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初中数学有理数复习精讲欢迎参加初中数学有理数复习精讲课程有理数是初中数学的重要基础知识，掌握有理数的概念和运算对于学习代数至关重要本课程将系统地复习有理数的概念、性质和运算，帮助同学们巩固基础，提高解题能力通过这门课程，你将全面了解有理数的分类、表示方法、运算规则以及在实际问题中的应用我们还将分析常见错误，提供解题技巧，并通过大量习题和中考真题提升你的应用能力课程目标全面复习有理数概念巩固重要知识点12系统回顾有理数的定义、分类深入理解有理数的四则运算法、性质，以及数轴上的表示方则、运算律及其使用条件，掌法，建立清晰的数学概念体系握小数、分数和百分数之间的转化提高解题能力3通过典型例题和习题的分析与解答，培养数学思维能力，提高解决实际问题的能力，为中考做好充分准备什么是有理数？定义来源表示方法有理数是整数和分数的统称，是一切有理的理指比例，有理数源于解有理数可以用小数形式表示，包括有可以表示成两个整数之比的数每个决实际生活中的分配和测量问题，表限小数和无限循环小数例如有理数都可以写成分数形式a/b，其中示事物可以被精确量化的程度1/2=
0.5，1/3=
0.
333...a、b为整数且b≠0有理数的分类负有理数2小于0的有理数，例如-1，-2/3，-
0.75等负有理数在数轴上位于原点的左侧，用-表正有理数示大于0的有理数，例如1，2/3，
0.75等1正有理数在数轴上位于原点的右侧，用+零表示或省略不写既不是正有理数也不是负有理数，在数轴上位于原点位置零是中性数，它的相反数是3它本身数轴上的有理数负数区域1所有负有理数都位于数轴上的0点左侧，数值越小，点的位置越靠左例如-5位于-3的左侧原点2数轴上的0点，也称为原点，是正数和负数的分界点零既不是正数也不是负数正数区域3所有正有理数都位于数轴上的0点右侧，数值越大，点的位置越靠右例如5位于3的右侧数轴上的每一个点都对应唯一的一个数，反之亦然绝对值相等的两个数在数轴上关于原点对称如-2和2在数轴上关于原点对称相反数定义特点应用两个数的和等于零，这两个数互为相反相反数具有绝对值相等但符号相反的特相反数在有理数减法和代数运算中有重数相反数也称为负数，例如3的相反点在数轴上，相反数关于原点对称要应用例如，减去一个数等于加上这数是-3，-1/2的相反数是1/2零的相反数是它本身个数的相反数a-b=a+-b绝对值定义计算规则实际应用数到0的距离称为这个正数的绝对值是它本身绝对值在物理中表示位数的绝对值，用|a|表|a|=a（a0）负数移、距离等物理量在示a的绝对值绝对值的绝对值是它的相反数数学中用于表示两数之总是非负的例如|a|=-a（a0）零的间的距离，以及不等式|3|=3，|-3|=3，|0|=0绝对值是0|0|=0的求解和函数图像的分析有理数的大小比较（）1基本规则在数轴上，位置靠右的数总是大于位置靠左的数因此，任何正数都大于0，任何负数都小于0正数与零所有正有理数都大于0例如10，
0.50，1/30正数越大，其值越大负数与零所有负有理数都小于0例如-10，-
0.50，-1/30负数的绝对值越大，其值越小有理数的大小比较（）2比较两个正数1绝对值大的正数更大比较两个负数2绝对值小的负数更大比较一正一负3正数总大于负数在比较有理数大小时，我们可以按照以下步骤首先判断符号，正数大于零，零大于负数；如果同为正数，则绝对值大的数较大；如果同为负数，则绝对值小的数较大例如32（两正数），-2-5（两负数），4-1（一正一负）有理数的加法（）1同号数相加两个同号数相加，符号不变，绝对值相加例如3+5=8，-2+-4=-6正数加正数两个正数相加，结果是正数，且等于两数绝对值之和例如
2.5+
3.7=
