实数运算课件

实数运算实数运算是数学学习中的基础环节，也是进一步学习高等数学的重要基石本课件将系统介绍实数的概念、分类、性质以及四则运算规则，帮助大家建立完整的实数体系认识我们将从有理数和无理数的概念出发，逐步拓展到实数的运算法则，并探讨其在实际应用中的价值通过学习本课程，您将能够熟练掌握实数运算技巧，并能在代数式化简、方程求解和实际问题中灵活应用学习目标理解实数体系掌握运算规则12掌握实数的定义、分类及其在数轴上的表示，理解有理数熟练掌握实数的四则运算、乘方、开方和绝对值的运算规与无理数的区别，建立完整的实数概念体系则，能够应用运算律解决实际问题应用能力培养理性思维培养34能够将实数运算应用于代数式化简、方程求解、不等式求通过实数运算的学习，提高抽象思维能力和逻辑推理能力解以及生活中的各种实际问题，培养严谨的数学思维习惯知识回顾有理数整数1包括正整数、和负整数，是有理数的一个子集整数可以表示为0分母为的分数形式，如整数在日常生活中有广泛应用15=5/1，如计数、排序等分数2可以表示为两个整数之比的数任何有限小数或无限循环小数都可以写成分数形式例如，，

0.5=1/

20.

333...=1/3小数3有理数可以表示为有限小数或无限循环小数如（有3/4=

0.75限小数），（无限循环小数）小数表示法在实1/3=

0.

333...际计算中更为直观方便有理数的定义和分类定义有理数是可以表示为两个整数之比的数，即形如的数，其中、为整数且有p/q pq q≠0理数包括所有整数和分数表示形式有理数可以表示为分数、有限小数或无限循环小数例如，（有限小数），2/5=

0.4（无限循环小数）1/6=

0.

166666...在数轴上的分布有理数在数轴上是稠密的，这意味着在任意两个不同的有理数之间总能找到另一个有理数但有理数不连续，数轴上存在有理数无法表示的点运算封闭性有理数对于加、减、乘、除（除数不为零）四则运算是封闭的，即两个有理数的四则运算结果仍然是有理数无理数的概念定义与特征历史发现无理数是不能表示为两个整数之比的实1毕达哥拉斯学派发现了第一个无理数√2数，表示为无限不循环小数2，打破了万物皆数的信念数学意义典型例子4无理数的发现极大丰富了数系，填补了常见无理数包括等，它们√2,√3,π,e3数轴上的空隙，形成完整的实数系统不能精确表示为分数形式无理数虽然不能表示为分数，但可以在数轴上精确定位例如，对应于直角三角形（边长为）斜边的长度，对应于单位圆的周√21π长与直径之比无理数的存在使得数轴上的点与实数一一对应实数的定义完备性定义集合定义小数表示从数学严格角度定义，实数系统是完备实数是有理数和无理数的总称，记作从小数表示看，实数包括所有有限小数R的有序域完备性意味着数轴上的每一任何一个实数要么是有理数，要么是无、无限循环小数（有理数）和无限不循点都对应一个实数，不存在空隙这种理数，二者互斥且完备地覆盖了整个实环小数（无理数）这种表示直观反映完备性是实数区别于有理数的关键特性数集所有实数都可以用数轴上的点来了实数的连续性特征表示实数的分类无理数正实数不能表示为分数形式的数，大于的实数，位于数轴原负实数0表示为无限不循环小数典点右侧正实数包括正有理型例子有，小于的实数，位于数轴原有理数√2≈

1.

414...0数和正无理数，点左侧负实数包括负有理π≈

3.

1415...可表示为分数形式的数p/q数和负无理数e≈

2.

718...零（），包括整数和分数q≠0有理数可以表示为有限小既不是正数也不是负数的特数或无限循环小数，如殊实数，是唯一位于数轴原，3点的数3/4=

0.751/3=

0.

