几何变换课件

几何变换欢迎参加几何变换课程！几何变换是计算机图形学、计算机视觉和图像处理的基础知识本课程将带领大家系统地学习各种几何变换的原理、数学表示和应用我们将探讨从基本的平移、缩放、旋转到复杂的仿射变换和投影变换等内容通过本课程的学习，您将掌握几何变换的理论基础，并了解其在实际领域中的广泛应用无论您是计算机科学的学生，还是对图形图像处理感兴趣的专业人士，本课程都将为您提供宝贵的知识和技能课程目标掌握几何变换的基本概念与原理理解几何变换的定义、分类及各类变换的特点，建立对几何变换的系统认识精通几何变换的数学表示熟练掌握各种几何变换的矩阵表示，能够进行数学推导和计算学会几何变换的实际应用能够在计算机图形学、计算机视觉和图像处理等领域应用几何变换解决实际问题了解先进工具与方法掌握实现几何变换的主流工具和库，了解几何变换的最新发展趋势几何变换的定义数学定义保持特性几何变换是指将空间中的一个不同的几何变换具有不同的保点映射到另一个点的函数，通持特性，例如长度、角度、平常表示为坐标系中点的位置变行性、直线性等根据保持的化它是一种可以改变几何对特性，可以将几何变换分为不象的形状、大小、方向或位置同的类别的数学操作变换方程几何变换通常可以用数学方程表示，在计算机科学中，通常使用矩阵形式进行表示和计算，这种表示方法有利于变换的复合和计算几何变换的应用领域计算机图形学计算机视觉图像处理在三维建模、动画制作在目标检测、跟踪和识几何变换用于图像的裁和游戏开发中，几何变别中，几何变换用于处剪、旋转、缩放等基本换用于创建和操作虚拟理图像中物体的位置和操作，以及图像配准、对象，实现物体的移动姿态变化，帮助系统理矫正和增强等高级处理、旋转和形变效果解三维世界任务增强现实在增强现实应用中，几何变换用于将虚拟对象正确地叠加到实际场景中，创造出真实和虚拟世界的无缝融合基本几何变换类型旋转变换缩放变换使对象围绕一个指定点或镜像变换轴旋转一定角度，改变对改变对象的大小，可以是象的方向但不改变形状和均匀缩放（各方向比例相对象关于某一直线或平面大小同）或非均匀缩放（各方的反射，创建原对象的镜平移变换向比例不同）像副本错切变换将对象沿指定方向移动一沿某一方向的变形，使平定距离，不改变对象的形行线保持平行但改变角度状、大小和方向32415平移变换定义特点应用场景平移变换是指将对象沿着指定方向移平移变换保持了对象的大小、形状、平移变换广泛应用于对象的位置调整动一定距离的变换在平移变换中，方向和平行性平移是一种刚体变换、动画制作中的运动效果、图像裁剪对象的所有点都沿相同的方向移动相，它不会引起对象的任何变形在几和排版设计等领域在游戏开发中，同的距离，不改变对象的形状、大小何意义上，平移相当于将整个坐标系角色移动通常使用平移变换实现和方向统沿指定方向平移平移变换的数学表示二维平移三维平移12在二维空间中，点平在三维空间中，点x,y x,y,移到的变换可以表平移到的变换x,y zx,y,z示为，可以表示为x=x+tx y=x=x+tx，其中和分别，，y+ty txty y=y+ty z=z+是方向和方向的平移量，其中、和分别x ytz txty tz是三个坐标轴方向的平移量矩阵表示3使用齐次坐标，二维平移可以表示为×矩阵33[[1,0,tx],，三维平移可以表示为×矩阵[0,1,ty],[0,0,1]]44[[1,0,0,tx],[0,1,0,ty],[0,0,1,tz],[0,0,0,1]]平移变换示例原始对象考虑一个二维平面上的三角形，其顶点坐标为、和A1,1B3,1C2,3确定平移向量假设我们要将三角形向右平移个单位，向上平移个单位，则平移21向量为2,1应用平移变换对三角形的每个顶点应用平移变换A=A+2,1=3,2，，B=B+2,1=5,2C=C+2,1=4,4结果分析平移后的三角形顶点坐标为、和，A3,2B5,2C4,4三角形的形状、大小和方向保持不变，整体位置发生了变化缩放变换定义特点12缩放变换是改变对象大小的几何变换它通过沿坐标轴方向对坐缩放变换会改变对象的大小，但通常不改变对象的形状（除非是标进行按比例放大或缩小，从而改变对象的尺寸非均匀缩放）和方向缩放可以是放大（缩放因子大于）或缩1小（缩放因子小于）1缩放中心应用场景34缩放变换通常相对于某个固定点进行，这个点被称为缩放中心缩放变换广泛应用于图像处理中的放大和缩小操作、计算机辅助常见的缩放中心包括坐标原点、对象的中心点或者用户指定的任设计中的对象尺寸调整、以及动画制作中的缩放效果等场景意点缩放变换的数学表示二维缩放三维缩放在二维空间中，点缩放在三维空间中，点缩x,y x,y,z到的变换可以表示为放到的变换可以表x,y x,y,z×，×示为×，x=sx x y=sy x=sx x y=sy，其中和分别是方向×，×，其中y sxsy x y z=sz zsx和方向的缩放因子、和分别是三个坐标轴方y sysz向的缩放因子矩阵表示使用齐次坐标，二维缩放可以表示为×矩阵33[[sx,0,0],，三维缩放可以表示为×矩阵[0,sy,0],[0,0,1]]44[[sx,0,0,0],[0,sy,0,0],[0,0,sz,0],[0,0,0,1]]均匀缩放非均匀缩放vs均匀缩放非均匀缩放均匀缩放是指在所有方向上使用相同的缩放因子，即非均匀缩放是指在不同方向上使用不同的缩放因子，即sx=sy sx≠在均匀缩放中，对象的形状保持不变，只是整体尺寸在非均匀缩放中，对象的形状会发生变形，各个方=sz sy≠sz发生变化这种缩放保持了对象的比例关系向的比例关系改变均匀缩放常用于需要保持对象原始形状比例的场景，如图像非均匀缩放可以用于特殊效果的创建，如对图像进行拉伸或的等比例缩放、三维物体的整体放大或缩小等压缩、创建扭曲的三维模型，或者调整对象在特定方向上的尺寸缩放变换示例原始对象考虑一个二维平面上的矩形，其左下角坐标为，右上角坐标为1,15,3确定缩放因子假设我们想将矩形在方向上放大为原来的倍，在方向上放大为原来x2y的倍，则缩放因子为，