6.2，1/2+1/3=5/6负数加负数两个负数相加，结果是负数，且绝对值等于两数绝对值之和例如-
2.5+-
3.7=-
6.2，-1/2+-1/3=-5/6有理数的加法（）2计算方法2用绝对值大的减去绝对值小的异号数相加1绝对值较大数的符号决定结果的符号实际应用如盈亏问题、温度变化等3当两个异号数相加时，首先比较它们的绝对值大小，然后用绝对值大的数减去绝对值小的数，结果的符号与绝对值大的数相同例如5+-3=2，-7+4=-3在实际应用中，异号数相加常用于解决盈亏问题、温度变化等情况例如盈利5元后又亏损3元，最终结果是盈利2元有理数的减法减法转化为加法1减去一个数等于加上这个数的相反数基本公式2a-b=a+-b应用实例35--3=5+3=8，-2-4=-2+-4=-6有理数的减法可以转化为加法来计算，即减去一个数等于加上这个数的相反数这样，所有减法问题都可以使用加法法则来解决例如3-7=3+-7=-4，-5--8=-5+8=3在减法运算中，特别注意减号后面有括号的情况，如a--b=a+b，两个负号抵消变为加号减法的转化使计算更加统一，便于理解和处理复杂的运算有理数的乘法（）1有理数乘法的符号规则同号相乘得正数，异号相乘得负数当两个数的符号相同（都是正数或都是负数）时，它们的乘积为正数；当两个数的符号不同（一个是正数，一个是负数）时，它们的乘积为负数例如3×4=12（正×正=正），-2×-5=10（负×负=正），3×-4=-12（正×负=负），-2×5=-10（负×正=负）这一规则可以扩展到多个因数的乘法负数的个数为奇数时，结果为负；负数的个数为偶数时，结果为正有理数的乘法（）2绝对值计算零的乘法特性两数乘积的绝对值等于两数绝对任何数与0相乘都等于0，即值的乘积，即|a×b|=|a|×|b|乘法a×0=0×a=0这是零的吸收性质的具体计算是先确定结果的符号，不论另一个数多大或多小，结，再计算绝对值部分果都是0乘法的应用乘法在实际问题中常用于计算重复加法、面积、体积、比例等例如，一个苹果5元，买3个需要5×3=15元有理数的除法（）1除法转化为乘法倒数的概念12除以一个数等于乘以这个数的两个数的乘积等于1，则这两倒数即a÷b=a×1/b，其中个数互为倒数任何非零数ab≠0这一转化使得除法运算的倒数是1/a注意0没有倒数可以借助乘法规则进行计算，，因为不存在任何数与0的乘简化了处理过程积等于1零的除法30除以任何非零数都等于0，即0÷a=0（a≠0）但任何数除以0都是没有意义的，因为不存在一个数与0的乘积等于一个非零数有理数的除法（）2符号规则分数形式除法实际应用除法的符号规则与乘法相同同号相除分数形式的除法可以转化为乘以倒数除法在实际问题中常用于平均分配、单得正数，异号相除得负数两数符号相a/b÷c/d=a/b×d/c=a×d/b×c，其中价计算、速度计算等情况例如，15元同时，商为正；符号不同时，商为负b≠0，c≠0，d≠0例如买3个苹果，每个苹果的价格是15÷3=5例如6÷2=3，-6÷-2=3，6÷-2=-3，2/3÷4/5=2/3×5/4=2×5/3×4=1元-6÷2=-30/12=5/6有理数的乘方乘方的定义1乘方表示同一个数连乘，其中底数表示被乘的数，指数表示连乘的次数例如2³=2×2×2=8，-3²=-3×-3=9正数的乘方2当底数为正数时，无论指数是多少，乘方的结果始终为正数例如2²=4，2³=8，2⁴=16，所有结果都是正数负数的乘方3当底数为负数时，乘方的结果取决于指数的奇偶性指数为偶数时，结果为正数；指数为奇数时，结果为负数例如-2²=4，-2³=-8，-2⁴=16有理数的混合运算（）1基本优先顺序有理数混合运算遵循先乘除后加减的基本原则在没有括号的情况下，先计算乘法和除法部分，再计算加法和减法部分例如5+2×3=5+6=11，而非5+2×3=21括号的作用括号改变运算顺序，遵循有