333...2415数轴上的实数一一对应原理1数轴上的每一个点对应唯一一个实数有序性2实数大小关系对应点在数轴上的左右位置距离概念3两实数间距离对应数轴上两点间长度坐标表示4实数作为坐标，构成几何与代数的桥梁数轴是理解实数最直观的工具在数轴上，原点对应数，正方向上的点对应正实数，负方向上的点对应负实数两个实数的大小关系可直观地从它们在数轴0上的位置判断位于右侧的数总是大于位于左侧的数数轴上的每个点都对应一个实数，反之亦然，这种对应关系是一一对应的这一性质使得几何问题可以转化为代数问题，是解析几何的基础实数的性质稠密性稠密性定义在任意两个不同的实数之间，总存在无穷多个实数这一性质表明实数在数轴上分布得很稠密，没有间隙有理数的稠密性在任意两个不同的实数之间，总存在无穷多个有理数这意味着有理数在数轴上也是稠密分布的，但与实数不同的是，有理数不能完全填满数轴无理数的稠密性在任意两个不同的实数之间，总存在无穷多个无理数事实上，无理数的数量比有理数多得多，这从集合论的观点看，有理数是可数无穷集，而无理数是不可数无穷集实数的性质连续性完备性实数系统的最高层次性质，保证解析几何可行1区间性质2任意两实数间形成连续区间，无空隙确界原理3任何有上界的非空实数集有最小上界连续函数性质4支持函数连续性和中间值定理等基本性质实数的连续性是区别于有理数的本质特征直观地说，连续性意味着数轴上没有空隙，每个位置都有对应的实数这一性质使得许多重要的数学定理成立，如介值定理和最大值定理连续性的一个等价表述是确界原理任何有上界的非空实数集合必有最小上界（上确界）；任何有下界的非空实数集合必有最大下界（下确界）这一原理是数学分析的基础实数的四则运算加法运算1两个实数的和仍然是实数，满足交换律和结合律数轴上，可以理解为从点a+b a出发，向右移动个单位长度（若为正）或向左移动个单位长度（若为负）b b|b|b所到达的点减法运算2实数减去实数，记作，等价于加上的负数，即减法可以看作是a b a-b a b a+-b加法的逆运算，但减法不满足交换律和结合律乘法运算3两个实数的积仍然是实数，满足交换律、结合律和对加法的分配律特别地，两个同号数的积为正，两个异号数的积为负除法运算4实数除以非零实数，记作÷或，等价于乘以的倒数，即×除a b a b a/b a b a1/b法可以看作是乘法的逆运算，但除法不满足交换律和结合律加法运算规则同号数相加异号数相加零的加法性质两个同号实数相加，结两个异号实数相加，结任何实数加上，结果0果的绝对值等于两数绝果的绝对值等于两数绝仍为该实数即对任意对值之和，符号与加数对值之差，符号与绝对实数，a a+0=0+a=a相同例如值较大的加数相同例零元素是加法运算的单3+5=8，如，位元-3+-5=-85+-3=2-5+3=-2加法的交换律和结合律使得多个数相加时，可以任意调整加数顺序和分组方式，这在实际计算中非常有用例如计算时，可1+2+3+4+5+6+7+8+9以先将互补成的数分组10，大大简化了计算1+9+2+8+3+7+4+6+5=10+10+10+10+5=45过程减法运算规则减法定义实数减去实数，定义为加上的加法逆元，即例如，a b a b a-b=a+-b5-3=5+-3=25--3=5+3=8减法与加法关系减去一个数等于加上这个数的相反数理解这一点对于转化复杂的减法运算非常重要例如表达式可转化为a-b-c a+-b+-c连续减法多个数连续相减时，不能任意调整顺序，必须从左到右依次计算例如，因为，而10-5-3≠10-3-510-5-3=5-3=210-5-3=10-2=8减法应用技巧在实际应用中，合理转化减法表达式可以简化计算例如计算，可以转化为996-567996-567=996-600+33=396+33=429乘法运算规则规则类型规则内容示例同号相乘两正数或两负数相乘，×，×34=12-3-4=12结果为正数异号相乘一正一负相乘，结果为×，3-4=-12-负数×34=-12乘零任何数乘以，结果为×，×0050=0-80=0乘一任何数乘以，结果为×，×171=7-91=-9该数本身乘法交换律××××a b=ba23=32=6乘法结合律××××××××a b c=a b c234=234=24乘法分配律××××××a b+c=a b+a c23+4=23+24=14除法运算规则除法定义实数除以非零实数，记作÷或，定义为乘以的乘法逆元，即a ba ba/ba b÷×例如÷×，÷×a b=a1/b62=61/2=36-2=6-1/2=-3符号规则除法的符号规则与乘法相同同号相除得正，异号相除得负例如÷，÷，÷，÷84=2-8-4=28-4=-2-84=-2零的除法除以任何非零实数结果为，即÷（）任何非零实数除以000b=0b≠0是无意义的，不属于实数范围这是除法与乘法的重要区别0连续除法多个数连续相除时，不能任意调整顺序，必须从左到右依次计算例如÷÷÷÷÷，而÷÷÷842=842=22=1842=82=4实数的乘方整数次幂分数次幂无理数次幂当指数为正整数时，表示个因数当指数为分数时，当指数为无理数时，通常需要借助极限或n a^n n a p/q相乘；当且时，；当为，指数函数定义例如可以理解为n=0a≠0a^0=1n a^p/q=a^p^1/q=a^1/q^p2^√2负整数时，例如其中表示的次方根例如当有理数无限接近时，的极限值a^n=1/a^-n a^1/q aq r√22^r××，，在实际应用中，通常使用计算器或对数2^3=222=82^0=12^-8^2/3=8^2^1/3=64^1/3=4，或计算2=1/2^2=1/48^2/3=8^1/3^2=2^2=4乘方的定义和性质幂的乘法法则乘方定义同底数幂相乘，底数不变，指数相加实数的次方，记作，表示个相a n a^n n a2×a^m a^n=a^m+n乘的积当为正整数时，1n×××（个因数）a^n=a a...a n幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减3÷（）a^m a^n=a^m-n a≠0乘积的幂法则5幂的幂法则乘积的幂等于幂的乘积××a b^n=a^n b^n4幂的幂，底数不变，指数相乘×a^m^n=a^m n负数的乘方奇数次幂偶数次幂零次幂负数的奇数次幂仍为负数例如负数的偶数次幂为正数例如任何非零实数的零次幂均为，包括负数--1，，，，例如，零的2^1=-2-2^3=-8-2^5=-2^2=4-2^4=16-2^6=64-2^0=1-π^0=1这是因为奇数个负数相乘，结果为这是因为偶数个负数相乘，结果为正零次幂是无定义的32负在数学上，若为奇数，则在数学上，若为偶数，则n-n-a^n=a^n a^n=-a^n需要特别注意负号位置的不同所导致的结果差异例如表示××，而表示××，两-2^3-2-2-2=-8-2^3-222=-8者结果相同；但×，而×，两者结果相反-2^2=-2-2=4-2^2=-22=-4实数的开方平方根1实数的平方根是指平方等于的数若，则有两个平方根和a a a0a√a-；若，则只有一个平方根；若，则在实数范围内没有平√a a=0a0a0a方根通常，表示的正平方根√a a立方根2实数的立方根是指立方等于的数任何实数都有唯一的实数立方根，记a a a作∛若，则∛；若，则∛；若，则∛a a0a0a0a0a=0a=0次方根3n实数的次方根是指次方等于的数当为奇数时，任何实数都有唯一a n n a n a的实数次方根；当为偶数时，若，则有两个实数次方根，若n n a0a n a=0，则只有一个次方根，若，则在实数范围内没有次方根a n0a0an平方根的概念定义实数的平方根是指平方等于的数若一个实数的平方等于，则它是的平方根a a a a平方根用符号表示，读作的平方根√√a a正平方根当时，表示的正平方根，即那个大于的平方根例如，，a0√a a0√4=2√9=3在实际应用中，没有特殊说明时，通常指正平方根√2≈

1.

