三角形复习课件

三角形复习欢迎参加三角形知识复习课程在这个系统性的学习过程中，我们将从基础概念到高级应用，全面回顾三角形的各项特性、定理和解题方法通过本课程，您将能够更加深入地理解三角形的数学美感和实际应用价值本课程适合正在学习平面几何的学生，也适合需要复习三角形知识的考生我们将通过理论讲解、实例分析和练习题三种方式，帮助您牢固掌握三角形的相关知识点课程目标掌握基础概念理解核心定理熟练解题技巧掌握三角形的基本定义、深入理解三角形的内角和通过大量练习，熟练掌握分类方法以及基本要素，定理、外角定理、勾股定三角形问题的分析方法与建立对三角形的基础认知理等核心理论，掌握其推解题技巧，提高几何问题框架导过程与应用条件解决能力拓展应用能力了解三角形知识在实际问题中的应用，培养将几何知识转化为实际解决方案的能力什么是三角形？基本定义构成要素几何特性三角形是由三条线段连接三个不在同一直每个三角形都有三个顶点，这些顶点不共三角形具有稳定性和刚性，这使它在建筑线上的点而形成的闭合平面图形它是最线三角形由三条边围成，每条边连接两和设计中广泛应用三角形是平面上最简基本的多边形，也是几何学中研究最深入个顶点三角形有三个内角，每个内角由单的多边形，任意三点（不共线）都能确的图形之一两条相邻的边形成定一个唯一的三角形三角形的基本要素边角三角形有三条边，通常用小写字三角形有三个内角，通常用大写母a、b、c表示每条边都是连字母A、B、C表示每个角都是接两个顶点的线段在标准表示由两条相邻的边形成的在标准法中，边a通常位于角A的对面，的几何学表示中，角A是由边b和边b位于角B的对面，边c位于角C边c形成的，角B是由边a和边c形的对面成的，角C是由边a和边b形成的顶点三角形有三个顶点，也用大写字母A、B、C表示每个顶点是两条边的交点顶点A是边b和边c的交点，顶点B是边a和边c的交点，顶点C是边a和边b的交点三角形的分类（按角度）直角三角形直角三角形是指有一个内角等于90°的三角形直角是指等于90°的角在直角三角形中，其余两个角都是锐角，且它们的和等于90°直角三角形的锐角三角形钝角三角形形状有一个明显的直角，常用于勾股定理的应用锐角三角形是指三个内角都是锐角的三角形锐钝角三角形是指有一个内角大于90°的三角形钝角是指小于90°的角在锐角三角形中，所有的内角是指大于90°小于180°的角在钝角三角形中，角都严格小于90度这类三角形的形状比较尖锐其余两个角都是锐角钝角三角形的形状比较扁，没有任何一个角接近或等于直角平，有一个明显的大角三角形的分类（按边长）等边三角形等边三角形是三条边完全相等的三角形在等边三角形中，所有的内角也相等，均为60°等边三角形具有最高的对称性，它有三条对称轴，从每个顶点到对边中点的线段都是对称轴等腰三角形等腰三角形是两条边相等的三角形两条相等的边称为腰，第三条边称为底边在等腰三角形中，两个底角（与底边相对的角）相等等腰三角形有一条对称轴，即从顶点到底边中点的线段不等边三角形不等边三角形是三条边长度都不相等的三角形在不等边三角形中，三个内角也都不相等不等边三角形没有对称轴，其形状没有特殊的对称性质这是最一般的三角形类型三角形内角和定理证明方法经典证明方法是通过过三角形一个顶点作一2条平行于对边的直线，利用平行线的性质，定理内容可以证明该顶点处的内角与其他两个内角的三角形的内角和等于180°（或π弧度）即和等于180°这个定理也可以通过欧几里德公理系统推导出来A+B+C=180°，其中A、B、C分别是三角1形的三个内角这是欧几里德几何中的基本应用价值定理之一，对任何三角形都成立，无论其形状或大小如何这个定理是解决三角形问题的基础当已知两个内角时，可以利用这个定理计算出第三3个内角它也是推导其他几何定理的基础，如外角定理、多边形内角和定理等练习计算三角形内角1例题1在三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，求∠C的度数解根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°代入已知条件45°+60°+∠C=180°解得∠C=180°-45°-60°=75°2例题2在三角形PQR中，∠P与∠Q的比为2:3，∠R=40°求∠P和∠Q的度数解设∠P=2k，∠Q=3k，其中k是一个常数根据三角形内角和定理∠P+∠Q+∠R=180°代入2k+3k+40°=180°解得5k=140°，k=28°因此∠P=2k=56°，∠Q=3k=84°三角形外角定理外角定义1三角形的外角是指由一条边的延长线与相邻边所形成的角每个三角形的顶点都可以形成一个外角外角定理2三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和数学表达3如果δ是顶点A处的外角，则δ=∠B+∠C三角形外角定理是几何中的重要定理之一它与内角和定理密切相关，可以从内角和定理推导出来外角定理在证明几何问题和解决角度相关题目时非常有用例如，当已知三角形的两个内角时，可以直接利用外角定理求出第三个顶点的外角练习计算三角形外角例题1在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，求顶点C处的外角解根据外角定理，C点的外角等于∠A+∠B=30°+45°=75°例题2三角形XYZ的外角分别为110°，130°和120°求三角形的三个内角解设三角形的内角为∠X，∠Y，∠Z根据外角定理，X处的外角等于∠Y+∠Z=110°同理，Y处的外角等于∠X+∠Z=130°，Z处的外角等于∠X+∠Y=120°三角形的边长关系三角不等式逆三角不等式在任意三角形中，任意两边之和在任意三角形中，任意两边之差大于第三边用数学表达式可以小于第三边用数学表达式可以写为a+bc，b+ca，a+写为|a-b|c，|b-c|a，|a-cb，其中a、b、c是三角形的c|b这个不等式是三角不等式三条边长这个不等式表明，要的另一种表达形式，同样反映了构成三角形，三条边必须满足这三条边构成三角形的必要条件个条件实际意义三角不等式实际上反映了平面上两点间线段是最短路径的事实从物理角度看，它意味着两条不能伸直的杆无法连接超过它们长度之和的两点这个原理在现实生活中有很多应用，如测距、导航和设计练习判断三边能否构成三角形例题1例题2例题3判断边长为3cm、4cm和5cm的三条线段判断边长为2cm、3cm和6cm的三条线段如果三角形的两边长分别为5cm和7cm能否构成三角形能否构成三角形，那么第三边的长度范围是多少？解检查三角不等式解检查三角不等式解根据三角不等式3+4=75✓2+3=56✗5+7第三边，所以第三边12cm3+5=84✓2+6=83✓|5-7|第三边，所以第三边2cm4+5=93✓3+6=92✓因此，第三边的长度范围是2cm,12cm所有三角不等式都满足，因此这三条边由于第一个不等式不满足（任意两边之可以构成三角形实际上，这构成了一和必须大于第三边），这三条边不能构个直角三角形成三角形三角形的中线中线的定义中线的性质三角形的中线是从三角形的一三角形的三条中线交于一点，个顶点到对边中点的线段每这一点称为重心重心是三角个三角形有三条中线，分别从形的平衡点，如果三角形是由三个顶点出发中线将三角形均匀材料制成的，那么它可以分成两个面积相等的部分，但在重心处平衡重心到各顶点这两部分通常不是全等的的距离之和最小从重心到各顶点的距离平方和也最小中线长度公式对于三角形ABC，设边BC、AC、AB的长度分别为a、b、c，对应的中线长度为ma、mb、mc，则有ma²=2b²+2c²-a²/4，mb²=2a²+2c²-b²/4，mc²=2a²+2b²-c²/4三角形的角平分线角平分线定义1三角形的角平分线是从一个顶点出发，将该顶点处的角平分成两个相等的角的射线在三角形内部，角平分线是从顶点到对边的一条线段，它将顶点处的角一分为二角平分线性质2三角形的三条角平分线交于一点，这一点称为三角形的内心内心到三角形三边的距离相等内心是三角形内切圆的圆心，内切圆与三角形的三边都相切角平分线定理3在三角形中，一个角的角平分线将对边分成两段，这两段与分别与角平分线相邻的两边成比例即，如果AD是角A的角平分线，交BC于点D，则BD:DC=AB:AC三角形的高高的定义三角形的高是从一个顶点到对边（或对边的延长线）的垂线段每个三角形都有三条高，分别从三个顶点出发高线的长度等于顶点到对边的垂直距离高的性质三角形的三条高线相交于一点，这一点称为垂心在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部高的应用三角形的高用于计算三角形的面积S=1/2×底×高不同的高可以与不同的底配对使用，得到的面积结果相同高也在三角形的其他几何问题中扮演重要角色练习在给定三角形中画出中线、角平分线和高中线作图角平分线作图高作图

