∫_{-a}^afxdx=2∫_0^a fxdx（fx为偶函数）这些结果利用了函数的对称性，能够有效简化计算特殊替换3对于某些特定形式的积分，可以使用特殊的代换简化计算例如，对于含有√a^2-x^2的积分，可以令x=a·sin t；对于含有√a^2+x^2的积分，可以令x=a·tan t；对于含有√x^2-a^2的积分，可以令x=a·sec t这些代换能够有效地处理无理式，使积分化为简单的形式定积分的分部积分法

4.6公式循环使用技巧与注意事项定积分的分部积分公式为∫_a^b有时需要多次应用分部积分法，甚至会应用分部积分法时，通常将易导难积uxvxdx=[uxvx]_a^b-形成循环方程例如，计算I=∫_0^π/2的函数作为ux，将易积难导的函数，其中和是时，可以令，的导数作为例如，对于多项式与∫_a^b uxvxdxux vxsin^2x dxu=sin xvx具有连续导数的函数这一公式源自不v=sin x，则du=cos x dx，v=-cos x指数、三角函数的乘积，通常选择多项定积分的分部积分公式，只需在等式两，得到I=[sin x·-cos x]_0^π/2-式作为ux；对于对数函数与代数函数边添加积分限即可公式应用的关键在∫_0^π/2cos x·-cos xdx=0+的乘积，通常选择对数函数作为ux于合理选择和，使得变换后的注意到另外，需要注意计算时ux vx∫_0^π/2cos^2xdxsin^2x[uxvx]_a^b积分比原积分更容易计算当积分包含+cos^2x=1，所以I+∫_0^π/2cos^2可能出现的未定式，某些情况下可能需诸如x^n·e^x、x^n·sinx、x^n·cos xxdx=∫_0^π/2dx=π/2，从而得到I=要应用洛必达法则等形式时，分部积分法尤为有效π/4反常积分

4.7无穷限反常积分瑕积分p-积分当积分区间无界时，定义的积分称为无穷限反当被积函数在积分区间内某点无定义或无界时p-积分是指形如∫_a^b|x-c|^{-p}dx或∫_1^∞常积分例如，∫_a^∞fxdx=，定义的积分称为瑕积分例如，若fx在点c x^{-p}dx的特殊反常积分对于瑕积分∫_a^blimA→∞∫_a^A fxdx，∫_{-∞}^b fxdx处有瑕点（c∈[a,b]），则∫_a^b fxdx=|x-c|^{-p}dx，当p1时收敛，当p≥1时发散=limA→-∞∫_A^b fxdx，∫_{-∞}^∞limε→0+∫_a^{c-ε}fxdx+；对于无穷限反常积分∫_1^∞x^{-p}dx，当fxdx=∫_{-∞}^c fxdx+∫_c^∞fxdx（c limε→0+∫_{c+ε}^b fxdx如果两个极限p1时收敛，当p≤1时发散这些结论是判断一为任意实数）如果极限存在且有限，则称反都存在且有限，则称瑕积分收敛，否则发散般反常积分收敛性的重要依据，通过比较可以常积分收敛，否则发散常见的收敛判别法包瑕积分的收敛性也可以通过比较判别法和极限简化复杂积分的分析括比较判别法和极限比较判别法比较判别法来判断定积分的应用面积

4.8平面图形的面积定积分可以用来计算平面曲边图形的面积具体来说，如果函数在区间上连续且非负，则曲线、轴及直线、fx[a,b]y=fx xx=a所围成的平面图形的面积为如果函数可能取负值，则面积为对于两条曲线和x=b S=∫_a^b fxdxS=∫_a^b|fx|dx y=fx所围成的平面图形，假设在区间上有，则面积为y=gx[a,b]fx≥gx S=∫_a^b[fx-gx]dx参数方程表示的曲线围成的面积如果曲线由参数方程，，∈给出，且曲线是简单封闭曲线，则其围成的平面图形的面积可以用公式x=xt y=yt t[α,β]S=∫_α^β或计算这些公式源自格林公式的特殊情况，适用于参数表示的曲线例如，椭圆，ytxtdt S=-∫_α^βxtytdt x=a·cos t，∈围成的面积为y=b·sin tt[0,2π]S=∫_0^{2π}b·sin t·-a·sin tdt=πab极坐标下的面积在极坐标系下，如果曲线由极方程，∈给出，则其与原点和两条射线，所围成的扇形区域的面积为r=rθθ[α,β]θ=αθ=βS=∫_α^β这一公式源自面积微元，适用于极坐标表示的曲线例如，螺旋线，∈与原点和两条射r^2θ/2dθdS=1/2r^2dθr=aθθ[0,2π]线，所围成的面积为θ=0θ=2πS=∫_0^{2π}aθ^2/2dθ=2πa^2·π^2/3定积分的应用体积