414...√a负平方根当时，表示的负平方根例如，，a0-√a a-√4=-2-√9=-3-√2≈-

1.

414...特殊情况当时，；当时，在实数范围内没有平方根，但在复数范围内有例如a=0√0=0a0a，这里是虚数单位√-1=i i立方根的概念正实数的立方根负实数的立方根几何意义当时，∛表示的立方根，且∛当时，∛表示的立方根，且∛立方根可以理解为若一个数的立方等于a0a a a0a0a a a0例如∛，∛，∛正例如∛，∛，，则这个数是的立方根从几何角度看8=227=31=1-8=-2-27=-3a a实数的立方根始终是正的∛负实数的立方根始终是负的，∛表示边长为的立方体的棱长例如-1=-1a a∛表示体积为的立方体的棱长，即882次方根的概念n次方根是指次方等于的数，记作∜当为奇数时，每个实数都有唯一的实数次方根；当为偶数时，正实数有两个实数次n n a anan n n方根（一正一负），零只有一个次方根（零本身），负实数在实数范围内没有次方根n n在实际应用中，通常用∜表示的主次方根，即当时表示正次方根，当且为奇数时表示负次方根例如∜，a ana0na0n n16=2∜（此处）次方根可以用分数指数表示∜-32=-2n=5na=a^1/n开方的性质乘积的开方1乘积的次方根等于次方根的乘积，即∜×∜×∜（当为偶数时，要求n na b=a bn且）例如×××，a≥0b≥0√49=√4√9=23=6∛×∛×∛×827=827=23=6商的开方2商的次方根等于次方根的商，即∜÷∜÷∜（当为偶数时，要求nna b=a bna≥0且）例如÷÷÷，b0√94=√9√4=32=

1.5∛÷∛÷∛÷278=278=32=

1.5开方的开方3开次方后再开次方，等同于直接开×次方，即∜∜∜例如m nm na=a√√16=√2=√16^1/4=16^1/8=2^1/2=√2幂的开方4对开次方，等于的次幂，即∜（当为偶数时，若a^m na m/na^m=a^m/nn为奇数，则要求）例如，∛m a≥0√a^6=a^3a^9=a^3实数的绝对值定义几何意义物理意义实数的绝对值，记作，绝对值表示数轴上点到原点在物理学中，绝对值常用来a|a|表示与原点在数轴上的距的距离更广泛地，表表示物理量的大小（不考虑a|a-b|离从代数角度定义若示数轴上点和点之间的距方向）例如，速度的绝对a b，则；若，则离例如值是速率，位移的绝对值是a≥0|a|=a a0|3-7|=|-4|=4例如，，表示数轴上点和点之间距离|a|=-a|5|=5|-37，的距离为个单位5|=5|0|=04代数应用绝对值在方程和不等式中有广泛应用例如，（|x|=a）表示或；a0x=a x=-a表示或|x|a xa x-a绝对值的定义代数定义几何定义函数表达式实数的绝对值定义为若，则从几何角度看，实数的绝对值表示数绝对值可以用函数表达式表示为aa≥0a|a|；若，则这个分段函轴上点到原点的距离这一定义与代这个表达式适用于所有实数|a|=aa0|a|=-aaO|a|=√a²数定义直观反映了绝对值的本质保持数定义是等价的，但提供了更直观的理，避免了分段定义，在高等数学中有重a非负数不变，将负数变为其相反数（正解例如表示点到原点的距离，要应用利用此表达式可以证明一些绝|5|5数）例如，，即个单位；表示点到原点的距对值的性质，如|5|=5|-5|=--5=55|-5|-5|a·b|=|a|·|b|离，也是个单位|0|=05绝对值的性质性质数学表达式说明与示例非负性，且当且仅当绝对值总是非负的例如|a|≥0|a|=0a=0，，|5|=50|-3|=30|0|=0绝对值的绝对值绝对值的绝对值等于绝对值本身||a||=|a|例如，||5||=|5|=5||-3||=|-3|=3乘积的绝对值乘积的绝对值等于绝对值的乘积|a·b|=|a|·|b|例如|2·-3|=|-6|=6=|2|·|-3|=2·3=6商的绝对值（）商的绝对值等于绝对值的商例|a/b|=|a|/|b|b≠0如|6/-2|=|3|=3=|6|/|-2|=6/2=3三角不等式和的绝对值小于等于绝对值之和|a+b|≤|a|+|b|例如|3+-5|=|-2|=2|3|+|-5|=3+5=8逆三角不等式绝对值之差的绝对值小于等于差||a|-|b||≤|a-b|的绝对值例如||5|-|2||=|5-2|=|3|=3=|5-2|实数的比较大小关系定义在实数集上定义了全序关系对任意两个实数和，恰好满足中的一个这a bab一关系在数轴上有直观的几何意义右侧的点对应的数总是大于左侧的点对应的数基本比较规则直接比较比较两个实数的大小可以通过直接计算或在数轴上比较位置例如，，23-5-20-1加法保序性若a乘法有条件保序性若，则这表明在不等式两边同时乘以（或除以）同一正数，不等号a0a·cb·c方向保持不变；乘以（或除以）同一负数，不等号方向反向例如由且25得，即；由且得，即302·35·361525-202·-25·-2-4-10数轴上的比较方法正负数比较同号数比较利用距离关系在数轴上，任何正数都大于，任何负数对于两个正数，绝对值大的数大；对于两通过比较数轴上点到特定点的距离，可以0都小于；任何正数都大于任何负数例个负数，绝对值小的数大例如（解决一些复杂的比较问题例如，要比较052如从几何角度看，这是因为因为），（因为和的大小（为实数），可以50-3|5||2|-2-5|-2||-5||x-3||x-7|x正数对应的点位于原点右侧，负数对应的）从几何角度看，这是因为正数越大，通过分析到点和点的距离关系来解决x37点位于原点左侧其对应的点离原点越远；负数越大，其对这种方法在解不等式|x-a|应的点离原点越近代数式比较方法直接计算法差值法通过计算两个数的具体值直接比较例如计算的值，若则，若1a-ba-b0ab a-b0比较和，计算则√

82.9√8≈

2.