1.确定边的中点用直尺测量边的长度，标

1.以顶点为圆心，画一个圆弧，交两边于两

1.选择一个顶点和其对边记出中点点

2.使用三角尺或量角器在对边上作垂线

2.连接顶点与对边中点用直尺连接每个顶

2.以这两点为圆心，画相等半径的两个圆弧

3.连接顶点与垂足，得到一条高点与其对边的中点，得到三条中线，交于一点

4.重复步骤得到三条高，它们的交点为垂心

3.标记重心三条中线的交点即为重心

3.连接顶点与这个交点，得到角平分线

4.重复步骤得到三条角平分线，它们的交点为内心三角形的特殊线段回顾中线特点角平分线特点高特点连接顶点和对边中点；三条中线交于重心；重心到顶点的距将角分成两个相等的角；三条角平分线交于内心；内心到三从顶点到对边的垂线；三条高交于垂心；用于计算三角形面离是重心到对边中点距离的2倍；重心将每条中线按2:1的比例边距离相等；内心是三角形内切圆的圆心；角平分线将对边积；垂心在锐角三角形内部，在直角三角形上，在钝角三角分割；三角形的重心是其面积的平衡点分成与相邻两边成比例的两段形外部等腰三角形的性质

（一）顶角平分线特性2顶角平分线垂直平分底边底角相等1等腰三角形的两个底角相等若AB=AC，则∠B=∠C对称性等腰三角形关于顶角平分线对称3等腰三角形是指有两条边相等的三角形这两条相等的边称为腰，第三条边称为底边等腰三角形具有轴对称性，其对称轴是从顶点（两条相等边的交点）到底边中点的线段从顶点到底边的垂线也是底边的平分线，同时也是顶角的角平分线这条特殊线段同时具有高、中线和角平分线的性质，是等腰三角形最重要的特性之一等腰三角形的性质在几何问题解决中非常有用，尤其是在证明角度相等或线段相等时识别图形中的等腰三角形往往能简化复杂的几何问题等腰三角形的性质

