数据结构与算法分析C++版课件概览

数据结构与算法分析版课C++件概览本课件全面介绍数据结构与算法的基本概念及其在C++语言中的实现从基础的线性结构到复杂的图论算法，系统讲解每种数据结构的特点及应用场景，同时结合算法分析帮助深入理解计算复杂性通过精心设计的例题和实现代码，学习者将掌握如何选择合适的数据结构和算法解决实际问题，提高编程效率和代码质量课程内容兼具理论深度和实践价值，适合计算机专业学生和软件开发从业者系统学习课程介绍课程目标课程重要性12本课程旨在培养学生的算法思数据结构与算法是计算机科学维和解决问题的能力通过系的基石，直接影响程序的运行统学习数据结构与算法，学生效率和资源利用率在大数据将能够分析问题的计算复杂度时代，算法效率的微小改进都，选择适当的数据结构和算法可能带来显著的性能提升和成设计高效的程序这些能力是本节约，因此掌握这门课程对计算机科学的核心素养，也是于未来的技术发展和职业成长软件开发职业生涯的重要基础至关重要3C++应用优势C++语言结合了高级语言的抽象能力和低级语言的执行效率，特别适合实现复杂的数据结构和算法其面向对象特性和泛型编程支持，使得代码更加模块化、可重用，同时保持了接近硬件的性能优势，是算法实现的理想选择第一章绪论数据结构的基本概念算法的定义和特性数据结构是计算机存储、组织数据的方式高效的数据结算法是解决特定问题的计算步骤的有限序列一个好的算构与算法是程序设计的核心数据结构从逻辑上可分为线法应具备正确性、可行性、确定性、有穷性和输入/输出等性结构与非线性结构，其物理实现则可分为顺序存储与链特性每种算法都有特定的适用场景，选择合适的算法对式存储好的数据结构设计能显著提高程序的时间和空间解决问题至关重要算法的设计思想包括分治、动态规划效率、贪心等多种策略算法分析基础时间复杂度空间复杂度时间复杂度衡量算法执行所需的时空间复杂度衡量算法执行过程中所间随输入规模增长的变化率通常需额外空间随输入规模增长的变化用大O符号表示，如O

1、Olog n率同样用大O符号表示空间复、On、On log n、On²等分析杂度包括算法所需的辅助空间和递时间复杂度时，我们关注算法中基归调用占用的栈空间在资源受限本操作执行次数的数量级，而非具的环境中，空间复杂度的优化与时体执行时间，这使得分析结果与具间复杂度同样重要体硬件环境无关复杂度分析方法算法复杂度分析通常考虑最坏情况、平均情况和最好情况实际应用中，最坏情况分析最为常用，因为它提供了算法性能的上界保证分析方法包括直接计数法、递推关系法和主定理等，需要根据算法特点选择合适的分析工具渐进符号O符号（大O记号）Ω符号（大欧米伽Θ符号（大西塔记记号）号）O符号表示算法复杂度的上界，定义为Ω符号表示算法复杂Θ符号表示算法复杂度的下界，定义为度的确界，定义为fn=Ogn，意味着存在正常数c和n₀fn=Ωgn，意味fn=Θgn，意味，使得当n≥n₀时，着存在正常数c和n₀着fn=Ogn且fnfn≤c·gn这是最，使得当n≥n₀时，=Ωgn这是最精常用的复杂度表示方fn≥c·gn这用于确的复杂度表示，同描述算法在最好情况时给出了上界和下界法，用于描述算法在最坏情况下的性能下的性能下限比如Θn表示算法复杂例如，On²表示算法，Ωn logn表示算法度与n成正比，既不高复杂度不会超过n的平复杂度至少是n logn于也不低于这个水平级别方级别第二章线性表线性表的定义线性表是由零个或多个数据元素组成的有限序列在线性表中，除第一个元素外，每个元素有且仅有一个直接前驱；除最后一个元素外，每个元素有且仅有一个直接后继这种一对一的前驱后继关系是线性表最基本的特征线性表的特点线性表的特点包括元素之间存在顺序关系；除两端外的每个元素都有唯一的前驱和后继；表中元素的个数有限线性表是最基础也是最常用的数据结构，是更复杂数据结构的基础线性表的抽象数据类型线性表的基本操作包括初始化、销毁、清空、判空、求长度、获取元素、查找元素、插入元素、删除元素等这些操作构成了线性表的抽象数据类型，在C++中通常通过类或模板类实现，提供统一的接口顺序表顺序表的定义顺序表是用一段连续的存储单元依次存储线性表中的数据元素，使得逻辑上相邻的两个元素在物理位置上也相邻顺序表的存储结构是一种随机存取的存储结构，可以在O1时间内找到第i个元素顺序表的实现在C++中，顺序表通常通过数组实现基本属性包括数据数组、当前长度和总容量当元素数量超过容量时，需要进行动态扩容，通常采用倍增策略，即每次扩容将容量增加到原来的两倍，以平摊扩容成本顺序表的优缺点顺序表的优点是支持随机访问，查找操作效率高（O1）；缺点是插入和删除操作需要移动大量元素（平均On），且预先分配空间可能导致空间浪费，或者频繁扩容影响性能适用于元素数量相对稳定，查询频繁的场景链表链表的定义1链表是一种物理存储单元上非连续、非顺序的存储结构，数据元素的逻辑顺序是通过链表中的指针链接次序实现的链表由一系列结点组成，每个结点包含数据域和指针域，指针域用于指向下一个结点，从而将所有结点链接起来单链表的结构2单链表的每个结点包含两部分数据域和指针域数据域存储元素的值，指针域存储下一个结点的地址链表通常有一个头指针变量，指向链表的第一个结点为了方便操作，有时会设置一个不存储数据的头结点，或使用尾指针指向最后一个结点单链表的实现3在C++中，单链表通常通过定义结点结构体或类，然后使用指针连接各结点实现可以利用C++的模板机制实现泛型的链表类，支持不同类型的数据存储链表的基本操作包括创建、插入、删除、查找和遍历等，这些操作都需要理解和操作指针链表操作删除操作链表的删除操作也分为三类删除头结点、删除中间结点和删除尾结点删除操作的关键是调整指针，使被删除结点的前后结点正确连接插入操作，并释放被删除结点的内存删除头结点需要2更新头指针，删除中间结点需要先找到其前驱链表的插入操作分为三类在链表头部插入、结点，删除尾结点则需要遍历到倒数第二个结在链表中间插入和在链表尾部插入插入操作点的核心是调整指针，使新结点正确连接到链表1中头部插入最简单，只需将新结点的next指查找操作向原头结点，并更新头指针中间插入需要先找到插入位置的前一个结点，然后调整指针指链表的查找操作通常有按位置查找和按值查找向3两种按位置查找时，从头结点开始，沿着链表逐个向后遍历，直到达到指定位置按值查找时，需要遍历链表，比较每个结点的数据域与目标值，直到找到匹配项或遍