二次函数课件

二次函数导论欢迎来到二次函数的奇妙世界！二次函数是数学中最基础也最重要的函数之一，它在我们的生活和科学研究中有着广泛的应用在这个课程中，我们将探索二次函数的定义、图像特征、性质及其在实际问题中的应用无论是描述抛物线运动、优化问题，还是解决方程，二次函数都展现出独特的魅力让我们一起踏上这段数学之旅，揭开二次函数的神秘面纱！课程目标掌握基本概念1理解二次函数的定义、一般形式及其几何意义，能够识别不同形式的二次函数表达式并理解其中参数的意义分析图像特征2掌握抛物线的基本特征，包括开口方向、对称轴、顶点和交点等，能够根据函数表达式分析其图像特征解决实际问题3能够运用二次函数的性质解决实际问题，特别是与最值相关的优化问题，以及在物理、经济等领域的应用提高数学思维4通过学习二次函数，培养数学思维能力，特别是函数与方程的关系、函数的变换等抽象思维能力什么是二次函数？函数定义数学表达式二次函数是指自变量的最高次数二次函数的标准形式为为的函数它可以表示为，其中、、是常2y=fx y=ax²+bx+c a b c，其中是关于的二次多项式数，且决定了抛物线的开fx x a≠0a这种函数在坐标平面上形成的口方向和宽窄，和则影响抛物b c图像是一条抛物线线的位置实际意义二次函数广泛应用于描述物体的抛物运动、优化问题中的最值问题，以及许多物理和经济现象正是因为其简单性和实用性，二次函数成为中学数学中的重要内容二次函数的一般形式一般式二次函数的一般形式为（其中）这是最常见的表达形y=ax²+bx+c a≠0式，所有二次函数都可以写成这种形式系数、、的不同取值决定了不同的a b c二次函数顶点式二次函数还可以表示为顶点式这种形式直接显示了抛物线y=ax-h²+k的顶点坐标，便于我们分析函数的图像特征h,k因式分解式当二次函数有两个零点时，可以写成因式分解式₁₂，其中y=ax-x x-x₁和₂是函数的零点这种形式便于我们分析函数与轴的交点x x x特殊形式二次函数的特殊形式包括（抛物线过原点）、（抛物线顶y=ax²y=ax²+k点在轴上）和（抛物线顶点在轴上）y y=ax-h²x二次函数的图像抛物线抛物线定义1二次函数的图像是一条抛物线抛物线是平面内到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点的轨迹这种特殊的几何形历史起源状在自然界和人造结构中都有体现2抛物线的研究可以追溯到古希腊时期数学家阿波罗尼奥斯在公元前三世纪就研究了圆锥曲线，其中包括抛物线而抛物线这个名实际应用3字来源于希腊语，意为比较或应用抛物线在生活中有很多应用，比如桥梁拱形、灯罩反射面、抛物天线、水流喷泉等它的反射性质使它在光学和声学设计中特别有用抛物线的基本特征顶点对称轴顶点是抛物线上的特殊点，它位于对称抛物线有一条垂直于轴的对称轴，关于2轴上，是抛物线的最高点或最低点x1这条轴抛物线是对称的开口方向抛物线可以向上开口或向下开口，取决于二次项系数的符号a3交点5宽窄程度抛物线与坐标轴的交点是重要的特征点，特别是与轴的交点（即函数的零点）抛物线的宽窄由的大小决定，越大x|a||a|4，抛物线越窄；越小，抛物线越宽|a|二次函数的图像y=ax²基本形式是最简单的二次函数形式，其图像是一条经过原点的抛物线这是研y=ax²究二次函数的基础，其他形式都可以看作是从这个基本形式变换得到的顶点位置函数的抛物线顶点在原点无论取什么值（只要），抛y=ax²0,0a a≠0物线都通过原点，并且原点是抛物线的顶点对称性函数的图像关于轴对称，因为对于任意的值，y=ax²y xf-x=a-这意味着对称轴是轴，即x²=ax²=fx y x=0零点情况函数只有一个零点，就是（因为当时，）这y=ax²x=0x=0y=0意味着抛物线与轴只有一个交点，即原点x的正负对图像的影响a向上开口向下开口a0a0当系数大于时，二次函数的图像是一条向上开口的抛物当系数小于时，二次函数的图像是一条向下开口的抛物a0y=ax²a0y=ax²线这意味着抛物线的两端都指向上方，并且在原点处取得最小线这意味着抛物线的两端都指向下方，并且在原点处取得最大值从几何意义上看，函数是在轴的左右两侧递增的值从几何意义上看，函数是在轴的左右两侧递减的x x例如，、都是向上开口的抛物线例如，、都是向下开口的抛物线y=2x²y=

0.5x²y=-3x²y=-

0.25x²的大小对图像的影响|a|较大抛物线较较小抛物线较标准宽度|a||a||a|=1窄宽当时，即函数为|a|=1当的值较大时，二次当的值较小（但不为或，抛物线|a||a|y=x²y=-x²函数的图像是一）时，二次函数具有标准宽度这常y=ax²0y=ax²条较窄的抛物线这是的图像是一条较宽的抛被用作参考来比较其他因为的平方值被乘以物线这是因为的平值导致的图像变化x x|a|了一个较大的系数，使方值被乘以了一个较小在教学中，我们通常先得值变化更快例如的系数，使得值变化研究的图像，再研y y y=x²，的图像就比更慢例如，究其他情况y=5x²y=