832.92a换元法商值法通过适当的替换简化比较例如比较4计算的值（），若则，a/b b≠0a/b1ab和，可设，计算√7+√3√27x=√7+√3x²3若则a/b1a后比较在实际问题中，常需要灵活运用多种方法例如，比较和时，可以计算和a=√5+√3b=√15-√2a²b²，由于需要进一步判断，可以将a²=√5+√3²=5+3+2√15=8+2√15b²=√15-√2²=15+2-2√30=17-2√308+2√1517-2√30式子移项，继续计算可得，，8+2√1517-2√302√15+2√3017-8=9√15+√

304.5√15≈

3.87√30≈

5.48⟺⟺，因此原不等式不成立，即

3.87+

5.48=

9.

354.5ab实数运算中的运算律实数的运算律是实数四则运算的基本法则，主要包括加法交换律（）、加法结合律（）、乘法交换律（××）、乘法结合律（a+b=b+aa+b+c=a+b+c a b=ba××××）以及乘法对加法的分配律（×××）a bc=a bc a b+c=a b+a c这些运算律是代数运算的基础，它们保证了实数运算的灵活性和一致性在实际计算中，合理应用这些运算律可以简化计算过程，提高计算效率例如，计算×时，可以利用分配律××××9910199101=99100+1=99100+991=9900+99=9999加法交换律和结合律加法交换律加法结合律实际应用案例加法交换律表明加数的顺序可以任意交加法结合律表明在多个数相加时，可以在实际计算中，加法交换律和结合律常换而不影响结果，即对任意实数和，任意改变加法的结合方式而不影响结果常结合使用例如，计算a b有这一性质在实际计算中非，即对任意实数、和，有时，可以先将与a+b=b+aa bc17+28+83+721783常有用，允许我们灵活调整加数顺序以这一性质使得我们可组合（和为），再将与组合a+b+c=a+b+c1002872简化计算例如计算时，可以以灵活选择计算顺序，往往能够简化计（和为），最后计算1+999100利用交换律改写为，大算例如计算时，可这种算法大大简化了999+1=1000298+527+702100+100=200大简化了计算过程以先计算，再加上计算过程，减少了出错可能298+702=1000，得到5271527乘法交换律和结合律—因数个数在实数中，任意个数相乘顺序可交换2—常用因子将作为因子单独提出可简化计算5—倍数简化将因子重组为的倍数可加速计算10—百位值利用结合律可迅速计算得到百位结果乘法交换律表明因数的顺序可以任意交换而不影响结果，即对任意实数和，有××例如××a ba b=ba35=53=15乘法结合律表明在多个数相乘时，可以任意改变乘法的结合方式而不影响结果，即对任意实数、和，有××××例如a bc a bc=a bc××××，左边计算为×，右边计算为×，结果相同2510=25101010=100250=100在实际计算中，合理应用这两条运算律可以大大简化计算过程例如，计算××时，可以先计算×，再计算×；或者先计算2584254=1001008=800×，再计算×84=322532=800乘法分配律展开形式因式分解形式计算应用乘法对加法的分配律表明分配律的另一个形式是分配律在心算中非常有用例×××例如×××这种形如计算×，可以看作a b+c=a b+a cab+a c=ab+c23101×××式允许我们提取公因子，是因××34+5=34+35=12+23100+1=23100+2这一形式在代数式展式分解的基础例如×类15=2731=2300+23=2323开和因式分解中经常使用×似地，计算×可以看作5x+15=5x+39917×100-117=1700-17=1683多项式运算分配律是多项式乘法的基础，它允许我们将每一项分别与另一个多项式中的每一项相乘，再把所有结果相加例如a+bc+d=ac+ad+bc+bd实数的混合运算结果准确性按正确顺序运算保证结果准确无误1运算顺序规则2先幂运算，后乘除，最后加减括号优先原则3先计算括号内部，后处理外部同级运算顺序4同级运算从左到右依次进行实数的混合运算是指在一个算式中同时包含加、减、乘、除、乘方、开方等多种运算为了保证运算结果的唯一性和正确性，必须遵循统一的运算顺序规则标准的运算顺序为第一级，计算括号内的表达式；第二级，计算指数和根式；第三级，计算乘法和除法（从左到右）；第四级，计算加法和减法（从左到右）例如，在表达式×÷中，首先计算括号，然后计算，接着计算×，再计算÷，最后计算2+34^27-57-5=24^2=16316=48482=242+24=26运算顺序规则括号运算首先计算各种括号内的表达式，包括小括号、中括号和大括号，从内到外依[]{}次计算例如在×中，首先计算，然后计算[2+34-1]^24-1=3×，最后计算2+33=2+9=1111^2=121指数与根式其次计算指数（乘方）和根式（开方）运算例如在中，首先2+3√4+5^2计算和，得到×√4=25^2=252+32+25=2+6+25=33乘法与除法再次计算乘法和除法运算，按从左到右的顺序依次计算例如在÷×中，首先计算÷，然后计算×；而在1025102=555=25×÷中，首先计算×，然后计算÷1025102=20205=4加法与减法最后计算加法和减法运算，也按从左到右的顺序依次计算例如在中，首先计算，然后计算；而在中，首7-3+27-3=44+2=67+3-2先计算，然后计算7+3=1010-2=8括号的使用改变运算顺序嵌套括号分组功能括号的主要作用是改变运算的优先顺序当存在多层括号时，计算应从内层括号括号还有分组的功能，使相关的运算组，让括号内的运算先于括号外的运算进开始，逐层向外计算例如合在一起，提高表达式的清晰度例如行例如×，而××，首先计算表示两个因式的乘积，3+24=3+8=112[3+4-12]4-1=3a+bc+d××，两者结果不同，然后计算×，最后计表示两数和的平均值合理使用3+24=54=203+32=3+6=9x+y/2，因为括号改变了加法和乘法的运算顺算×为了提高可读性，不同层括号可以使数学表达式更加简洁和清晰29=18序次的括号可以使用不同类型小括号、中括号和大括号[]{}在实际计算和代数推导中，括号的合理使用至关重要一方面，适当添加括号可以明确运算顺序，避免歧义；另一方面，过多的括号会使表达式显得繁琐在不引起歧义的情况下，可以省略部分括号，使表达式更加简洁实数运算中的估算估算的意义1估算是指在不进行精确计算的情况下，得到接近真实值的近似值在日常生活和科学研究中，估算有着广泛的应用例如，购物时计算大致花费，工程规划时预估材料用量等估算可以快速获得结果，节省时间和精力常用估算技巧2四舍五入法将数字四舍五入到合适的位数例如，