括号先算括号里的原则当表达式中有括号时，应先计算括号内的表达式值，再按照运算顺序进行其他计算例如5×2+3=5×5=25，而非5×2+3=13多层括号如果表达式中有多层括号，应从内层括号开始计算，逐层向外例如3×[4-2+1]=3×[4-3]=3×1=3这种由内到外的计算顺序确保了复杂表达式的正确求解有理数的混合运算（）2同级运算顺序幂运算优先级同级运算指同属加减或同属乘除幂运算（乘方）的优先级高于乘的运算同级运算按照从左到右除运算在有乘方的混合运算中的顺序进行例如8-5+2=8-，应先计算乘方部分，再按照其5+2=3+2=5，他运算顺序进行计算例如15÷3×2=15÷3×2=5×2=102×3²=2×9=18，而非2×3²=6²=36综合应用完整的运算优先顺序是第一括号，第二乘方，第三乘除，第四加减例如-2+3×-4²÷6=-2+3×16÷6=-2+48÷6=-2+8=6有理数运算律（）交换律1乘法交换律乘法交换律表述为a×b=b×a这意味着在乘法运算中，交换因数的位置不会改变积的值例如3×5=5×3=15，-2×7=7×-2=-14乘法交换律也适用于所有有理数加法交换律加法交换律表述为a+b=b+a这意味着在加法运算中，交换加数的位置不会改变和的值例如3+5=5+3=8，-2+7=7+-2=5加法交换律适用于所有有理数交换律的意义在于简化计算过程，使得我们可以灵活地调整运算顺序，选择更便捷的计算方式例如，计算3+98+7时，可以先计算3+7=10，再加98，得到108有理数运算律（）结合律2乘法结合律2a×b×c=a×b×c加法结合律1a+b+c=a+b+c应用优势简化运算过程、提高计算效率3加法结合律表明，在三个或多个数相加时，无论如何结合都不会改变最终结果例如2+3+4=2+3+4=9这允许我们根据计算便利性灵活调整加数的结合方式乘法结合律同样适用于所有有理数，它表明在连乘运算中，改变因数的结合次序不会影响最终积的值例如2×3×4=2×3×4=24结合律使我们能够简化复杂的多数运算，提高计算效率有理数运算律（）分配律3基本形式负数情况实际应用分配律的基本形式为a×b+c=a×b+分配律同样适用于有减法的情况a×b-分配律在实际计算中非常有用，特别是在a×c这表示一个数乘以一个和等于这个c=a×b-a×c这里的减法可以看作加简化运算和因式分解中例如，计算99×数分别乘以和的各项再相加例如3×4上一个负数例如2×7-3=2×7-2×13可以转化为99×10+3=99×10+99+5=3×4+3×5=12+15=273=14-6=8×3=990+297=1287小数与分数的转化（）1有限小数转分数分子去掉小数点的整数分母1后面跟着与小数位数相同个数的0最后约分至最简分数例如
0.25=25/100=1/4小数
0.75的转化
0.75转换为分数的步骤分子为75，分母为100（因为有2位小数）约分得
0.75=75/100=3/4小数
2.35的转化对于带整数部分的小数，可将其拆分为整数和纯小数
2.35=2+
0.35=2+35/100=2+7/20=47/20小数与分数的转化（）2无限循环小数的特点无限循环小数是指小数部分存在一个或多个数字不断重复出现的小数例如
0.
333...（3循环），
0.
252525...（25循环）所有无限循环小数都可以表示为分数形式转化方法设原小数为x，将x乘以适当的10的幂次（使循环部分整体移到小数点左侧），然后做差消去循环部分，最后解出x的值例如设
0.
333...=x，则10x=
3.
333...，得10x-x=3，所以x=3/9=1/3示例
0.
8181...设
0.
8181...=x，则100x=
81.
8181...，得100x-x=81，所以99x=81，从而x=81/99=9/11这样就将无限循环小数
0.
