全面回顾有理数知识点：数学复习课件汇编

有理数知识点全面回顾数学复习课件汇编欢迎来到有理数知识点复习课程！本课件汇编旨在帮助同学们系统地复习有理数相关知识，从基本概念到实际应用，全面提升数学思维和解题能力通过深入学习这些知识点，你将能够更好地理解数学中的有理数体系，为今后的数学学习打下坚实基础本课件共分为七个部分，涵盖了有理数的基本概念、四则运算、混合运算、实际应用等内容，请同学们认真学习，踊跃思考课程目标全面复习有理数概念掌握有理数的运算规则12通过系统化的学习，掌握有理深入理解有理数的加减乘除运数的定义、分类、性质等基本算法则，掌握混合运算的顺序概念，建立完整的有理数知识和技巧，能够熟练进行各类有体系，理解有理数在数学中的理数计算，提高计算速度和准重要地位和作用确性提高解决实际问题的能力3学习运用有理数知识解决日常生活和学习中的实际问题，培养数学思维和应用能力，提升数学素养，为进一步学习打下坚实基础第一部分有理数的基本概念概念定义了解有理数的基本定义与分类，明确整数和分数的关系，掌握有理数的表示方法数轴表示学习在数轴上表示有理数的方法，理解有理数与数轴上点的一一对应关系相反数与绝对值掌握相反数和绝对值的概念及计算方法，理解它们在有理数体系中的重要作用大小比较学习有理数大小比较的方法和技巧，能够正确判断任意两个有理数的大小关系什么是有理数？定义表示方式实际意义有理数是指可以表示为两个整数之比的有理数可以用分数形式表示，也可以用有理数可以精确地表示两个量之间的比数，即形如的数，其中、是整小数形式表示所有的有限小数和无限例关系，在日常生活和科学研究中有广p/q p q数，且有理数包括所有的整数和循环小数都是有理数例如泛应用例如，表示物品的价格、长度q≠01/2=

0.5分数整数可以看作分母为的分数，，比例、概率等11/3=

0.

333...-2/5=-

0.4有理数的分类分数真分数分子小于分母的分数，如•1/2,23/4假分数分子大于或等于分母的分数，如•整数5/3,7/4正整数•1,2,3,...带分数整数与真分数的和，如•11/2,1负整数•-1,-2,-3,...23/4零（既不是正整数也不是负整数）•0小数有限小数如•

0.5,

0.25,-

1.753无限循环小数如•

0.

333...,

0.

142857142857...正数和负数正数负数大于的数称为正数，用表示小于的数称为负数，用表示0+0-，通常省略不写正数在数轴上，不能省略负数在数轴上位于位于原点的右侧例如原点的左侧例如+1,-1,-

2.5,等，通常写作等负数表示减少、下降+

2.5,+3/41,-3/4正数表示增加、上、亏损等含义正数与对应的负

2.5,3/4升、盈利等含义数互为相反数零零既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点零在数轴上对应原点位置零的相反数是零本身，零的绝对值是在实际应用中，零常表0示起点、基准或平衡状态数轴数轴的定义数轴的特点有理数在数轴上的表示数轴是表示数的位置关系的一条直线数轴上的每一点都对应唯一的一个实数整数在数轴上对应等分点；分数可以通在数轴上选定一个点作为原点，记为；，每个实数也对应数轴上唯一的一个点过对单位长度进行等分得到例如，0选定一个长度单位和正方向（通常为右数轴直观地展示了数的大小关系位可以通过将到的长度等分为份3/4014方向），原点右侧表示正数，左侧表示于右侧的数总是大于位于左侧的数，然后取其中的份得到3负数相反数相反数的定义数轴上的位置相反数的特性两个数互为相反数，当相反数在数轴上关于原相反数的绝对值相等且仅当它们的和等于零点对称如果一个数在正数的相反数是负数，如果一个数是，那数轴上的坐标是，那负数的相反数是正数，a a么它的相反数记作，么它的相反数在数轴上零的相反数是零本身-a满足每个的坐标是，两点到原在计算中，遇到相反a+-a=0-a有理数都有唯一的相反点的距离相等，但方向数时，可以理解为变数，且相反数的相反数相反号是原数绝对值绝对值的定义绝对值的计算方法绝对值的应用一个数的绝对值是指这个数在数轴上对对于任意数，其绝对值的计算规则为绝对值常用来表示误差、距离和数的大a应的点到原点的距离记作绝对值若，则；若，则小在实际问题中，绝对值可以帮助我|a|a≥0|a|=a a0|a|=-a永远是非负的，即绝对值要么是正数，也可以理解为正数和零的绝对值是它们忽略方向性，只关注数值大小例如要么是零例如，，，本身，负数的绝对值是它的相反数，温度变化的幅度、物体移动的距离等|5|=5|-5|=5|0|=0有理数的大小比较同号有理数的比较两个正数比较大小绝对值大的那个数大例如，，因为；52|5||2|，因为两个负数比较大小绝对值小的那个3/41/2|3/4||1/2|数大例如，，因为；，因为-2-5|-2||-5|-1/2-3/4|-1/2||-3/4|异号有理数的比较正数大于零，负数小于零，所以任何正数都大于任何负数例如，1-，这是因为正数在数轴上位于原点右侧，负数在数轴上位于

20.5-3原点左侧，右侧的点总是大于左侧的点零与其他有理数的比较零大于任何负数，小于任何正数例如，，在数轴上，零0-101位于正数和负数的分界点，是正数和负数的临界值比较任意两个有理数时，可以利用数轴直观判断练习基本概念判断题填空题所有的整数都是有理数的相反数是，绝对值

1.

