基于单摆实验的的重力加速度测定教学课件

基于单摆实验的重力加速度测定欢迎参加基于单摆实验的重力加速度测定课程本课程将带领大家探索经典物理实验，通过简单的单摆装置精确测量地球重力加速度从理论基础到实际操作，我们将系统学习单摆的运动规律、实验方法和数据分析技术，培养科学实验能力和物理思维单摆实验是物理教学中的经典实验，它不仅能帮助我们理解振动运动的基本规律，还能通过简单的装置测定重力加速度这一基本物理常数，体现了物理学实验精神和科学方法的精髓课程目标理解单摆运动原理掌握重力加速度测定方法提高实验操作和数据分析能123力通过本课程，学生将深入理解单摆学习利用单摆周期公式测定重力加运动的物理机制，包括周期运动的速度的方法，理解物理量之间的关培养科学的实验态度和严谨的实验特性、振动规律以及影响因素掌系，能够独立设计实验方案，准确操作习惯，提升测量精度意识，学握单摆运动与简谐运动的关系，建操作实验设备，获取有效数据并进会处理多组数据，分析误差来源，立对振动系统的直观认识和理论理行合理分析并通过多种方法验证实验结果的可解靠性单摆的定义理想单摆实际单摆理想单摆是物理学中的理论模型，由一根质量忽略不计的细线和实际实验中的单摆由有质量的细线和有体积的摆球组成摆球不一个质点组成细线长度不变，质点集中在摆球中心，没有空气是质点，而是有一定体积的物体，细线也有质量同时，实验中阻力，摆动过程中不受其他外力干扰还存在空气阻力和其他干扰因素在理想单摆模型中，质点在重力作用下做周期性摆动，当摆角较为了使实际单摆更接近理想模型，通常选用密度大、体积小的摆小时（通常小于5°），可以近似为简谐运动，其周期仅与摆长和球，轻质细线，并控制摆动幅度在小角度范围内，减小误差影响重力加速度有关单摆运动的特点周期性单摆在重力作用下做往复运动，每完成一次完整的来回摆动为一个周期这种周期性运动是单摆最基本的特征，体现了机械振动系统的普遍规律在理想条件下，单摆的周期性运动可以持续进行而不衰减，但实际情况中由于摩擦和空气阻力的存在，摆动幅度会逐渐减小等时性等时性是单摆的重要特性，即在摆角较小时（通常小于5°），单摆的周期与摆动幅度无关，只与摆长和重力加速度有关这一特性最早由伽利略发现，为钟表的发明提供了理论基础单摆的等时性使我们可以通过测量周期和摆长来准确计算重力加速度单摆运动的物理量摆长周期重力加速度l Tg摆长是指从摆的悬挂点周期是单摆完成一次完重力加速度是地球引力到摆球质心的距离，单整振动所需的时间，单产生的加速度，是单摆位为米m在理想单位为秒s通常通过测运动的驱动力来源，单摆中，摆长是一个固定量多次振动的总时间再位为米/秒²m/s²它值；在实际单摆中，需除以振动次数来获得更是本实验的测定目标，要考虑摆线的质量和摆准确的周期值，减小测标准值约为

9.8m/s²，球的体积，进行适当修量误差但在地球不同位置有细正微差异单摆周期公式基本公式适用条件1T=2π√l/g摆角小于5°2实验验证物理意义43通过测量T和l验证公式周期与摆长平方根成正比单摆周期公式是本实验的理论基础公式表明，在小振幅条件下，单摆的周期T与摆长l的平方根成正比，与重力加速度g的平方根成反比这个简洁的公式揭示了单摆运动的本质规律需要注意的是，这个公式是在小振幅近似条件下成立的当摆角增大时，实际周期会与公式计算值有偏差，此时需要引入修正项或使用更复杂的数学表达式在实验中，我们通常控制摆角在5°以内，确保公式的适用性重力加速度计算公式从单摆周期公式出发T=2π√l/g等式两边平方T²=4π²l/g解出重力加速度gg=4π²l/T²通过对单摆周期公式进行代数变换，我们得到了计算重力加速度的公式g=4π²l/T²这个公式是本实验的核心，通过它我们可以利用测量得到的摆长l和周期T来计算重力加速度g在实际操作中，我们通常会测量多组不同摆长下的周期值，然后利用这个公式分别计算出多个g值，最后取平均值作为最终结果此外，还可以通过作T²-l图像来获得更准确的g值，这将在后续内容中详细介绍实验原理概述测量物理量1精确测量单摆的摆长l和周期T摆长需要考虑摆球半径的修正，周期通常采用多次振动计时法提高精度数据处理2利用公式g=4π²l/T²计算重力加速度，或通过作T²-l图像使用斜率法求解对多组数据进行统计分析，减小随机误差误差分析3分析实验中可能的误差来源，包括测量误差、系统误差和随机误差，评估结果的准确度和精密度结果验证4将实验测得的重力加速度值与当地标准值进行比较，计算相对误差，评价实验方法的有效性实验器材清单本实验需要以下器材单摆装置（包括金属支架、细线和摆球），用于搭建实验系统；秒表，用于测量振动周期，精度至少为