历完整个链表链表查找的时间复杂度为On双向链表和循环链表双向链表循环链表实现方法比较双向链表的每个结点除了包含数据域循环链表是一种特殊的链表，其最后双向循环链表结合了双向链表和循环和指向下一个结点的指针外，还增加一个结点的指针指向链表的第一个结链表的特点，增加了结构的灵活性，了一个指向前一个结点的指针这种点，形成一个环循环链表可以是单但也增加了实现的复杂性在选择链结构使得链表可以双向遍历，并且可向的，也可以是双向的循环链表的表类型时，需要根据实际应用场景和以直接访问任意结点的前驱，简化了优点是从任意一个结点出发都可以遍需求权衡各种链表类型的优缺点通删除操作和向前移动的操作双向链历整个链表，适用于需要循环处理的常，单链表适用于只需向后遍历的简表的缺点是增加了额外的指针开销，场景，如操作系统中的资源分配单场景，双向链表适用于需要双向遍且插入、删除操作需要处理更多的指历的场景，循环链表适用于环形处理针的场景第三章栈栈的定义1栈是一种特殊的线性表，限定仅在表的一端进行插入和删除操作这一端被称为栈顶，另一端被称为栈底栈按照后进先出LIFO:Last InFirst Out的原则存储数据，即最新添加的元素最先被移除栈的基本操作栈的基本操作包括入栈push，将元素压入栈顶；出栈pop，将栈顶元素移除；获取2栈顶元素top，但不移除；判断栈是否为空isEmpty；获取栈中元素个数size这些操作构成了栈的抽象数据类型接口栈的特点栈的关键特点是其后进先出的访问顺序，这种顺序限制使得栈在3处理需要回溯的问题时特别有用栈是一种高效的数据结构，其所有基本操作的时间复杂度都是O1在程序设计中，栈被广泛应用于函数调用、表达式求值、括号匹配等场景栈的实现栈可以通过多种方式实现，最常见的是顺序栈和链式栈顺序栈使用数组作为底层存储结构，定义栈顶指针指向栈顶元素的位置入栈操作将元素放入数组的下一个位置并增加栈顶指针，出栈操作减少栈顶指针以删除栈顶元素链式栈使用链表实现，通常将链表的头部作为栈顶入栈操作创建新节点并插入到链表头部，出栈操作删除链表头节点链式栈避免了顺序栈可能出现的栈满问题，但增加了额外的指针开销在C++实现中，可以利用类封装栈的基本操作，并通过模板支持不同数据类型标准库提供的std::stack容器适配器提供了现成的栈实现，底层可以选择不同的容器栈的应用表达式求值栈可用于计算中缀、前缀和后缀表达式的值特别是在处理中缀表达式时，需要两个栈一个用于存储操作数，一个用于存储运算符通过比较运算符的优先级，决定是执行计算还是将运算符压栈，这样可以处理复杂的表达式求值问题括号匹配栈可以有效地解决括号匹配问题算法扫描表达式，遇到左括号时入栈，遇到右括号时与栈顶的左括号比较是否匹配，如匹配则出栈，否则报错最终栈为空则表示所有括号都匹配成功这是编译器进行语法分析的基础技术之一递归实现递归函数的调用机制本质上利用了系统栈每次递归调用时，系统会将当前函数的状态（包括局部变量、参数和返回地址等）压入调用栈，函数返回时再弹出了解这一过程有助于理解递归的工作原理，并可以通过显式使用栈将递归算法转换为迭代算法，优化性能浏览器历史浏览器的前进和后退功能可以通过两个栈来实现后退栈存储已访问的页面，当用户点击后退按钮时，从后退栈弹出当前页面并压入前进栈当用户点击前进按钮时，从前进栈弹出页面并压入后退栈访问新页面时，清空前进栈并将页面压入后退栈第四章队列队列的定义队列的基本操作队列的特点队列是一种特殊的线性表，它只允许在队列的基本操作包括入队enqueue队列的先进先出特性使其在需要按照到表的一端进行插入，而在另一端进行删，将元素添加到队尾；出队dequeue达顺序处理数据的场景中非常有用队除队列的这种操作方式被称为先进先，将队头元素移除；获取队头元素列可以维护元素的时间顺序，确保公平出FIFO:First InFirst Out插入元素的front，但不移除；判断队列是否为空性在计算机系统中，队列被广泛应用一端称为队尾，删除元素的一端称为队isEmpty；获取队列中元素个数size于任务调度、消息缓冲、打印作业管理头在实际应用中，队列常用于进程调这些操作构成了队列的抽象数据类型等需要排队处理的场景度、资源分配等场景接口队列的实现顺序队列的问题循环队列设计使用数组实现队列时，简单地移动队循环队列通过将数组首尾相连的概念1头和队尾指针会导致假溢出问题即2解决假溢出问题，队尾指针到达数组使数组前部有空闲空间，但队尾指针末尾后，可以绕回到数组开始处已到达数组末尾，无法再入队空满判断指针计算4区分队列空和满的状态，可以额外记循环队列中，指针的后移操作通常用3录元素个数，或保留一个空位使得队取模运算实现i+1%MaxSize，确保满时队头队尾之间有一个空位指针在有效范围内循环顺序队列使用数组实现，需要两个指针分别指向队头和队尾入队操作将元素存入队尾指针位置并使队尾指针加一，出队操作使队头指针加一循环队列解决了顺序队列的假溢出问题，是顺序队列的优化版本链式队列链式队列结构入队操作出队操作链式队列使用链表实现，通常包含一个头链式队列的入队操作是在队尾添加新节点链式队列的出队操作是删除队头节点首指针和一个尾指针，分别指向队列的队头首先创建一个新节点，将数据存入其数先检查队列是否为空，若为空则报错若和队尾链式队列的每个节点包含数据域据域，并将其指针域置为NULL然后将尾不为空，保存队头节点的数据，将头指针和指向下一节点的指针域链式队列避免指针指向的节点（即原队尾节点）的next移动到下一个节点，释放原队头节点的内了数组实现中的容量限制问题，可以根据指针指向新节点，并更新尾指针指向新节存如果队列中只有一个节点，出队后队需要动态分配内存，理论上队列的长度不点对于空队列，需要特殊处理，使头指列变为空，需要将尾指针也置为NULL链受限制针和尾指针都指向新节点式队列的出队操作无需像循环队列那样考虑循环问题队列的应用广度优先搜索缓冲区管理12广度优先搜索（BFS）是一种图搜索在计算机系统中，队列常用于实现算法，通过使用队列来存储待访问缓冲区管理，特别是在生产者-消费的顶点，实现层次遍历算法首先者模型中生产者将数据项加入队将起始顶点入队，然后循环执行以列，消费者从队列中取出数据项进下操作出队一个顶点，访问它，行处理这种机制可以平衡生产和并将其未访问过的邻接顶点入队消费的速率差异，防止数据丢失或这种方法确保了顶点按照与起始顶处理延迟多级队列可用于实现