0.2x²的图像要窄得多的图像就比的图像y=x²y=x²要宽得多二次函数的图像y=ax²+k形式解析在基本形式的基础上加上常数1y=ax²k几何意义2相当于把的图像沿轴平移个单位y=ax²y k顶点位置3顶点位于，即在轴上0,k y重要性质4保持开口方向和宽窄程度不变，只改变位置应用价值5研究函数图像的垂直平移变换函数是在的基础上加上一个常数，从几何意义上看，这相当于将抛物线整体沿轴上下平移个单位当时，抛物线向上平移；当时，抛物线向下平移y=ax²+k y=ax²k y k k0k0这种变换不改变抛物线的开口方向和宽窄程度，只改变其位置值对图像的影响k值图像变化顶点位置零点情况k抛物线向上平移可能有、或k00,k01个单位个零点k2回到基本形式只有一个零点k=00,0y=ax²x=0抛物线向下平移可能有、或k00,k01个单位个零点|k|2当二次函数表达式为时，常数的值会影响抛物线在坐标平面中的位置具y=ax²+k k体来说，值决定了抛物线顶点的坐标，从而影响了整条抛物线的上下位置k y值还会影响函数的零点情况例如，当时，如果，抛物线可能完全在轴上k a0k0x方，没有零点；如果，抛物线只在原点与轴相交；如果，抛物线与轴有两k=0x k0x个交点，即函数有两个零点二次函数的图像y=ax-h²向右平移无平移向左平移h0h=0h0当时，二次函数的图像是当时，函数简化为，这是基本当时，二次函数的图像是h0y=ax-h²h=0y=ax²h0y=ax-h²将的图像向右平移个单位抛物线的二次函数形式抛物线的顶点在原点将的图像向左平移个单位抛物y=ax²h y=ax²|h|的顶点移到了，即在轴上向右移动，对称轴是轴这是研究水平平移线的顶点移到了，即在轴上向左移h,0x0,0y h,0x了个单位这种平移不改变抛物线的开口的参考状态，我们通常从这个状态出发研动了个单位这种平移同样不改变抛物h|h|方向和宽窄程度究不为时的情况线的基本形状h0值对图像的影响h理解的意义x-h²1表达式在几何上意味着将自变量向右平移个单位x-h²x h对称轴的变化2抛物线的对称轴从变为x=0x=h顶点横坐标的变化3顶点的横坐标从变为x=0x=h整体图像的平移4整个抛物线沿轴平移，但不改变形状x二次函数中的值直接影响了抛物线在水平方向上的位置它决定了抛物线对称轴的位置，对称轴由变为同时，抛物线的顶点也从原点移动到了轴y=ax-h²h x=0x=h x上的点h,0这种水平平移保持了抛物线的基本性质，如开口方向和宽窄程度不变，只是改变了其在平面中的水平位置理解这种平移对分析复杂二次函数的图像特征非常有帮助二次函数的图像y=ax-h²+k二次函数是最一般的顶点形式，它综合了前面讨论的两种平移变换在这个形式中，常数表示水平平移，表示垂直平移y=ax-h²+k hk抛物线的顶点位于，对称轴是h,k x=h这种形式直接显示了抛物线的顶点坐标，因此被称为顶点式通过观察的值，我们可以快速确定抛物线的位置系数则决定了抛h,k a物线的开口方向和宽窄程度，与前面讨论的规律相同顶点坐标的意义h,kh,k顶点坐标在二次函数中，点是抛物线的顶点，这是抛物线上的一个特殊点，它位于抛物线的对称轴上y=ax-h²+k h,kx=h对称轴直线是抛物线的对称轴，抛物线关于这条直线对称这意味着如果点在抛物线上，那么点也在抛物线上x=h h+d,m h-d,mfh=k函数值在顶点处，函数取值为这意味着当时，根据的符号，这个值可能是函数的最大值或最小值k x=h y=k a±√y-k/a反函数关系如果我们从顶点出发，对于任意值（满足一定条件），可以找到两个对应的值，它们关于对称y x x=h二次函数的图像y=ax²+bx+c一般形式的意义转化为顶点式二次函数是最常见的形式，其中、、是常数，且一般形式可以通过配方法转化为顶点式，其中y=ax²+bx+c a b c a≠0y=ax-h²+k h=-b/2a这种形式在数学问题中最为常见，但直接从中看出图像的特征较为困难，这样可以直接得到顶点坐标和对称轴位置k=c-b²/4a图像特征零点与系数的关系抛物线的开口方向由的符号决定；宽窄由的大小决定；位置则由和二次函数的零点与一元二次方程的解相同零a|a|b y=ax²+bx+c ax²+bx+c=0共同决定对称轴是，顶点坐标是点的个数由判别式的符号决定c x=-b/2a-b/2a,f-b/2aΔ=b²-4ac系数、、对图像的影响a b c系数的影响a系数决定了抛物线的开口方向和宽窄程度当时，抛物线向上开口；当a a0时，抛物线向下开口越大，抛物线越窄；越小，抛物线越宽是二a0|a||a|a次函数最重要的参数系数的影响b系数影响抛物线的平移和倾斜程度的值决定了对称轴的位置b b x=-b/2a还会影响抛物线与轴的交点位置以及抛物线的整体朝向b y系数的影响c系数是常数项，它决定了抛物线与轴的交点当时，的变化相当c y x=0y=c c于抛物线在轴方向的平移的值增大，抛物线上移；的值减小，抛物线下移y c c系数间的相互作用系数、、不是独立作用的，它们共同决定了抛物线的形状和位置特别是顶a bc点的位置由和共同决定，而函数的零点则由、、三个系数共同决定a b a bc二次函数的对称轴对称轴的定义1二次函数的对称轴是一条垂直于轴的直线，关于这条直线，抛物线是对称的也就x是说，如果将抛物线沿这条直线折叠，左右两部分会完全重合对称轴的方程2对于二次函数（），其对称轴的方程是这个结论可以y=ax²+bx+c a≠0x=-b/2a通过配方法或微分得到对于顶点式，对称轴是y=ax-h²+k x=h对称性的几何意义3如果点在抛物线上，那么点也在抛物线上，其中是对称轴p,q2t-p,q t=-b/2a的坐标这种对称性对于研究抛物线的性质和绘制抛物线图像非常有用x利用对称轴求顶点4知道对称轴后，可以代入原函数求得顶点的坐标，即x=-b/2a yk=f-b/2a=c-这样就得到了顶点坐标b²/4a-b/2a,c-b²/4a二次函数的顶点顶点的定义顶点的坐标顶点是二次函数图像（抛物线）上的一个特对于二次函数（），其顶点y=ax²+bx+c a≠012殊点，它位于对称轴上当时，顶点是函a0坐标是对于顶点式-b/2a,c-b²/4a数的最小值点；当时，顶点是函数的最大a0，顶点坐标直接就是y=ax-h²+k h,k值点顶点的应用求顶点的方法顶点是研究二次函数的关键点，它可以帮助可以通过配方法将一般式转化为顶点式来求我们分析函数的最值、判断函数的增减性、顶点；也可以先求出对称轴，再代x=-b/2a43绘制函数图像，以及解决与最优化相关的实入原函数求值；还可以利用导数，使y fx=0际问题求出极值点如何求顶点坐标方法一配方法将二次函数通过配方转化为顶点式具体步骤是将y=ax²+bx+c y=ax-h²+k改写为，再配成，最后整理得ax²+bx ax²+b/ax ax+b/2a²-ab²/4a²到顶点坐标-b/2a,c-b²/4a方法二对称轴法先求出对称轴，然后将这个值代入原函数，计算对应的值这x=-b/2a x y样得到的点就是顶点这种方法简单直接，适用于各种形式的二次函数方法三导数法二次函数的导数是令，得到，y=ax²+bx+c y=2ax+b y=0x=-b/2a这就是顶点的坐标再代入原函数求出值，就得到了顶点的完整坐标x y方法四公式直接代入记住顶点坐标公式，直接将、、的值代-b/2a,c-b²/4a a bc入即可这种方法最快捷，但需要记忆公式二次函数的零点零点的定义零点的判断二次函数的零点是指函数值等于时对应的自变量值，即方程二次函数零点的个数由判别式的符号决定若0Δ=b²-4ac-Δ0的解从几何意义上看，零点就是二次函数图像与轴的交，则函数有两个不同的零点₁₂±若fx=0x x,=-b√Δ/2a-Δ=0点的横坐标，则函数有一个零点（重根）₀若，则函数x=-b/2a-Δ0没有实数零点对于二次函数，求零点就是求解一元二次方程y=ax²+bx+c根据二次方程的性质，这个方程可能有个、个从几何角度看，表示抛物线与轴相交于两点；表示抛ax²+bx+c=001Δ0xΔ=0或个实数解，对应的抛物线与轴有个、个或个交点物线与轴相切于一点；表示抛物线与轴不相交2x012xΔ0x如何求二次函数的零点方法一公式法对于二次函数，令，得到方程使用求根公式±y=ax²+bx+c