8181...转化为了分数9/11百分数与小数、分数的转化百分数转小数小数转百分数百分数与分数互换百分数转化为小数只需去掉百分号并除小数转化为百分数需乘以100并加上百分百分数转分数去掉百分号，作为分子以100例如25%=25/100=
0.25，号例如
0.36=
0.36×100%=36%，，分母为100，然后约分例如75%=156%=156/100=
1.56这一转化基于
1.5=
1.5×100%=150%将小数乘以75/100=3/4分数转百分数分子除以百分数表示的是百分之几，即除以100100等同于将其值表示为百分之几分母，再乘以100%例如3/5=3÷5×后的值100%=
0.6×100%=60%科学记数法适用情况表示方法科学记数法适用于表示很大或很科学记数法将数表示为a×10^n小的数，使表达更简洁例如表的形式，其中1≤|a|10，n为整数示地球到太阳的平均距离（约例如
3.56×10^5表示356,000149,600,000,000米）或电子的质，
7.8×10^-4表示
0.00078指数量（约n表示小数点移动的位数和方向
0.000000000000000000000000000911千克）转换规则普通数转科学记数法将小数点移至第一个非零数字后，记下移动位数作为10的指数向右移用正指数，向左移用负指数例如4700000=
4.7×10^6，
0.00025=
2.5×10^-4有理数的应用温度问题温度表示1在温度问题中，数值的正负表示温度高低相对于0℃的情况正数表示高于0℃的温度，负数表示低于0℃的温度例如5℃表示温度变化2比0℃高5度，-10℃表示比0℃低10度温度的升降可用正负数表示上升用正数表示，下降用负数表示例如温度上升3℃表示为+3℃，温度下降4℃表示为-4℃温度计算3利用有理数的加减法计算温度变化例如当前温度为-2℃，上升5℃后的温度为-2+5=3℃；当前温度为6℃，下降8℃后的温度为6+-8=-2℃有理数的应用海拔高度海拔表示深度表示高度变化海拔高度以海平面为基海底深度通常用负海拔高度的变化可用有理数准，用正负数表示高表示例如马里亚纳加减法表示例如从于海平面用正数表示，海沟最深处约11000米海拔200米处下降300低于海平面用负数表示，表示为-11000米海拔米后的高度为200+-例如珠穆朗玛峰海这表明该位置位于海300=-100米，表示到拔
8844.43米表示为平面以下11000米处达了低于海平面100米+
8844.43米，死海海拔的位置-413米表示为-413米有理数的应用盈亏问题盈利表示盈亏计算平衡点在经济活动中，盈利用正数表示，亏损用利用有理数的加减法计算多次活动后的最盈亏相抵时的状态称为收支平衡或盈亏负数表示例如盈利500元记为+500元终盈亏情况例如先盈利200元，再亏平衡，数值为0例如先亏损150元，，亏损300元记为-300元这种表示方法损350元，最后的结果是200+-350=-再盈利150元，最终结果是-直观地反映了经济活动的结果方向150元，表示最终亏损150元150+150=0元，表示达到了盈亏平衡点有理数的应用时间轴公元前表示1历史上公元前的年份用负数表示例如公元前221年表示为-221年，公元前1046年表示为-1046年年份越小（绝对值越大），表示时间越早公元后表示2公元后的年份用正数表示例如公元1949年表示为1949年，公元2023年表示为2023年年份越大，表示时间越晚时间间隔计算3利用有理数加减法计算不同年份之间的时间间隔例如从公元前202年到公元220年的时间间隔为220--202=422年注意计算跨越公元元年的时间间隔时不存在0年习题有理数的概念1题目12题目2判断下列各数中哪些是有理数-5将下列各数填入相应的集合中-6，0，π，√4，3/7，√2，
0.25，，0，
3.14，5/2，-
1.7，12，-√
90.
333...，
0.
1212...解答除了π和√2外，其余均为有解答整数集合-6，0，12，-√9理数π是无理数；√4=2是整数，（因为√9=3，所以-√9=-3）；分数属于有理数；√2是无理数集合5/2；小数集合
3.14，-
0.
333...和
0.
1212...是无限循环小
1.7数，属于有理数3题目3写出满足下列条件的三个有理数比-4小，比-7大解答满足条件的有理数有无数个，例如可以是-5，-6，-
6.5等任何三个位于-7和-4之间的有理数习题数轴上的有理数题目1题目2题目3在数轴上表示以下各数-3，
1.5，-2/3，数轴上有A、B两点，A点对应的数是-2，B在数轴上，点A的坐标是3，点B的坐标是-0，2，-