1.-5_____是有理数可以表示为分数形式_____

2.负数的绝对值是正数

2.|+6|+|-2|=_____

3.数轴上，和的距离是零是正数

3.-3+

54._____两个负数中，绝对值较大的数

5.若，则较小

4.a0|a|=_____选择题下列数中最大的是（）

1.A.-5B.-2C.0D.-8下列说法正确的是（）负数的绝对值是负数相反数的绝对值相

2.A.B.等所有的有理数都是整数正数的相反数是正数C.D.第二部分有理数的加减法同号数加法异号数加法1将同号数相加，保留相同的符号，绝对将异号数相加，用绝对值大的数的符号2值相加，绝对值相减混合运算减法转化为加法43按照运算顺序和规则计算复杂表达式将减法转化为加上被减数的相反数同号有理数加法规则同号有理数相加，符号不变，绝对值相加即，+a++b=+a+b-，其中，简单来说，就是同号相加，取相a+-b=-a+b a0b0同符号，绝对值相加数轴解释从数轴上看，两个正数相加意味着向右移动两次，结果是向右移动的总距离；两个负数相加意味着向左移动两次，结果是向左移动的总距离这就是为什么同号数相加，符号保持不变，只需将绝对值相加示例计算（两个正数相加，结果为正，绝对值为）；计算3+5=83+5=8-（两个负数相加，结果为负，绝对值为）；计4+-6=-104+6=10算；计算

2.5+

1.3=

3.8-1/2+-2/3=-1/2+2/3=-7/6异号有理数加法规则1异号有理数相加，符号取绝对值较大的数的符号，绝对值等于大的减去小的即如果，那么的符号与相同，绝对值为；如果|a||b|a+-b a|a|-|b|，那么的符号与相同，绝对值为|a||b|a+-b-b|b|-|a|数轴解释2从数轴上看，一个正数和一个负数相加，相当于先向右移动，再向左移动（或先左后右），最终位置取决于哪个移动距离更大如果向右移动距离大，结果为正；如果向左移动距离大，结果为负示例3计算（，取正号，）；计算（5+-2=3|5||-2|5-2=3-8+5=-3|-，取负号，）；计算（，正负抵消，结8||5|8-5=33+-3=0|3|=|-3|果为）；计算（，取正号，0-

1.5+

2.7=

1.2|

2.7||-

1.5|

2.7-

1.5=

1.2）有理数减法减法转化为加法的规则数轴解释示例减去一个数等于加上这个数的相反数从数轴上看，减去一个正数相当于向左计算；计算5-3=5+-3=2-4--即这是有理数减法的基移动，减去一个负数相当于向右移动；计算a-b=a+-b7=-4+7=3-6-8=-6+-8=-本规则，通过这个规则，我们可以将所这与加上这个数的相反数的操作是一致；计算143/4--有的减法问题转化为加法问题来解决的例如，减去相当于向左移动个单552/3=3/4+2/3=9/12+8/12=17/1位，也就是加上；减去相当于向右；计算-5-

322.5-

4.7=

2.5+-

4.7=-

2.2移动个单位，也就是加上33练习加减法

（一）请计算以下有理数加减法题目

1.5+-8=

2.-4+-7=

3.-

2.5+

6.7=

4.3/5+-4/5=

5.-9--3=

6.2/3--5/6=

7.-

3.6-

4.2=

8.-5--8=有理数加减混合运算运算顺序注意事项简便方法在有理数加减混合运算在计算过程中，要特别对于较复杂的加减混合中，按照从左到右的顺注意符号的处理减号运算，可以先将所有的序进行计算可以把连可以理解为加上相减法转化为加法，然后-续的加减看作一个整体反数，这样可以将所分组计算先计算所有，依次进行对于含有有的减法转化为加法正数的和，再计算所有括号的表达式，应先计连续减多个数时，可以负数的和，最后将两个算括号内的内容，再进一次性全部转化为加上结果相加这种方法可行其他运算相反数，然后按照加法以简化计算过程，减少法则计算出错可能练习加减法

（二）计算题目步骤分解-3+5--2-3+5+2=2+5-3=4-7--4-2-7+4-2=-7+4-2=-3-2=-55/6--1/3+-1/25/6+1/3+-1/2=5/6+2/6-3/6=4/6=2/3-