23.7≈24689≈700替代法用简单的数代替计算中的复杂数例如计算×时，可

19.

84.2以用×作为估算结果分解法将复杂运算分解为简单运算例如204=80计算时，可以看作，得到近似值997+2541000+250=1250估算的局限性3估算结果存在一定的误差，不能替代精确计算，特别是在要求高精度的场合例如，在精密科学实验、金融核算等领域，通常需要进行精确计算估算更适用于快速判断、合理性检验和概略计算等场景近似值的概念定义近似值是指与精确值相近但不完全相等的数值在实际计算中，由于各种限制（如计算工具精度限制、计算复杂度等），我们常常使用近似值代替精确值例如，我们通常用或作为

3.1422/7的近似值π表示方法近似值通常使用符号表示，如在实际应用中，根据精度需求，可以选择不同≈π≈

3.14159位数的近似值例如，可以近似为（保留两位小数）、（保留四位小数）等π

3.

143.1416误差与精度近似值与精确值之间的差称为误差绝对误差是近似值与精确值的差的绝对值；相对误差是绝对误差与精确值的比值精度则表示近似值的准确程度，通常与有效数字位数相关实际应用在科学计算、工程设计和日常生活中，近似值应用广泛例如，测量物体长度得到的数据、计算器显示的无理数值、工程设计中使用的材料参数等，都是近似值根据不同应用场景对精度的要求，选择合适的近似值至关重要有效数字定义计数规则12有效数字是指从左边第一个非零数字开始，直到最右边的数字（包括为从左边第一个非零数字开始算起，包括其后的所有数字（包括零）例了保持精度而保留的零）例如在数字中，、、、都是如有个有效数字；有个有效数字；有到

12.

3412343.

5030.007033700014有效数字，共有个有效数字；在数字中，、、是有效个有效数字（取决于末尾的是否精确）为避免歧义，可以使用科学

40.005065060数字，共有个有效数字记数法明确有效数字，如×表示有个有效数字

37.00010³70004运算规则四舍五入34加减法结果的小数位数不能超过参与运算的各数中小数位数最少的那当需要截取到某个有效数字位数时，采用四舍五入法则具体规则是个例如（而非）乘除法结果的有效若被舍弃的数字，则前一位加；若被舍弃的数字，则前一位保

12.56+

3.7=

16.

316.26≥515数字位数不能超过参与运算的各数中有效数字位数最少的那个例如持不变例如将截取到个有效数字得到，截取到

3.

1415933.144×（而非）个有效数字得到

2.

345.6=

1313.

1043.142科学记数法大数表示小数表示运算便利性科学记数法特别适合表示非常大的数例科学记数法同样适合表示非常小的数例使用科学记数法可以简化乘除运算例如如地球质量约为如电子的质量约为计算×××⁻时，

3.010⁶

2.010⁴可以分别计算系数和指数部分5,970,000,000,000,000,000,

0000.000000000000000000000000千克，用科学记数法表示为千克，用科学记数法表示为×，×⁻，最,

0000009113.