y=0ax²+bx+c=0x=-b√b²-直接求解这种方法适用于所有情况，但计算可能较复杂4ac/2a方法二因式分解法如果二次式能够因式分解为的形式，那么零点就是和这ax²+bx+c ax-mx-n x=m x=n种方法简单直观，但不是所有二次式都容易因式分解方法三配方法将二次函数化为顶点式，令，得到，解得±（y=ax-h²+k y=0ax-h²+k=0x=h√-k/a当时有解）这种方法有助于理解几何意义ak0方法四图像法绘制二次函数图像，找出图像与轴的交点这种方法直观但不精确，适合于粗略估计或验x证其他方法的结果二次函数与轴的交点x交点与零点的关系1二次函数与轴的交点就是函数的零点，即满足的点从几何角度看y=fx x fx=0，这些点的坐标形式为₀，其中₀是方程的解x,0x fx=0交点个数的判断2抛物线与轴交点的个数取决于判别式若，有两个交点若xΔ=b²-4ac-Δ0-，有一个交点（相切）若，没有交点Δ=0-Δ0交点坐标的计算3若有交点，其横坐标为±，纵坐标均为这些交点的位x=-b√b²-4ac/2a0置对于分析函数的性质非常重要，例如可以用来确定函数的符号与顶点的关系4当时，唯一的交点恰好是抛物线的顶点在轴上的投影当时，两个交Δ=0xΔ0点关于对称轴对称分布二次函数与轴的交点y交点的确定不同形式下的交点交点的应用特殊情况二次函数与轴的交点是对于一般式，轴交轴交点反映了函数在原点附近当时，二次函数与轴的交y=fx y y=ax²+bx+c yy c=0y指时的函数值对应的点对点是；对于顶点式的行为，是绘制函数图像的重要点是原点，这时抛物线经x=00,c y=ax-0,0于二次函数，代入，轴交点是参考点在某些应用问题中，过原点当时，顶点在轴y=ax²+bx+c h²+k y0,a0-y h=0y得到，所以与轴的交点；对于因式分解轴交点可能有特殊的实际意义，上，顶点坐标为，此时顶x=0y=c yh²+k=a·h²+k0,k坐标是式，轴交点是例如表示初始状态或固定成本点就是与轴的交点0,c y=ax-px-q yy0,a·p·q二次函数的单调性单调性的定义函数的单调性是指函数值随自变量增大而增大（单调递增）或减小（单调递减）的性质对于二次函数，由于其图像是抛物线，所以它在不同区间上有不同的单调性单调区间的判断对于二次函数当时，函数在上单调递减，在y=ax²+bx+c-a0-∞,-b/2a-上单调递增当时，函数在上单调递增，在b/2a,+∞-a0-∞,-b/2a-上单调递减b/2a,+∞单调性的分析方法可以通过求导数来分析函数的单调性对于，其导数是当y=ax²+bx+c y=2ax+b y0时，函数递增；当时，函数递减；当时，函数达到极值点，这个点就是顶点y0y=0单调性的几何意义从几何角度看，函数的单调递增区间对应着抛物线上切线斜率为正的部分，单调递减区间对应着切线斜率为负的部分在顶点处，切线平行于轴，斜率为x0二次函数的最值最值的定义在函数的定义域内取得的最大值或最小值1最值的位置2在顶点处取得，坐标为-b/2a,c-b²/4a最值的类型3当时取得最小值，当时取得最大值a0a0最值的计算4最值等于或（顶点式中的常数）c-b²/4a k最值的应用5解决优化问题，如最大利润、最小成本等二次函数的最值是指函数在其定义域上能够取到的最大值或最小值对于二次函数，当时，函数有最小值，最小值点是顶点；当时，函数有最大值，最大y=ax²+bx+c a0a0值点也是顶点如何求二次函数的最值1配方法将二次函数通过配方转化为顶点式，其中就是函数的最值这种方法直观，但计算过程可能较繁琐y=ax²+bx+c y=ax-h²+k k2求导法求出二次函数的导数，令解得，这是临界点将此值代入原函数，得到的值就是函数的最值y=2ax+b y=0x=-b/2a x yy=c-b²/4a3公式法直接使用最值公式对于，其最值为，最值点的横坐标为这种方法最简便，但需要记忆公式y=ax²+bx+cc-b²/4a x=-b/2a4图像法绘制函数图像，找出抛物线的顶点，该点的纵坐标就是函数的最值这种方法直观但不够精确，适合于初步分析或结果验证二次函数的平移变换水平平移垂直平移将变为，图像沿轴平移个单1将变为，图像沿轴平移个单y=fx y=fx-h xh y=fx y=fx+k yk位2位综合平移平移的几何意义4将变为，图像先水平后垂直y=fx y=fx-h+k平移变换不改变图像的形状，只改变其位置3平移平移变换是二次函数图像变换中最基本的一种对于基本的二次函数，进行水平平移个单位得到，进行垂直平移个单位得到y=ax²h y=ax-h²k，进行综合平移得到y=ax²+k y=ax-h²+k理解平移变换有助于我们将复杂的二次函数转化为简单形式，从而更容易分析其性质例如，通过完全平方公式将一般式转化为顶点式y=ax²+bx+cy=ax+b/2a²+c-b²/4a二次函数的伸缩变换垂直伸缩1将变为（），相当于将图像在方向上伸缩倍当时，图像在y=fx y=kfx k0yk k1y方向上被拉伸；当0水平伸缩2将变为（），相当于将图像在方向上伸缩倍当时，图像y=fx y=fkx k0x1/kk1在方向上被压缩；当x0伸缩的几何意义3伸缩变换改变了图像的形状（宽窄程度），但不改变图像的基本类型和开口方向对于抛物线来说，伸缩变换会改变其胖瘦，但不会改变它是抛物线的本质伸缩与系数的关系4a对于二次函数，系数的绝对值本质上反映了图像的伸缩程度大，表示图像瘦高a|a||a|；小，表示图像矮胖理解这一点有助于我们分析不同值对应的二次函数图像|a|a二次函数的综合变换原始函数伸缩变换平移变换变换后的性质我们通常从最简单的二次函数对原始函数进行伸缩变换，得对伸缩后的函数进行平移变换经过综合变换后，抛物线的基出发，它是一条通过原点到（）当时，，得到这一步本性质保持不变它仍然是关y=x²y=ax²a≠0a0y=ax-h²+k、向上开口的抛物线这个函抛物线向上开口；当时，改变了抛物线的位置，使其顶于某条垂直线对称的，仍然有a0数的顶点在原点，对称轴抛物线向下开口的大小决点从原点移动到点这种一个顶点，仍然可能与坐标轴0,0|a|h,k是轴，在轴上没有其他交点定了抛物线的宽窄程度这一综合变换包括了水平平移和垂有交点但这些特征点的具体y x步改变了抛物线的形状直平移位置发生了变化一元二次方程与二次函数的关系代数关系几何意义一元二次方程实际上是在求二次函数的从几何角度看，一元二次方程与二次函数之间存在紧密的联系ax²+bx+c=0y=ax²+bx+c零点，即函数值为时对应的值从这个意义上说，解一元二次二次方程的解对应于二次函数图像与轴的交点当时，如果0x x a0方程就是找二次函数与轴的交点，则方程有两个异号的解；如果，则方程有一个解为；x c0c=00如果，则方程没有实数解0b²/4a方程的解的个数由判别式决定方程有两个Δ=b²-4ac-Δ0不同的实数解，对应函数与轴有两个交点方程有一个理解这种关系有助于我们用图像方法解决方程问题，也有助于我x-Δ=0重根，对应函数与轴相切方程没有实数解，对应函数们理解方程解的性质和分布x-Δ0与轴没有交点x用图像解一元二次方程步骤一转化为标准形式将一元二次方程转化为函数形式，我们需要求的ax²+bx+c=0y=ax²+bx+c是时的值，即函数与轴的交点y=0x x步骤二确定函数性质分析函数的性质，特别是开口方向（由的符号决定）、y=ax²+bx+c a顶点位置、轴交点等-b/2a,c-b²/4a y0,c步骤三绘制函数图像根据函数性质绘制抛物线图像可以先标出顶点和轴交点，然后y利用对称性和几个特征点绘制出完整的抛物线步骤四读取交点坐标找出抛物线与轴的交点，这些交点的横坐标就是原方程的解x如果抛物线与轴不相交，则原方程没有实数解x用配方法确定二次函数表达式配方的基本原理配方法是将二次函数的一般式转化为顶点式的一种方法y=ax²+bx+c y=ax-h²+k它基于完全平方公式x+p²=x²+2px+p²配方的步骤将中的提出来在括号内配成