4.5点对应的数是5，求线段AB的长度5，求点C的坐标，使得C是A、B的中点解答在数轴上，-
4.5位于-4和-5之间，-3解答线段AB的长度为|5--位于-3处，-2/3约为-
0.67，位于-1和0之间2|=|5+2|=|7|=7个单位长度这里用到了解答中点的坐标是两端点坐标的平均值，0位于原点，
1.5位于1和2之间，2位于2两点之间距离等于它们对应数值的绝对值，所以C的坐标为3+-5/2=-1，即点C对处差应的数是-1习题相反数和绝对值题目1题目2题目3求下列各数的相反数5，-7，0，8/3，-求下列各数的绝对值-9，4，-
2.5，|3-已知|x|=5，求x的值
4.28|，|-6|解答当|x|=5时，x有两个可能的值解答5的相反数是-5；-7的相反数是7；解答|-9|=9；|4|=4；|-
2.5|=
2.5；|3-8|=|-x=5或x=-5因为正数5的绝对值是5，负0的相反数是0；8/3的相反数是-8/3；-5|=5；|-6|=6绝对值表示数到原点的距数-5的绝对值也是
54.2的相反数是
4.2相反数的特点是符号离，总是非负的相反，绝对值相同习题有理数的大小比较题目3题目2已知a=-3，b=2，比较a+b，a-b，a×b，题目1将下列各数按从小到大的顺序排列0，-1a÷b的大小比较下列各组数的大小
（1）-2和-5；（，3/4，-
2.5，1，-1/2解答a+b=-3+2=-1；a-b=-3-2=-5；a×b=-2）-
1.5和0；
（3）7和-10；
（4）-3/4和-解答先转化为小数便于比较-
2.5，-1，3×2=-6；a÷b=-3÷2=-
1.5所以从小到大排2/3-1/2=-
0.5，0，3/4=
0.75，1因此从小到序为a×b解答
（1）-2-5，因为两个负数中，绝大的顺序为-
2.5，-1，-
0.5，0，
0.75，1对值小的较大；
（2）-
1.50，因为负数小于0；
（3）7-10，因为正数大于负数；
（4）-3/4-2/3，因为-3/4=-
0.75，-2/3≈-
0.67，而-
0.75-
0.67习题有理数的加法
1.计算15+-8；2-7+12；3-
4.5+-
2.3；43/4+-2/3解答15+-8=-3；2-7+12=5；3-
4.5+-
2.3=-
6.8；43/4+-2/3=9/12+-8/12=1/
122.计算-7+8+-9+15解答-7+8+-9+15=1+-9+15=-8+15=
73.若a=-3，b=5，c=-2，计算1a+b；2a+c；3b+c；4a+b+c解答1a+b=-3+5=2；2a+c=-3+-2=-5；3b+c=5+-2=3；4a+b+c=-3+5+-2=0习题有理数的减法
1.计算17-10；2-3-5；36--8；4-2--9解答17-10=7+-10=-3；2-3-5=-3+-5=-8；36--8=6+8=14；4-2--9=-2+9=
72.计算
13.6--
2.8；2-1/3-2/5；30--7/8解答
13.6--
2.8=
3.6+
2.8=
6.4；2-1/3-2/5=-1/3+-2/5=-5/15+-6/15=-11/15；30--7/8=0+7/8=7/8习题有理数的乘法题目1题目2计算下列各式18×-3；2-计算-2×3×-4×55×4；3-7×-6；4-解答-2×3×-4×5=-6×-
2.5×
0.44×5=24×5=120负数的个数为解答18×-3=-24；2-偶数（2个），所以结果为正5×4=-20；3-7×-6=42；4-
2.5×
0.4=-1题目3若a=-1，b=-2，c=3，计算1a×b；2a×c；3b×c；4a×b×c解答1a×b=-1×-2=2；2a×c=-1×3=-3；3b×c=-2×3=-6；4a×b×c=-1×-2×3=2×3=6习题有理数的除法题目1题目2题目3计算下列各式118÷-6；2-28÷7计算15/8÷-3/4；2-
2.4÷-
0.6若x=-6，y=-2，计算1x÷y；2y÷x；3-36÷-9；40÷-5；3-x÷y；4x÷-y解答15/8÷-3/4=5/8×[-3/4的倒解答118÷-6=-3；2-28÷7=-4；数]=5/8×-4/3=-20/24=-5/6；2-解答1x÷y=-6÷-2=3；2y÷x=-3-36÷-9=4；40÷-5=
02.4÷-
0.6=-
2.4×[-
0.6的倒数]=-2÷-6=1/3；3-x÷y=6÷-2=-3；
42.4×-10/6=24/6=4x÷-y=-6÷2=-3习题有理数的乘方4-8正底数偶次幂负底数奇次幂例2⁴=2×2×2×2=16正数的偶次幂结果是正数例-2³=-2×-2×-2=-8负数的奇次幂结果是负数16负底数偶次幂例-2⁴=-2×-2×-2×-2=16负数的偶次幂结果是正数