计点的距离递增顺序被访问，是求解算机操作系统中的进程调度，根据最短路径问题的基础进程优先级决定执行顺序事件处理3在事件驱动的编程中，队列用于存储待处理的事件当事件发生时，将其加入队列；系统按照事件的发生顺序依次处理队列中的事件这种方式广泛应用于GUI编程、网络编程等领域，能够确保事件按照时间顺序有序处理，提高系统的响应性和可靠性第五章树节点1树的基本单元，包含数据和指向子节点的链接边2连接节点的线，表示节点间的关系层次关系3父节点、子节点、兄弟节点等相对位置树结构4根、分支、叶构成的层次化数据组织树是一种非线性数据结构，由节点和连接节点的边组成树具有层次关系，没有回路，任意两个节点之间有且仅有一条路径树的术语包括根节点、父节点、子节点、兄弟节点、叶节点（没有子节点的节点）、节点的度（子节点数量）、树的度（所有节点中最大的度）、层次（根为第一层）、高度或深度（最大层次）树结构广泛应用于表示具有层次关系的数据，如文件系统、组织结构和语法分析树与线性结构相比，树结构更适合表示和处理具有分层特性的数据，能够高效地进行插入、查找和删除操作二叉树二叉树定义特殊二叉树类型二叉树性质二叉树是一种特殊的满二叉树是指除叶节二叉树具有一些重要树，其中每个节点最点外，所有节点都有性质第i层最多有多有两个子节点，通两个子节点，且所有2^i-1个节点；深度常称为左子节点和右叶节点都在同一层为k的二叉树最多有子节点二叉树的子完全二叉树是指最后2^k-1个节点；任何二树也是二叉树，形成一层可能不满，但节叉树的叶节点数比度了递归的数据结构点从左到右紧密排列为2的节点数多1；有n二叉树的节点可以存，没有空缺平衡二个节点的完全二叉树在左子节点而没有右叉树的左右子树高度深度为log₂n+1⌊⌋子节点，反之亦然，差不超过1，这种平衡这些性质对设计和这与普通的有序树不性能够保证树的操作分析二叉树算法非常同效率有用二叉树的遍历先序遍历先序遍历（Preorder Traversal）的访问顺序是根节点、左子树、右子树递归实现时，先访问当前节点，然后递归遍历左子树，最后递归遍历右子树非递归实现通常使用栈来模拟递归过程先序遍历常用于创建二叉树的副本或评估表达式树的前缀表达式中序遍历中序遍历（Inorder Traversal）的访问顺序是左子树、根节点、右子树递归实现时，先递归遍历左子树，然后访问当前节点，最后递归遍历右子树对于二叉搜索树，中序遍历会按照节点值的升序访问所有节点，这是其重要特性中序遍历常用于处理排序问题后序遍历后序遍历（Postorder Traversal）的访问顺序是左子树、右子树、根节点递归实现时，先递归遍历左子树，然后递归遍历右子树，最后访问当前节点后序遍历常用于释放树节点占用的内存（因为在访问节点之前，其子节点已经被访问过）和评估表达式树的后缀表达式层序遍历层序遍历（Level OrderTraversal）按照从上到下、从左到右的顺序访问树的每一个节点实现时通常使用队列，先将根节点入队，然后循环执行出队一个节点并访问它，同时将其子节点入队的操作层序遍历常用于解决最短路径问题和网络广播模拟二叉树的实现顺序存储链式存储二叉树的顺序存储使用数组实现，适用于完全二叉树在二叉树的链式存储使用节点之间的指针关系实现每个节这种实现中，节点按照层序遍历的顺序存储在数组中，根点包含数据域和两个指针域，分别指向左子节点和右子节节点存储在索引1（或0）的位置对于索引为i的节点，其点链式存储是二叉树最常用的实现方式，适用于任何形左子节点的索引为2i，右子节点的索引为2i+1（假设根节点状的二叉树在C++中，通常定义一个节点结构体或类，索引为1）顺序存储的优点是节点之间的关系可以通过简包含数据成员和两个指向同类型对象的指针链式存储的单的数学计算得出，无需存储额外的指针但对于非完全优点是灵活性高，能够动态地增长和收缩，而且只使用必二叉树，可能会浪费大量空间要的存储空间在实际应用中，链式存储更为常用，特别是对于形状不规则的二叉树链式实现便于进行节点的动态插入和删除操作，也更容易实现树的递归算法顺序存储则在处理完全二叉树（如堆）时更为高效，因为它避免了指针开销，并且具有更好的缓存局部性选择哪种实现方式取决于具体的应用场景和需求线索二叉树n+1O1空指针数量中序遍历访问速度在有n个节点的二叉树中，共有2n个指针域，其中n-1线索二叉树可以在常数时间内找到任意节点的中序后个指针用于连接节点，因此有n+1个空指针未被利用继节点，无需递归或栈辅助6线索类型线索有左前驱、右后继、前序、中序、后序共六种类型，实际应用中主要使用中序线索线索二叉树是一种利用二叉树中空指针域的数据结构，将这些空指针改为指向特定节点的线索根据线索的指向，分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树以中序线索二叉树为例，节点的左指针为空时，将其设置为指向中序遍历序列的前驱节点；右指针为空时，将其设置为指向中序遍历序列的后继节点为了区分普通指针和线索，每个节点增加两个标志域，标识左右指针是子节点指针还是线索线索二叉树的主要优点是可以在不使用栈的情况下实现树的遍历，并且可以快速找到任意节点的前驱和后继，这在某些应用场景下能够提高效率哈夫曼树叶节点选择1哈夫曼算法首先从森林中选择两个权值最小的树节点初始时，森林中的每棵树都只有一个节点，代表一个字符及其权值（通常是出现频率）选择过程可以使用优先队列（小顶堆）来提高效率节点合并2将选出的两个节点合并成一棵新树，新树的根节点权值为两个节点权值之和这一步创建了一个新的内部节点，该节点成为选中节点的父节点合并后，从森林中删除这两个节点，并将新树（即新的内部节点）添加到森林中重复构建3重复上述两个步骤，直到森林中只剩下一棵树最终的这棵树就是哈夫曼树，其所有叶节点都是原始字符节点，内部节点则是在构建过程中创建的哈夫曼树具有最小的带权路径长度，即所有叶节点的权值与其深度乘积之和最小编码生成4从根节点到每个叶节点的路径确定了该字符的哈夫曼编码通常规定左分支表示0，右分支表示1哈夫曼编码具有前缀性质，即没有任何编码是其他编码的前缀，这保证了解码的唯一性权值大的字符获得较短的编码，权值小的字符获得较长的编码平衡二叉树（树）AVL平衡因子单旋转双旋转AVL树中每个节点的平衡因子定义为其左单旋转用于处理外侧失衡，包括LL型（双旋转用于处理内侧失衡，包括LR型（子树