1.5sx=2sy=

1.5应用缩放变换对矩形的每个点应用缩放变换左下角，右上1,1→2,

1.5角5,3→10,

4.5结果分析缩放后的矩形左下角坐标为，右上角坐标为2,

1.510,

4.5矩形的宽度从增加到，高度从增加到，面积增加了倍48233旋转变换定义1旋转变换是指将对象围绕某个固定点或轴旋转一定角度的几何变换在二维空间中，旋转围绕一个点进行；在三维空间中，旋转围绕一条直线（旋转轴）进行特点2旋转变换保持了对象的形状和大小，只改变了对象的方向或朝向旋转是一种刚体变换，它不会引起对象的任何变形旋转中心轴3/旋转变换通常相对于某个固定点（二维）或轴（三维）进行，这个点或轴被称为旋转中心或旋转轴常见的旋转中心包括坐标原点、对象的中心点或者用户指定的任意点应用场景4旋转变换广泛应用于计算机图形学中的物体姿态调整、动画制作中的旋转效果、图像处理中的图像旋转，以及机器人学中的关节运动等领域旋转变换的数学表示二维旋转三维旋转在二维空间中，点围绕原三维旋转比二维旋转复杂，通常x,y点逆时针旋转角度到的可以分解为绕轴、轴和轴的θx,y x y z变换可以表示为×基本旋转，或者使用欧拉角、四x=x×，元数等方法表示cosθ-y sinθy=x××sinθ+y cosθ矩阵表示使用齐次坐标，二维旋转可以表示为×矩阵33[[cosθ,-sinθ,三维旋转的矩阵表示取决于旋转0],[sinθ,cosθ,0],[0,0,1]]轴和旋转方法旋转旋转2D vs3D旋转旋转2D3D二维旋转是在平面内围绕一个点进行的旋转它只需要一个三维旋转是在空间中围绕一条轴线进行的旋转它需要指定参数旋转角度来完全描述二维旋转可以用一个×旋转轴的方向和旋转角度，因此比二维旋转复杂三维旋转——θ22矩阵表示，计算简单直观有多种表示方法，包括欧拉角、旋转矩阵、四元数等在二维旋转中，旋转方向通常按照数学约定正角表示逆时三维旋转存在万向节锁（）问题，即在某些特Gimbal Lock针旋转，负角表示顺时针旋转二维旋转在图像处理、动定情况下会失去一个自由度为了解决这个问题，实际应用2D画和平面设计中广泛应用中常使用四元数表示三维旋转三维旋转在建模、虚拟现3D实和机器人学中非常重要旋转变换示例原始对象考虑一个二维平面上的点P3,4确定旋转参数假设我们要将点围绕原点逆时针旋转°（弧度）P90π/2应用旋转变换使用旋转公式×°×°×x=x cos90-y sin90=3×，×°×°0-41=-4y=x sin90+y cos90=××31+40=3结果分析旋转后的点的坐标为可以验证，和到原点的P-4,3P P距离相等（均为），且相对于原点的方向比逆时针旋转5P P了°90镜像变换定义1镜像变换（又称反射变换）是将对象关于某一直线（二维）或平面（三维）进行反射的几何变换，创建原对象的镜像副本特点2镜像变换会改变对象的朝向，但保持对象的形状和大小不变在镜像变换后，对象和其镜像关于镜像线或镜像面对称镜像线面3/镜像变换需要指定一条镜像线（二维）或一个镜像平面（三维）常见的镜像线面包括坐标轴、原点以及用户定义的任意直线或平面/应用场景4镜像变换在对称设计、图像处理中的翻转操作、计算机辅助设计中的对称复制，以及物理学中的光学反射模拟等领域有广泛应用镜像变换的数学表示关于轴的镜像x点关于轴的镜像变换可以表示为，矩阵形式为x,y x x=x y=-y[[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,1]]关于轴的镜像y点关于轴的镜像变换可以表示为，矩阵形式为x,y y x=-x y=y[[-1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]关于直线的镜像y=x点关于直线的镜像变换可以表示为，矩阵形式为x,y