0.01秒；卷尺，用于测量摆线长度，精度为1毫米；游标卡尺，用于测量摆球直径，精度为

0.02毫米此外，还需要准备记录本、计算器、绘图工具等辅助物品，以便记录数据、进行计算和分析结果为保证实验的准确性，所有测量工具应在实验前进行校准实验步骤概览准备工作检查并组装实验装置，确保支架稳固，摆球能自由摆动，准备好所有测量工具和记录工具测量基本参数使用游标卡尺测量摆球直径，使用卷尺测量从悬挂点到摆球中心的距离，计算实际摆长进行周期测量使摆球在小角度下摆动，用秒表测量多次完整振动的总时间，计算平均周期对不同摆长重复此过程数据处理与分析记录并整理实验数据，使用重力加速度计算公式或作图法分析数据，计算最终结果并进行误差分析步骤测量摆球直径1选择合适的测量工具多角度测量记录数据使用游标卡尺进行测量，游标卡尺的精度由于摆球可能不是完美的球形，应从不同将每次测量的数据详细记录在实验记录表通常为

0.02毫米或

0.01毫米，能够提供足方向测量摆球的直径，至少测量三次，取中，包括测量角度、读数和单位计算摆够精确的测量结果操作前应确保游标卡其平均值作为最终直径值这样可以减小球直径的平均值，并计算出半径r，为后续尺校准正确，读数窗口清晰摆球不规则形状带来的误差计算摆长做准备步骤测量摆线长度212确定测量点拉直摆线明确从支架上悬挂点到摆球上边缘的距测量时应保持摆线垂直且拉直，避免线离为摆线实际长度确保测量起点和终绳弯曲影响测量结果可以在摆球下方点的准确性，避免由于起点选择不当带轻轻施加小的拉力，确保线绳完全展开来的系统误差3卷尺测量使用卷尺沿摆线笔直测量，读数时视线应与刻度线垂直，避免视差误差测量至少重复三次，取平均值提高准确性步骤计算摆长3计算实际摆长1l=L+r三要素2摆线长度L、摆球半径r、实际摆长l物理意义3从悬挂点到摆球质心的距离实际摆长l是指从摆的悬挂点到摆球质心的距离，而不仅仅是摆线的长度对于均质球体摆球，其质心位于球体中心，因此实际摆长l应为摆线长度L加上摆球半径r计算公式l=L+r，其中L是步骤2中测量的摆线长度，r是步骤1中测得的摆球半径这一修正非常重要，因为摆长直接影响到单摆周期的计算，进而影响重力加速度的测定结果在实验记录中，应明确区分摆线长度L和实际摆长l，避免混淆对于不同的实验组，都需要分别计算对应的摆长值步骤调整摆角4控制在以内5°1确保摆动符合小角度近似条件使用角度标尺2可借助角度标记确保初始角度一致避免旋转和扭曲3保持摆球在一个平面内摆动小角度摆动是单摆实验的关键条件之一当摆角超过5°时，单摆周期公式T=2π√l/g的近似条件不再严格成立，会引入额外误差实验中应将初始摆角控制在5°以内，确保实验符合理论条件调整摆角时，可以使用预先标记的角度参考线，或者在实验台上放置角度标尺拉开摆球时，应沿一条直线拉出，避免摆球产生侧向位移或旋转运动释放摆球时动作要轻柔，不要施加额外的推力，让摆球自然摆动步骤测量振动周期5选择测量方法确定计时起点可选择单次周期测量法或多次周期测量法通常选择摆球通过平衡位置的瞬间作为计时多次周期测量法能显著提高精度，建议采用起点，视线应与摆球平衡位置保持水平，减12小视差误差操作秒表计数振动次数43熟练操作秒表，在摆球首次通过平衡位置时预先确定要测量的振动次数，通常选择20-启动，在完成预定振动次数时停止，记录总50次，数量越多精度越高，但应考虑摆动时间衰减的影响步骤重复测量6摆长m测量次数每次振动数建议重复次数