4.912旋转体的体积截面面积已知的立体体积如果平面区域D由曲线y=fx≥

0、x轴和直线x=a、x=b围如果立体在x轴上的投影为区间[a,b]，且垂直于x轴的截成，则该区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为面面积为Sx，则立体的体积为V=∫_a^b Sxdx这一V=π∫_a^b f^2xdx；如果平面区域D绕y轴旋转一周，则公式基于体积的可加性，通过积分将各个截面的薄片体旋转体的体积为V=2π∫_a^b x·fxdx这些公式源自体积积累加起来例如，球的体积可以通过垂直于一条直径的微元的计算，为圆柱壳法和圆盘法圆截面计算3参数方程与极坐标下的旋转体积对于由参数方程x=xt，y=yt，t∈[α,β]给出的曲线与坐标轴围成的区域旋转生成的旋转体，或由极方程r=rθ，θ∈[α,β]给出的曲线与原点和两条射线围成的区域旋转生成的旋转体，也可以通过适当的坐标变换和积分计算其体积定积分计算体积的核心思想是将立体沿某个方向切割成无数薄片，计算每个薄片的体积微元，然后通过积分将这些体积微元累加起来根据具体问题，可以选择合适的切割方向和计算方法例如，计算抛物面旋转体的体积时，可以利用圆盘法假设抛物线y^2=4x，x∈[0,1]绕x轴旋转一周，则旋转体的体积为V=π∫_0^1y^2dx=π∫_0^14xdx=2π如果同一抛物线绕y轴旋转，则使用圆柱壳法V=2π∫_0^1x·ydx=2π∫_0^1x·2√xdx=4π∫_0^1x^{3/2}dx=8π/5定积分的应用弧长

4.10平面曲线的弧长参数方程表示的曲线弧长极坐标下的曲线弧长如果平面曲线由函数表示，且如果曲线由参数方程，如果曲线由极方程表示，且y=fx x=xt y=yt r=rθ在区间上连续，则曲线在，∈给出，且和在区在区间上连续，则曲线在极fx[a,b]t[α,β]xt ytrθ[α,β]区间上的弧长为间上连续，则曲线的弧长为角范围内的弧长为[a,b]L=∫_a^b[α,β][α,β]L=∫_α^β这一公式源自弧这一公式源自√1+[fx]^2dx L=∫_α^β√[xt]^2+[yt]^2dt√r^2+[rθ]^2dθ长微元的计算这一公式基于参数形式的弧长微元极坐标下的弧长微元ds=√dx^2+dy^2=√1+dy/dx^2ds=√dr^2+r^2dθ^2=√r^2+[rθ例如，抛物线在区间例如，阿基米德螺线，dx y=x^2/2ds=√dx^2+dy^2=√[xt]^2+[y]^2dθr=aθ上的弧长为例如，圆的参数方程为∈的弧长为[0,1]L=∫_0^1t]^2dtθ[0,2π]L=∫_0^{2π}，，∈，√1+x^2dx x=r·cos ty=r·sin tt[0,2π]√aθ^2+a^2dθ其周长为L=∫_0^{2π}√-r·sint^2+r·cos t^2dt=∫_0^{2π}rdt=2πr第五章多元函数微积分多元函数基础本章首先介绍多元函数的概念和几何意义，建立多元函数分析的基本框架多元函数是指因变量依赖于两个或多个自变量的函数，如表示的二元函数或z=fx,y表示的三元函数w=fx,y,z偏导数与全微分研究多元函数的偏导数概念和计算方法，以及全微分的定义和几何意义偏导数描述函数在某一变量方向上的变化率，而全微分则综合考虑各个方向的变化多元复合函数与隐函数学习多元复合函数的求导法则和隐函数求导方法掌握链式法则在多元函数中的应用，以及如何处理由方程或方程组确定的隐函数关系极值与多重积分最后探讨多元函数的极值问题和多重积分的概念与计算方法学习无条件极值和条件极值的求解技巧，以及二重积分和三重积分的定义和应用多元函数的概念