y=x x=y y=x[[0,1,0],[1,0,0],[0,0,1]]关于任意直线的镜像关于任意直线的镜像变换可以通过坐标系旋转、关于坐标轴镜像和逆旋转的组合来实现水平镜像垂直镜像vs水平镜像垂直镜像水平镜像是指关于水平轴（通常是轴）的镜像变换在水平垂直镜像是指关于垂直轴（通常是轴）的镜像变换在垂直x y镜像中，对象的上下位置关系发生翻转，左右位置关系保持镜像中，对象的左右位置关系发生翻转，上下位置关系保持不变不变在图像处理中，水平镜像相当于将图像上下翻转在计算机在图像处理中，垂直镜像相当于将图像左右翻转在计算机图形学中，水平镜像常用于创建对象的上下对称效果水平图形学中，垂直镜像常用于创建对象的左右对称效果垂直镜像变换的矩阵表示为镜像变换的矩阵表示为[[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,1][[-1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]镜像变换示例原始对象考虑一个二维平面上的三角形，其顶点坐标为、A1,1B4,1和C2,3确定镜像参数假设我们要将三角形关于轴进行镜像变换y应用镜像变换对三角形的每个顶点应用镜像变换A1,1→A-1,，，1B4,1→B-4,1C2,3→C-2,3结果分析镜像后的三角形顶点坐标为、和A-1,1B-4,1原三角形和镜像三角形关于轴对称，形状C-2,3y和大小保持不变，但方向发生了改变错切变换定义1错切变换（）是一种使对象沿着某一方向产生变Shear Transformation形的几何变换，它使平行于坐标轴的线保持平行，但改变其倾斜角度特点2错切变换改变对象的形状，但保持面积（二维）或体积（三维）不变在错切变换中，对象的一部分沿着特定方向移动，移动量与坐标值成正比错切方向3错切变换可以沿不同的坐标轴方向进行，例如在二维中有水平错切和垂直错切，在三维中则有更多的错切方向应用场景4错切变换在字体设计中用于创建斜体效果，在计算机图形学中用于创建特殊的变形效果，在工程分析中用于模拟剪切应力等错切变换的数学表示水平错切垂直错切在二维中，点的水平错在二维中，点的垂直错x,y x,y切变换可以表示为切变换可以表示为，x=x+x=x×，，其中是错×，其中是错k y y=y k y=k x+y k切因子矩阵形式为切因子矩阵形式为[[1,k,[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]0],[k,1,0],[0,0,1]]三维错切在三维中，错切变换可以沿、或轴方向进行，其矩阵表示取决x yz于错切方向和错切面例如，沿轴在平面内的错切可以表示为z xy[[1,0,a,0],[0,1,b,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]水平错切垂直错切vs水平错切垂直错切水平错切是指沿水平方向（轴）进行的错切变换在水平错垂直错切是指沿垂直方向（轴）进行的错切变换在垂直错xy切中，点的坐标会根据其坐标值发生变化，而坐标保持切中，点的坐标会根据其坐标值发生变化，而坐标保持xyyy xx不变不变水平错切的变换方程为×，，其中是垂直错切的变换方程为，×，其中是x=x+kyy=y k x=xy=kx+y k错切因子水平错切会使垂直线变成倾斜线，而水平线保持错切因子垂直错切会使水平线变成倾斜线，而垂直线保持水平水平错切常用于创建斜体文本效果和模拟剪切变形垂直垂直错切同样可用于创建特殊的图形效果和模拟物体在垂直方向上的变形错切变换示例原始对象考虑一个二维平面上的矩形，其顶点坐标为、、和A1,1B4,1C4,3D1,3确定错切参数假设我们要对矩形进行水平错切，错切因子k=