1.计算1-3²；22³；3-1⁵；4-2⁶解答1-3²=-3×-3=9；22³=2×2×2=8；3-1⁵=-1×-1×-1×-1×-1=-1；4-2⁶=-2×-2×-2×-2×-2×-2=
642.计算1-1/2⁴；2-
0.1³解答1-1/2⁴=-1/2×-1/2×-1/2×-1/2=1/16；2-
0.1³=-
0.1×-
0.1×-
0.1=-
0.001习题有理数的混合运算（）1同级运算从左到右2同为乘除或同为加减的运算从左往右计算先乘除后加减1计算顺序严格遵循先乘除后加减有括号先算括号括号内的表达式优先计算
31.计算-5+2×-4解答-5+2×-4=-5+-8=-13，先计算乘法2×-4=-8，再计算加法
2.计算-12÷-3+5×-4解答-12÷-3+5×-4=4+-20=-16，先计算-12÷-3=4和5×-4=-20，再计算加法
3.计算-6×[7+-4×2]解答-6×[7+-4×2]=-6×[7+-8]=-6×-1=6，先计算括号内的-4×2=-8，再计算7+-8=-1，最后计算-6×-1=6习题有理数的混合运算（）21题目12题目23题目3计算-3×[5+-8÷4]计算{12÷-3+[-2×-5-8]}×-1计算-2²--3²÷3解答-3×[5+-8÷4]=-3×[5+-2]=-3×3=-解答{12÷-3+[-2×-5-8]}×-1={-解答-2²--3²÷3=4-9÷3=4-3=1先计9先计算括号内的-8÷4=-2，再计算4+[10-8]}×-1={-4+2}×-1=-2×-1=2算乘方-2²=4和-3²=9，再计算除法5+-2=3，最后计算-3×3=-9先计算最内层的括号-2×-5=10，再计9÷3=3，最后计算减法4-3=1算10-8=2，然后计算12÷-3=-4，接着计算-4+2=-2，最后计算-2×-1=2习题运算律的应用题目1应用交换律简化计算题目2应用结合律简化计算题目3应用分配律简化计算计算-
3.75+
2.8+
4.25+-
1.8计算-1/2×12×2计算9×-24+9×16解答应用加法交换律，将同号数放在解答应用乘法结合律，调整计算顺序解答应用分配律9×-24+9×16=9×[-一起-
3.75+
2.8+
4.25+--1/2×12×2=-1/2×12×2=-24+16]=9×-8=-
721.8=
2.8+
4.25+-
3.75+-
1.8=
7.05+-1/2×24=-
125.55=
1.5习题小数与分数的转化有限小数转分数无限循环小数转分分数转小数数将
0.125转化为分数将5/8转化为小数将
0.
666...（6循环）转解答解答5/8=5÷8=
0.625化为分数
0.125=125/1000=1/8通过除法运算，将分（约分后）分子是去解答设x=
0.
666...，数转化为小数形式掉小数点的整数，分母则10x=
6.
666...两式是1后面跟着与小数位相减10x-x=
6.
666...-数相同个数的
00.
666...=6，所以9x=6，x=6/9=2/3习题百分数的应用题目1折扣计算题目2利率计算题目3增长率计算一台电视机原价3600元，现在打八折，求小明存了5000元在银行，年利率为
2.5%，小丽的身高从去年的150厘米增长到现在实际售价一年后可以得到多少利息？的156厘米，求增长率解答折扣八折表示原价的80%，即实际解答利息=本金×利率解答增长率=增长量/原数量售价为3600×80%=3600×
0.8=2880（元）=5000×
2.5%=5000×
0.025=125（元）×100%=156-150/150×100%=6/150×100%=4%习题科学记数法1题目1转化为科学记数法2题目2科学记数法计算3题目3从科学记数法转回普通计数法将下列数转化为科学记数法1计算
2.5×10⁻²×4×10⁵37000；
20.0025；3-450000将下列科学记数法表示的数转化为普通解答计数法
11.5×10³；
27.62×10⁻⁴解答137000=
3.7×10⁴，小数点向
2.5×10⁻²×4×10⁵=
2.5×4×10⁻²×10⁵左移动4位；
20.0025=
2.5×10⁻³，=10×10³=10⁴=10000先计算系数部解答
11.5×10³=1500，小数点向右小数点向右移动3位；3-450000=-分
2.5×4=10，再计算指数部分移动3位；
27.62×10⁻⁴=
0.000762，