2.5-

1.7+

3.6-

2.5-

1.7+

3.6=-

2.5-

1.7+

3.6=-

4.2+

3.6=-

0.6|-5|+|-3|-|2|5+3-2=6-|-3--8|--5-|-3+8|+5=-|5|+5=-5+5=0请按照分步计算的方法，解决以上各题注意每一步的运算规则，特别是负号和绝对值的处理掌握技巧后，可以尝试更复杂的混合运算题目，提高计算速度和准确性第三部分有理数的乘除法乘法基本规则1掌握同号相乘为正，异号相乘为负的基本规则乘法简便运算2学习去掉括号和乘方的简便运算方法除法转化为乘法3理解除以一个数等于乘以这个数的倒数的规则乘除混合运算4掌握有理数乘除混合运算的顺序和技巧有理数乘法的规则同号相乘为正异号相乘为负12两个同号数相乘，其结果为正数两个异号数相乘，其结果为负数正数乘以正数得正数，负数乘正数乘以负数得负数，负数乘以负数得正数具体计算时，将以正数得负数具体计算时，将绝对值相乘，结果取正号例如绝对值相乘，结果取负号例如×，××，×32=6-5-4=203-4=-12-52=-这一规则在代数中可表述为若这一规则在代数中可表述10且，或且，则为若且，或且a0b0a0b0a0b0a0×，则×a b0b0a b0任何数乘以零等于零3任何数与零相乘，结果都等于零数学上表示为×这是因为零表a0=0示没有，无论重复多少次没有，结果仍然是没有例如×，50=0×，×这一特性是有理数乘法的特殊情况-30=000=0有理数乘法的简便运算去掉括号的方法连续乘积的符号判断乘方的计算如果括号前有正号，可以直接去掉括判断多个数连续相乘的结果的符号时，乘方是指同一个数连续相乘例如+号和正号例如如果括可以数负因子的个数若负因子个数为×，××对于负数的乘+a+b=a+b a²=a a a³=a aa号前有负号，去掉括号的同时，括号偶数，则结果为正；若负因子个数为奇方，要特别注意符号偶次幂的结果为-内的每一项都要变号例如数，则结果为负例如××正，奇次幂的结果为负例如-a+b=--23--，负号可以理解为×中有个负因子，所以结果为×，×a-b-a-b=-a+b-4-132²=-2-2=4-2³=-2-的乘法因子，按照乘法分配律处理负数×12-2=-8有理数除法除法转化为乘法有理数除法可以转化为乘法除以一个数等于乘以这个数的倒数即÷×，其中例如÷×；÷a b=a1/b b≠062=61/2=3-84=-×这一转化基于除法的本质求被除数是除数的多少倍81/4=-2除法法则有理数除法的符号判断与乘法相同同号相除为正，异号相除为负具体计算时，将绝对值相除，根据符号确定结果的正负例如÷63=2，÷，÷，÷-82=-4-9-3=312-4=-3注意事项除法运算中需要特别注意不能作为除数，否则运算无意义；任何非0零数除以自身等于；除以任何非零数等于在进行分数除法时，可100以转化为乘以倒数，如÷×××a/b c/d=a/b d/c=a d/b c练习乘除法

（一）乘法练习除法练习×÷

1.-54=

1.-155=×÷

2.-3-6=

2.-24-6=×÷

3.

2.5-

0.4=

3.-

1.

20.3=×÷

4.-3/4-2/3=

4.-3/5-2/7=××÷

5.-25-3=

5.0-8=乘方练习

1.-2²=

2.-3³=

3.-1^100=

4.-2/3²=

5.-

0.1³=有理数乘除混合运算运算顺序1在有理数的乘除混合运算中，乘法和除法具有相同的优先级，应当按照从左到右的顺序依次计算这与整数运算的规则相同例如÷×先计算1243÷，然后计算×；而÷×先计算×，然后计算124=333=9124343=12÷1212=1带括号的运算2如果表达式中含有括号，应当先计算括号内的内容括号是改变运算顺序的工具，无论括号内是什么运算，都要优先进行例如×÷，先-3[-42+5]计算括号内÷，然后计算×-42+5=-2+5=3-33=-9符号处理3在有理数乘除混合运算中，要特别注意符号的处理可以采用数负号个数的方法乘除运算中，负号的个数为偶数，结果为正；负号的个数为奇数，结果为负例如×÷有个负号，所以结果为负数，具体计算为-3-4-23-×÷÷3-4-2=12-2=-6练习乘除法

（二）计算题目步骤分解×÷×÷÷-64-3-64-3=-24-3=8÷×÷÷×÷×-82-34-82-34=-4-÷÷34=124=3×÷×-5/6-3/72/5-5/6-÷×÷3/72/5=5/63/72/÷×5=15/422/5=15/425/2=75/84=25/28×÷×÷÷-

1.

20.5-

0.3-

1.