0.5应用错切变换对矩形的每个顶点应用水平错切变换×A1,1→A1+

0.51,，×，1=

1.5,1B4,1→B4+

0.51,1=

4.5,1C4,×，×3→C4+

0.53,3=

5.5,3D1,3→D1+

0.53,3=

2.5,3结果分析错切后的矩形变成了一个平行四边形，顶点坐标为、A

1.5,

1、和原矩形的水平边仍然保持B

4.5,1C

5.5,3D

2.5,3水平，但垂直边变成了倾斜边仿射变换定义1仿射变换是保持点、直线和平面等几何元素之间平行关系的线性变换和平移的组合仿射变换可以表示为线性变换（如旋转、缩放、错切）后跟平移特点2仿射变换保持了直线的直线性（直线变换后仍然是直线）和平行性（平行线变换后仍然平行），但不一定保持角度、长度比例和形状自由度3在二维空间中，仿射变换有个自由度，可以通过三个不共线点的变换唯一确定6在三维空间中，仿射变换有个自由度，可以通过四个不共面点的变换唯一确定12应用场景4仿射变换在计算机图形学、图像处理、计算机视觉和地图投影等领域有广泛应用例如，在图像配准、透视校正和物体识别中，仿射变换是基本工具仿射变换的数学表示二维仿射变换矩阵表示在二维空间中，点的仿使用齐次坐标，二维仿射变换x,y射变换可以表示为可以表示为×矩阵x=ax33[[a,，+by+c y=dx+ey+f b,c],[d,e,f],[0,0,1]]，其中是变换同样，三维仿射变换可以表a,b,c,d,e,f参数示为×矩阵44线性部分和平移部分仿射变换矩阵可以分为线性部分和平移部分在二维中，线性部分是×子矩阵，平移部分是向量22[[a,b],[d,e]]c,f仿射变换的性质保持平行性保持直线性仿射变换保持线段的平行关系，即平行线在仿射变换将直线映射为直线，不会将直线变变换后仍然平行这是因为仿射变换的线性成曲线这意味着直线上的点在变换后仍然部分对所有点的变换是一致的位于同一条直线上2保持共线性1如果三点共线，则它们在仿射变换后仍3然共线这是直线性的直接推论不保持角度5保持比例关系一般的仿射变换不保持角度，即两条直线之4间的夹角在变换后可能改变只有当仿射变在同一直线上，仿射变换保持点之间的距离换的线性部分是正交矩阵时（如旋转），才比例如果点、、在同一直线上，且A B C能保持角度，则变换后的点、、AB:BC=m:n A BC仍满足AB:BC=m:n仿射变换示例结果分析应用仿射变换仿射变换后的三角形顶点坐标为确定变换参数对三角形的每个顶点应用仿射变换、和原始对象A

2.2,

2.2B

4.3,

3.7假设我们要对三角形应用一个包含×原三角形的形状、A1,1→A

0.71-C

2.4,

4.1考虑一个二维平面上的三角形，其旋转、缩放和平移的仿射变换，其×××大小和方向都发生了变化，但三角

0.51+2,

0.51+

0.71+顶点坐标为A1,

1、B4,1和矩阵表示为[[

0.7,-

0.5,2],1=

2.2,

2.2，B4,1→形的拓扑结构保持不变××C2,3[

0.5,

0.7,1],[0,0,1]]B

0.74-

0.51+2,××

0.54+

0.71+1=

4.3,，×

3.7C2,3→C

0.72-×××

0.53+2,

0.52+

0.73+1=

2.4,

4.1投影变换定义1投影变换是将三维空间中的点映射到二维平面上的几何变换它模拟了人眼或照相机观察三维物体的过程，是计算机图形学中实现三维场景渲染的基础特点2投影变换不保持距离、角度和平行性，但在某些特殊情况下（如正交投影）可以保持一些几何特性投影变换通常会导致信息的丢失，因为它将三维空间压缩到二维平面分类3投影变换主要分为两大类透视投影和正交投影透视投影模拟人眼视觉，物体随距离增加而变小；正交投影保持物体大小不变，常用于工程制图应用场景4投影变换在计算机图形学、计算机辅助设计、地图制作和医学成像等领域有广泛应用在游戏和虚拟现实中，投影变换用于创建逼真的视觉效果3D投影变换的数学表示透视投影正交投影透视投影可以用×矩阵表示正交投影同样可以用×矩阵4444在齐次坐标中，投影后的坐标表示它通常将一个长方体空间需要通过除以分量进行归一化映射到标准化设备坐标w[-典型的透视投影矩阵包含视场××正交1,1][-1,1][-1,1]角、近平面和远平面等参数投影矩阵通常包含视口宽度、高度、近平面和远平面等参数投影变换管线在计算机图形渲染管线中，投影变换通常是模型视图变换之后的一步，将观察空间中的点转换到裁剪空间，然后进行视口变换以适应屏幕坐标系透视投影正交投影vs透视投影正交投影透视投影模拟人眼或照相机的视觉效果，远处的物体看起来正交投影（又称平行投影）是将物体沿平行线投射到投影平比近处的物体小在透视投影中，视线是发散的，从观察点面上的变换在正交投影中，视线是平行的，形成一个长方出发形成一个视锥体视体透视投影的特点是具有深度感，能够产生逼真的效果平正交投影的特点是保持物体的实际大小，不会因为距离的变3D行线在投影后会相交于灭点，这符合人眼对远处物体的感知化而缩放平行线在投影后仍然平行，没有透视变形正交透视投影常用于游戏、虚拟现实和艺术创作中，以创建投影常用于工程制图、建筑设计和游戏中，以保持物体的3D2D更加真实的视觉体验真实比例和形状它也适用于设计，因为不需要考虑深度UI感投影变换示例原始三维物体考虑一个三维空间中的立方体，其顶点包括、、、0,0,01,0,01,1,

0、、、和0,1,00,0,11,0,11,1,10,1,1设置投影参数对于透视投影，我们设置视点在，视线方向为，垂直5,5,5-1,-1,-1视场角为度，近平面距离为，远平面距离为