1.ax²+bx+c ax²+bx ax²+bx+c=ax²+b/ax+c

2.完全平方整理得到ax²+b/ax+b/2a²-b/2a²+c

3.最终结果ax+b/2a²+c-ab²/4a²

4.ax+b/2a²+c-b²/4a配方的应用配方法不仅可以用来转化已知的二次函数，还可以用来确定未知的二次函数表达式如果我们知道二次函数的图像特征（如顶点位置和一个额外的点），就可以利用配方法确定函数表达式配方的优势配方法的最大优势是可以直接得到顶点坐标，从而更容易分析函数的性质它在处理与最值相关的问题、研究函数的对称性和变换时特别有用用待定系数法确定二次函数表达式待定系数法的原理1待定系数法是根据二次函数的已知条件，设二次函数的一般形式为，然后利用已y=ax²+bx+c知条件列方程组求解未知系数、、的方法a bc三点确定二次函数2如果已知二次函数图像上的三个点，可以将这三个点的坐标代入，得到三个方程y=ax²+bx+c，联立求解、、的值例如，已知点₁₁₂₂₃₃，可以列出方程组a bc x,y,x,y,x,y₁₁₁₂₂₂₃₃₃y=ax²+bx+c y=ax²+bx+c y=ax²+bx+c特殊条件确定二次函数3除了三点确定外，还可以利用其他特殊条件确定二次函数，如已知顶点和一个额外的点-已知对称轴、一个点和开口方向已知两个零点和一个额外的点已知一个零点、轴交---y点和顶点等待定系数法的应用4待定系数法广泛应用于确定满足特定条件的二次函数表达式它不仅在数学中有重要应用，在物理、经济和工程等领域的曲线拟合问题中也有广泛应用二次函数的应用抛物线运动抛体运动原理自然现象中的抛物线工程应用当物体在只受重力作用的情况下被抛出时许多自然现象也呈现出抛物线轨迹，如喷抛物线的特性在工程学中有广泛应用例，其运动轨迹是一条抛物线在忽略空气泉的水流、瀑布的水柱等这些现象都可如，悬索桥的主缆呈抛物线形状；抛物面阻力的理想情况下，物体的水平位置与时以用二次函数来描述了解这些抛物线运天线可以将平行光线聚焦于一点；某些桥间成线性关系，而垂直位置与时间的平方动的规律有助于我们预测和控制这些自然梁和拱门的设计也采用抛物线形状，以优成正比，综合起来就形成了抛物线轨迹现象化承重和空间利用二次函数的应用最大值问题问题类型最大值问题是指在满足特定约束条件下，寻找使某个目标函数取得最大值的变量值当目标函数是二次函数且时，函数有最大值，最大值点是函数的顶点a0解题思路通常的解题步骤是根据问题建立以自变量表示的目标函数确认是开口向下的