20.5-

0.3=-

0.6-

0.3=2×××-2²-3³-2²-3³=4-27=-108×÷×÷×-3[-42+-1]-3[-42+-1]=-3[-×2+-1]=-3-3=9第四部分有理数的混合运算混合运算综合运用加减乘除运算规则1四则运算2掌握带括号的四则运算基本运算3熟练掌握乘除法和加减法概念基础4理解有理数的基本概念和性质运算顺序回顾基本运算顺序括号的优先级混合运算示例有理数混合运算的基本顺序是先乘除后加如果表达式中含有括号，无论括号内是什例如计算×÷，首先计算乘5+34-102减在没有括号的情况下，应当先计算所么运算，都要优先计算括号内的内容括除×，÷，得到34=12102=55+12-有的乘法和除法（从左到右依次进行），号是改变运算顺序的工具当表达式中含，然后从左到右计算加减55+12=17然后再计算所有的加法和减法（也从左到有多层括号时，应当从内层括号开始，逐，再如计算×17-5=1235-右依次进行）这是数学上约定的标准运层向外计算小括号、中括号、大括号只÷，先计算括号内，然后2+425-2=3算顺序是形式不同，不代表优先级不同计算乘除×，÷，最后计33=942=2算加法9+2=11有理数四则混合运算

（一）不含括号的混合运算示例示例12对于不含括号的四则混合运算，按照先计算×÷计算××÷-4+3-2-12-6-32+5-1-84乘除后加减的顺序进行首先识别出所第一步计算乘除运算，×，第一步计算乘除运算，×，3-2=-6-32=-6有的乘法和除法运算，从左到右依次计÷×，÷12-6=-25-1=-584=2算；然后再计算所有的加法和减法运算，也是从左到右依次进行第二步计算加减运算，第二步计算加减运算，-4+-6---6+-5-2=-2=-4-6+2=-86-5-2=-13有理数四则混合运算

（二）含括号的混合运算示例示例12对于含括号的四则混合运算，首先计算计算××计算÷-2[3+-52]-6{2+[-3+1]}括号内的内容，然后再按照先乘除后加第一步计算中括号内的内容，先算第一步计算最内层中括号，--3+1=-2减的顺序进行如果有多层括号，应当×，再算52=-103+-10=-7从内层括号开始，逐层向外计算括号第二步计算大括号，2+-2=0是改变运算顺序的工具，对运算顺序有第二步计算×-2-7=14第三步计算除法，÷，因为除数决定性影响-60为，所以此运算无意义0练习混合运算

（一）不含括号的混合运算含括号的混合运算×÷××

1.-6+32-

841.3[-4+23]××÷×÷

2.-52+4-3-10-

52.-5[6-3-2]×÷×÷

3.1/2-3/4+-2/33/

53.-3{2+[4+-62]}×÷×

4.-

0.

50.4+

0.6-

0.

34.5/8-1/4[2/3+-1/6]包含绝对值的混合运算×

1.|-5|-2+|3-8|×÷

2.-|-32-7|2×

3.|-4²-35|+|-10|××

4.-3|-2+5|+4|-7|有理数的乘方定义正负性规则分数的乘方有理数的乘方是指同一个有理数连续相对于负数的乘方，要特别注意结果的正对于分数的乘方，可以分别计算分子和乘一般地，的次方记作，其中负性当指数为偶数时，结果为正数；分母的乘方即a n a^n aa/b^n=a^n/b^n是底数，是指数，×××（当指数为奇数时，结果为负数这是因例如，n a^n=aa...a2/3³=2³/3³=8/27-个相乘）例如××，为偶数个负数相乘为正，奇数个负数相计算过程中na2³=222=81/2⁴=-1⁴/2⁴=1/16×乘方是乘法的简乘为负例如××需要注意负号的处理，遵循负数乘方的-3²=-3-3=9-2⁴=-2-2-写形式，表示多少个相同因数的乘积×，××正负性规则2-2=16-2⁵=-2-2-××2-2-2=-32科学记数法定义科学记数法是表示较大或较小数字的一种方法，将一个数表示为×的a10^n形式，其中1≤|a|10，n为整数例如

3.5×10⁴表示35000，×⁻表示这种表示方法在科学和工程计算中广泛使用，能

2.710³

0.0027够简化大数和小数的表示和运算转换规则将一个数转换为科学记数法小数点向左移，幂指数为正；小数点向右移，幂指数为负移动的位数就是指数的绝对值例如将转换为科学记数45600法，小数点向左移动4位，得到

4.56×10⁴；将

0.00783转换为科学记数法，小数点向右移动位，得到×⁻

37.8310³运算特点科学记数法便于进行大数或小数的乘除运算乘法时，底数相乘，指数相加；除法时，底数相除，指数相减例如×××⁻×，210⁵310²=610³8×10⁴÷2×10²=4×10²科学记数法在计算机科学、物理学、天文学等领域有重要应用练习混合运算