600.1100应用投影变换首先，我们将立方体从世界坐标系变换到相机坐标系；然后，应用透视投影矩阵将点映射到规范化设备坐标系；最后，进行视口变换以适应屏幕坐标系结果分析经过投影变换后，立方体的远离视点的边看起来比靠近视点的边短，符合透视效果立方体的平行边在投影后不再平行，而是相交于灭点，创造出深度感齐次坐标系定义维点的齐次表示12n齐次坐标是一种用于表示维空间中的点和向量的维坐标系在维空间中，点的齐次坐标表示为n n+1n x1,x2,...,xn wx1,统在计算机图形学中，通常使用齐次坐标表示二维和三维空间，其中是非零的齐次因子通常，当wx2,...,wxn,w ww=1中的点时，对应欧几里得空间中的点；当时，对应于无穷远点w=0坐标转换特殊点34从齐次坐标转换到三维笛卡尔坐标，只需在齐次坐标中，无穷远点可以用来表示这使得齐次坐标能X,Y,Z,W x,y,z W=0计算同样，从笛卡尔坐标转换够处理投影几何中的理想点，这在欧几里得几何中是不可能的x=X/W,y=Y/W,z=Z/W到齐次坐标，可以设置W=1齐次坐标的优势统一表示变换表示投影变换使用齐次坐标，平移变换可以与旋转、缩放等线性变换统一用矩齐次坐标使得透视投影等非线性变换可以用矩阵乘法表示，为计阵乘法表示，简化了变换的组合和计算算机图形渲染管线提供了统一的数学框架处理理想点提高数值稳定性齐次坐标可以表示无穷远点和方向向量，这在处理投影几何和计在某些情况下，使用齐次坐标可以避免除法运算，减少舍入误差算相交点时非常有用，提高计算的数值稳定性齐次坐标下的变换矩阵二维平移1在齐次坐标下，二维平移变换可以表示为×矩阵33[[1,0,tx],[0,1,应用于点，得到平移后的点ty],[0,0,1]]x,y,1x+tx,y+ty,1二维旋转2在齐次坐标下，二维旋转变换可以表示为×矩阵33[[cosθ,-sinθ,应用于点，得到旋转后的点0],[sinθ,cosθ,0],[0,0,1]]x,y,1三维变换3在齐次坐标下，三维变换可以表示为×矩阵例如，三维平移变换的矩阵44为[[1,0,0,tx],[0,1,0,ty],[0,0,1,tz],[0,0,0,1]]投影变换4在齐次坐标下，透视投影变换可以表示为×矩阵，其中包含视场角、近平44面和远平面等参数投影后，需要将结果除以分量进行归一化w复合变换定义矩阵乘法复合变换是指多个基本几何变换的连在齐次坐标下，复合变换可以通过矩1续应用，如先旋转再平移，或先缩放阵乘法计算×××T=T1T

2...2再旋转再平移等，其中是第个变换矩阵Tn Tii优化顺序重要性预先计算复合变换矩阵可以提高效率4矩阵乘法通常不满足交换律，因此变，尤其是当需要对多个点应用相同的3换的应用顺序会影响最终结果变换序列时变换的顺序重要性变换顺序示例矩阵乘法的顺序考虑一个物体先旋转度再平移与先平移在使用矩阵表示变换时，变换的应用顺序与矩阵乘法的顺序4510,010,0再旋转度的差异在第一种情况下，物体先绕原点旋转，相反例如，对于变换序列先再，其复合变换矩阵为45AB然后沿轴正方向平移个单位在第二种情况下，物体先×（假设点向量在左侧，即点向量乘以变换矩阵）x10B A沿轴正方向平移个单位，然后绕原点旋转度x1045这是因为矩阵乘法遵循结合律××××v AB=v AB这两种操作序列会导致不同的最终位置在第一种情况下，当点向量首先与矩阵相乘，然后结果与矩阵相乘时，相v AB物体会位于远离原点的位置；在第二种情况下，物体不仅会当于点向量与复合矩阵×相乘但在实际应用中，我们v AB平移，还会围绕原点做圆周运动，最终位置与第一种情况不通常按照×的顺序计算复合矩阵B A同复合变换示例应用复合变换计算复合变换矩阵将复合变换矩阵应用于矩形的每定义变换序列首先，需要将绕任意点旋转分解个顶点，得到变换后的矩形变原始对象我们要对矩形应用以下变换序列为平移到原点，绕原点旋转，换后的矩形比原矩形大，且旋转考虑一个二维平面上的矩形，其