4.5×10⁵，小数点向左移动5位10⁻²×10⁵=10³小数点向左移动4位习题温度问题题目某地一天中不同时刻的温度如上图所示1该地当天的最高温度是多少？最低温度是多少？解答最高温度是15时的10℃，最低温度是6时的-5℃26时到12时温度升高了多少度？解答升高了8--5=13℃315时到18时温度下降了多少度？解答下降了10-5=5℃习题海拔高度问题题目1题目2珠穆朗玛峰海拔
8844.43米，喜马拉雅山脉的平均海拔约为6000米，求珠穆朗马里亚纳海沟最深处海拔约为-11000米，某潜水器下潜至海平面以下8500米玛峰比喜马拉雅山脉的平均海拔高多少米？处，求潜水器位置的海拔，以及它与马里亚纳海沟最深处相差多少米？解答
8844.43-6000=
2844.43（米）解答潜水器位置的海拔为-8500米与马里亚纳海沟最深处的高度差为|-11000--8500|=|−11000+8500|=|−2500|=2500（米）海拔问题中，海平面为基准（0米），高于海平面用正数表示，低于海平面用负数表示两地海拔差的绝对值表示两地的高度差习题盈亏问题题目1某商店第一天盈利350元，第二天亏损120元，第三天盈利280元，三天总共盈亏多少？解答总盈亏=350+-120+280=510（元），总共盈利510元题目2某人投资股票，连续5天的盈亏情况分别为盈利200元、亏损150元、亏损80元、盈利300元、亏损120元问这5天总共盈亏多少？解答总盈亏=200+-150+-80+300+-120=200-150-80+300-120=150（元），总共盈利150元题目3小王经营一家小店，已知他需要盈利至少3000元才能维持店面运转第一周盈利1200元，第二周亏损300元，第三周盈利900元，第四周盈利1500元问小王4周的经营情况能否维持店面运转？解答4周总盈亏=1200+-300+900+1500=3300（元）因为33003000，所以小王能够维持店面运转习题时间轴问题题目1题目2题目3公元前753年罗马建立，公元476年西罗公元前212年，阿基米德去世如果现在秦始皇在公元前247年出生，公元前210马帝国灭亡，求西罗马帝国存在了多少是公元2023年，那么从阿基米德去世到年去世，求秦始皇活了多少岁？年？现在已经过去了多少年？解答秦始皇的寿命=|-210--解答西罗马帝国存在的时间=476--解答过去的时间=2023--247|=|−210+247|=|37|=37（岁）753=476+753=1229（年）212=2023+212=2235（年）常见错误分析（）符号混淆1负号与减号混淆负号与括号顺序错误12错误示例-5-3=-8正确应为错误示例-3²=9正确应为-5-3=-5+-3=-8学生常常-3²=9，而-3²=-3²=-9学无法区分负号（表示负数的符生常常忽视负号作用范围的问号）和减号（表示减法运算的题，在书写和计算时应特别注符号），导致运算错误意括号的使用多个符号连用混淆3错误示例6--2=4正确应为6--2=6+2=8当减号后跟负数时，两个负号不能简单地合并为一个符号，而应理解为减去一个负数等于加上这个数的相反数常见错误分析（）运算顺序2忽视运算优先级1错误示例5+3×4=32正确应为5+3×4=5+12=17许多学生习惯从左到右依次计算，而不遵循先乘除后加减的原则，导致运算结果错误括号使用不当2错误示例-2+3=-2+3=1正确应为-2+3=-5=-5负号作用于括号时，表示对括号内结果取相反数，而不是只对第一个数取相反数计算不完整3错误示例2×3-5+4=2×-2+4=-4+4，得出答案为0但正确计算过程应该是2×3-5+4=2×-2+4=-4+4=0部分学生在口头计算时容易遗漏中间步骤，导致结果错误常见错误分析（）分数计算3分母不通分混淆分数四则运算规则分数除法错误错误示例1/2+1/3=2/5正确应为错误示例2/3×4/5=8/15正确应为错误示例1/2÷1/4=1/2×1/4=1/8正确1/2+1/3=3/6+2/6=5/6分数加减法需要2/3×4/5=2×4/3×5=8/15，这是正确的应为1/2÷1/4=1/2×4/1=4/2=2分数除先通分（将分母化为相同），再对分子进但如果写成法等于乘以除数的倒数，而不是直接用分行加减2/3×4/5=2×4/3×4=8/12=2/3，则是错子除以分子、分母除以分母误的分数乘法是分子乘分子，分母乘分母解题技巧（）巧用运算律1利用乘法结合律2计算25×6×4时，可先计算6×4=24，再计算25×24=600，简化运算利用加法交换律1计算
4.7+
2.8+
5.3+
7.2时，可先计算
4.7+
5.3=10，再加
2.8+