02.0=

6.010⁶10⁴=10²×千克这种表示方法更加简×⁻千克这种表示方法避免终结果为×这种运算方法

5.9710²⁴

9.1110³¹

6.010²=600洁明了，便于理解和计算了大量的零，使数值更加清晰直观明了，减少了出错可能实数运算的应用代数式化简合并同类项去括号将含有相同字母并且字母的指数也相同的项叫1使用分配律去除代数式中的括号，将括号内与做同类项，合并同类项是化简代数式的基本方2括号外的因式相乘法十字相乘法提取公因式4用于二次三项式的因式分解，找到两个数使其对于多项式，提取各项的公共因式，利用分配3和等于一次项系数，积等于常数项律进行因式分解代数式化简是代数运算的基本技能，通过化简可以使代数式的形式更加简洁，便于进一步的运算和分析化简的基本原则是在不改变代数式值的前提下，使其形式尽可能简单例如，化简表达式首先合并同类项，得到再如，化简表达式首先去括号，得到3x+5y-2x+4y3x-2x+5y+4y=x+9y2x+3-52x-1通过这些基本操作，复杂的代数式可以转化为更加简洁的形式2x+6-10x+5=2x+6-10x+5=-8x+11单项式的化简定义单项式是指仅由数字和字母的乘积组成的代数式，如、、等单项3x²-5ab²7式的化简主要涉及系数计算、字母的乘方合并等操作系数计算单项式的系数是其中的数字因子化简时，应将所有数字因子相乘得到最终系数例如××，×系数计算应遵循实数23ab=6ab-5-2x²y=10x²y的乘法规则，特别注意正负号的处理指数处理当字母因子相同时，可以利用乘方的性质合并指数例如×，x²x³=x⁵a×a²×a⁴=a⁷这是基于乘方的法则a^m×a^n=a^m+n字母排序为了使单项式表达更加规范，通常按照字母顺序排列字母因子例如将bca²表示为这种排序并不改变单项式的值，仅是表示的标准化a²bc多项式的化简合并同类项同类项是指字母部分完全相同的项合并同类项是化简多项式的基本方法，将系数相加得到新的系数例如，3x²+5x²-2x²=3+5-2x²=6x²7ab-3ab+2ab=7-3+2ab=6ab去括号使用分配律去除多项式中的括号例如，，2x+3y=2x+6y-a-b+c=-a+b-c3x-去括号时应特别注意负号前面的括号，括号内的每一项符号2+52x+1=3x-6+10x+5=13x-1都要变号提取公因式利用分配律的逆运算，将多项式各项的公共因式提取出来例如，，3x+6=3x+2xy+xz=xy+z提取公因式是因式分解的基本方法之一，可以使多项式表达更加简洁a²b+ab²=aba+b平方差公式利用平方差公式可以快速分解特定形式的多项式例如，a²-b²=a+ba-b x²-9=x+3x-3类似地，还有平方和公式、完全平方公式等特殊的代数恒等式，它4a²-25b²=2a+5b2a-5b们在多项式化简中有重要应用实数运算的应用方程求解方程求解是实数运算的重要应用，涉及到等式的性质和实数的四则运算规则解方程的基本原则是在不改变方程解的前提下，将方程变形为更简单的等价方程，直至求出未知数的值常见的方程类型包括一元一次方程、二次方程、分式方程、无理方程等一元一次方程的一般形式为，解法是将未知数项移ax+b=0a≠0到等式一边，常数项移到另一边，再除以未知数的系数；二次方程的一般形式为，解法包括因式分解法、公式法、配方ax²+bx+c=0a≠0法等解方程时注意检验解的合理性，特别是对于分式方程和无理方程，需要排除使分母为零或使开方运算无意义的值一元一次方程应用举例解法步骤一元一次方程在实际问题中有广泛应等式性质解一元一次方程的一般步骤为去分用例如，在两个数的和是，差定义10解方程的基本原则是保持等式两边的母（如果有分母）；去括号（如果有是，求这两个数的问题中，可以设4一元一次方程是指含有一个未知数且相等关系等式的基本性质包括等括号）；合并同类项，将未知数项移两个数为和，根据条件列方程组x y{未知数的最高次数为1的方程，其一式两边同时加上或减去同一个数，等到等式一边，常数项移到另一边；求，解得x+y=10,x-y=4}x=7,y=3般形式为ax+b=0（a≠0）一元一式仍然成立；等式两边同时乘以或除出未知数的值例如，解方程2x-一元一次方程也是表示直线的重要次方程在表示直线、建立简单线性关以同一个非零数，等式仍然成立利首先去括号得工具，如表示斜率为，轴3+5=3x+12x-y=2x+32y系等方面有广泛应用用这些性质，可以将方程变形为更简，然后合并得截距为的直线6+5=3x+32x-3单的等价方程，接着移项得，最后1=3x+3-x=4得x=-4二次方程标准形式1二次方程的标准形式为（），其中、、为实数，为未知数二次方程在数学、ax²+bx+c=0a≠0abc x物理、经济等领域有广泛应用，用于描述抛物线、表示二次函数等判别式2判别式是二次方程解的性质的重要指标当时，方程有两个不同的实数解；当Δ=b²-4acΔ0Δ=0时，方程有两个相等的实数解（称为重根）；当时，方程在实数范围内没有解，但在复数范围Δ0内有两个共轭复数解求解方法3解二次方程的常用方法包括因式分解法将左边分解为两个一次因式的乘积，如x²-5x+6=0⟺或公式法利用求根公式±直接计算配方x-2x-3=0x=2x=3x=[-b√b²-4ac]/2a⟺法通过配方将方程变形为完全平方式，如±x²+6x+8=x+3²-1=0x+3²=1x+3=1⟺⟺⟺±或x=-31x=-2x=-4⟺韦达定理4若二次方程（）的两个根为₁和₂，则有₁₂，₁₂这一ax²+bx+c=0a≠0x xx+x=-b/ax·x=c/a定理建立了方程的根与系数之间的关系，在代数学中有重要应用例如，若知道二次方程x²-的其中一个根是，利用韦达定理可得另一个根是，因为，×，因此5x+k=0232+3=523=k k=6实数运算的应用不等式求解不等式的性质解集表示复合不等式不等式求解基于以下性质不不等式的解通常用区间表示，复合不等式是由且或或连接等式两边同时加上或减去同一如表示区间，的多个简单不等式且关系x33,+∞x≤5个数，不等号方向不变；不等表示区间区间可以使对应区间的交集，如且-∞,5]{x|x2式两边同时乘以或除以同一个用数轴上的线段直观表示，也区间；或关系对x5}=2,5正数，不等号方向不变；不等可以使用集合符号或区间符号应区间的并集，如或{x|x1式两边同时乘以或除以同一个表示区间∪x4}=-∞,14,+∞负数，不等号方向改变含绝对值不等式含绝对值的不等式需要分类讨论例如）等价于|x|0-aa（）等价于或a0x-a xa更复杂的绝对值不等式可以利用几何意义和数轴上的距离关系求解一元一次不等式定义一元一次不等式是指含有一个未知数且未知数的最高次数为的不等式，其一般形式为或或或（）一元一次不等式在表示范围、描述约束条件等方面1ax+b0ax+b0ax+b≥0ax+b≤0a≠0有广泛应用解法步骤解一元一次不等式的一般步骤为去分母（需要讨论分母不为零的条件）；去括号；合并同类项，将含未知数的项移到不等式一边，常数项移到另一边；根据系数的正负判断不等号方向并求解例如，解不等式首先去括号得，然后移项得，系数为负需变号，得2x-13x+52x-23x+5-x7x-7解集表示不等式的解集通常用区间表示，并可在数轴上直观表示例如，表示区间，在数轴上是从点（不包括点本身）向右延伸的射线；表示区间，在数轴上是从x-7-7,+∞-7-7x≤3-∞,3]负无穷向右延伸到点（包括点本身）的射线33应用举例一元一次不等式在实际问题中有广泛应用例如，在投资决策中，若设投资金额为，则投资金额不少于元且不超过元可以表示为；在生产计划中，若设产x100050001000≤x≤5000量为，则利润至少为元可以表示为（其中为单位产品的利润，为固定成本）x1000ax-b≥1000ab二元一次不等式组三角形四边形五边形无界区域二元一次不等式组是由多个含有两个未知数的一次不等式组成的每个二元一次不等式在坐标平面上表示一个半平面，不等式组的解集是这些半平面的交集，通常是一个凸多边形或无界区域解二元一次不等式组通常采用图解法将每个不等式对应的一次函数画在坐标平面上，确定半平面的位置（通常通过判断原点是否满足不等式来确定），最后求出所有半平面的交集例如，解不等式组{，可以在坐标平面上画出四条直线、、、，确定四个半平面的交集是以点、、、为顶点的四边形x+y≤4,x-y≤2,x≥0,y≥0}x+y=4x-y=2x=0y=00,02,03,10,4实数运算在几何中的应用几何形状的度量坐标几何三角学实数运算用于计算几何图形的各种度量在坐标几何中，点、线、面等几何元素三角函数是几何与代数的桥梁，其定义，如长度、面积、体积等例如，三角用坐标或方程表示，其运算完全依赖于和性质依赖于实数运算例如，正弦定形面积公式，圆的面积公式实数运算例如，平面上两点理，余弦定理S=bh/2a/sinA=b/sinB=c/sinC，都涉及实数运算在实际计算₁₁和₂₂之间的距离为，都涉及实数的四S=πr²Ax,yBx,yc²=a²+b²-2ab·cosC中，常需要处理无理数，如圆的周长₂₁₂₁，这一公则运算和代数运算在解三角形问题时d=√[x-x²+y-y²]中的是无理数，通常使用其近式涉及减法、乘方、加法和开方等实数，常需要利用这些定理进行计算C=2πrπ似值或进行计算运算