高度减去右子树高度的差值，取值范左子树的左子树过高）和RR型（右子树的左子树的右子树过高）和RL型（右子树的围为{-1,0,1}当插入或删除操作导致某节右子树过高）LL型使用右旋，将失衡节左子树过高）LR型先对失衡节点的左子点的平衡因子的绝对值超过1时，需要通过点的左子节点上升为新的根节点RR型使节点进行左旋，再对失衡节点进行右旋旋转操作重新平衡树平衡因子的计算和用左旋，将失衡节点的右子节点上升为新RL型先对失衡节点的右子节点进行右旋，维护是AVL树操作的核心的根节点单旋转操作只需重新连接三个再对失衡节点进行左旋双旋转可以看作节点和两棵子树是两次单旋转的组合第六章图图是一种非线性数据结构，由顶点（或节点）和连接顶点的边组成图可以分为有向图和无向图在有向图中，边有特定的方向；在无向图中，边没有方向图还可以根据边是否有权重分为带权图和无权图图的基本概念包括顶点、边、路径、环（闭合路径）、连通图（任意两顶点之间都存在路径）、强连通图（有向图中任意两顶点之间都存在有向路径）等与树相比，图的结构更加复杂和灵活，可以表示更广泛的关系图没有根节点，可以包含环，一个顶点可以有任意数量的相邻顶点图广泛应用于社交网络、交通路线、网络拓扑、分子结构等领域的建模图算法的设计和分析是计算机科学中的重要课题，涉及图的遍历、最短路径、最小生成树、流网络等问题图的存储结构邻接矩阵邻接表邻接矩阵使用二维数组存储图，数组的行和列分别对应图的邻接表使用数组和链表组合存储图，数组的每个元素对应一顶点，元素值表示两个顶点之间是否存在边对于无权图，个顶点，元素指向一个链表，链表中存储该顶点的所有邻接通常用0表示不存在边，1表示存在边；对于带权图，用特定顶点对于有向图，链表存储该顶点的出边；对于带权图，值（如INF）表示不存在边，实际权值表示存在的边邻接链表节点还需存储边的权值邻接表的优点是空间效率高，矩阵的优点是实现简单，可以快速判断两个顶点之间是否存特别适合稀疏图，且容易找到一个顶点的所有邻接顶点；缺在边（O1时间），也适合表示稠密图；缺点是空间复杂度点是判断两个顶点之间是否存在边需要遍历链表（最坏情况高（On²），对于稀疏图会浪费大量空间，且增加顶点需要On时间），增加新边的操作也较复杂重新分配整个矩阵选择图的存储结构需要考虑图的类型（有向/无向，带权/无权）和稠密程度，以及预期的操作类型和频率邻接矩阵适合边较多的稠密图和需要频繁判断顶点间是否存在边的场景；邻接表适合边较少的稀疏图和需要遍历顶点所有邻接点的场景在实践中，还有其他变体如十字链表（适合有向图）和邻接多重表（适合无向图）等，可以根据具体需求选择合适的结构图的遍历深度优先搜索基本思想深度优先搜索（DFS）是一种图遍历算法，其基本思想是尽可能深地探索图的分支从起始顶点开始，沿着一条路径一直走到底，直到不能再前进为止，然后回溯到前一个顶点，选择另一条路径继续探索，直到所有顶点都被访问过DFS的递归实现DFS通常使用递归实现首先标记当前顶点为已访问，然后对每个未访问的邻接顶点递归调用DFS递归的特性自然地利用了系统栈来实现回溯递归实现简洁直观，但在处理大规模图时可能面临栈溢出的风险DFS的非递归实现DFS也可以使用显式栈进行非递归实现将起始顶点压入栈，然后重复以下步骤直到栈为空弹出栈顶顶点并访问，将其所有未访问的邻接顶点压入栈非递归实现避免了递归调用的开销，更适合处理大规模图DFS的应用DFS在实际中有广泛应用，包括判断图的连通性、寻找图中的环、拓扑排序、寻找强连通分量、解决迷宫问题等DFS的时间复杂度与图的存储结构有关，对于邻接表表示的图为OV+E，对于邻接矩阵表示的图为OV²，其中V是顶点数，E是边数图的遍历（续）广度优先搜索基本思想广度优先搜索（BFS）是另一种图遍历算法，其基本思想是逐层探索图的顶点从起始顶点开始，先访问所有邻接顶点，然后再访问这些邻接顶点的邻接顶点，以此类推，直到所有顶点都被访问过BFS就像水波纹一样从起点向外扩散BFS的队列实现BFS通常使用队列实现首先将起始顶点入队并标记为已访问，然后重复以下步骤直到队列为空出队一个顶点并访问，将其所有未访问的邻接顶点入队并标记为已访问队列的先进先出特性确保了顶点按照与起始顶点的距离递增顺序被访问BFS的层次标记BFS可以很容易地确定每个顶点与起始顶点的距离（或层次）一种方法是使用额外的数组记录每个顶点的层次，另一种方法是使用层次遍历的变体，即在每一层的所有顶点都处理完之前，不开始处理下一层的顶点BFS的应用BFS在实际中有广泛应用，包括寻找无权图中的最短路径、测试图的二分性、寻找图的连通分量、网络广播模拟等BFS的时间复杂度与DFS相同，对于邻接表表示的图为OV+E，对于邻接矩阵表示的图为OV²最小生成树Prim算法实现Prim算法原理Prim算法的实现通常使用优先队列（切分定理Prim算法从一个起始顶点开始，每次最小堆）来提高效率维护一个集合生成树概念切分定理是构造最小生成树算法的理选择一条连接树中顶点与非树中顶点表示当前已经在树中的顶点，以及一生成树是连通图的一个子图，它包含论基础它指出对图的任意切分（的最小权重边，并将对应的非树顶点个优先队列存储与树相连的边每次图中所有顶点，且是一棵树（即没有将顶点分为两个不相交的集合），横加入树中这个过程重复直到所有顶从优先队列中取出最小权重边，如果环）一个有n个顶点的连通图的生跨切分的最小权重边一定属于最小生点都被加入到树中Prim算法适合用它连接到一个不在树中的顶点，则将成树有n-1条边最小生成树是在带成树基于这一定理，我们可以通过于稠密图，特别是使用邻接矩阵表示该边加入树中，并更新优先队列权连通图中总权重最小的生成树最贪心策略，每次选择满足条件的最小的图小生成树问题在网络设计、电路设计权重边，逐步构建最小生成树等领域有广泛应用最小生成树（续）Kruskal算法原理Kruskal算法的基本思想是按照边的权重从小到大排序所有边，然后逐一考察这些边如果当前边连接的两个顶点不在同一个连通分量中，则将这条边加入到最小生成树中；否则，忽略这条边以避免形成环这个过程重复直到选择了n-1条边（n为顶点数）并查集数据结构Kruskal算法的高效实现通常使用并查集（Disjoint-set）数据结构来判断两个顶点是否在同一个连通分量中并查集支持两种主要操作查找（Find）操作确定元素属于哪个集合，合并（Union）操作将两个集合合并为一个通过路径压缩和按秩合并等优化，并查集操作的平均时间复杂度接近O1Kruskal算法实现Kruskal算法的具体实现步骤包括初始化并查集，使每个顶点构成一个单独的集合；将所有边按权重排序；按权重从小到大遍历边，对于每条边，如果其连接的两个顶点不在同一个集合中，则将这条边加入最小生成树，并合并这两个顶点所在的集合算法比较Prim算法和Kruskal算法都能找到最小生成树，但在不同情况下效率不同Prim算法适合稠密图，时间复杂度为OV²（使用邻接矩阵）或OE