0.53-

52030.73-

52030.93-

52031.13-

52031.33-5203为获得可靠的实验数据，需要对相同条件下的测量进行多次重复对于每一个摆长，建议至少重复测量3-5次，然后计算平均值这样可以减小随机误差，提高数据的可靠性此外，还应设置不同的摆长进行实验，通常选择5-6个不同的摆长值，覆盖一定范围（如

0.5m至

1.3m）不同摆长的数据可用于后续的作图分析，验证单摆周期与摆长的理论关系步骤数据记录7设计实验记录表现场记录原始数据计算和整理数据设计清晰的实验记录表格，包括摆球直径在实验过程中及时记录所有原始测量数据根据原始数据计算平均值、标准偏差等统、摆线长度、实际摆长、振动次数、总时，包括直接读数和观察到的现象记录应计量，计算过程应详细记录对异常数据间、单次周期等栏目表格应有足够空间清晰、准确，避免事后回忆或修改，保证进行标记并分析可能的原因，评估是否需记录多次测量的数据和计算结果数据的真实性和可靠性要舍弃或重新测量数据处理方法计算单次周期对于多次振动测量法，用总时间除以振动次数得到单次周期T=t总/n例如，测量20次振动共用时

28.4秒，则T=

28.4/20=

1.42秒计算周期平方将测得的周期值平方，得到T²值，为后续计算g值或作图分析做准备例如，T=

1.42秒，则T²=

2.02秒²计算重力加速度利用公式g=4π²l/T²计算重力加速度对于每组测量数据，都可以计算出一个g值，然后取平均值作为最终结果作图分析将T²对l作图，根据斜率k计算g值g=4π²/k这种方法能够综合考虑所有数据点，得到更准确的结果误差分析系统误差随机误差系统误差是由实验装置和方法本身引起随机误差是由无法控制的随机因素引起的固定偏差，如摆长测量时的起点定位的，如读数波动、环境干扰等这类误误差、秒表的系统偏差等这类误差通差的大小和方向是随机变化的，可以通常具有固定的方向和大小，难以通过重过增加测量次数来减小其影响复测量消除处理随机误差的方法包括计算平均值减小系统误差的方法包括校准测量仪、估计标准偏差、进行误差传递分析等器、改进测量方法、引入修正项等例通过这些统计方法，可以评估最终结如，考虑摆球半径修正、考虑摆线质量果的不确定度的影响等相对误差计算相对误差是实验值与理论值（或标准值）的差值与理论值的比值，通常以百分比表示δ=|g实验-g标准|/g标准×100%相对误差反映了实验结果的准确程度，是评价实验质量的重要指标一般来说，相对误差小于5%的实验结果可以认为是比较准确的实验注意事项1实验环境控制选择无明显气流干扰的实验环境，避免开窗或空调直吹，减少空气阻力的不稳定影响实验台应平稳坚固，避免因振动导致支架晃动影响测量2器材检查与校准实验前检查所有器材是否完好，支架是否稳固，摆线是否有损伤使用秒表前应检查电池电量，并与标准时钟对比校准游标卡尺和卷尺应检查零点误差3操作技巧释放摆球时动作要轻柔，避免施加额外的初速度或侧向力观察摆动时，视线应与摆球平衡位置保持水平，减小视差误差单人操作时可使用录像辅助分析4数据管理建立完整的实验记录，包括实验条件、原始数据和计算过程对异常数据应及时标记并分析原因，必要时重新测量保留所有原始数据，即使存在异常单摆长度的影响摆长m周期s从图表中可以清晰看出，随着摆长的增加，单摆的周期也相应增大这符合单摆周期公式T=2π√l/g的理论预测，即周期与摆长的平方根成正比当摆长从

0.4m增加到

1.4m（增加

3.5倍）时，周期从

1.27s增加到

2.37s（增加约

1.87倍）这与理论预期的周期增加√

3.5≈

1.87倍相符，验证了公式的正确性在实验中，选择合适的摆长范围非常重要摆长过短可能导致测量误差相对较大，摆长过长则可能引入摆线质量的影响，增加系统误差一般建议选择

0.5m到

1.5m的摆长范围进行实验摆动幅度的影响摆角°周期相对误差%单摆周期公式T=2π√l/g严格来说只适用于小角度摆动的情况当摆角增大时，实际周期会略大于公式计算值，产生误差上图显示了不同摆角下周期的相对误差可以看出，当摆角在5°以内时，相对误差仅为