3.1422/7在几何问题的代数化解决中，实数运算起着核心作用无论是利用坐标法、向量法还是三角法解决几何问题，都需要将几何关系转化为代数关系，通过实数运算得到结果，再回归几何解释勾股定理定理内容常用勾股数实际应用勾股定理（又称毕达哥拉斯定理）是平面整数勾股数组是满足勾股定理的整数三元勾股定理在日常生活和工程技术中有广泛几何中最基本的定理之一，它指出在直组，最基本的勾股数组是应用例如，在测量领域，可以利用勾股a,b,c3,4,5角三角形中，两直角边长的平方和等于斜，即其他常见的勾股数组包定理计算无法直接测量的距离；在导航中3²+4²=5²边长的平方用代数式表示为括、、，可以利用勾股定理计算物体的实际位置a²+b²=c²5,12,138,15,177,24,25，其中、为直角三角形的两条直角边的等在实际计算中，记住这些常用勾股数；在建筑设计中，可以利用勾股定理确保ab长度，为斜边的长度组可以简化解题过程结构的直角性勾股定理也是进一步学习c三角学、向量学等高等数学的基础三角函数基本定义基本关系三角函数是以角度为自变量的周期函数，包括1主要关系式包括平方关系和正sin²θ+cos²θ=1正弦、余弦、正切等2切定义sin cos tan tanθ=sinθ/cosθ计算应用特殊角4应用于三角形求解、坐标变换、波动现象描述常用特殊角如°°°°°的0,30,45,60,903等领域三角函数值需熟记，如°°sin30=1/2,cos45=√2/2三角函数是连接代数和几何的重要桥梁，在数学、物理、工程等领域有广泛应用在实数运算中，三角函数值通常是无理数，需要借助计算器或查表获取近似值例如，°，°sin37≈

0.6018cos72≈

0.3090在解直角三角形问题时，可以利用三角函数和勾股定理例如，已知直角三角形的一个锐角为°，斜边长为，求两直角边长度解设两3010cm直角边分别为和，则×°×，×°×这一过程涉及实数的乘法和无理数的表aba=10sin30=101/2=5cm b=10cos30=10√3/2=5√3cm示实数运算在物理中的应用物理量的表示1物理量通常用实数表示，包括标量（如质量、温度）和矢量（如位移、速度）实数运算使我们能够进行物理量的加减乘除运算，得到新的物理量例如，速度是位移与时间的v=s/t st商，加速度是速度变化量与时间变化量的商a=Δv/Δt物理公式的推导2物理公式的推导和变换依赖于实数运算规则例如，从基本运动公式可以推导出；v=s/t s=vt从牛顿第二定律可以推导出这些变换涉及等式的变形和实数的四则运算，是F=ma a=F/m物理问题解决的基础数据处理与误差分析3在物理实验中，数据处理和误差分析需要应用实数运算，包括平均值计算、数据拟合、误差传播等例如，多次测量结果的算术平均值x̄=x₁+x₂+...+x/n涉及加法和除法；相对误ₙ差涉及绝对值和除法δ=|Δx|/|x|量纲分析4量纲分析是检验物理公式正确性的重要方法，它基于实数运算中的乘法和除法例如，速度的量纲是，即长度除以时间量纲分析可以帮助检查公式是否合理，并推导新的[v]=[s]/[t]物理关系速度、时间和距离关系式变量说明应用示例为速度，为距离，为时间车辆以的速度行驶小时，距离为v=s/t vst60km/h2120km由速度和时间求距离光速为×，光年约为×s=vt310⁸m/s