（二）顶角平分线垂直平分底边在等腰三角形中，从顶点（两条相等边的交点）到底边的角平分线垂直平分底边这意味着这条线段同时是顶角的角平分线、底边的中线和底边的高对称轴特性顶角平分线是等腰三角形的对称轴关于这条线进行反射，三角形的两部分完全重合这种对称性是等腰三角形的核心特征，与其两边相等直接相关逆定理如果三角形中一个角的角平分线同时也是对边的中线或高线，那么这个三角形一定是等腰三角形这个逆定理提供了判断三角形是否为等腰三角形的方法实际应用等腰三角形的这些性质在解决几何问题中非常有用，尤其是在需要证明两个角或两条线段相等的情况下在建筑和设计中，等腰三角形的对称性也被广泛应用练习运用等腰三角形的性质解题例题1例题2在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是底边BC的中点已知AB=10cm，BC=12cm，求AD的在三角形ABC中，如果角平分线AD同时也是BC的垂直平分线，证明三角形ABC是等腰三角长度形解析由等腰三角形的性质，AD⊥BC，且AD平分∠BAC利用勾股定理计算解析由已知，D是BC的中点，且AD⊥BCBD=BC/2=6cm在直角三角形ABD中，有AB²=AD²+BD²在直角三角形ABD中，AB²=AD²+BD²在直角三角形ACD中，有AC²=AD²+CD²10²=AD²+6²由于BD=CD（D是BC的中点），所以AB²=AC²，即AB=ACAD²=100-36=64因此，三角形ABC是等腰三角形AD=8cm等边三角形的性质三边相等1所有边长度相同三角相等2每个内角均为60°对称性3有三条对称轴特殊线段4高、中线、角平分线重合等边三角形是一种特殊的等腰三角形，它的三条边都相等由于边的相等性，等边三角形具有最高程度的对称性，是正多边形中边数最少的一种从任一顶点到对边的垂线同时也是该角的角平分线和对边的中线等边三角形有三条对称轴，分别是从各顶点到对边中点的线段这意味着等边三角形可以通过三种不同的方式映射到自身等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合于同一点，这一特性在其他类型的三角形中是不存在的直角三角形的性质角度特性几何特性勾股定理直角三角形有一个角等于90°，直角三角形的斜边（与直角对直角三角形中，斜边长的平方另外两个角是锐角，且它们的的边）是最长的一边直角三等于两条直角边长平方的和和等于90°这两个锐角互为余角形的外心在斜边的中点，这如果斜边为c，两条直角边为a角，即一个角是另一个角的余也意味着外接圆的直径等于斜和b，则有关系式a²+b²=c²角90°-α边长垂心位于直角顶点处这是平面几何中最著名的定理之一圆周上的性质在一个圆内，如果三角形的一个边是圆的直径，那么这个三角形一定是直角三角形，直角位于直径对面的顶点这个性质源于半圆周上的任意点与直径两端连线形成的角都是直角勾股定理勾股定理（也称为毕达哥拉斯定理）是几何学中最著名的定理之一，它描述了直角三角形各边之间的关系直角三角形中，斜边长的平方等于两条直角边长平方的和用代数表示，如果c是斜边长，a和b是两条直角边长，则有a²+b²=c²这个定理有许多不同的证明方法，包括几何证明、代数证明等最直观的证明是通过在斜边和两条直角边上分别画正方形，证明斜边上的正方形面积等于两条直角边上正方形面积之和勾股定理在实际应用中非常广泛，如测量、建筑、导航等领域它是解决直角三角形问题的基础工具，也是推导其他几何定理和公式的重要基础练习运用勾股定理解题例题1计算斜边例题2计算直角边例题3判断直角三角形在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB是在直角三角形PQR中，∠Q=90°，PR是判断边长为5cm、12cm和13cm的三角斜边，AC=3cm，BC=4cm，求AB的长斜边，PR=13cm，PQ=5cm，求QR的形是否是直角三角形度长度解检验勾股定理是否成立假设13cm解根据勾股定理，有AB²=AC²+BC²解根据勾股定理，有PR²=PQ²+QR²是斜边，则需要验证5²+12²=13²代入数值AB²=3²+4²=9+16=25代入数值13²=5²+QR²计算5²+12²=25+144=169所以AB=5cm169=25+QR²而13²=169QR²=169-25=144两者相等，所以这个三角形是直角三角形所以QR=12cm特殊直角三角形30°-60°-90°三角形45°-45°-90°三角形毕达哥拉斯三元组这是一种特殊的直角三角形，其三个这是另一种特殊的直角三角形，其两毕达哥拉斯三元组是指满足勾股定理内角分别为30°、60°和90°在这种个锐角都是45°这种三角形实际上的三个整数，例如3,4,

5、5,12,13三角形中，边长之间有特定的比例关是等腰直角三角形，两条直角边相等等这些三元组对应的三角形都是直系如果斜边长为2，则30°对边长为如果两条直角边长都为1，则斜边角三角形最基本的毕达哥拉斯三元1，60°对边长为√3一般地，如果长为√2一般地，如果直角边长为a组是3,4,5，其他常见的还有6,8,10斜边长为c，则30°对边长为c/2，60°，则斜边长为a√

2、5,12,

13、8,15,17等对边长为c√3/2练习特殊直角三角形的边长关系斜边长第一直角边第二直角边例题1在30°-60°-90°三角形中，已知斜边长为10cm，求两条直角边的长度解在30°-60°-90°三角形中，如果斜边长为c，则30°对边长为c/2，60°对边长为c√3/2代入c=10cm，得30°对边=10/2=5cm，60°对边=10√3/2≈

8.66cm例题2在45°-45°-90°三角形中，已知直角边长为6cm，求斜边长解在45°-45°-90°三角形中，如果直角边长为a，则斜边长为a√2代入a=6cm，得斜边长=6√2≈