1.将矩形绕其中心点1,

0.5再平移回原位置然后，按照变了一定角度，位置也发生了变化左下角坐标为0,0，右上角坐标旋转45度；

2.将矩形向右平移3换的逆序乘以各个变换矩阵，得为2,1个单位，向上平移2个单位；

3.到最终的复合变换矩阵将矩形在和方向上均缩放为原xy来的倍

1.5逆变换定义1逆变换是指能够撤销原变换效果的变换如果变换将点映射到点，则逆变T P P换将点映射回点在数学上，逆变换满足××T^-1PPT T^-1=T^-1T，其中是单位矩阵=I I矩阵求逆2对于用矩阵表示的变换，其逆变换对应于矩阵的逆矩阵的逆可以通过高斯约-当消元法、伴随矩阵法等方法计算对于一些特殊的变换，其逆矩阵有简化的计算公式常见变换的逆3平移变换的逆是反方向的平移；旋转变换的逆是反方向的旋转；缩放变换的逆是倒数比例的缩放；仿射变换的逆是仿射变换矩阵的逆奇异变换4并非所有变换都有逆变换如果变换矩阵是奇异的（行列式为零），则没有逆变换例如，投影到一条直线上的变换是不可逆的，因为它丢失了一个维度的信息逆变换的应用坐标系变换在不同坐标系之间转换时，需要使用变换及其逆变换例如，从世界坐标系到相机坐标系的变换，以及从相机坐标系回到世界坐标系的逆变换图像配准在图像处理中，逆变换用于图像配准，即将一幅图像通过几何变换与另一幅图像对齐找到变换后，可以使用逆变换将一幅图像变换到另一幅图像的坐标系中动画插值在动画制作中，逆变换用于计算两个关键帧之间的插值通过求取从初始状态到目标状态的变换，然后计算部分应用该变换的中间状态撤销操作在交互式图形编辑器中，逆变换用于实现撤销功能每次应用变换时，都会记录其逆变换，以便在需要时能够恢复到先前的状态图像插值定义逆映射12图像插值是在几何变换后，为了确定输出图像中每个像素的值而在实际实现中，通常使用逆映射方法对于输出图像中的每个像在输入图像中执行的过程由于像素是离散的，变换后的坐标通素，使用逆变换计算其在输入图像中的对应位置，x,yx,y常不是整数，需要通过插值从周围像素估计值然后通过插值确定像素值常见插值方法边界处理34常见的图像插值方法包括最近邻插值、双线性插值、双三次插值在进行图像插值时，需要处理变换后超出原始图像边界的像素等这些方法在计算复杂度和结果质量上有所不同，适用于不同常见的处理方法包括设置为固定值（如黑色）、边界复制、镜像的应用场景复制和周期延拓等最近邻插值简单直观计算效率高图像质量较低最近邻插值是最简单的图像相比其他插值方法，最近邻最近邻插值可能导致图像出插值方法，它选择距离目标插值的计算量最小，不需要现明显的锯齿和像素化效应位置最近的像素值作为插值进行加权平均，只需要简单，特别是在放大图像或进行结果在实现上，只需将浮的舍入操作因此，它在对旋转等变换时这是因为它点坐标四舍五入为最接近的性能要求高或资源受限的场没有考虑到周围像素的贡献整数坐标景中非常有用，导致图像平滑度不足适用场景尽管图像质量不高，最近邻插值在某些场景中是首选方法，例如处理分类数据（如标签图像）时，需要保持像素值的离散性，避免产生不存在的中间值双线性插值定义计算过程12双线性插值是一种在二维网格上进行插值的方法，它考虑了目标位对于浮点坐标，首先找到其四个最近的整数坐标像素x,yx1,置周围×邻域内的四个像素值，通过在两个方向上进行线性插值、、和然后在方向上进行两次线22y1x1,y2x2,y1x2,y2x来计算插值结果性插值，得到和处的值，最后在方向上进行一次线x,y1x,y2y性插值，得到处的最终插值结果x,y优缺点应用场景34相比最近邻插值，双线性插值产生的图像更加平滑，减少了锯齿和双线性插值广泛应用于图像缩放、旋转和纹理映射等场景，特别是像素化效应但它可能会导致图像细节的轻微模糊，且计算量比最在对图像质量和性能都有一定要求的应用中它是一种在质量和效近邻插值大此外，双线性插值不能很好地保持图像的高频信息率之间取得良好平衡的方法双三次插值定义1双三次插值是一种高质量的图像插值方法，它考虑了目标位置周围×邻域内的4416个像素值，通过在两个方向上进行三次插值来计算插值结果插值核函数2双三次插值通常使用三次插值核函数，如三次样条或三次卷积核这些核函数具有B良好的平滑性和局部支持性，能够在保持图像细节的同时提供平滑的插值结果优缺点3双三次插值产生的图像质量最高，能够很好地保持图像的细节和边缘特性，减少了模糊和锯齿效应然而，它的计算复杂度也最高，需要考虑更多的像素值，进行更多的乘法和加法运算应用场景4双三次插值适用于对图像质量要求高的场景，如专业图像处理软件、医学图像分析和高质量图像放大等在这些场景中，图像质量往往比处理速度更重要插值方法比较插值