19.4610¹⁵m由距离和速度求时间的路程，以的速度需要小时t=s/v300km100km/h3v̄=Δs/Δt v̄为平均速度，Δs为位移变化，Δt为时间变化往返100km，去程50km/h，返程100km/h，平均速度为

66.7km/h为加速度，为速度变化，为时间变化汽车秒内从加速到，加速度为a=Δv/Δt aΔvΔt100100km/h

2.78m/s²₀₀为初速度，为加速度自由落体，初速为，加速度为，秒后下s=v t+½at²v a

09.8m/s²2落

19.6m功和功率实际应用家用电器功率标识与能耗计算1效率计算2输出功率与输入功率之比₂₁η=P/P功率定义3单位时间内做的功P=W/t功的定义4力和力方向位移的乘积W=Fs功和功率是物理学中的重要概念，其计算和应用广泛涉及实数运算功（）的定义是力（）和力方向位移（）的乘积，即，单位是焦耳（）例如，水平W Fs W=Fs J推动的物体走，施加的力为，则做功×10kg2m20N W=20N2m=40J功率（）是单位时间内做功的多少，计算公式为，单位是瓦特（）例如，电梯在秒内将的物体提升，则功率为×P P=W/t W1080kg20m P=80kg

9.8×在实际应用中，我们常用功率来描述设备的能力，如的电水壶、的灯泡等功率计算涉及乘法和除法等实数运算m/s²20m/10s=1568W1000W60W，在能源管理、机械设计等领域有重要应用实数运算在生活中的应用日常消费个人理财烹饪食谱在购物、餐饮、交通等日常消个人理财涉及预算规划、投资在烹饪中，根据人数调整食谱费中，我们不断进行实数的四收益计算、贷款还款分析等，配料量、换算不同计量单位、则运算例如，计算购物总额这些都需要应用实数运算例计算烹饪时间等，都需要应用、分摊餐费、计算找零等这如，计算按揭贷款的月供，需实数的比例和换算关系例如些计算通常涉及加法、乘法和要利用复利公式和实数的乘方，原食谱是人份，现需要做46四舍五入等运算、四则运算人份，则各配料量需要乘以倍6/4=

1.5家居装修在家居装修中，计算材料用量、估算费用、测量尺寸等，都需要应用实数运算和几何知识例如，计算墙面漆的用量需要计算墙面积，然后根据每平方米的用量进行乘法计算百分比计算—折扣率商品打八折表示原价乘以

0.8—税率增值税率表示售价中税额占比—增长率同比增长表示是原值的倍50%

1.5—完成率全部完成任务表示达成目标值百分比是日常生活和商业活动中常用的数学概念，表示一个数是另一个数的百分之几百分比可以表示为小数（如）或分数（如），通常使用百分

0.251/4号（）表示（如）百分比计算主要包括基本值×百分比部分值；部分值÷基本值百分比；部分值÷百分比基本值%25%===在实际应用中，百分比常用于表示折扣、利率、税率、增长率等例如，商品标价元打八折，实际售价为×元；银行存款元，年利

1001000.8=801000率，一年后获得利息×元；购买一件商品支付了元（含税），增值税税率为，则不含税价格为÷元；公司去5%10005%=5012020%1201+20%=100年销售额为万元，今年为万元，增长率为÷200260260-200200=30%利息计算年份单利复利利息计算是金融活动中的基本运算，主要包括单利计算和复利计算单利是只对本金计算利息的方式，计算公式为利息本金×利率×时间，到期本利和本金×利率×时间例如，存款元==1+1000，年利率，存年，单利计算的利息为××元，本利和为元5%310005%3=1501000+150=1150复利是对本金和已产生的利息一并计算利息的方式，计算公式为到期本利和本金×利率时间例如，存款元，年利率，存年，复利计算的本利和为=1+^10005%3××元在长期投资中，复利效应非常显著，这就是复利是世界第八大奇迹的原因实际金融产品中，存款、贷款、投资等都涉及利息计算，理解和掌握10001+5%³=

10001.157625=

1157.63这些计算方法对个人理财非常重要总结实数运算的重要性实数运算是现代数学的基础，也是自然科学、工程技术和社会生活的重要工具在理论层面，实数系统的完备性为微积分、函数论等高等数学提供了坚实基础；在应用层面，实数运算为物理、化学、生物等学科提供了定量分析的手段在实际生活中，我们不断地应用实数运算解决各种问题从简单的购物计算到复杂的工程设计，从个人理财到企业管理，无不涉及实数运算随着科技的发展，计算工具虽然越来越先进，但理解实数运算的本质和规律，掌握实数运算的方法和技巧，仍然是每个人必备的基本素养通过本课程的学习，希望大家能够建立完整的实数概念，熟练掌握实数运算技能，并能在实际问题中灵活应用练习与巩固基础运算练习应用问题练习思考与拓展完成下列计算计算×解决下列问题解方程尝试以下拓展问题证明在实数范围1-

2.5-12x-1-1÷计算解不等式内，方程无解探讨无理数4+3²

0.752√8+√2-√1833x+2=4x-72|2x-3|5x²+1=02计算化简若直角三角形的两条直角边长分别为和在数轴上的分布特点研究的近似|3-7|+|-2-5|4333π÷试一试这些基础运算，，求斜边长和面积银行存款值表示及其精度分析为什么的2a³b²²4a⁵b44400巩固四则运算、乘方、开方和绝对值的运算元，年利率为，存期两年，分次方是无定义的？这些拓展问题将帮助你

100003.6%规则别计算单利和复利的本利和这些应用题深入理解实数的本质特征和运算规律将帮助你理解实数运算在实际问题中的应用。