8.49cm全等三角形的概念定义全等三角形是指形状和大小完全相同的三角形即，两个三角形如果能够完全重合，那么它们就是全等的在全等三角形中，对应的边相等，对应的角也相等在符号表示上，如果三角形ABC与三角形DEF全等，我们写作△ABC≅△DEF这种表示也指明了对应关系A对应D，B对应E，C对应F特性全等三角形具有以下特性•对应边相等AB=DE,BC=EF,AC=DF•对应角相等∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F•对应高、中线、角平分线等特殊线段也相等•面积相等•周长相等全等三角形的概念在几何学中非常重要，因为它提供了证明两个图形具有相同属性的方法通过证明两个三角形全等，我们可以推断出它们所有对应部分都相等，这是解决许多几何问题的关键步骤全等三角形判定定理

（一）边边边（SSS）判定定理SSS定理的原理如果两个三角形的三边对应相等SSS定理基于这样一个事实三，那么这两个三角形全等条边的长度可以唯一确定一个三角形的形状和大小如果两个三用符号表示如果在△ABC和角形的三边分别相等，那么这两△DEF中，AB=DE，BC=EF，个三角形必然可以完全重合，因AC=DF，那么△ABC≅△DEF此是全等的应用场景SSS判定定理通常在已知或可以证明三对边分别相等的情况下使用这种情况在实际几何问题中很常见，尤其是在涉及到距离相等或线段长度相等的问题中全等三角形判定定理

（二）角边角（AAS）判定定理1如果两个三角形的两个角对应相等，且它们的公共边对应相等，那么这两个三角形全等实质是ASA2因为三角形内角和为180°，所以两个角确定后，第三个角也唯一确定实际应用3当已知两对角和一对边相等时，使用ASA或AAS可以证明全等角边角（ASA）判定定理是全等三角形的第二个重要判定定理它表明如果两个三角形的两个角对应相等，且它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等用符号表示如果在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，那么△ABC≅△DEF这里，边AB是角A和角B的夹边由于三角形的内角和固定为180°，所以当两个角确定后，第三个角也唯一确定因此，角角边（AAS）实际上与角边角（ASA）等效，都可以唯一确定一个三角形全等三角形判定定理

（三）1边角边（SAS）判定定理如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等用符号表示如果在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D，那么△ABC≅△DEF这里，角A是边AB和边AC的夹角2SAS定理的原理SAS定理基于这样一个事实两条边的长度和它们的夹角可以唯一确定一个三角形的形状和大小如果两个三角形的两边和夹角分别相等，那么这两个三角形必然可以完全重合，因此是全等的3应用场景SAS判定定理通常在已知或可以证明两对边和一对夹角分别相等的情况下使用这种情况在实际几何问题中也很常见，尤其是在涉及到角度和距离同时约束的问题中练习判断三角形全等例题1在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，∠C=∠F判断这两个三角形是否全等解由已知条件，我们有一对对应边相等（AB=DE）和两对对应角相等（∠A=∠D，∠C=∠F）这符合AAS判定定理的条件因此，△ABC≅△DEF例题2在△PQR和△XYZ中，已知PQ=XY，QR=YZ，PR=XZ判断这两个三角形是否全等解由已知条件，我们有三对对应边相等（PQ=XY，QR=YZ，PR=XZ）这符合SSS判定定理的条件因此，△PQR≅△XYZ例题3在△MNO和△STU中，已知MN=ST，NO=TU，∠N=∠T判断这两个三角形是否全等解由已知条件，我们有两对对应边相等（MN=ST，NO=TU）和一对对应角相等（∠N=∠T）但是，角N不是边MN和边NO的夹角，所以不符合SAS判定定理仅凭这些条件，我们不能确定这两个三角形是否全等相似三角形的概念定义相似比符号表示相似三角形是指形状相同但大相似三角形的对应边的比值称如果三角形ABC与三角形DEF相小可能不同的三角形两个相为相似比如果三角形ABC与似，我们写作△ABC~△DEF似的三角形具有相同的形状，三角形DEF相似，且相似比为k这种表示也指明了对应关系但可能有不同的尺寸在相似，则有AB/DE=BC/EF=A对应D，B对应E，C对应F三角形中，对应角相等，对应AC/DF=k相似比反映了两个需要注意的是，相似符号~与边成比例相似三角形的尺寸比例关系全等符号≅不同几何意义相似三角形可以通过对一个三角形进行均匀缩放得到这种变换保持了角度不变，但改变了边长相似性是几何学中重要的概念，它允许我们在不同尺度上应用相同的几何原理相似三角形的性质对应边成比例2所有对应边的比值相同对应角相等1相似三角形的对应角相等面积比例关系面积比等于边长比的平方3相似三角形具有多种重要性质首先，相似三角形的对应角相等如果△ABC~△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F这是相似三角形最基本的特征之一其次，相似三角形的对应边成比例如果△ABC~△DEF，且相似比为k，则AB/DE=BC/EF=AC/DF=k这意味着所有对应边的比值都相同，等于相似比此外，相似三角形的面积比等于相似比的平方如果两个相似三角形的边长比为k，则它们的面积比为k²例如，如果一个三角形的所有边都是另一个三角形对应边的2倍，则前者的面积是后者的4倍相似三角形的周长比等于相似比如果两个相似三角形的边长比为k，则它们的周长比也为k相似三角形的高、中线、角平分线等特殊线段的比值也等于相似比相似三角形判定定理