5.1多元函数是指因变量依赖于两个或多个自变量的函数形式上，元函数可以表示为₁₂，其中₁₂是自变量n y=fx,x,...,xx,x,...,xₙₙ，是因变量多元函数的定义域是维空间的一个子集，值域是实数集的一个子集例如，二元函数的定义域是平面的y nRⁿD Rz=fx,y R²一个子集，值域是的一个子集R二元函数的几何意义是三维空间中的一个曲面通过给定平面上的一点，函数确定了空间中的一个点，所有这z=fx,yx,y fx,y,fx,y样的点构成了函数的图像一个曲面另一种表示方法是等高线图，即平面上满足（为常数）的点的集合，不同的值对应不同—fx,y=c cc的等高线等高线图直观地展示了函数在不同区域的变化情况，在地图、气象等领域有广泛应用偏导数

5.2定义计算方法混合偏导数与连续性设函数z=fx,y在点x₀,y₀的某个邻计算偏导数时，将其他变量视为常数，如果函数的二阶混合偏导数f_xy和f_yx域内有定义，如果极限然后按照普通导数的规则进行求导例在区域D内连续，则在D内这两个混合偏₀₀如，对于函数，计导数相等，即这一结论称limΔx→0[fx+Δx,y-fx,y=x²y+sinxy f_xy=f_yx₀₀存在，则称此极限为函算时将视为常数，得到为施瓦茨定理，它简化了多元函数的fx,y]/Δx∂f/∂xy数f在点x₀,y₀处关于x的偏导数，记∂f/∂x=2xy+y·cosxy；计算∂f/∂y时将高阶偏导数计算例如，对于函数作₀₀或₀₀类视为常数，得到，有f_xx,y∂f/∂x|x,yx∂f/∂y=x²+x·cosxy fx,y=x³+x²y+xy²+y³似地，可以定义关于y的偏导数高阶偏导数是对偏导数再次求导的结f_xy=∂/∂y∂f/∂x=∂/∂y3x²+2xy+y²₀₀或₀₀偏导果，例如表示先对求偏导，再对，同时f_yx,y∂f/∂y|x,yf_xy xy=2x+2y数表示函数在某一变量方向上的变化率求偏导f_yx=∂/∂x∂f/∂y=∂/∂xx²+2xy+3y²，几何上对应于曲面在该方向上的切线=2x+2y，验证了f_xy=f_yx斜率全微分

5.3定义全微分与偏导数几何意义设函数z=fx,y在点如果函数fx,y在点全微分的几何意义是曲面x₀,y₀的某个邻域内有x₀,y₀处可微，则f在z=fx,y在点定义，如果函数的全增量该点的偏导数∂f/∂x和x₀,y₀,fx₀,y₀处Δz=fx₀+Δx,y₀+Δy-∂f/∂y存在，且全微分可以的切平面方程的增量形式fx₀,y₀可以表示为表示为如果记Δz=A·Δx+B·Δy+oρ，其dz=∂f/∂x·dx+∂f/∂y·d Px₀,y₀,fx₀,y₀为中ρ=√Δx²+Δy²，y反过来，如果函数的偏曲面上的点，则曲面在Poρ/ρ→0（当ρ→0时）导数在点x₀,y₀的某个点处的切平面方程为z-，且A、B仅与点邻域内存在且连续，则函fx₀,y₀=∂f/∂x|x₀,₀₀有关，则称函数数在点₀₀处可微₀x,yx,yy·x-f在点x₀,y₀处可微，这一结论为判断函数可微x₀+∂f/∂y|x₀,y₀·表达式A·Δx+B·Δy称为函性提供了便捷的方法y-y₀全微分dz表示点数在该点的全微分，记作在切平面上移动时z坐标的dz=A·dx+B·dy变化量，它是函数全增量Δz的主要部分多元复合函数的求导法则