（二）3²乘方计算计算-2³的值和-3⁴的值，注意区分指数为奇数和偶数时结果的正负性10⁵科学记数法将和分别用科学记数法表示，并计算它们的乘积

1000000.000014³混合运算计算×÷的值，注意运算顺序和每步的过程-3-2²+[4--1³]2-8综合题目计算÷×÷的值，仔细拆解每个步骤{[-2³4+3]2-6}5第五部分有理数的应用日常生活场景经济金融应用1温度变化、海拔高度、时间计算等盈亏问题、利率计算、财务分析等2数据分析应用物理量计算4比例计算、百分数、统计分析等3速度、时间、距离关系，向量运算等温度问题摄氏度和华氏度温度变化实际应用示例摄氏度（℃）和华氏度（℉）是两种常温度变化可以用有理数来表示，温度升某地一天中的最高温度为℃，最低温度6用的温度单位它们之间的转换公式为高用正数表示，温度降低用负数表示为℃，求温度变化幅度-8℉℃×，℃℉例如，如果温度从℃升高到℃，温=9/5+32=--53解温度变化幅度最高温度最低温度=-×在实际应用中，需要根据具度变化为℃；如果温度从325/93--5=8℃=6--8=14体情况选择适当的温度单位，并能够进℃降低到℃，温度变化为10-2-2-行单位换算℃10=-12又如，早上气温为℃，中午升高了-3℃，求中午气温12解中午气温℃=-3+12=9海拔高度问题海拔的表示海拔变化实际应用示例海拔是指某地点相对于海平面的垂直高海拔变化可以用有理数来表示，上升用登山队从海拔米的营地出发，上2500度通常以海平面为基准（海拔米），正数表示，下降用负数表示例如，如升了米后到达休息点，之后又下01200高于海平面的高度用正数表示，低于海果从海拔米上升到海拔米，海降了米到达宿营地，求宿营地的海100350300平面的高度用负数表示例如，珠穆朗拔变化为米；如果从海拔350-100=250解宿营地海拔=2500+1200-玛峰海拔约米，死海表面海拔约拔米下降到海拔米，海拔变化8848-200-50米300=3400米为米430-50-200=-250又如，潜水员从海平面下潜到海底，深度为米，用负数表示其位置275解潜水员的位置为米（相对于海-275平面）时间问题时间段的计算时区转换12时间问题中，可以使用有理数表全球共有个时区，相邻时区的24示时间的变化未来的时间可以时间相差小时东边时区的时1用正数表示，过去的时间可以用间比西边时区的时间早例如，负数表示例如，从现在起小北京时间比格林威治时间早小38时后用表示，小时前用表时，即北京时间格林威治时间+32-2=示在计算跨越零点或跨日期的小时时区转换问题本质上是+8时间时，需要特别注意时间的连有理数的加减运算续性实际应用示例3某航班从北京时间（东八区）早上时起飞，飞行时间为小时，到达纽约910（西五区）的当地时间是几点？解北京时间比纽约时间早小时，所以北京时间时纽约时间139=9-13时纽约时间时（前一天）；再经过小时飞行，抵达纽约的当地时间=2010为时，即次日时20+10=306行程问题速度、时间、距离的关系行程问题涉及速度、时间和距离三个量之间的关系距离速度×时间，速度距==离÷时间，时间距离÷速度在有理数的应用中，我们可以用正负数表示方向=正向移动用正数表示，反向移动用负数表示相对速度当两个物体相向运动时，相对速度速度速度；当两个物体同向运动时，相对=1+2速度速度速度例如，甲以米秒向东，乙以米秒向西，则它们的相=|1-2|5/3/对速度为米秒；甲以米秒向东，乙以米秒也向东，则它们的相对速5+3=8/5/3/度为米秒|5-3|=2/实际应用示例一艘船以每小时千米的速度逆流而上，已经航行了小时，后来发现忘带重要154文件，立即以每小时千米的速度顺流而下返回起点如果水流速度为每小时103千米，求返回起点需要几小时？解逆流航行速度千米小时，顺流航行速度千米小时=15-3=12/=10+3=13/，航行距离×千米，返回时间÷小时=124=48=4813≈

3.7盈亏问题盈亏的表示成本与售价实际应用示例在经济活动中，盈利可以用正数表示，亏商品的利润售价成本，利润率利润÷某商店进货一批商品，每件成本为元，=-=80损可以用负数表示例如，盈利元表成本×如果售价高于成本，则利售价为元如果销售了件，并且100100%100200示为元，亏损元表示为元润为正，表示盈利；如果售价低于成本，有件因为质量问题退货（售价全退），+10050-5030净收益等于总收入减去总支出，可能为正则利润为负，表示亏损在实际经营中，求商店的净利润（盈利）、为负（亏损）或为零（收支平商家需要根据成本合理定价，以获取适当解销售利润×=100-80200=4000衡）的利润元，退货损失×元，净利=8030=2400润元=4000-2400=1600又如，某投资者连续三天的盈亏分别为元、元和元，求三+2000-1500+800天的净盈亏解净盈亏=2000+-元，为正，表示总体1500+800=1300盈利元1300练习应用题

（一）温度问题海拔问题某地中午的气温为℃，到了晚上，某登山队从海拔米处出发，上51500气温下降了℃，求晚上的气温升了米后到达一处平台，休息后12600又上升了米到达营地求营地的400早晨气温为℃，中午升高了℃，-38海拔下午又下降了℃，求下午的气温4一架飞机从海拔米的盆地起飞-200，上升了米后水平飞行一段时3000间，然后下降米着陆求着陆1200点的海拔行程问题甲、乙两人在、两地相向而行，相距千米甲每小时行千米，乙每小时A B2406行千米，问几小时后两人相遇？4一辆汽车以每小时千米的速度行驶了小时，然后以每小时千米的速度行