方法计算复杂度图像质量适用场景最近邻插值最低较差，有明显性能要求高，锯齿分类数据双线性插值中等良好，平滑但图像缩放，纹可能模糊理映射双三次插值最高最佳，保持细专业图像处理节和边缘，高质量放大插值高优秀，锐化边图像放大，减Lanczos缘少振铃效应样条插值高优秀，平滑自医学图像，科然学可视化几何变换在计算机图形学中的应用三维建模动画制作游戏开发几何变换是建模的基础，用在动画制作中，几何变换用于游戏引擎大量使用几何变换来3D于创建、修改和操作三维物体描述物体随时间的运动和变形实现游戏世界中的物体移动、设计师可以通过平移、旋转通过定义关键帧并在它们之旋转和碰撞检测变换矩阵的、缩放和更复杂的变换来调整间应用插值变换，可以创建平层次结构用于表示游戏中的角模型的位置、朝向和形状，以滑的动画序列，包括角色动画色、物体和场景之间的空间关创建复杂的三维场景、相机运动和特效系渲染管线在图形渲染管线中，几何变换用于将模型从本地坐标系转换到世界坐标系，再到相机坐标系，最后通过投影变换映射到屏幕空间这是实现场景显3D示的关键步骤几何变换在计算机视觉中的应用相机校准图像配准12几何变换用于相机校准，即确定相机的内部参数（如焦距、主点在图像配准中，几何变换用于将不同视角、不同时间或不同传感）和外部参数（如位置、朝向）通过观察已知点的投影器获取的图像对齐通过估计两幅图像之间的变换关系，可以将3D2D，可以估计投影变换矩阵，进而分解出相机参数它们映射到同一坐标系，便于后续的比较和分析目标跟踪三维重建34几何变换在目标跟踪中起着重要作用，用于描述目标在连续帧之在三维重建中，几何变换用于从多视角图像恢复三维场景结构间的运动通过估计帧间变换，可以预测目标的位置和姿态，即通过估计多个相机之间的相对位置和朝向（外极几何），可以三使在部分遮挡或变形情况下也能保持跟踪角化对应点，重建出三维模型几何变换在图像处理中的应用图像缩放缩放变换用于改变图像的大小，可以是放大（上采样）也可以是缩小（下采样）在这个过程中，插值方法的选择对结果质量有重要影响图像旋转旋转变换用于改变图像的方向，常用于纠正倾斜的图像或创建特定的视觉效果由于像素是离散的，旋转通常需要结合插值方法来避免锯齿和空洞透视校正投影变换用于纠正透视变形，例如将倾斜拍摄的文档图像转换为正面视图这类变换需要估计投影变换矩阵，通常通过四个对应点对来确定图像拼接几何变换在图像拼接（全景图创建）中扮演关键角色，用于将多幅重叠图像对齐和融合通过估计相邻图像之间的变换关系，可以将它们无缝地拼接在一起几何变换在增强现实中的应用相机姿态估计1在增强现实中，几何变换用于估计相机相对于真实世界的位置和朝向通过识别环境中的特征点或标记，可以计算出相机的变换矩阵，这是实现虚拟对象正确放置的基础虚拟对象渲染2一旦确定了相机姿态，几何变换用于将虚拟对象从其本地坐标系变换到世界坐标3D系，再通过相机变换和投影变换渲染到屏幕上，使其看起来与真实环境融为一体交互操作3在增强现实交互中，几何变换用于响应用户的操作，如移动、旋转和缩放虚拟对象这些操作通常通过手势或控制器输入映射为相应的变换矩阵场景理解4几何变换在场景理解中起关键作用，用于将检测到的平面、物体和空间映射到一AR致的坐标系这使应用能够理解环境结构，实现更复杂的交互和遮挡效果AR几何变换在医学成像中的应用多模态图像配准时序数据分析手术规划与导航几何变换用于将来自不同成在分析心脏跳动或呼吸运动在手术规划和计算机辅助手像设备（如、、等时序医学图像时，几何变术中，几何变换用于将术前CT MRI）的医学图像对齐，以换用于估计和补偿器官运动规划数据与实时成像数据对PET便综合分析多种模态信息，以便更准确地评估功能状齐，引导医生精确导航至目这类配准通常需要估计非刚态和变化趋势标位置这对于微创手术和性变换，考虑到软组织的变放射治疗尤为重要形病理图像分析在数字病理中，几何变换用于对大型高分辨率组织切片图像进行镶嵌、对齐和标准化，以便进行自动分析和诊断辅助实现几何变换的常用工具和库实现几何变换的工具和库丰富多样，适合不同的应用领域是计算机视觉领域的主要库，提供了全面的几何变换功能和等游戏引擎内置了强大的OpenCV Unity3D UnrealEngine变换系统、和是图形，提供了底层变换支持DirectX OpenGLWebGL API是基于的库，简化了上的变换操作和的等科学计算库提供了高级的图像变换功能此外，还有专门用于特定领域的工具Three.js WebGL3D web3D MATLABPython scikit-image，如用于医学图像分析的和等ITK3D Slicer中的几何变换函数OpenCVcv