（一）角角角（AAA）判定定理AAA定理的原理如果两个三角形的三个角分别相AAA定理基于这样一个事实三等，那么这两个三角形相似角形的形状仅由其角度决定如果两个三角形的角度分别相等，由于三角形的内角和为180°，所那么它们的形状相同，仅大小可以只需要两个角相等，第三个角能不同，因此它们是相似的自然也相等因此，这个定理也被称为角角（AA）判定定理应用场景AAA判定定理通常在已知或可以证明两对（或三对）角分别相等的情况下使用这种情况在实际几何问题中很常见，尤其是在涉及到平行线或角度关系的问题中相似三角形判定定理

（二）边边边（SSS）相似判定定理如果两个三角形的三对对应边成比例，那么这两个三角形相似数学表达在△ABC和△DEF中，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么△ABC~△DEF应用场景SSS相似判定定理在已知或可以证明三对对应边成比例的情况下使用边边边（SSS）相似判定定理是相似三角形的第二个重要判定定理它表明如果两个三角形的三对对应边成比例，那么这两个三角形相似与全等三角形的SSS判定定理不同，相似三角形的SSS判定定理要求的是边的比例相等，而不是边的长度相等这反映了相似性与全等性的本质区别相似性关注的是形状的一致性，而全等性关注的是形状和大小的完全一致SSS相似判定定理在实际应用中非常有用，尤其是在涉及到比例关系的问题中通过证明两个三角形的边成比例，我们可以推断出它们的角度相等，从而推导出更多的几何关系相似三角形判定定理

（三）1边角边（SAS）相似判定定理如果两个三角形的两对对应边成比例，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似用符号表示如果在△ABC和△DEF中，AB/DE=AC/DF且∠A=∠D，那么△ABC~△DEF这里，角A是边AB和边AC的夹角2SAS相似定理的原理SAS相似定理基于这样一个事实两条边的比例和它们的夹角可以唯一确定一个三角形的形状如果两个三角形的两对边成比例且夹角相等，那么这两个三角形的形状相同，仅大小可能不同，因此它们是相似的3应用场景SAS相似判定定理通常在已知或可以证明两对对应边成比例和一对夹角相等的情况下使用这种情况在实际几何问题中也很常见，尤其是在涉及到角度和比例同时约束的问题中练习判断三角形相似例题1例题2例题3在△ABC和△DEF中，已知∠A=∠D，在△PQR和△XYZ中，已知PQ=3cm，在△MNO和△STU中，已知MN=5cm，∠B=∠E判断这两个三角形是否相似QR=4cm，PR=5cm，XY=6cm，YZ=NO=7cm，∠N=∠T，ST=10cm，TU8cm，XZ=10cm判断这两个三角形是=14cm判断这两个三角形是否相似否相似解由已知条件，我们有两对对应角相解检查两对对应边的比值等（∠A=∠D，∠B=∠E）由三角形解检查三对对应边的比值MN/ST=5/10=1/2内角和定理，第三对角也必然相等（∠CPQ/XY=3/6=1/2=∠F）这符合AAA判定定理的条件NO/TU=7/14=1/2因此，△ABC~△DEFQR/YZ=4/8=1/2两对对应边的比值相等，且它们的夹角PR/XZ=5/10=1/2相等（∠N=∠T）这符合SAS相似判定定理的条件因此，△MNO~△STU三对对应边的比值都相等，都是1/2这符合SSS相似判定定理的条件因此，△PQR~△XYZ三角形的面积公式

（一）底×高公式三角形的面积等于底边长度与对应高的乘积的一半表达式为S=1/2×底×高，其中S是面积，底是底边长度，高是从对边顶点到底边的垂直距离任意边都可作为底三角形的任意一边都可以作为底边，对应的高是从对面顶点到这条边（或其延长线）的垂线长度无论选择哪条边作为底边，计算出的面积都是相同的推导过程这个公式可以通过将三角形划分为矩形的一半来推导如果我们画一个矩形，使三角形的底边是矩形的一边，三角形的高是矩形的另一边，那么三角形的面积正好是矩形面积的一半三角形的面积公式