logV（使用邻接表和优先队列）Kruskal算法适合稀疏图，时间复杂度为OE logE在实际应用中，应根据图的特性选择合适的算法最短路径单源最短路径问题Dijkstra算法适用条件1求解从一个源顶点到图中所有其他顶点的最短路径，适用于无负权边的图，基于贪心策略，每次选择当前2是最常见的最短路径问题类型最短路径顶点进行扩展优先队列优化松弛操作4使用最小堆实现优先队列，可将Dijkstra算法的时间复尝试通过中间顶点来缩短源点到目标顶点的当前已知3杂度降至OE logV最短距离的过程Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的经典算法，由荷兰计算机科学家Edsger W.Dijkstra提出该算法的核心思想是维护一个集合S，存储已找到最短路径的顶点，然后不断从未处理的顶点中选择距离源点最近的顶点加入S，并更新从源点经过该顶点到达其他顶点的路径长度Dijkstra算法实现中的关键步骤是松弛操作，即尝试更新源点到每个顶点的最短距离对于从源点s出发，经过顶点u到达顶点v的路径，如果d[s→u]+wu,v d[s→v]，则更新d[s→v]=d[s→u]+wu,v，其中wu,v是边u,v的权重Dijkstra算法的时间复杂度与实现方式有关，最朴素的实现时间复杂度为OV²，适合稠密图；使用优先队列优化后的实现时间复杂度为OE logV，适合稀疏图需要注意的是，Dijkstra算法不适用于包含负权边的图，因为负权边可能导致已处理的顶点的最短距离被更新，与算法假设相悖最短路径（续）多源最短路径问题Floyd算法原理1求解图中任意两个顶点之间的最短路径，比单源最短路基于动态规划，通过逐步尝试所有中间点来优化任意两径更全面2点间的距离Floyd算法优势三重循环结构4实现简单，可处理带负权边的图（无负权环），适合稠算法核心是三层嵌套循环，外层枚举中间点，内层枚举3密图和完整距离矩阵需求所有顶点对Floyd-Warshall算法（简称Floyd算法）是解决多源最短路径问题的经典算法，能够计算图中任意两个顶点之间的最短路径该算法基于动态规划思想，核心是三层嵌套循环，通过逐步考虑所有可能的中间顶点来优化路径Floyd算法的动态规划状态定义为dist[i][j][k]表示从顶点i到顶点j的路径中，只允许经过编号不超过k的顶点作为中间顶点时的最短路径长度状态转移方程为dist[i][j][k]=mindist[i][j][k-1],dist[i][k][k-1]+dist[k][j][k-1]由于每次计算只依赖于上一次的结果，可以将三维数组简化为二维数组Floyd算法的优点是实现简单，可以处理带负权边的图（前提是图中没有负权环），适合需要求解所有顶点对之间最短路径的场景其时间复杂度为OV³，空间复杂度为OV²相比于运行V次Dijkstra算法，Floyd算法在图较稠密时更有优势，且代码更简洁拓扑排序有向无环图拓扑排序定义基于DFS的实现基于入度的实现拓扑排序只适用于有向无环图（DAG拓扑排序是将有向无环图的所有顶点拓扑排序的一种实现方法是基于深度另一种常用的拓扑排序算法是基于顶）有向无环图是一种没有环路的有排成一个线性序列，使得图中任意一优先搜索（DFS）算法对图中每个点的入度算法首先将所有入度为0的向图，表示元素之间的单向依赖关系对顶点u和v，如果存在边u→v，则u在未访问的顶点开始DFS，当一个顶点顶点（即没有前驱的顶点）加入队列在实际应用中，DAG常用于表示任序列中出现在v之前换句话说，拓扑的所有后继顶点都已经被处理后，将，然后逐一出队并处理将出队顶点务之间的依赖关系、编译过程中的模排序是将所有顶点按照依赖关系排序该顶点加入结果序列的最前端这种加入结果序列，并将其所有后继顶点块依赖、课程的先修关系等如果图，保证每个顶点在其所有前驱顶点之方法的时间复杂度为OV+E，适用于的入度减1，如果减1后入度为0，则将中存在环，则无法进行拓扑排序，因后出现一个有向无环图可能有多个各种图的表示方式实现时通常使用该后继顶点加入队列这种方法也称为环意味着循环依赖，无法确定先后有效的拓扑排序结果一个栈或列表来存储结果，最终需要为Kahn算法，时间复杂度同样为顺序逆序输出OV+E第七章查找顺序查找二分查找二分查找变种顺序查找是最简单的查找算法，从第一个元二分查找是一种高效的查找算法，适用于有二分查找有多种变种，如查找第一个等于目素开始，按顺序比较每个元素与目标值，直序数组算法每次将查找范围缩小一半比标值的元素、最后一个等于目标值的元素、到找到匹配项或遍历完整个序列该算法适较中间元素与目标值，如果相等则找到目标第一个大于等于目标值的元素、最后一个小用于任何数据结构，无需预先排序，实现简；如果目标值小于中间元素，则在左半部分于等于目标值的元素等这些变种在处理包单，但时间复杂度为On，对于大型数据集继续查找；如果目标值大于中间元素，则在含重复元素的有序数组时特别有用实现这效率较低顺序查找在小型数据集或无序数右半部分继续查找二分查找的时间复杂度些变种时，需要在找到匹配值后继续缩小范据集中仍然有实用价值，是其他复杂查找算为Olog n，远优于顺序查找，但要求数据必围，直到确定边界位置法的基础须有序且支持随机访问树表查找二叉搜索树定义BST基本操作BST的性能分析二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，其二叉搜索树的基本操作包括查找、插入和删二叉搜索树的查找、插入和删除操作的时间中每个节点的值大于其左子树中的任何值，除查找操作如上所述；插入操作类似于查复杂度取决于树的高度，平均情况下为Olog小于其右子树中的任何值这一性质使得在找，找到合适的位置（叶节点）后插入新值n然而，在最坏情况下（如按升序或降序BST中查找特定值变得高效从根节点开始，；删除操作较为复杂，分三种情况删除叶插入数据），BST会退化成一个链表，此时时如果目标值等于当前节点值，则找到目标；节点直接移除，删除只有一个子节点的节点间复杂度降为On为了避免这种情况，需如果小于当前节点值，则在左子树中查找；用子节点替换，删除有两个子节点的节点用要使用平衡二叉搜索树（如AVL树、红黑树如果大于当前节点值，则在右子树中查找其中序后继（右子树中最小的节点）或前驱）来保持树的平衡，确保操作的时间复杂度（左子树中最大的节点）替换为Olog