5.4链式法则设z=fu,v是关于中间变量u、v的二元函数，而u=ux,y，v=vx,y是关于自变量x、y的二元函数如果这些函数都可微，则复合函数z=fux,y,vx,y对x、y的偏导数可由链式法则计算∂z/∂x=∂z/∂u·∂u/∂x+∂z/∂v·∂v/∂x，∂z/∂y=∂z/∂u·∂u/∂y+∂z/∂v·∂v/∂y向量形式链式法则的向量形式更为简洁设z=fu₁,u₂,...,u，而uⱼ=uⱼₘx₁,x₂,...,x（j=1,2,...,m），则∂z/∂xᵢ=∑j=1to m∂z/∂uⱼ·∂uⱼ/∂xᵢₙ（i=1,2,...,n）这一形式统一了各种类型的复合函数求导，特别适用于多变量、多级复合的情况求导技巧在实际应用中，可以使用求导树或路径法辅助计算将变量间的依赖关系画成一棵树或一个网络，然后沿着从因变量到目标自变量的所有可能路径，求出每条路径上的导数乘积，最后将所有路径的结果相加例如，对于z=fu,v，u=gx,y，v=hx,y，计算∂z/∂x时，有两条路径z→u→x和z→v→x，分别得到∂z/∂u·∂u/∂x和∂z/∂v·∂v/∂x，二者之和即为所求隐函数求导

5.51一个方程的情况2方程组的情况设方程Fx,y=0确定了隐函数y=fx对于包含多个方程的隐函数，情况较为如果Fx,y具有连续的偏导数，且在复杂例如，设方程组Fx,y,u,v=0点x₀,y₀处满足Fx₀,y₀=0和，Gx,y,u,v=0确定了隐函数F_yx₀,y₀≠0，则根据隐函数存在u=fx,y，v=gx,y若雅可比行列式定理，方程在该点附近唯一确定一个隐DF,G/Du,v≠0，则可解得∂u/∂x、函数y=fx，且该函数可导，其导数公∂u/∂y、∂v/∂x、∂v/∂y具体来说，根式为dy/dx=-F_x/F_y这里F_x和据全微分公式，有F_y分别表示F对x和y的偏导数F_x+F_u·∂u/∂x+F_v·∂v/∂x=0，G_x+G_u·∂u/∂x+G_v·∂v/∂x=0（对y的偏导数有类似式子），解这些方程可得所求偏导数3高阶导数隐函数的高阶导数计算较为繁琐，通常采用逐次求导的方法例如，对于方程Fx,y=0确定的隐函数y=fx，已知dy/dx=-F_x/F_y，求d²y/dx²时，将dy/dx看作关于x的复合函数，再次应用链式法则和隐函数求导公式即可在某些情况下，也可以利用参数方程表示简化计算过程多元函数的极值

5.6无条件极值1多元函数的无条件极值是指函数在定义域内的极大值或fx,y极小值点函数在点₀₀取得极值的必要条件是该点为驻x,y条件极值2点，即∂f/∂x=0，∂f/∂y=0极值的充分条件可通过二阶偏导数判定设，，，若，则当A=f_xx B=f_xy C=f_yy AC-B²0条件极值问题研究的是在约束条件下，函数的gx,y=0fx,y时为极大值点，当时为极小值点；若，则A0A0AC-B²0极值解决这类问题常用拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数为鞍点（非极值点）；若，则需要更高阶导数或其AC-B²=0Lx,y,λ=fx,y-λgx,y，然后求解方程组∂L/∂x=0，他方法判断∂L/∂y=0，∂L/∂λ=0，即f_x-λg_x=0，f_y-λg_y=0，所得的驻点可能是条件极值点，需结合具体情况判gx,y=0断其性质多约束条件3对于多个约束条件下的极值问题，可以扩展拉格朗日乘数法例如，求解函数在约束条件₁，fx,y,z g x,y,z=0₂下的极值，可构造拉格朗日函数gx,y,z=0Lx,y,z,λ₁,λ₂=fx,y,z-λ₁g₁x,y,z-λ₂g₂x,y,z，然后求解由∂L/∂x=0，∂L/∂y=0，∂L/∂z=0，∂L/∂λ₁=0，∂L/∂λ₂=0组成的方程组二重积分