602.580驶了小时，共行驶了多少千米？

1.5比例问题比例的概念比例的性质实际应用示例比例是表示两个量之间的比例有很多重要性质比配制某种溶液需要将药剂相对关系比例式例式的四项同乘或同除以和药剂按的比例A B3:5表示与的比值一个非零数，仍得比例式混合如果要配制a:b=c:d a b400等于与的比值，读作；在比例式中，两外项对毫升这种溶液，需要药剂c da比等于比在比例式换或两内项对换，仍得比和药剂各多少毫升？b cd A B中，和称为外项，和例式；比例式的四项可以a db解设药剂和药剂分AB称为内项比例式的基首尾相接，即c别为毫升和毫升，则x y本性质是外项的积等于或a+b:b=c:d，且x:y=3:5x+y=400内项的积，即××等这a d=b c a:a+b=c+d:d由得，3:5=x:y5x=3y些性质在解决实际问题时又，解得x+y=400非常有用，所以x=150y=250需要药剂毫升，A150药剂毫升B250百分数问题百分数的概念百分数的计算实际应用示例百分数是表示一个数是另一个数的百分基本量×百分率分数，已知其中两个量商品原价为元，打八折销售，求折=200之几，用符号表示例如，表示，可求第三个量例如后价格和优惠金额%25%四分之一，即百分数可以表示为×，表示的是

0.2512025%=3012025%解折后价格×元，优=20080%=160小数；也可以表示为分数；÷，表示是a%=a/1003030120=25%30120惠金额元=200-160=40百分数在日常生活和科的；÷，表示是a%=a/10025%3025%=12030学计算中广泛应用，特别是在统计、经某数的，这个数是在增长和25%120又如，今年产量比去年增产，今年25%济和金融领域减少问题中，常用±表示增长减1r/产量为吨，求去年产量1500少后r解设去年产量为吨，则x×，×x1+25%=1500x

1.25=1500，所以去年产量为吨x=12001200练习应用题

（二）食品住房交通教育娱乐医疗其他根据上图某家庭月支出分布图，回答下列问题该家庭食品支出占总支出的百分比是多少？

1.如果该家庭月总支出为元，食品支出和住房支出共多少元？

2.5000教育支出比娱乐支出多多少百分点？

3.医疗和其他支出占总支出的比例是多少？这部分金额是多少元？

4.第六部分有理数的进阶知识数的性质学习交换律、结合律、分配律等基本运算性质等式的性质掌握等式的基本性质及应用不等式的性质理解不等式的基本性质及应用有理数与小数探究有理数与小数的关系，学习循环小数近似值掌握四舍五入和截断法计算近似值数的性质结合律加法结合律；乘法a+b+c=a+b+c2结合律××××改变结a b c=a b c交换律合顺序，结果不变加法交换律；乘法交换律1a+b=b+a××运算顺序改变，结果不变a b=b a分配律乘法对加法的分配律×××；乘法对减法的分a b+c=a b+a c3配律×××a b-c=a b-a c有理数的基本运算满足这些重要性质，它们是数学运算的基础利用这些性质，可以简化计算过程，提高计算效率例如，计算×，可以利用分配律××××再如，计算×，可以2510125101=25100+1=25100+251=2500+25=2525-53+7直接计算×，也可以利用分配律计算××-510=-50-53+-57=-15+-35=-50等式的性质等式的基本性质在方程解法中的应用等式的性质是指在保持等式两边相等关等式的性质是解方程的基础解方程的系的前提下，可以对等式进行的各种变基本思想就是通过等式变形，将方程逐形主要包括等式两边同时加上步化简，最终求出未知数的值例如，1（或减去）同一个数，等式仍然成立解方程等式两边同时3x-5=101若，则，；加，得；a=b a+c=b+c a-c=b-c253x-5+5=10+53x=15等式两边同时乘以（或除以）同一个非等式两边同时除以23零数，等式仍然成立若且，则÷÷，得通过这种方a=b c≠03x3=153x=5××，÷÷；等式的法，可以解决各种一元一次方程a c=b c a c=bc3传递性若且，则a=b b=c a=c在证明中的应用等式的性质在数学证明中也有重要应用通过等式变形，可以证明两个表达式的相等关系例如，证明a+b²=a²+2ab+b²这种证a+b²=a+ba+b=aa+b+ba+b=a²+ab+ba+b²=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²明方法在代数和几何中都有广泛应用不等式的性质不等式的基本性质不等式表示两个量之间的大小关系，用符号（大于）、（小于）、（大于或≥等于）、（小于或等于）表示不等式的基本性质包括不等式两边同时加上≤1（或减去）同一个数，不等号方向不变若，则，；不等ab a+cb+ca-cb-c2式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变若且，则ab c0××，÷÷；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方a cb ca cbc3向相反若且，则×ab c0a c不等式的传递性不等式具有传递性若且，则这一性质在比较多个量的大小关系时非常ab bcac有用例如，已知且，可以直接得出不等式的这一性质是有序性的体533151现，在数轴上表现为如果点在点的右侧，点在点的右侧，那么点一定在点的abbcac右侧在解不等式中的应用不等式的性质是解不等式的基础解不等式的基本思想是通过不等式变形，将不等式逐步化简，最终求出未知数的取值范围例如，解不等式不等式两边2x-351同时加，得；不等式两边同时除以÷÷，32x-3+35+32x8222x282得所以原不等式的解集是，即的取值范围是大于的所有实数x4{x|x4}x4练习数的性质应用利用交换律和结合律计算利用分配律计算方程和不等式××解方程

1.-5+3+-3+5=

1.2599=25100-1=

1.2x-5=7××××解方程

2.-25-34=

2.-35+7=

2.-3x+2=15×解不等式

3.1/3+2/5+2/3+3/5=

3.