0.19%，实际上可以忽略不计但随着摆角增大，误差迅速增加当摆角达到15°时，误差已超过

1.7%；摆角为30°时，误差高达

6.83%因此，在实验中控制摆角小于5°是确保测量准确性的重要条件如果必须在大角度下进行实验，应引入修正项T=2π√l/g·[1+1/16sin²θ/2+...]，其中θ为初始摆角空气阻力的影响减小振幅能量损耗1摆动过程中振幅逐渐减小机械能转化为热能2实验对策周期影响43适当增加振动次数，取平均值振幅减小导致周期略微变化在实际单摆实验中，空气阻力是无法完全避免的因素空气阻力会导致单摆振动的能量逐渐损耗，使振幅不断减小根据流体力学原理，对于低速运动的物体，阻力与速度近似成正比空气阻力对实验的主要影响表现在两方面一是导致摆动振幅随时间逐渐减小，二是可能对周期产生微小影响在小振幅条件下，空气阻力对周期的影响通常可以忽略但是，如果实验测量持续时间较长，振幅减小显著，可能需要考虑这一影响减小空气阻力影响的方法包括选择密度大、体积小的摆球以减小阻力系数；避免在有明显气流的环境中实验；控制振动次数在合理范围内，避免振幅减小过多而影响周期测量摆线材质的影响理想摆线常用摆线材质比较理想的摆线应该是无质量、不可伸长的但在实际实验中，摆线尼龙线质量轻，弹性较大，容易伸长，不适合精密实验总是有质量的，且在张力作用下可能产生微小伸长因此，选择棉线质量适中，弹性较小，但可能吸湿变形，稳定性一般合适的摆线材质对实验精度有重要影响细钢丝质量较大，几乎不伸长，稳定性好，但线密度大可能需不同材质的摆线具有不同的线密度（单位长度的质量）和弹性特要修正性线密度大的摆线会增加有效摆长，而弹性大的摆线可能导致摆长在实验过程中发生变化钓鱼线质量轻，弹性小，强度高，是较为理想的选择测量工具的精度卷尺精度游标卡尺精度秒表精度普通卷尺精度通常为1毫米，对于长度在游标卡尺精度通常为

0.02毫米或

0.01毫米电子秒表精度通常为

0.01秒，机械秒表精

0.5-

1.5米的单摆实验，这意味着摆长的相，用于测量摆球直径非常合适对于直径度略低人工操作秒表时，反应时间差异对误差约为

0.1%-

0.2%使用卷尺时应注约2-3厘米的摆球，测量相对误差可控制可能引入

0.1-

0.3秒的误差采用多次振动意尺端的磨损情况，确保零点准确在

0.1%以内，对最终结果影响很小计时法可显著减小这一误差的影响人为操作误差视觉误差操作误差判断误差实验中常见的视觉误差包操作误差主要源于实验者判断误差是指实验者在对括视差误差和读数误差的操作不规范或不熟练，现象判断或数据处理过程视差误差是由于观察者视如摆球释放不平稳、秒表中产生的主观偏差，如对线与刻度不垂直导致的启停不准确、测量点选择摆球通过平衡位置时刻的读数误差则可能来自刻度不当等这类误差往往具判断、对异常数据的处理模糊、光线不足或读数习有随机性，难以预测和控方式、计算过程中的取舍惯不当制等减小视觉误差的方法确减小操作误差的方法充减小判断误差的方法建保视线垂直于刻度；选择分熟悉实验步骤；练习基立客观的判断标准；避免光线充足的环境；使用放本操作技能；遵循标准操先入为主的预期；采用盲大镜辅助读数；采用多人作规程；保持高度注意力法实验设计；引入多人交独立读数取平均值等；必要时使用辅助装置如叉验证；使用统计方法处电子触发器等理数据实验数据表格摆长lm振动次数n总时间ts周期Ts T²s²计算g值m/s²

0.

5002028.

361.

4182.

0119.

8040.

6502032.

421.

6212.

6289.

7950.

8002035.

881.

7943.

2189.

8140.

9502039.

121.

9563.

8269.

8031.

1002042.

062.

1034.

4239.811上表展示了一组典型的单摆实验数据表中包含了不同摆长条件下的实验记录，包括振动次数、总时间、计算得到的周期、周期的平方以及根据公式g=4π²l/T²计算的重力加速度值从表中可以看出，虽然摆长和周期有明显变化，但计算得到的重力加速度值非常接近，都在