2.resize用于调整图像大小的函数，支持多种插值方法，包括最近邻、双线性INTER_NEAREST、双三次等通过指定目标尺寸或缩放因子来实现图像的放INTER_LINEAR INTER_CUBIC大或缩小cv

2.warpAffine应用仿射变换的函数，通过一个×的变换矩阵将输入图像变换到输出图像可用于实现平移

23、旋转、缩放、错切以及它们的组合变换cv

2.warpPerspective应用透视变换的函数，通过一个×的变换矩阵将输入图像变换到输出图像适用于需要进行33透视校正或创建全景图等场景辅助函数提供了多个辅助函数，如用于计算旋转矩阵，OpenCV cv

2.getRotationMatrix2D用于通过四对对应点计算透视变换矩阵，以及cv

2.getPerspectiveTransform用于通过多对对应点估计单应性矩阵等cv

2.findHomography中的几何变换函数MATLAB1imresize的提供的调整图像大小的函数支持多种插值方MATLAB ImageProcessing Toolbox法，如（最近邻）、（双线性）和（双三次）等可以通过nearest bilinearbicubic缩放因子或指定输出大小来调整图像2imrotate旋转图像的函数，允许指定旋转角度和插值方法默认情况下，旋转后的图像大小会自动调整以包含完整的旋转结果，也可以通过选项保持原始大小crop3imwarp应用几何变换到图像的通用函数需要与的几何变换对象（如、MATLAB affine2d）结合使用，提供了灵活的变换定义和配置选项projective2d变换对象和估计函数4提供了创建和估计变换的函数，如、创建变换对象，MATLAB affine2d projective2d通过控制点对估计变换参数还提供了fitgeotrans用于鲁棒地估计变换，适合处理含有异常值的数据estimateGeometricTransform2D中的几何变换库PythonNumPy基础的科学计算库，提供了矩阵操作功能，可以用于手动实现基本的几何变换通过函数可以进行矩阵乘法，实现变换的应用numpy.dotscikit-image专门的图像处理库，提供了模块，包含多种几何变换函数，如、transform resize、、等这些函数易于使用，且与rotate AffineTransformProjectiveTransform数组良好集成NumPySciPy科学计算库，其子模块提供了多种几何变换函数，如旋转、缩放ndimage rotate、平移等这些函数适用于处理多维数组数据zoom shiftPyTorch/TensorFlow深度学习框架也提供了几何变换功能，主要用于数据增强和特征变换这些操作可以在上加速，并支持自动求导，适合于深度学习模型的训练和推理过程GPU几何变换的性能优化批处理将多个点或图像一次性传递给变换函数，而不是逐个处理这可以减少函数调用开销，提高缓存利用率，在处理大量数据时尤其有效CPU预计算和缓存对于频繁使用的变换，预先计算变换矩阵并缓存起来，避免重复计算复合变换矩阵也应提前计算，而不是在应用时逐步组合利用硬件加速现代非常适合并行处理几何变换使用、或支持GPU OpenGLCUDA加速的库可以显著提高变换速度，特别是对于大型图像或复杂的GPU场景3D算法优化选择适合的算法和数据结构例如，使用增量算法来避免重复计算，或者使用树形结构来优化空间划分对于插值，可以根据质量要求选择合适的方法，在性能和质量之间取得平衡并行计算在几何变换中的应用并行并行CPU GPU使用多线程或指令集（如、）可以在上具有大量的处理核心，非常适合执行几何变换这类高度SIMD SSEAVX CPUGPU实现并行计算对于图像变换，通常将图像分割成多个块，并行的任务在上，每个像素或顶点可以由一个独立的GPU由不同的线程并行处理这种方法适用于多核，可以显线程处理，实现真正的大规模并行化CPU著提高变换速度和是主要的编程平台，提供了直接访问CUDA OpenCLGPU、等库提供了简化的多线程编程接口，计算能力的接口许多高级库，如的模OpenMP IntelTBB GPUOpenCV CUDA使开发者能够轻松地将串行代码转换为并行代码针对块、和，也提供了针对特定领域优化的cuBLAS cuDNNGPU优化，可以利用编译器的自动向量化或明确使用向量加速函数在和中，几何变换通常在着色SIMD WebGLWebGPU化指令器程序中实现，利用进行高效渲染GPU几何变换的未来发展趋势实时高精度深度学习集成随着硬件性能提升，实现更高效的实2将几何变换与深度学习模型集成，实时高精度几何变换1现端到端的学习和优化非刚性变换开发更高效的非刚性变换算法，适应3复杂场景的需求云端协同5跨域应用结合边缘计算和云计算，实现分布式的几何变换处理4几何变换将在更多领域找到应用，如医疗、自动驾驶和元宇宙课程总结基础知识1几何变换的定义、分类和数学表示基本变换2平移、缩放、旋转、镜像和错切高级变换3仿射变换、投影变换和齐次坐标系变换应用4复合变换、逆变换和图像插值实际应用5计算机图形学、计算机视觉、图像处理和增强现实实践练习基本变换实现图像变形应用变换可视化3D使用或实现开发一个简单的图像变形应用使用或其他库创建OpenCV NumPyThree.js3D基本的几何变换（平移、旋转，允许用户交互式地定义控制一个物体变换的可视化工具3D、缩放），并观察不同插值方点，并应用仿射或投影变换，展示不同变换参数对物体位法的效果差异尝试将多个基实现图像拼接功能，将两幅有置、朝向和形状的影响尝试本变换组合成复合变换，并与重叠的图像自动对齐并融合成实现虚拟相机的控制，体验投直接应用等效的复合变换矩阵全景图影变换的效果比较结果性能比较实验对比不同几何变换实现的性能，包括纯实现、多线程优CPU化、优化和加速SIMD GPU测量处理大型图像或大量点3D时的执行时间，分析性能瓶颈并尝试优化问答环节提问方式在线讨论学习资源欢迎提出关于课程内容的任何问题您对于课后问题，欢迎加入我们的在线讨我们已经准备了一系列补充学习资源，可以通过举手或在聊天框中输入问题论组您可以在那里与其他学生和教师包括推荐阅读材料、代码示例和练习题我们将尽可能回答所有问题，以帮助您交流，分享您的实践经验和遇到的问题这些资源将帮助您深入理解几何变换更好地理解几何变换的概念和应用我们将定期检查并回复讨论组中的问，并将所学知识应用到实际项目中题。