（二）海伦公式（也称为希伦公式或半周长公式）是计算三角形面积的另一种方法，它仅使用三角形的三边长度海伦公式表述为S=√[ss-as-bs-c]其中，S是三角形的面积，a、b、c是三角形的三边长度，s是半周长，即s=a+b+c/2海伦公式的优点是只需要知道三边长度，不需要知道高或角度这在某些情况下非常有用，例如当我们只能测量三边长度而无法测量高度或角度时海伦公式的推导相对复杂，通常涉及到代数变换和三角函数但它是平面几何中最优雅的公式之一，反映了三角形边长与面积之间的内在联系练习计算三角形面积例题1已知三角形的底边长为6cm，对应的高为4cm，求该三角形的面积解使用公式S=1/2×底×高代入数值S=1/2×6×4=12cm²例题2三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，求该三角形的面积解使用海伦公式首先计算半周长s=3+4+5/2=6cm然后代入海伦公式S=√[ss-as-bs-c]=√[66-36-46-5]=√[6×3×2×1]=√36=6cm²例题3等边三角形的边长为10cm，求该三角形的面积三角函数基本概念正弦（sin）余弦（cos）正切（tan）在直角三角形中，某一锐在直角三角形中，某一锐在直角三角形中，某一锐角的正弦等于对边与斜边角的余弦等于邻边与斜边角的正切等于对边与邻边的比值即sinθ=对边/的比值即cosθ=邻边/的比值即tanθ=对边/斜边正弦函数的值域为斜边余弦函数的值域为邻边=sinθ/cosθ正[-1,1]，表示角对应的高[-1,1]，表示角对应的水切函数的值域为-∞,+∞度比例平投影比例，表示斜率或倾斜程度三角函数是描述角度与边长关系的函数，最初源于对直角三角形的研究，后扩展到任意角度除了上述基本三角函数外，还有余切（cot）、正割（sec）和余割（csc）函数，它们分别是正切、余弦和正弦的倒数三角函数在数学、物理、工程等领域有广泛应用，是描述周期性现象和旋转运动的基本工具在三角形计算中，三角函数是连接角度和边长的桥梁，使我们能够通过已知的角度求边长，或通过已知的边长求角度三角函数在直角三角形中的应用求边长求角度实际应用在直角三角形中，如果已知一个锐角和在直角三角形中，如果已知两条边的长三角函数在直角三角形中的应用非常广一条边的长度，可以利用三角函数求其度，可以利用三角函数求锐角的度数泛，包括他边的长度•已知对边a和斜边c，则角θ=•测量高度和距离，如测量建筑物高度•已知角θ和斜边c，则对边a=c·sinθarcsina/c、山的高度、两点间的距离等，邻边b=c·cosθ•已知邻边b和斜边c，则角θ=•导航和定位，如确定方向、计算航线•已知角θ和对边a，则斜边c=a/sinθarccosb/c等，邻边b=a/tanθ•已知对边a和邻边b，则角θ=•解决物理问题，如分析力的分解、计•已知角θ和邻边b，则斜边c=b/cosθarctana/b算物体运动轨迹等，对边a=b·tanθ•工程设计，如桥梁、建筑物、机械装置等的设计练习运用三角函数解直角三角形例题1例题2例题3在直角三角形ABC中，∠C=90°，在直角三角形PQR中，∠R=90°，PQ在直角三角形XYZ中，∠Z=90°，XZ∠A=30°，AB=10cm求BC和AC的=15cm，QR=9cm求∠P和PR的长=6cm，YZ=8cm求XY的长度和长度度∠X的度数解在直角三角形中，AB是斜边，BC解在直角三角形中，PQ是斜边，QR解使用勾股定理求斜边XY是∠A的对边，AC是∠A的邻边是∠P的邻边XY²=XZ²+YZ²=6²+8²=36+64=所以BC=AB·sin A=10·sin30°=10所以cos P=QR/PQ=9/15=

0.6100·

0.5=5cm∠P=arccos

0.6≈

53.13°XY=10cmAC=AB·cos A=10·cos30°=10·∠Q=90°-∠P≈

36.87°求∠X tanX=YZ/XZ=8/6=4/3≈

0.866≈

8.66cm

1.333PR=PQ·sin P=15·sin

53.13°=15·

0.8=12cm∠X=arctan4/3≈

53.13°正弦定理定理变形正弦定理也可以表示为sin A/a=sin B/b=2sin C/c=1/2R这种形式有时更便于解决定理内容某些问题，尤其是已知两个角和一边，求第三个角或其他边的情况在任意三角形中，各边与其对角的正弦的比值相等，且等于三角形外接圆的直径即1应用条件a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R，其中a、b、c是三角形的三边，A、B、C是对应的对正弦定理适用于任意三角形，无论是锐角、角，R是三角形外接圆的半径直角还是钝角三角形它在已知两个角和一边，或两个边和一个非夹角的情况下特别有3用当已知两个边和它们的夹角时，余弦定理更为适用余弦定理定理内容在任意三角形中，任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍表达式为a²=b²+c²-2bc·cos Ab²=a²+c²-2ac·cos Bc²=a²+b²-2ab·cos C其中a、b、c是三角形的三边，A、B、C是对应的对角与勾股定理关系余弦定理是勾股定理的推广当三角形为直角三角形时（例如C=90°），由于cos90°=0，余弦定理简化为c²=a²+b²，这正是勾股定理应用条件余弦定理适用于任意三角形它在已知三边求角度，或已知两边和它们的夹角求第三边的情况下特别有用练习运用正弦定理和余弦定理解题1例题1使用正弦定理2例题2使用余弦定理3例题3综合应用在三角形ABC中，已知∠A=45°，在三角形PQR中，已知PQ=5cm，在三角形XYZ中，已知XY=6cm，∠B=60°，AC=8cm求AB的长度PR=7cm，∠P=50°求QR的长度YZ=8cm，XZ=10cm求∠Y的度数解首先计算第三个角∠C=180°解使用余弦定理QR²=PQ²+PR²解使用余弦定理XZ²=XY²+YZ²-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°-2·PQ·PR·cos P-2·XY·YZ·cos Y使用正弦定理AB/sin C=AC/sin B代入数值QR²=5²+7²-2·5·7·代入数值10²=6²+8²-2·6·8·cos50°cos Y代入数值AB/sin75°=8/sin60°QR²=25+49-70·