1.x y=fx

2.fx二次函数（）求出顶点的横坐标计算最大值检a

03.x=-b/2a

4.f-b/2a=c-b²/4a

5.验最大值点是否在约束条件范围内实际应用最大值问题在经济学、工程学、物理学等领域有广泛应用例如求利润最大化的生产量或价-格求面积最大化的几何形状求效率最大化的系统参数求高度最大化的抛物运动---案例分析例如，一个矩形的周长固定为，求使面积最大的矩形尺寸设矩形宽为，则长为，面积2p xp-x这是一个关于的二次函数，，所以有最大值顶点横坐标，S=xp-x=px-x²xa=-10x=p/2代入得最大面积，即正方形时面积最大S=p²/4二次函数的应用最小值问题问题特征数学条件最小值问题是指在满足特定约束条件下，寻找1当目标函数是二次函数且时，函数有最小a0使某个目标函数取得最小值的变量值2值，最小值点是函数的顶点实际应用解题方法4如运输成本最小化、材料使用最少化、误差最建立二次函数模型，确定，求顶点坐标a0-3小化等优化问题，其中即为最小b/2a,c-b²/4a c-b²/4a值最小值问题在实际生活中非常常见，如何让成本最小、距离最短、时间最少等当这类问题可以建模为二次函数时，我们可以利用二次函数的最小值性质来解决例如，一个典型的最小值问题从平面上一点到一条直线的最短距离问题如果我们建立适当的坐标系，这个问题可以转化为求二次函数的最小值类似地，许多物理和工程问题，如能量最小化、材料使用最少化等，也可以转化为二次函数的最小值问题二次函数的应用利润最大化产量件利润元//在经济学中，产品的利润函数通常可以用二次函数来描述这是因为随着产量的增加，边际成本通常会上升，而边际收益会下降，导致利润曲线呈现出抛物线形状典型的利润函数可以表示为，其中是利润，是收入，是成本，是产量如果收入函数是线性或二次的，而成本函数是线性或二次的，那么利润函数通常是二次的Px=Rx-Cx PxRx Cx x为了找到利润最大化的产量，我们需要求出的最大值点，也就是求出二次函数的顶点这可以通过求导数来实现，或者直接使用顶点公式找到最优产量后，企业可以据此制定生产计划，以实现利润最大Px Px=0化二次函数的应用面积最大化在几何问题中，二次函数经常用于解决面积最大化问题一个经典例子是周长固定的矩形，求面积最大时的形状设矩形周长为，长为，宽为，则有，即矩形面积这是一个关于的二次函数，其中，所2p x y2x+2y=2p x+y=p S=xy=xp-x=px-x²xa=-10以存在最大值顶点横坐标，代入得最大面积这意味着当矩形为正方形（即）时，面积最大x=-b/2a=p/2S=p²/4x=y=p/2类似的问题还有在一个半径为的半圆内画一个矩形，使矩形面积最大；在一个三角形内画一个面积最大的矩形等这些问题都可以转化为求二R次函数的最大值二次函数在物理学中的应用运动学中的应用1在匀加速直线运动中，位移与时间的关系是₀，这是一个关于的二次函数s ts=v t+½at²t例如，自由落体运动中，物体下落的距离与时间的平方成正比，其中是重力加速s=½gt²g度通过分析这个二次函数，可以预测物体的位置、速度和加速度光学中的应用2抛物面反射镜具有将平行光线聚焦于一点的性质，这源于抛物线的几何特性望远镜、雷达天线、卫星接收器等设备都利用了这一原理二次函数的方程可以用来设计和优化这些光学系统，以获得最佳的聚焦效果能量与功的计算3在弹簧系统中，弹性势能与弹簧伸长量的关系是，这是一个关于的二次函数E xE=½kx²x类似地，带电粒子在均匀电场中的电势能也可以用二次函数表示通过分析这些二次函数，可以研究能量转换和守恒规律波动与振动分析4简谐振动中，位移与时间的关系是虽然这不是一个二次函数，但振动的x tx=Acosωt+φ能量（动能势能）却是位移的二次函数通过分析这个二次函数，可以研究振动系统的稳定性+和能量分布二次函数在经济学中的应用数量边际收益边际成本在经济学中，二次函数被广泛应用于描述各种经济关系，特别是成本、收入和利润函数总成本函数通常表示为，其中是固定成本，是可变成本当边际成本是线性增长的时候，可变成本是一个二次函数，形如这意味着总成本函数是一个二次函数Cq=FC+VCq FCVCq VCq=aq²+bq边际收益递减规律通常导致总收入函数是一个二次函数，形如，其中是初始价格，是价格随数量增加而下降的速率Rq=pq-aq²p a利润函数是收入减去成本，即，当收入或成本是二次函数时，利润函数也通常是二次函数通过求解利润函数的最大值，可以确定最优产量和定价策略Pq=Rq-Cq二次函数在工程学中的应用桥梁设计天线设计结构优化悬索桥的主缆在均匀载荷下呈抛抛物面天线利用抛物面反射器将在结构工程中，许多优化问题涉物线形这是因为主缆上每单位信号聚焦于一点或将来自焦点的及到二次约束和二次目标函数水平距离的垂直拉力与该点的高信号反射为平行光束这种天线例如，在设计承重构件时，材料度成正比工程师利用二次函数广泛应用于卫星通信、无线网络用量与成本往往可以表示为尺寸的性质来设计主缆的形状，确保和雷达系统天线的性能直接取的二次函数通过求解这些二次桥梁能够均匀分布重力和载荷决于抛物面的精确程度，而抛物函数的最值，可以找到最佳的设面的设计基于二次函数方程计参数控制系统在自动控制系统中，二次型性能指标经常被用作评估系统性能的标准例如，在最优控制问题中，目标常常是最小化某个二次型成本函数，这类问题的解决往往需要用到二次函数理论二次函数图像的绘制方法方法一点描法1选取若干个值，代入函数表达式计算对应的值，得到一系列点，然后将这些点按顺序连接xyx,y起来这种方法适用于任何函数，但对于二次函数来说并不是最有效的方法，因为没有利用二次函数的特殊性质方法二特征点法2确定抛物线的特征点，如顶点、轴交点和轴交点（如果有的话）这些点能够帮助我们快速勾yx勒出抛物线的大致形状知道顶点后，可以利用抛物线的对称性来绘制更多的点方法三变换法3从基本的二次函数开始，通过伸缩和平移变换得到目标函数的图像具体步骤是先考虑y=x²的图像，然后考虑的图像，最后考虑的图像这种方法特别适合顶y=ax²y=ax-h²y=ax-h²+k点式的二次函数方法四配方法4如果二次函数是一般式，可以通过配方将其转化为顶点式，然后再使用y=ax²+bx+c y=ax-h²+k变换法绘制图像这种方法结合了代数和几何的思想，是绘制二次函数图像的有效方法利用对称性绘制二次函数图像对称性的重要性案例分析二次函数的图像是一条抛物线，它关于对称轴具有对称性这种以函数为例对称轴y=2x²-4x+