n平衡搜索树红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，通过在每个节点上增加一个表示颜色的属性（红色或黑色），并通过确保树满足特定的性质来保持平衡红黑树的五个基本性质是每个节点是红色或黑色；根节点是黑色；所有叶节点（NIL节点）是黑色；如果一个节点是红色，则其两个子节点都是黑色；从任一节点到其每个叶子节点的所有路径都包含相同数量的黑色节点红黑树的关键操作是插入和删除，这些操作可能会违反红黑树的性质，需要通过重新着色和旋转来恢复性质与AVL树相比，红黑树的平衡条件较为宽松，插入和删除操作需要的旋转次数更少，但树的高度可能略大红黑树的所有基本操作（查找、插入、删除）的时间复杂度均为Olog n，这使其成为效率和实用性的良好平衡红黑树在实际应用中非常广泛，如C++STL中的map和set、Java中的TreeMap和TreeSet、Linux内核中的进程调度器等它是平衡搜索树家族中实现相对简单且性能良好的一员，适合需要高效动态维护有序数据的场景哈希表哈希函数冲突解决方法哈希函数是哈希表的核心，它将任意长度的输入映射为固定长度的哈希冲突是指不同的关键字通过哈希函数映射到相同的哈希值解输出（哈希值或哈希码）理想的哈希函数应具有以下特性计算决冲突的主要方法有链接法（将所有映射到同一位置的元素组织简单高效、均匀分布（使得哈希值在整个哈希表空间中均匀分布）成一个链表）、开放寻址法（如果位置已被占用，按某种规则寻找、低碰撞率（不同输入产生相同哈希值的概率低）常见的哈希函下一个可用位置，如线性探测、二次探测、双重哈希等）、再哈希数包括除法哈希法、乘法哈希法、全域哈希法等对于字符串，常法（使用另一个哈希函数重新计算）、建立公共溢出区等每种方用的哈希函数包括BKDRHash、APHash、DJBHash等法都有其优缺点，需根据具体应用场景选择合适的方法哈希表是一种基于哈希函数的数据结构，可以实现高效的插入、查找和删除操作，平均时间复杂度为O1哈希表的基本思想是通过哈希函数将关键字映射到一个大小适当的数组中，从而实现快速访问哈希表的性能受到负载因子（表中元素数量与表大小的比值）的影响，负载因子过高会增加冲突概率，降低性能；负载因子过低则浪费空间在实际应用中，哈希表通常会动态调整大小当负载因子超过某个阈值时，创建一个更大的新表，并将旧表中的所有元素重新哈希到新表中C++中的unordered_map和unordered_set就是基于哈希表实现的哈希表广泛应用于数据库索引、缓存系统、符号表、集合实现等场景，是高效存储和检索数据的重要工具第八章排序排序算法时间复杂度平均空间复杂度稳定性冒泡排序On²O1稳定选择排序On²O1不稳定插入排序On²O1稳定希尔排序On^

1.3O1不稳定归并排序On logn On稳定快速排序On logn Olog n不稳定堆排序On logn O1不稳定基数排序Odn+k On+k稳定排序是计算机科学中的基本操作，指将一组数据按照特定顺序重新排列的过程排序算法的性能通常用时间复杂度和空间复杂度来衡量，此外还需考虑算法的稳定性（相等元素的相对顺序是否保持不变）排序算法可以分为内部排序（所有数据都在内存中）和外部排序（数据太大，无法全部放入内存）内部排序算法又可分为比较排序（如冒泡、选择、插入、希尔、归并、快速、堆排序等）和非比较排序（如计数、桶、基数排序等）比较排序的理论下界是On logn，而非比较排序在特定条件下可以达到线性时间复杂度选择合适的排序算法需要考虑数据规模、数据特性（如是否基本有序）、空间限制等因素插入排序直接插入排序原理直接插入排序的基本思想是将一个新元素插入到已排序的子序列中的适当位置，以形成一个新的已排序子序列算法从第二个元素开始，逐个考察每个元素，将其插入到前面已排序部分的合适位置具体实现时，通常是将当前元素与前面的元素依次比较，如果前面的元素更大，则将其后移，直到找到合适的插入位置直接插入排序特点直接插入排序是一种简单且稳定的排序算法，平均时间复杂度为On²，在最好情况下（数据已经有序）时间复杂度为On，最坏情况下（数据逆序）时间复杂度为On²它的空间复杂度为O1，是一种原地排序算法直接插入排序对于小规模数据或基本有序的数据效率较高，许多高级排序算法在处理小规模子问题时会转而使用插入排序希尔排序原理希尔排序是插入排序的一种改进版本，也称为缩小增量排序其基本思想是先将整个序列分割成若干个子序列分别进行直接插入排序，然后逐步减小间隔再进行排序，最后间隔为1时退化为普通插入排序希尔排序的关键在于增量序列的选择，常用的增量序列有希尔增量（n/2,n/4,...,1）、Hibbard增量（2^k-1）、Sedgewick增量等希尔排序特点希尔排序是第一个突破On²的排序算法，其平均时间复杂度取决于增量序列的选择，一般认为在On^

1.3左右希尔排序的空间复杂度为O1，是不稳定的排序算法希尔排序对于中等规模的数据表现良好，特别是当数据量不是很大且不要求排序的稳定性时，希尔排序是一个不错的选择选择排序简单选择排序原理简单选择排序的基本思想是每次从未排序部分选出最小（或最大）的元素，放到已排序部分的末尾具体实现时，对于长度为n的数组，第i次迭代在数组的第i个位置到最后一个位置之间找出最小元素，然后与第i个位置的元素交换这样，前i个位置就成为了已排序部分，剩余部分是未排序部分简单选择排序特点简单选择排序是一种不稳定的排序算法，其时间复杂度在最好、平均和最坏情况下都是On²尽管如此，它的实际性能通常优于冒泡排序，因为它减少了元素交换的次数简单选择排序的空间复杂度为O1，是一种原地排序算法由于每次都要遍历未排序部分找出最小元素，所以无论输入序列是否有序，算法的时间复杂度都是On²堆排序原理堆排序是基于二叉堆数据结构的排序算法它的基本思想是先将待排序序列构建成一个大顶堆（升序）或小顶堆（降序），然后将堆顶元素与堆的最后一个元素交换，减小堆的大小并继续调整堆，重复这个过程直到堆的大小为1堆排序可以分为两个阶段建堆阶段和排序阶段建堆可以自底向上调整，时间复杂度为On；排序阶段需要n-1次调整，每次调整的时间复杂度为Olog