0.6428≈

29.0100=36+64-96·cos YAB=8·sin75°/sin60°=8·

0.9659/

0.866≈

8.92cm QR≈

5.39cm100=100-96·cos Y96·cos Y=0cos Y=0∠Y=90°三角形的五心重心内心与外心垂心与旁心重心是三角形三条中线的交点中线是从顶内心是三角形三条角平分线的交点，也是三垂心是三角形三条高的交点高是从顶点到点到对边中点的线段重心将每条中线按2:1角形内切圆的圆心内心到三角形三边的距对边（或其延长线）的垂线在锐角三角形的比例分割重心是三角形的平衡点，如果离相等中，垂心在三角形内部；在直角三角形中，三角形是由均匀材料制成的，那么它可以在垂心在直角顶点；在钝角三角形中，垂心在外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心处平衡三角形外部也是三角形外接圆的圆心外心到三角形三个顶点的距离相等旁心是指与三角形一边和其他两边的延长线相切的圆的圆心每个三角形有三个旁心，分别对应三条边三角形的重心性质分割比例2到顶点距离:到对边中点距离=2:1位置定义1三条中线交点面积平分将三角形分为六个等面积三角形3三角形的重心G具有许多重要性质首先，它是三角形三条中线的交点中线是连接顶点与对边中点的线段，每个三角形有三条中线重心将每条中线分成两段，靠近顶点的段与靠近对边中点的段的比为2:1用代数表示，如果M是边BC的中点，则AG:GM=2:1重心是三角形的质心，如果三角形是由均匀材料制成的平板，则该平板会在重心处平衡重心到各顶点的距离之和最小重心到各顶点的距离的平方和也最小重心将三角形分为六个等面积的小三角形三条中线将三角形分成六个小三角形，这六个小三角形的面积相等三角形的内心性质位置定义三角形的内心是三条角平分线的交点角平分线是从顶点出发，将角一分为二的射线每个三角形有三条角平分线，它们总是交于一点，即内心到边距离内心到三角形三边的距离相等这个共同的距离就是内切圆的半径由于这个性质，内心是三角形内切圆的圆心，内切圆与三角形的三边都相切面积公式如果三角形的半周长为s，内切圆半径为r，则三角形的面积S=s×r这个公式提供了计算三角形面积的另一种方法位置特性在锐角三角形中，内心位于三角形内部在任何三角形中，内心都是三个顶点到对边的距离的调和平均数内心也是使得到三个顶点的距离之和最小的点三角形的外心性质位置定义三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点垂直平分线是过边中点且垂直于该边的直线每个三角形有三条边的垂直平分线，它们总是交于一点，即外心到顶点距离外心到三角形三个顶点的距离相等这个共同的距离就是外接圆的半径由于这个性质，外心是三角形外接圆的圆心，外接圆经过三角形的三个顶点位置特性在锐角三角形中，外心位于三角形内部；在直角三角形中，外心位于斜边的中点；在钝角三角形中，外心位于三角形外部欧拉线性质三角形的外心O、重心G和垂心H在同一条直线上，这条直线称为欧拉线在这条线上，OG:GH=1:2也就是说，重心将外心和垂心的连线按照1:2的比例分割三角形的垂心性质1位置定义三角形的垂心是三条高的交点高是从顶点到对边（或其延长线）的垂线每个三角形有三条高，它们总是交于一点，即垂心2位置特性在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部3垂足四边形从垂心到三角形三边所做的垂线的垂足，以及三角形的三个顶点，这六个点中的任意四个都可以形成一个圆内接四边形特别地，三个垂足和任意一个顶点构成的四边形是圆内接四边形4垂心三角形如果H是三角形ABC的垂心，则三角形HBC、HAC和HAB中，A、B、C分别是它们的垂心这被称为垂心三角形的性质练习三角形的五心综合应用重心内心外心垂心旁心例题1在等边三角形中，证明五心（重心、内心、外心、垂心）重合于一点解在等边三角形中，由于三边相等，三个角也相等（均为60°），所以从任一顶点到对边的垂线同时也是该角的角平分线和对边的中垂线这意味着高线、角平分线和边的垂直平分线重合因此，重心、内心、外心和垂心也重合于同一点例题2在直角三角形中，外心位于何处？解在直角三角形中，外心位于斜边的中点这是因为斜边的中垂线经过直角顶点，而另外两条边的中垂线相交于斜边的中点例题3证明三角形的垂心是三角形内心的等角共轭点解这需要使用等角共轭的概念可以证明，如果I是三角形的内心，H是垂心，则∠AIH=∠CIB，∠BIH=∠AIC，∠CIH=∠BIA三角形的不等式三角不等式反三角不等式其他不等式三角不等式是构成三角形的必要条件反三角不等式也是构成三角形的必要条除了基本的三角不等式，三角形还满足任意两边之和大于第三边用数学表达件任意两边之差的绝对值小于第三边许多其他不等式，例如式表示为a+bc，b+ca，a+c用数学表达式表示为|a-b|c，|b-•周长与面积的关系4√3·S≤p²，其b，其中a、b、c是三角形的三边长c|a，|a-c|b中S是面积，p是周长三角不等式的几何意义是两点间的直反三角不等式实际上是三角不等式的另•内切圆半径不等式r≤s/3，其中r是线距离是最短的路径在物理上，它表一种表现形式它们共同构成了三条边内切圆半径，s是半周长示两条不能伸直的杆无法连接超过它们能够形成三角形的充分必要条件•外接圆半径不等式R≥abc/4S，长度之和的两点其中R是外接圆半径•边与角的关系如果ab，则∠A∠B（较大的边对应较大的角）三角形的离心率

10.5离心率定义计算方法三角形的离心率是描述其形状偏离圆的程度的数三角形离心率通常用内切圆半径与外接圆半径的值比值表示

0.33特殊值等边三角形的离心率达到最大值

0.5三角形的离心率是几何学中的一个重要概念，用于描述三角形形状的特性与椭圆的离心率类似，它反映了图形偏离理想形状（对三角形而言是等边三角形）的程度对于三角形，离心率e可以用多种方式定义，最常见的是内切圆半径r与外接圆半径R的比值e=r/R这个比值最大为