7.2=10，最后得20利用分配律计算125×99可转化为125×100-1=125×100-3125×1=12500-125=12375，避免复杂乘法巧妙运用运算律可以简化计算过程，提高计算效率例如计算37×25+37×75思路利用分配律，37×25+37×75=37×25+75=37×100=3700计算-15×4×-6×-5×25思路首先确定符号，因有三个负号，所以结果为负数然后巧妙分组-15×25×4×-6×-5=-375×4×30=-375×120=-45000解题技巧（）数形结合2数轴定位1解决数的大小比较问题时，可以在数轴上直观表示数轴上位置靠右的数更大，这样可以直观地判断-2-5，因为-2在数轴上位于-5的右侧几何模型2解决有理数应用问题时，可以借助几何模型例如，两地海拔差求解可以通过数轴垂直放置，直观表示两地的高度差函数图像3处理变量关系时，可以借助坐标系例如，温度随时间变化的问题，可以在坐标系中绘制温度-时间图像，直观展示变化趋势解题技巧（）化繁为简3等价转化将复杂问题转化为已知的简单问题例如，有理数的减法可以转化为加法；除法可以转化为乘法a-b=a+-b，a÷b=a×1/b（b≠0）分步计算将复杂运算分解为多个简单步骤例如，计算-3×[1/2--2]×4时，可以先计算括号内部-2的相反数为2，然后计算1/2+2=5/2，再计算-3×5/2×4=-3×5/2×4=-30估算验证通过粗略估算结果的范围，验证计算答案的合理性例如，对于-
5.7×
9.8，可以估算成-6×10=-60，来验证精确计算结果-
55.86的合理性中考真题解析（）1例题1（2022年某地中考题）例题2（2021年某地中考题）计算-
1.2÷[-
0.5²-
0.4]若a=-2，b=3，c=-1，计算a+c×b-a²解题过程解题过程第一步计算括号内容-
0.5²-
0.4=
0.25-
0.4=-
0.15第一步代入已知值a+c×b-a²=-2+-1×3--2²=-3×3-4=-9-4=-13第二步计算除法-
1.2÷-
0.15=-
1.2×-1/
0.15=-
1.2×-20/3=24/3=8答案-13答案8中考真题解析（）2例题1（2020年某地中考题）比较下列各数大小-|-
1.5|，--
2.5，-3/2，2-4解题过程-|-
1.5|=-
1.5（负数的绝对值是
1.5）--
2.5=
2.5（负负得正）-3/2=-
1.5（分数转化为小数）2-4=-2（直接计算）所以从小到大排序为-3/2=-
1.5=|-
1.5|2-4=-2--
2.5=
2.5例题2（2019年某地中考题）-340用科学记数法表示为________解题过程-340=-
3.4×10²负号保留，小数点移至第一位非零数字之后，向左移动2位，所以指数为2中考真题解析（）3例题（2018年某地中考题）解题过程验证某公司连续三个月的盈亏情况如下第一设三个月的总盈利为y万元，则y=5+-第一个月盈利5万元，第二个月亏损2万元个月盈利5万元，第二个月亏损2万元，第2+x=3+x，第三个月盈利6万元三个月盈利x万元已知三个月的平均盈利由于平均盈利为3万元，则总盈利y=3×3=9总盈利为5+-2+6=9（万元）为3万元，求x的值万元平均盈利为9÷3=3（万元），与题目条件所以3+x=9，解得x=6相符总结回顾有理数的应用1实际生活中的广泛应用运算律与解题技巧2简化计算提高效率四则运算与乘方3掌握运算规则与顺序有理数的基本概念4定义、分类、表示与比较通过本课程的学习，我们系统地复习了有理数的概念、分类、性质以及在数轴上的表示重点掌握了有理数的四则运算规则、运算顺序以及各种运算律的应用，包括交换律、结合律和分配律我们还学习了有理数在实际生活中的应用，如温度问题、海拔高度、盈亏问题和时间轴等通过大量习题和中考真题的练习，提高了解题能力和应用水平，为今后的代数学习打下了坚实的基础结语掌握有理数，为代数学习打基础夯实基础有理数是整个数学体系的基础，牢固掌握有理数的概念和运算，是学习后续代数知识的前提就像盖房子需要打好地基一样，有理数知识是数学学习的地基培养思维通过有理数的学习，培养逻辑思维和抽象思维能力数学不仅是计算工具，更是一种思维方式，有理数学习帮助我们建立数学思维模式应用实践有理数在日常生活中有广泛应用，从温度变化到财务管理，从海拔高度到历史年代，处处都能看到有理数的身影掌握有理数，就能更好地理解和解决实际问题希望通过本次复习课，同学们能够对有理数有一个全面、系统的认识，熟练掌握有理数的运算技能，并能灵活运用到实际问题中去有理数作为初中数学的重要基础知识，将为你们学习方程、函数等后续内容奠定坚实基础。
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