31.x=-b/2a=--对称性是绘制二次函数图像的重要工具，因为我们只需要计算抛顶点选取、4/2·2=

12.1,2·1²-4·1+3=1,

13.x=0物线一侧的点，然后通过对称得到另一侧的点，从而减少了计算两点当时，当时，由x=2x=0y=3x=2y=2·2²-4·2+3=

34.量对称性，点关于对称得到点连接点、0,3x=12,

35.0,

3、及其他计算得到的点，绘制出抛物线1,12,3利用对称性绘制二次函数图像的步骤如下确定对称轴的位

1.置确定顶点坐标在通过利用对称性，我们可以更加高效地绘制二次函数图像，特别x=-b/2a

2.-b/2a,c-b²/4a

3.对称轴一侧选取几个值，计算对应的值利用对称性，得到是当计算比较复杂时，对称性能大大减少工作量xy

4.对称轴另一侧的点连接这些点，得到抛物线图像

5.利用特征点绘制二次函数图像步骤一确定开口方向根据二次项系数的符号确定抛物线的开口方向如果，抛物线向上开口；如果，抛物线向下开口开口方向决定了抛物线的基本形状a a0a0步骤二找出顶点顶点是抛物线上的特殊点，它是抛物线的最高点或最低点对于一般式，顶点坐标是对于顶点式y=ax²+bx+c-b/2a,c-b²/4a y=ax-h²+k，顶点坐标直接就是h,k步骤三确定轴交点y轴交点是抛物线与轴的交点，对应的值为将代入函数表达式，得到，所以轴交点坐标是这个点通常较容易计算，是绘制yyx0x=0y=c y0,c抛物线的重要参考点步骤四找出轴交点x轴交点是抛物线与轴的交点，对应的值为将代入函数表达式，得到方程解这个一元二次方程，得到的解就是轴交xxy0y=0ax²+bx+c=0x点的横坐标如果方程有实数解，那么抛物线与轴相交x步骤五连接特征点将顶点、轴交点和轴交点（如果有的话）标在坐标系中，然后根据这些特征点和抛物线的性质，绘制出完整的抛物线可以利用对称性辅助yx绘制，也可以再计算几个额外的点来使图像更加准确二次函数的判别式判别式的定义二次函数的判别式定义为这个式子来源于求解二次方程时y=ax²+bx+cΔ=b²-4ac ax²+bx+c=0的判别式，它决定了方程解的性质，也反映了二次函数图像的某些特征判别式与零点的关系判别式的符号决定了二次函数的零点个数若，函数有两个不同的零点，即方Δ=b²-4ac-Δ0程有两个不同的实数解若，函数有一个零点（重根），即方程有一个二重实ax²+bx+c=0-Δ=0根若，函数没有零点，即方程没有实数解-Δ0判别式与图像的关系从几何角度看，判别式的符号反映了抛物线与轴的位置关系若，抛物线与轴相交于Δx-Δ0x两点若，抛物线与轴相切于一点若，抛物线与轴没有公共点-Δ=0x-Δ0x判别式的应用判别式不仅用于分析二次函数的零点，还可以用于研究二次函数的其他性质，如函数值的符号、函数的取值范围等在解决二次不等式和参数问题时，判别式是一个重要的工具利用判别式分析二次函数图像判别式是分析二次函数图像的强大工具通过判别式，我们可以快速了解抛物线的位置和形态，而不需要绘制完整的图像Δ=b²-4ac除了判断零点个数外，判别式还可以用来分析其他图像特征例如，对于向上开口的抛物线，若，则抛物线与轴相交于两点a0Δ0x，函数在这两点之间为负值，在两点外为正值；若，则抛物线与轴相切于一点，函数除了这一点外都为正值；若，则抛物线完Δ=0xΔ0全在轴上方，函数恒为正值x判别式还与顶点位置有关当时，意味着顶点在轴下方，意味着顶点在轴上，意味着顶点在轴上方利用这些关a0Δ0xΔ=0xΔ0x系，我们可以快速判断二次函数图像的大致形态和位置二次函数与一次函数的关系xy=x²y=2x二次函数与一次函数有着密切的关系从代数角度看，一次函数可以看作是二次函数的特例，即的情况（严格来说，此时已不是二次函数）y=ax²+bx+c y=mx+n a=0二次函数的导数是一次函数若，则，这是一条直线几何上，这意味着抛物线上任一点的切线斜率是点的横坐标的线性函数特别地，抛物线在轴上点的切线斜率就是对应的值fx=ax²+bx+c fx=2ax+bxx在抛物线与直线的交点问题中，代数上转化为求解由二次函数和一次函数联立得到的方程，几何上对应抛物线与直线的交点交点个数（、或个）取决于方程的判别式，这反映了抛物线与直线的位置关系012二次函数与绝对值函数的关系表达式的关系1二次函数可以看作是绝对值函数的平方，即虽然这两个函数在代数上有联系，y=x²y=|x|x²=|x|²但它们的图像形状有很大不同绝对值函数是一个折线，而二次函数是一条光滑的曲线图像的比较2绝对值函数的图像是一个形，在处有一个尖点；而二次函数的图像是一条抛物线y=|x|V x=0y=x²，在处有一个光滑的顶点当时，；当时，；当时，x=0|x|1x²|x|0|x|1x²|x||x|=1x²=|x|=1导数的比较3绝对值函数在处的导数是分段常数函数当时，导数为；当时，导数为；y=|x|x≠0x01x0-1在处不可导而二次函数的导数是线性函数，在所有点处都可导，且在处导数x=0y=x²y=2xx=0为0复合函数4将绝对值函数与二次函数复合，可以得到新的函数形式，如或这类函数y=|x²-1|y=|x-1²-2|具有特殊的图像特征，常在高等数学和解析几何中研究理解基本函数间的关系有助于分析这些复杂函数二次函数的不等式问题不等式的类型二次不等式是指形如（或、、）的不等式，其中求解这类不等式就是找出使二次函数的函数值大于（或小于、大于等于、小于等于）的所有值ax²+bx+c00≥0≤0a≠0y=ax²+bx+c0x求解方法求解二次不等式的基本步骤是求出对应二次函数的零点（即解方程）利用零点将数轴分成若干区间在每个区间内任取一点，代入判断函数的符号根据不等号的方

1.ax²+bx+c=

02.