1.52-

0.6=

3.5x+318××××解不等式

4.-

0.25-

0.54=

4.-2/33/4+1/4=

4.-2x-16有理数与小数有理数与小数的关系有限小数循环小数所有的有理数都可以表示为小数形式，当一个分数的分母的质因数只含有或当一个分数的分母含有除、以外的质2525而小数只有两种形式有限小数和无限时，这个分数可以表示为有限小数例因数时，这个分数表示为无限循环小数循环小数任何一个有理数（即形如如，，，例如，，p/q1/4=

0.253/5=

0.61/3=

0.

333...的分数，其中、是整数且）都可对于这类分数，可以通过在书写pqq≠07/8=

0.8751/7=

0.

142857142857...以表示为有限小数或无限循环小数；反分子除以分母得到对应的有限小数转循环小数时，通常在循环部分上方加上之，任何有限小数或无限循环小数都可换的本质是将分母化为的整数次幂一个横线，如或循环

100.

30.142857以表示为有理数小数可以通过特定方法转化为分数形式近似值四舍五入法截断法近似值的应用四舍五入是最常用的近似值计算方法截断法是直接舍去需要省略的部分，保近似值在实际计算中广泛应用，特别是当保留位的后一位数字小于时，保留位留位后面的数字无论是什么，都直接舍在工程、物理、经济等领域不同的情5不变；当保留位的后一位数字大于或等去，保留位不变例如，将用境可能需要不同的近似方法和精度例

3.14159于时，保留位加例如，将截断法取到小数点后位，得到；如，在工程计算中，可能需要保留有效

5123.14四舍五入到小数点后位，得将用截断法取到小数点后位数字；在金融计算中，可能需要按照特

3.

1415923.146592到；将四舍五入到小数，也是截断法得到的近似值一般定规则进行舍入理解近似值的概念和

3.

143.

146593.14点后位，得到小于等于原数值计算方法，有助于正确处理各类实际问

23.15题练习小数和近似值问题答案将分数表示为小数2/

50.4将分数表示为小数5/

60.

8333...将小数表示为最简分数

0.753/4将循环小数表示为分数

0.

363636...4/11将用四舍五入法保留到小数点π≈

3.

141593.142后位3将用四舍五入法保留到小数点

2.

7182812.718后位3将用截断法保留到小数点后位

3.

1415923.14将用四舍五入法保留到小数点后位-

5.76382-

5.76请完成以上练习，掌握有理数与小数的转换以及近似值的计算方法在解答过程中，注意分数化小数时的除法计算，循环小数化分数时的特殊方法，以及四舍五入和截断法的区别第七部分综合应用生活应用科学应用金融应用技术应用有理数在日常生活中的应用，有理数在物理、化学等学科中有理数在金融和经济领域的应有理数在工程技术中的应用，如温度变化、海拔高度、财务的应用，如物理量计算、化学用，如利率计算、投资收益分如测量数据分析、误差计算、计算等，帮助我们更好地理解反应方程式平衡等，为科学研析、盈亏计算等，帮助我们做计算机编程等，为技术创新和和处理现实世界的数量关系究提供数学工具和方法出合理的经济决策问题解决提供数学基础实际生活中的有理数应用金融计算工程测量日常消费金融领域是有理数应用最广泛的领域之在工程建设中，有理数用于表示各种测在日常购物和消费中，我们常常需要计一个人理财中，我们需要计算收入、量数据，如长度、面积、体积、角度等算价格、数量、折扣等，这些也都是有支出、存款利息等；投资决策中，需要工程师需要进行各种数据计算，如误理数的应用理解有理数的四则运算，分析投资回报率、风险收益比等；企业差分析、尺寸变化等有理数的精确计可以帮助我们做出更明智的消费决策财务中，需要计算成本、利润、税收等算和近似值计算在工程领域都有重要应例如，比较单价甲商品克售价50015这些计算都离不开有理数的四则运算用元，乙商品克售价元，计算单价35012例如，计算建筑材料用量某墙面积为分别为÷元克和15500=