n堆排序特点堆排序是一种不稳定的排序算法，其时间复杂度在最好、平均和最坏情况下都是On logn堆排序的空间复杂度为O1，是一种原地排序算法与其他On logn的排序算法（如快速排序、归并排序）相比，堆排序不需要额外的存储空间，但实际性能通常不如针对缓存优化的快速排序堆排序的一个重要应用是实现优先队列交换排序冒泡排序快速排序冒泡排序是一种简单的交换排序算法，基本思想是通过相邻元素快速排序是一种高效的分治排序算法，基本思想是选择一个基的比较和交换，使得每一趟排序后最大（或最小）的元素浮到准元素，通过一趟排序将待排序数据分割成两部分，使得左边正确的位置具体实现时，从数组的第一个元素开始，依次比较的元素都小于或等于基准，右边的元素都大于或等于基准，然后相邻的两个元素，如果它们的顺序错误就交换它们，这样一趟排递归地对左右两部分进行排序关键步骤是选择基准和划分过程序后，最大的元素就会浮到数组的末尾然后对剩余的n-1个元常见的基准选择方法包括固定选择（如第一个、最后一个或中素重复这个过程，直到整个数组有序为止间元素）、随机选择和三数取中法划分过程通常使用双指针技术，从两端向中间扫描，交换不符合条件的元素冒泡排序的优化版本包括设置标志位判断是否已经有序（提前结束）和记录上一轮交换的位置（减少比较范围）冒泡排序是一快速排序的平均时间复杂度为On logn，最好情况下也是On种稳定的排序算法，平均时间复杂度为On²，最好情况下（数logn，最坏情况下（基准选择不当，如已排序数组）退化为据已经有序）时间复杂度为On，最坏情况下（数据逆序）时间On²空间复杂度由于递归调用栈的使用为Olog n，最坏情况复杂度为On²空间复杂度为O1，是一种原地排序算法下为On快速排序是一种不稳定的排序算法，但它在实际应用中通常比其他On logn的算法更快，因为其内部循环可以被有效地实现，并且对缓存友好归并排序归并排序原理归并排序是基于分治策略的排序算法，其基本思想是将待排序的数组递归地分成两个或多个子数组，分别对子数组进行排序，然后将已排序的子数组合并成一个有序的数组归并操作是算法的核心，它将两个已排序的子数组合并成一个有序数组，通常采用双指针技术实现，即使用两个指针分别指向两个子数组的当前位置，比较指针所指元素的大小，将较小的元素放入结果数组，并移动对应的指针归并排序实现归并排序的递归实现包括两个主要步骤分解和合并分解阶段将数组平均分成两部分，递归地对左右两部分进行排序；合并阶段将两个已排序的子数组合并成一个有序数组合并过程需要一个额外的临时数组来存储合并结果，然后复制回原始数组归并排序也可以使用迭代实现，从底层开始，先合并相邻的单元素子数组，然后合并相邻的两元素子数组，以此类推，直到整个数组有序归并排序特点归并排序是一种稳定的排序算法，其时间复杂度在最好、平均和最坏情况下都是On logn，这是基于比较的排序算法的理论下界归并排序的主要缺点是需要额外的On空间来存储临时数组，这在某些应用场景可能是一个限制在实际应用中，归并排序常用于外部排序（当数据太大无法全部加载到内存中时）和链表排序（可以实现原地归并，不需要额外空间）归并排序优化归并排序的优化方向包括当子数组规模较小时转为插入排序；在合并前检查是否已经有序（如果左子数组的最大元素小于等于右子数组的最小元素，则可以跳过合并过程）；使用原地归并算法减少空间复杂度；并行化实现以利用多核处理器这些优化能够在特定场景下显著提高归并排序的性能基数排序基数排序是一种非比较排序算法，它根据元素的位值（个位、十位、百位等）而不是元素间的比较来排序基数排序有两种主要方法最低位优先LSD和最高位优先MSDLSD从最低有效位开始，逐位向最高有效位进行排序；MSD则相反，从最高有效位开始，递归地对每个子序列进行排序基数排序的关键步骤是对每一位进行分配和收集分配阶段将元素按当前位的值分配到不同的桶中（通常是0-9十个桶）；收集阶段按顺序将各个桶中的元素收集起来，形成新的序列这个过程重复进行，直到处理完所有位基数排序要求元素可以按位进行比较，通常用于整数、字符串等可以表示为固定位数的数据基数排序的时间复杂度为Odn+k，其中d是位数，n是元素个数，k是每位的取值范围（如十进制数是10）空间复杂度为On+k基数排序是稳定的，这对于某些应用很重要当元素的位数较少且取值范围较小时，基数排序可以比基于比较的排序算法更高效然而，它不如比较排序算法那样通用，且在处理可变长度的数据时需要特殊处理外部排序数据分块1外部排序的第一步是将大文件分成若干个小块（称为归并段或游程），使得每个小块可以加载到内存中进行内部排序选择合适的块大小是重要的，通常是根据可用内存大小确定每个块被读入内存后，使用高效的内部排序算法（如快速排序）进行排序，然后写回外部存储多路归并2多路归并是外部排序的核心步骤，它将多个已排序的块合并成一个更大的有序块基本思想是从每个输入块中读取一小部分数据到内存中的缓冲区，执行归并操作生成输出，并在缓冲区空时从相应的块读取更多数据多路归并可以递归地进行，直到所有块都合并成一个大的有序文件败者树优化3在多路归并中，为了提高效率，通常使用败者树（又称锦标赛树）数据结构来减少比较次数败者树是一种特殊的二叉树，用于高效地确定当前最小（或最大）元素与简单地在每次选择最小元素时比较所有路的当前元素（需要k-1次比较）不同，败者树每次只需要log k次比较，其中k是归并路数置换选择4置换选择是一种生成初始归并段的优化技术，可以生成长度超过内存大小的有序段它使用一个堆来选择当前最小元素，并尝试将新读入的元素添加到当前段中，如果新元素大于或等于当前输出的元素，则可以加入当前段；否则，它将开始一个新的段这种方法通常能生成比简单分块更长的初始归并段，从而减少总的归并次数第九章高级数据结构B树B+树B树是一种自平衡的多路搜索树，专为磁盘等外部存储设计不同于B+树是B树的一种变体，有两个主要区别所有的键值对都存储在叶二叉树，B树的节点可以有多个子节点，通常称为阶或度一个m节点中，内部节点只存储键作为索引；叶节点通过指针连接，形成一阶B树满足根节点至少有2个子节点（除非是叶节点）；非根内部个有序链表，方便范围查询这些特性使B+树比B树更适合数据库索节点至少有m/2个子节点；所有叶节点都在同一层B树通过减引查询性能更稳定（所有查询都到达叶节点，路径长度一致）；范⌈⌉少磁盘访问次数提高性能，因为它的高度较低（通常是log_mn）且围查询高效（只需找到范围的起点，然后沿叶节点链表遍历）；节点每个节点可以存储多个键值对，一次磁盘读取可以获取更多信息B利用率更高（内部节点不存储数据，可以容纳更多键）B+树是现代树广泛应用于数据库和文件系统中关系型数据库系统（如MySQL