0.5，在等边三角形中达到，而对于退化成直线的三角形，这个比值趋近于0离心率与三角形的不规则程度有关离心率越大，三角形越接近等边三角形；离心率越小，三角形越细长或不规则这个概念在比较不同三角形的形状特征时很有用三角形的垂心定理垂心特性1三角形三条高的交点垂心与锐钝角关系2位置由三角形类型决定垂心三角形3原三角形顶点为垂心三角形的垂心欧拉线关系4与重心、外心共线三角形的垂心定理包含了一系列关于垂心的重要性质垂心是三角形三条高的交点，而高是从顶点到对边（或其延长线）的垂线垂心的位置与三角形的类型密切相关在锐角三角形中，垂心位于三角形内部；在直角三角形中，垂心位于直角顶点；在钝角三角形中，垂心位于三角形外部垂心三角形定理指出如果H是三角形ABC的垂心，则在三角形HBC、HAC和HAB中，点A、B、C分别是它们的垂心这一性质建立了原三角形与垂心三角形之间的对偶关系垂心还与其他三角心有关联垂心、重心和外心在同一条直线上，这条直线称为欧拉线在这条线上，重心将外心和垂心的连线按1:2的比例分割欧拉定理在三角形中的应用欧拉线定义欧拉线是连接三角形的外心O、重心G和垂心H的直线这三点总是共线的，这一发现归功于数学家莱昂哈德·欧拉欧拉比例在欧拉线上，重心G将外心O和垂心H的连线按1:2的比例分割用数学表达式可以写为OG:GH=1:2这个比例关系是欧拉线的重要特性九点圆与欧拉线相关的是九点圆，它通过三角形三边的中点、三条高的垂足以及从三个顶点到垂心的连线的中点九点圆的圆心位于欧拉线上，正好是外心和垂心连线的中点欧拉距离公式欧拉还发现了一个关于三角形中各点之间距离的公式OH²=9R²-a²+b²+c²，其中OH是外心到垂心的距离，R是外接圆半径，a、b、c是三角形的三边长综合练习

（一）例题1例题2例题3在三角形ABC中，已知AB=5cm，BC=7cm，AC=在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=13cm，AC在三角形PQR中，已知PQ=8cm，QR=10cm，∠Q8cm求该三角形的面积=5cm求BC的长度和∠A的度数=60°求PR的长度解使用海伦公式解使用勾股定理求BC解使用余弦定理半周长s=AB+BC+AC/2=5+7+8/2=BC²=AB²-AC²=13²-5²=169-25=144PR²=PQ²+QR²-2·PQ·QR·cos Q10cmBC=12cm=8²+10²-2·8·10·cos60°面积S=√[ss-ABs-BCs-AC]使用三角函数求∠A=64+100-160·

0.5=√[1010-510-710-8]sin A=BC/AB=12/13≈

0.9231=164-80=84=√[10·5·3·2]∠A=arcsin

0.9231≈

67.38°PR=√84≈

9.17cm=√300≈

17.32cm²综合练习

（二）例题1在三角形ABC中，点D是BC边上的一点，使得BD:DC=2:1点E是CA边上的一点，使得CE:EA=1:2证明AE/AC=BD/BC解根据分点公式，D是BC上的分点，且BD:DC=2:1，所以BD/BC=2/3同理，E是CA上的分点，且CE:EA=1:2，所以CE/CA=1/3，因此AE/AC=2/3所以AE/AC=BD/BC=2/3，命题得证例题2在等边三角形ABC中，点P是内部一点证明PA+PB+PC≥2·R·√3，其中R是外接圆半径解利用三角不等式和等边三角形的性质，可以证明PA+PB+PC的最小值在P为三角形中心时取得，此时PA=PB=PC=R，所以PA+PB+PC=3R2·R·√3，因为32√3因此不等式成立例题3在三角形ABC中，已知三边长a、b、c满足a²+b²=2c²证明这个三角形有一个30°的角解使用余弦定理，a²+b²=2c²可变形为c²=a²+b²-2ab·cos C=2c²，解得cos C=1/2，即C=60°由三角形内角和，A+B+C=180°，所以A+B=120°再使用正弦定理和三角函数的性质，可以证明A或B等于30°综合练习

（三）1挑战题1在三角形ABC中，点D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点，使得BD/BC=CE/CA=AF/AB=1/2证明三角形DEF的面积是三角形ABC面积的1/42挑战题2证明三角形中，内切圆半径r、外接圆半径R和三角形面积S之间有关系S=rs，其中s是半周长3挑战题3在三角形ABC中，点P是内部一点从P点分别向三边引垂线，垂足分别为D、E、F证明如果P是三角形的垂心，则1/PA²+1/PB²+1/PC²=1/R²，其中R是外接圆半径4挑战题4证明在任意三角形中，重心到各顶点的距离的平方和等于各边长平方和的1/3总结与回顾基本概念1三角形定义、分类、基本要素重要定理2内角和定理、勾股定理、正余弦定理特殊线段3中线、角平分线、高及其性质高级应用4五心性质、欧拉定理、不等式关系本课程系统回顾了三角形的各项知识点，从基本定义、分类到各种定理和应用我们学习了三角形的内角和定理、外角定理、三角不等式、勾股定理以及正弦定理和余弦定理等核心内容我们还深入探讨了三角形的特殊线段，如中线、角平分线和高线，以及它们的交点（重心、内心和垂心）的性质通过各种练习题，我们掌握了解决三角形问题的基本方法和技巧在高级内容部分，我们学习了三角形的五心、欧拉线、九点圆等高级概念，以及它们之间的关系这些知识不仅对于解决几何问题有帮助，也为我们理解更高级的数学概念奠定了基础。