3.

4.向，确定符合条件的区间得到不等式的解集

5.特殊情况分析当判别式的符号不同时，需要不同的分析若，函数有两个零点，需要分成三个区间分析若，函数有一个零点（重根），需要分成两个区间分析若，函数Δ=b²-4ac-Δ0-Δ=0-Δ0没有零点，函数的符号由的符号决定，在整个实数域上要么恒正要么恒负a几何意义从几何角度看，解二次不等式相当于找出抛物线位于轴上方的部分对应的值类似地，解相当于找出抛物线位于轴下方的部分对应的值ax²+bx+c0y=ax²+bx+c xx ax²+bx+c0xx二次函数的方程组问题二次函数与直线的交点两个二次函数的交点求二次函数与直线的求两个二次函数和y=ax²+bx+c y=mx+n y=ax²+bx+c交点，可以联立方程，的交点，可以联立方程ax²+bx+c=mx+n y=ax²+bx+c整理得到这是一，整理得到ax²+b-mx+c-n=0ax²+bx+c=ax²+bx+c a-个一元二次方程，其解就是交点的横坐标如果，则方12ax²+b-bx+c-c=0a=a交点个数由判别式决定，可能有、或程可能降为一次方程，有一个交点；否则01个交点是二次方程，可能有、或个交点2012参数问题应用实例当方程中含有未知参数时，往往需要利用二次函数的交点问题在实际应用中很常见交点的特殊条件来确定参数例如，要使43，如求两条路径的交会点、求两种成本函直线与抛物线相切，就需要两条曲线有且数的平衡点等这类问题的关键是建立合仅有一个交点，这意味着联立方程得到的适的模型，然后通过求解方程（组）得到一元二次方程应有唯一解，即判别式为0交点二次函数的参数问题参数问题的特点1二次函数的参数问题是指函数表达式中含有一个或多个未知参数，需要根据给定的条件确定这些参数的值这类问题通常涉及到函数的图像特征、零点情况、最值等性质常见问题类型2常见的参数问题包括已知二次函数的图像通过某些特定点，求参数已知二次函数的--零点满足特定条件，求参数已知二次函数的顶点或对称轴满足特定条件，求参数已知--二次函数与其他函数有特定的交点关系，求参数已知二次函数的取值范围或符号分布，-求参数求解方法与技巧3解决参数问题的基本思路是利用已知条件列方程，然后求解含参方程常用的技巧包括-利用点坐标代入函数表达式得到方程利用零点条件设立方程组利用判别式的性质分析--零点情况利用顶点坐标公式建立关系利用函数的单调性和最值分析函数的性质--注意事项4解决参数问题时需要注意充分利用二次函数的各种性质和公式考虑参数可能的取值--范围，特别是当有的限制时在求解过程中，可能需要分类讨论不同情况检验最终a≠0--得到的参数值是否满足所有条件对于复杂问题，可以结合几何方法和代数方法综合分析-二次函数的最值证明题证明方法与技巧典型例题分析二次函数的最值证明题主要涉及证明某个表达式的最大值或最小例题证明当时，表达式的最小值是x0fx=x+1/x2值这类问题的核心在于将表达式转化为二次函数的形式，然后解析将视为的函数，有利用配方法fx xfx=x+1/x利用二次函数的最值性质进行证明当且仅当fx=x+1/x=x+1/x-2+2=√x-1/√x²+2≥0+2=2常用的证明方法包括配方法将表达式配成完全平方式，，即时，取得最小值