9.8m/s²左右，最大偏差仅为

0.019m/s²这表明实验数据具有良好的一致性，符合理论预期在实际实验中，建议设计类似的表格来记录和整理数据完整的数据表应包括多次重复测量的结果，以及平均值和标准差等统计量，以便评估数据的精确度和可靠性数据分析方法直接计算法1计算单次周期T=t总/n（总时间除以振动次数）计算周期平方T²=T×T计算单组值gg=4π²l/T²计算平均值gg平均=g₁+g₂+...+g/nₙ计算标准偏差s=√[∑gᵢ-g平均²/n-1]直接计算法是最基本的数据处理方法，它直接利用公式g=4π²l/T²计算每组数据的重力加速度值，然后取平均值作为最终结果这种方法操作简单，容易理解，适合初学者使用在计算过程中，应注意有效数字的处理规则，确保计算结果的精确度与原始数据相匹配此外，还应计算标准偏差，以评估数据的离散程度和结果的可靠性标准偏差越小，表明数据的一致性越好，结果越可靠数据分析方法作图法2整理数据将实验测得的摆长l和周期T整理成表格，计算出T²值确保有至少5组不同摆长的数据，覆盖一定范围绘制图T²-l以摆长l为横坐标，周期平方T²为纵坐标，绘制散点图如果实验数据符合理论，各点应近似分布在一条直线上拟合直线使用最小二乘法对散点进行直线拟合，得到形如T²=kl+b的直线方程理论上，截距b应接近于零，斜率k=4π²/g计算重力加速度根据拟合得到的斜率k，计算重力加速度g=4π²/k这种方法综合考虑了所有数据点，结果通常更可靠图像分析T²-l摆长lm周期平方T²s²上图展示了单摆实验中摆长l与周期平方T²的关系图从图中可以明显看出，数据点近似分布在一条直线上，验证了单摆周期公式中T²与l成正比的理论预期通过最小二乘法拟合，得到直线方程T²=

4.023l+

0.015其中斜率k=

4.023，截距b=

0.015理论上，当l=0时，T²也应为0，即截距应为0实际拟合得到的小截距可能来自系统误差或测量误差根据斜率k计算重力加速度g=4π²/k=4×

3.1416²/

4.023=

9.806m/s²这个结果与标准值

9.8m/s²非常接近，相对误差仅为

0.06%，表明实验结果准确可靠最小二乘法简介基本原理数学表达式最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方和寻找对于n组数据点x₁,y₁,x₂,y₂,...,x,y，线性拟合的斜ₙₙ数据的最佳函数匹配在物理实验中，它常用于拟合实验数据点率k和截距b可通过以下公式计算，得到最符合这些点的函数关系k=[n∑xᵢyᵢ-∑xᵢ∑yᵢ]/[n∑xᵢ²-∑xᵢ²]对于线性关系y=kx+b，最小二乘法的目标是找到合适的k和bb=[∑yᵢ-k∑xᵢ]/n值，使所有数据点到拟合直线的垂直距离平方和最小这种方法能有效减小随机误差的影响，得到更可靠的结果这些公式确保了拟合直线与实际数据点的最佳吻合度，最大程度地减小了随机误差的影响最小二乘法在本实验中的应用数据准备计算过程结果分析在单摆实验中，我们需要准备摆长l和周期将数据整理成表格，计算∑xᵢ,∑yᵢ,∑xᵢyᵢ,评估拟合效果的方法包括计算相关系数r平方T²的数据对根据单摆公式T²=∑xᵢ²等中间量代入最小二乘法公式，计，值越接近1表明线性关系越显著；比较拟4π²/gl，这两个物理量应呈线性关系，斜算出斜率k和截距b合线与实际数据点的偏差；分析截距b的大率k=4π²/g小，理论上应接近于零通过斜率k反推重力加速度g=4π²/k建议至少准备5-6组不同摆长的数据，并确这种方法综合考虑了所有实验数据，能够如果截距明显偏离零，或数据点偏离拟合保每组数据都是多次测量的平均值，以减有效平滑随机误差，得到更准确的结果线较大，可能表明存在系统误差或实验设小随机误差数据点应尽量覆盖较宽的摆计问题，需要进一步分析原因长范围实验结果的表达最终结果1g=

9.806±

0.023m/s²结果组成2中心值+不确定度+单位有效数字3一般保留3-4位有效数字科学实验结果的正确表达需包含三个要素测量的中心值、不确定度和单位中心值可以是多次测量的平均值或通过作图法得到的拟合值；不确定度表示结果的可靠范围，通常取标准差或标准误差；单位必须符合国际单位制规范不确定度的计算方法可以是A类评定（基于统计分析）或B类评定（基于非统计方法）A类评定常用标准差或标准误差表示，如s或s/√n；B类评定则基于仪器精度、误差传递等因素综合评估最终不确定度应考虑所有误差来源的综合影响有效数字的处理也很重要一般原则是，不确定度保留1-2位有效数字，中心值的小数位数与不确定度保持一致例如，如果不确定度为

0.023，则中心值应表示为

9.806而非

9.81或

9.8。