0.03/例如，计算银行存款利息存款万元，平方米，每平方米需要涂料千÷元克，因此甲商品

1240.2512350≈

0.034/年利率，三年后获得的利息为克，则总共需要涂料×千克更划算

3.5%

240.25=6××元

100003.5%3=1050跨学科应用物理学中的应用化学中的应用地理中的应用物理学中，有理数用于表示各种物理量和它化学中，有理数用于表示物质的质量、体积地理学中，有理数用于表示地理坐标、海拔们之间的关系例如，速度计算÷；、浓度等，以及化学反应的计量关系化学高度、气温变化、降水量等地图比例尺的v=s t力的计算×；功的计算×等方程式的配平、溶液浓度的计算、化学反应计算、人口密度的计算、气候数据的分析等F=m aW=F s在温度、电学、声学等领域，有理数的加速率的计算等，都需要运用有理数的四则运，都需要运用有理数知识减乘除运算是基础计算工具算例如，计算人口密度某地区面积为5000例如，计算物体的平均速度一辆车在小时例如，计算溶液浓度将克盐溶解在克平方千米，人口为万，则人口密度为2595200内行驶了千米，则其平均速度为水中，则溶液的质量分数为÷人平方千米15020000005000=400/÷千米小时÷×1502=75/55+95100%=5%综合练习

（一）温度换算投资收益12某城市一周的最高气温分别为℃，小李投资了三只股票，分别投入23℃，℃，℃，℃，℃元、元和元一25222018165000800012000，℃年后，这三只股票的收益率分别为198%、和-5%12%求这一周的平均最高气温

1.求每只股票的收益金额如果要将这些温度转换为华氏度

1.

2.，应该如何计算？（华氏度摄氏求总投资的平均收益率=

2.度×）9/5+32如果小李想要使总收益达到

3.这一周中，温度下降最多的是哪元，第二只股票的收益率

3.2000两天之间？下降了多少度？至少应该是多少？配方问题3制作某种合金需要按照铜锌铝的比例混合::=5:3:2制作吨这种合金，需要各种金属多少千克？

1.1如果现有铜千克，能制作多少千克合金？

2.350如果要使铝的含量不超过，铜的含量至少应该是多少？

3.15%综合练习

（二）收入元支出元根据上图某家庭前半年的收支情况，回答下列问题计算每个月的结余金额

1.哪个月的结余金额最多？最多多少元？

2.收入的月平均增长率是多少？

3.如果下半年收入每月增长，支出每月增长，预计全年总结余是多少元？

4.5%3%常见错误分析符号错误运算顺序错误最常见的错误是忽略或处理不当负不遵循正确的运算顺序也是常见错号例如，计算时，错误误例如，计算×时，错误-3+-52+34地认为是，而正确结果地按从左到右顺序计算得-3-5=-8应该是；计算××，而正确结果应该是-3+-5=-8-3-2+34=20时，错误地认为是，而正确×避免这类错误的方5-152+34=14结果应该是避免这类错误的方法是牢记先乘除后加减的运算15法是严格区分负号和减号，牢顺序，必要时使用括号明确运算顺记同号相乘为正，异号相乘为负的序规则分数运算错误分数运算中的常见错误包括加减法不通分、乘法分子分母混淆等例如，计算时，错误地直接相加分子分母得，而正确结果应该是1/2+1/32/5避免这类错误的方法是分数加减法必须先通1/2+1/3=3/6+2/6=5/6分，分数乘法是分子乘分子、分母乘分母解题技巧总结快速计算法利用运算律简化计算例如，计算×可以转化为×259925100-1=2500-；计算可以转化为这种25=2475-8+13+-13+8-8+8+-13+13=0+0=0方法通过重组运算项，利用互补、分解等技巧，简化计算过程化繁为简法将复杂问题分解为简单问题例如，计算××，先计算中括号内容-2[3+-52]×，再计算外部×这种方法遵循运算顺序3+-52=3+-10=-7-2-7=14，逐步化简，避免一次处理过多信息导致的错误检验法通过检验验证答案正确性例如，解方程后得到，可以通过将代入原3x-2=7x=3x=3方程检验×，与等式右边相等，验证答案正确这种方法可以及时33-2=9-2=7发现计算错误，特别适用于解方程和解不等式数轴可视化法利用数轴直观理解有理数运算例如，可以理解为从出发，向右移动个单位-3+5-35，到达点；可以理解为从出发，向左移动个单位，到达点这种方法2-3-5-35-8将抽象的运算转化为直观的位置变化，有助于理解总结回顾融会贯通将有理数知识应用于实际问题1综合运算2掌握混合运算和高级应用四则运算3熟练掌握加减乘除运算规则基本概念4理解有理数的定义和性质在本课程中，我们系统学习了有理数的基本概念、运算规则及其应用从有理数的定义、分类、性质，到加减乘除四则运算，再到混合运算和实际应用，构建了完整的有理数知识体系重点难点包括负数的运算规则、乘除法的符号判断、混合运算顺序等建议同学们多做练习，灵活运用所学知识解决实际问题，培养数学思维和应用能力结语有理数在数学学习中的重要性知识基础思维培养实际应用有理数是数学学习的基础知识，是理解和学习有理数不仅是掌握知识，更是培养逻有理数知识在日常生活、科学研究和工程学习代数、几何、统计等高级数学内容的辑思维、抽象思维和运算能力的过程通技术中有广泛应用学好有理数，能够更前提掌握有理数的概念和运算，为后续过解决有理数问题，提升分析问题、解决好地理解和处理现实世界中的各种数量关学习奠定坚实基础数域扩充的思想也是问题的能力，形成严谨的数学思维方式系，提高解决实际问题的能力数学发展的重要线索。