1.√x-1/√x=0x=1fx2直接得出最值导数法对表达式求导，找出临界点，然后证

2.另一种思路是利用导数令，得，即fx=1-1/x²fx=0x²=1明它是极大值或极小值不等式法利用基本不等式（如均值

3.（因为）计算（当时），所以是x=1x0fx=2/x³0x0x=1不等式、柯西不等式等）证明最值函数法将表达式视为自

4.最小值点代入得最小值f1=1+1=2变量的函数，研究函数的性质这个例题展示了二次函数最值证明的两种常用方法实际问题中最值证明题中常见的技巧有寻找合适的变量代换，简化表达-，需要根据表达式的特点选择合适的证明方法式利用约束条件消除变量，降低维度使用拉格朗日乘数法--处理带约束的最值问题结合几何意义，增强证明的直观性-二次函数的综合应用题工程问题优化问题物理问题经济问题在桥梁设计中，拱桥的拱形通一个长方形花坛的周长固定为一个物体从高处以初速度₀、某产品的市场价格与销量的v pq常可以用二次函数来描述例米，如何设计长和宽使得仰角抛出，求物体的运动轨迹关系是，生产成本100θp=a-bq如，某拱桥的拱形可以用函数花坛的面积最大？这是一个经方程和最大高度运动轨迹是，其中、、、是C=cq+d abcd来表示，其中典的最优化问题，可以利用二一条抛物线，可以用二次函数正常数如何确定价格和产量y=ax²+bx+c是拱顶点，两端支点分别次函数求解设长为，则宽为表示通过分析水平和垂直方使得利润最大？利润函数是0,h x是和求拱形函数，面积向的运动规律，可以得到轨迹-L,0L,0100-2x/2=50-x P=a-bqq-cq+d=a-cq-的表达式以及拱的高度与跨度，这是一方程和最高点的位置，这是一个关于的二次S=x50-x=50x-x²bq²-d q的关系个二次函数，求其最大值即可函数，求其最大值即可得到最优产量和价格常见错误与易混点系数符号的误判错误将误认为抛物线向下开口，或将误认为抛物线向上开口正确时抛物线向上a0a0a0开口，时抛物线向下开口这是最基本也是最容易混淆的一点，特别是当二次函数不是标准形a0式时对称轴计算错误错误将对称轴中的分数计算错误，尤其是当为负数时正确注意为负数时，x=-b/2a aa-，而不是例如，对于函数，对称轴是×b/2a=-b/2ab/2a y=-2x²+4x+1x=-4/2-2=-，而不是4/-4=1-1顶点位置确定错误错误直接使用或作为顶点坐标正确顶点坐标是-b/a,c-b/2,c-b²/2-b/2a,c-特别是当函数转化为顶点式时，顶点就是b²/4a y=ax-h²+k h,k配方计算错误错误配方过程中漏项或符号错误正确配方步骤是ax²+bx+c=ax²+b/ax+b/2a²-注意括号内的完全平方式和常数项的处理b/2a²+c=ax+b/2a²+c-b²/4a二次函数解题技巧总结转化技巧图像分析技巧代数运算技巧将二次函数的一般式利用抛物线的特征点（顶点、轴交熟练使用配方法、求根公式、因式y=ax²+bx+c转化为顶点式，这样点）和对称性绘制和分析图像先分解等代数技巧解决二次函数问题y=ax-h²+k可以直接得到顶点坐标和对称轴确定开口方向和对称轴，再标出特特别是在处理含参数的二次函数转化过程可以使用配方法，也可以征点，然后连接成抛物线这种方时，这些代数技巧能够大大简化计直接使用公式，法能快速获得函数的整体性质，特算过程例如，使用判别式h=-b/2a k=c-Δ=b²-这种转化在分析函数性别适合于解决与图像相关的问题分析零点情况b²/4a4ac质和求解最值问题时特别有用应用问题技巧在解决应用问题时，关键是建立正确的二次函数模型通常需要找出自变量，确定约束条件，然后建立目标函数例如，在最优化问题中，常常需要将问题转化为求二次函数的最值注意自变量的实际意义和取值范围二次函数考点分析二次函数是中学数学的重要内容，也是各类考试的重点考查对象从统计数据来看，图像与性质是最常见的考点，出现频率最高，其次是最值问题和零点问题在解题时，应该注意以下几点首先，牢固掌握二次函数的基本性质，特别是开口方向、顶点、对称轴等概念；其次，熟练掌握二次函数的三种表示形式（一般式、顶点式、因式分解式）及其相互转化；再次，深入理解二次函数的图像与方程的关系；最后，注重二次函数的应用能力，尤其是最优化问题的解决方法在复习备考时，可以按照考点频率分配时间，但也不能忽视低频考点，因为这些考点往往与其他知识点结合出现二次函数典型例题讲解12图像分析题最值问题例题已知抛物线（）的顶点为，且过点，求二次函数的例题求函数的最小值及取得最小值时的值解析y=ax²+bx+c a≠02,30,7fx=2x²-4x+5xfx=2x²-表达式解析由顶点坐标知，，，即，由顶点式可知，函数的顶点是2,3h=2k=3x=-b/2a=2c-b²/4a=34x+5=2x²-2x+5=2x²-2x+1+5-2=2x-1²+3由第一个式子得，代入第二个式子得，即又因为，由于，所以抛物线向上开口，顶点是最小值点因此，函数的最小值b=-4a c-16a²/4a=3c=3+4a1,3a=20抛物线过点，所以，即联立得，解得代回是，取得最小值时的值是0,7a·0²+b·0+c=7c=73+4a=7a=13x1得，，所以函数表达式为b=-4c=7y=x²-4x+734参数问题应用题例题已知二次函数（）有零点和，且，求系数、例题某工厂生产一种产品，每天生产件，单件成本（元）为，市fx=ax²+bx+c a≠02-3f1=4abx cx=

0.01x+

10、解析因为和是零点，所以又因为场售价为请问每天生产多少件该产品，利润最大？最大利润是多少？c2-3fx=ax-2x+3=ax²+x-6p=18-

0.02x，所以，即，解得展开得解析单件利润为每天总利润为f1=4a1²+1-6=4a·-4=4a=-1fx=-x²+x-6=-p-cx=18-

0.02x-

0.01x+10=8-

0.03x比较系数得，，这是一个二次函数，，所以有最大值x²-x+6a=-1b=-1c=6Px=x·8-

0.03x=8x-

0.03x²a=-

0.030顶点横坐标最大利润x=-b/2a=-8/2·-

0.03=8/

0.06=400/3≈

133.33为元P400/3=8·400/3-

0.03·400/3²=

1066.67课程回顾与总结应用拓展解决实际问题，培养建模能力1解题策略2掌握常见题型的解题方法与技巧图像分析3理解抛物线图像特征及其与代数表达式的关系性质研究4掌握二次函数的零点、单调性、最值等性质基础概念5掌握二次函数的定义、形式、图像等基本知识本课程系统介绍了二次函数的概念、性质、图像特征及应用我们从基本定义出发，探讨了不同形式的二次函数表达式及其几何意义，分析了系数变化对图像的影响，研究了顶点、对称轴、零点等重要特征在此基础上，我们学习了二次函数的单调性和最值特性，掌握了求解二次函数相关问题的多种方法，包括配方法、导数法、图像分析法等特别地，我们强调了二次函数在物理、经济、工程等领域的广泛应用，尤其是在解决最优化问题方面的重要作用练习与思考题基础题进阶题12已知二次函数（）的图像过点、已知抛物线的顶点在第一象限，且抛物线与轴

1.fx=ax²+bx+c a≠01,

25.y=ax²+bx+c x和，求系数、、求函数的、轴均只有一个交点证明，，函数2,13,2abc

2.fx=3x²-6x+4y a0b0c

06.顶点坐标、对称轴方程和最小值函数在点（）满足且，求函数的

3.fx=2x²-4x+k fx=ax²+bx+c a≠0f0=f2=3f1=0处取得极值，求的值判断二次函数表达式和最值如果二次函数（）的图1,3k

4.fx=mx²-

7.fx=ax²+bx+ca≠0（）的图像与轴交点情况，并给出的取值范围像与轴相切，且切点坐标为，那么与、之间的关系是2x+1m≠0x mx2,0bac什么？应用题思考题34某企业生产一种商品，每天的成本函数为研究函数（）的图像特征和性质它与

8.

11.fx=|ax²+bx+c|a≠0（单位元），其中是每天的产量产普通二次函数有哪些异同？在平面内任取三点，必定能过Cx=

0.2x²+20x+100x

12.品的售价为每件元，问产量为多少时，企业的利润最大？最这三点作一条抛物线吗？请证明或举反例二次函数在高

5013.大利润是多少？一块矩形土地的周长为米，如何确定长等数学中有哪些拓展和应用？它与其他类型的函数（如指数函数

9.100和宽使得面积最大？从高为米的平台上以初速度₀、、对数函数等）有什么联系？

10.10v仰角抛出一个物体，问₀和如何取值，使得物体飞行的水平αvα距离最大？。