5.7定义计算方法极坐标变换设函数fx,y在闭区域D上有界，将D任意分割二重积分可以通过转化为二次积分计算对于当区域形状或被积函数适合用极坐标表示时，为n个小区域Δσᵢ，在每个小区域内任取一点ξᵢ直角坐标系下的二重积分，若区域D表示为可将二重积分转化为极坐标形式设x=r·cosθ,ηᵢ，构造黎曼和S=∑ᵢ₌₁ⁿfξᵢ,ηᵢΔσᵢ如果a≤x≤b，g₁x≤y≤g₂x，则∫∫_D，y=r·sinθ，则有dxdy=r·drdθ，二重积分变ₙ当各小区域的直径的最大值λ→0时，黎曼和的fx,ydxdy=∫_a^b[∫_g₁x^g₂xfx,为∫∫_D极限存在且唯一，则称此极限为函数fx,y在ydy]dx；若D表示为c≤y≤d，fx,ydxdy=∫_α^β[∫_r₁θ^r₂θfr·c区域D上的二重积分，记作∫∫_D fx,ydσ或h₁y≤x≤h₂y，则∫∫_D osθ,r·sinθ·r·dr]dθ，其中r=r₁θ和∫∫_D fx,ydxdy fx,ydxdy=∫_c^d[∫_h₁y^h₂yfx,r=r₂θ是区域D边界的极坐标方程这种变ydx]dy积分顺序的选择应根据区域形状和换在计算圆形、扇形等区域上的积分时特别有被积函数的特点确定，以简化计算过程效三重积分

5.8定义直角坐标计算三重积分是二重积分在三维空间的推广设函数在直角坐标系中，三重积分可以转化为三次积分计fx,y,z在空间闭区域Ω上有界，将Ω任意分割为n算如果区域Ω可以表示为a≤x≤b，个小区域ΔVᵢ，在每个小区域内任取一点ξᵢ,ηᵢ,ζᵢ，g₁x≤y≤g₂x，h₁x,y≤z≤h₂x,y，则构造黎曼和S=∑ᵢ₌₁ⁿfξᵢ,ηᵢ,ζᵢΔVᵢ如果当各小∫∫∫_Ωₙ12区域的直径的最大值λ→0时，黎曼和的极限存在且fx,y,zdV=∫_a^b[∫_g₁x^g₂x[∫_h₁唯一，则称此极限为函数fx,y,z在区域Ω上的三重x,y^h₂x,yfx,y,zdz]dy]dx积分顺序可积分，记作∫∫∫_Ωfx,y,zdV以根据区域和被积函数的特点灵活选择，以简化计算球坐标变换柱坐标变换对于球形区域，通常采用球坐标变换设当区域形状或被积函数适合用柱坐标表示时，可进x=ρ·sinφ·cosθ，y=ρ·sinφ·sinθ，z=ρ·cosφ，则行坐标变换设x=r·cosθ，y=r·sinθ，z=z，则有43有dV=ρ²·sinφ·dρdφdθ，三重积分变为∫∫∫_ΩdV=r·drdθdz，三重积分变为∫∫∫_Ωfx,y,zdV=∫_α^β[∫_γ^δ[∫_ρ₁φ,θ^ρ₂φ,θfx,y,zdV=∫_α^β[∫_r₁θ^r₂θ[∫_z₁r,fρ·sinφ·cosθ,ρ·sinφ·sinθ,ρ·cosφ·ρ²·sinφ·dθ^z₂r,θfr·cosθ,r·sinθ,z·r·dz]dr]dθρ]dφ]dθ这种变换在处理球形或包含球面的区域这种变换在计算圆柱形区域上的积分时特别有效时非常有用课程总结主要概念回顾应用领域进阶学习建议通过本课程的学习，我们系统掌握了高等数学的高等数学在自然科学、工程技术、经济管理等众在掌握基础概念后，可以进一步学习常微分方程基本概念和理论，包括函数与极限、导数与微分多领域有广泛应用例如，导数在物理学中表示、偏微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、不定积分、定积分以及多元函数微积分这些速度、加速度；在经济学中表示边际成本、边际等高级数学课程同时，建议结合专业背景，探概念构成了高等数学的理论框架，为后续学习和收益；积分在物理学中用于计算功、能量；在概索高等数学在特定领域的应用，如工程数学、数应用奠定了基础值得注意的是，这些概念之间率论中用于计算概率分布；多元函数微积分在热学物理方法、数值分析等此外，多做习题，关存在内在联系，如导数与积分的互逆关系、微分传导、流体力学等领域有重要应用掌握这些应注数学思想和方法的训练，培养严密的逻辑思维与积分的统一等，理解这些联系有助于形成完整用方法，能够将抽象的数学概念转化为解决实际能力和创新思维能力，这对于深入理解和灵活应的数学知识体系问题的有力工具用数学知识至关重要。