InnoDB）中最常用的索引结构B树和B+树都是为磁盘或其他外部存储设备设计的自平衡树，其节点大小通常与磁盘块大小相匹配，以优化I/O操作这两种树结构都支持动态地插入、删除和查找操作，并保持树的平衡，使所有操作的时间复杂度保持在Olog n级别插入和删除操作可能导致节点的分裂或合并，以维持树的性质B+树较B树的另一个优势是支持更高的并发性由于所有数据都在叶节点，内部节点的修改频率较低，减少了锁竞争此外，B+树的叶节点链表支持高效的顺序遍历，这在数据库的排序、分组和连接操作中非常有用因此，尽管两种结构都有其应用场景，但在需要高效范围查询和顺序访问的系统中，B+树通常是更佳选择高级数据结构（续）跳跃表树状数组线段树跳跃表是一种基于概率的数据结构，可以看作是树状数组（Fenwick Tree或Binary IndexedTree线段树是一种用于解决区间查询和更新问题的树对有序链表的一种扩展，通过在链表的基础上添）是一种支持高效进行前缀和查询和单点更新的形数据结构它将一个区间划分为多个子区间，加多层索引来加速查找每个元素以一定的概率数据结构树状数组利用整数的二进制表示的特每个树节点对应一个区间线段树的构建是递归（通常是1/2）决定是否晋升到上一层索引查性，将前缀和分解为若干个子区间的和，每个节的将当前区间分成两半，分别构建左右子树，找时从最高层索引开始，水平方向比较当前索引点存储特定区间的和值更新操作通过一个巧妙直到区间长度为1查询和更新操作也是递归的，节点与目标值，如果当前值小于目标值则向右移的位运算公式i+=i-i向后更新相关节点，查询根据查询区间与节点区间的关系决定是返回结果动，否则降到下一层继续查找这种结构使得跳操作通过i-=i-i向前累加相关节点值树状数、继续递归左右子树还是合并左右子树的结果跃表的期望查找时间复杂度为Olog n，与平衡树组的操作时间复杂度均为Olog n，空间复杂度为线段树支持多种区间操作，如区间求和、最大值相当，但实现更为简单且内存布局更加连续，有On，比线段树更加紧凑高效，特别适合于求解/最小值查询、区间更新等，所有操作的时间复利于缓存性能区间和、单点修改类问题杂度均为Ologn，是解决动态区间问题的强大工具第十章算法设计技巧分治法基本思想分治法应用条件1将原问题分解为若干个规模较小的子问题，解决子问题问题可以分解为相同类型的子问题，子问题相互独立且后合并结果得到原问题的解2规模更小，子问题的解可以合并分治法典型应用分治法实现步骤4归并排序、快速排序、二分查找、大整数乘法、分解原问题、递归解决子问题、合并子问题的解，最后3Strassen矩阵乘法、最近点对问题等解决原问题分治法（Divide andConquer）是一种重要的算法设计范式，其核心思想是将原问题分解为若干个规模较小但类似于原问题的子问题，递归地解决这些子问题，然后将子问题的解组合起来，形成原问题的解分治法的三个主要步骤是分解（Divide）、解决（Conquer）和合并（Combine）分治法的主要优点包括能够利用递归来解决复杂问题；可以并行处理子问题，提高效率；通常产生高效的算法，如快速排序、归并排序的时间复杂度都是On logn分治法的时间复杂度通常可以用递归关系式表示，如Tn=aTn/b+fn，其中a是子问题的数量，n/b是子问题的规模，fn是分解和合并步骤的复杂度使用分治法需要注意子问题是否满足分治条件（可分解，子问题独立，解可合并），以及递归终止条件的设置在实际应用中，分治法常与其他技术如动态规划结合使用，以处理子问题之间存在重叠的情况分治法不仅是一种算法设计技术，也是理解和分析递归算法的重要工具动态规划基本原理动态规划是一种通过将复杂问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解以避免重复计算的方法与分治法不同，动态规划处理的子问题不是独立的，而是有重叠的，因此需要一个表（通常是数组或矩阵）来存储子问题的解，这个过程称为记忆化动态规划的核心是找出问题的最优子结构，即原问题的最优解包含子问题的最优解实现方法动态规划有两种实现方法自顶向下（带记忆的递归）和自底向上（迭代）自顶向下方法从原问题出发，通过递归解决子问题，并将子问题的解存储以便重用；自底向上方法从最小的子问题开始，逐步构建较大子问题的解，直到解决原问题两种方法在时间复杂度上通常相同，但自底向上方法的常数因子较小且不会导致栈溢出，因此在实际中更为常用设计步骤动态规划的设计步骤包括定义状态（确定要解决的子问题）；写出状态转移方程（描述子问题之间的关系）；确定初始状态和边界条件；确定计算顺序（对于自底向上方法）或实现递归函数（对于自顶向下方法）；提取最终解其中，状态定义和状态转移方程的设计是动态规划中最关键和最具创造性的步骤典型应用动态规划广泛应用于各种优化问题，如最长公共子序列（LCS）和最长递增子序列（LIS）；背包问题（如0-1背包、完全背包）；矩阵链乘法；最短路径问题（如Floyd算法）；编辑距离；最优二叉搜索树；石子合并等这些问题的共同特点是具有重叠子问题和最优子结构，使得动态规划方法既高效又优雅贪心算法贪心策略贪心算法的证明12贪心算法是一种在每一步做出当前看来证明贪心算法的正确性通常需要两个步最优的选择，以期望最终得到全局最优骤证明问题具有贪心选择性质，即证解的算法与动态规划不同，贪心算法明每一步的贪心选择最终能够得到全局不会回溯重新考虑之前的选择，而是一最优解；证明问题具有最优子结构，即旦做出决策就不再修改贪心算法的核原问题的最优解包含子问题的最优解心是贪心选择性质，即局部最优选择能证明方法包括直接证明（构造性证明）导致全局最优解这种策略不是对所有、交换论证（证明任何非贪心解都可以问题都适用，但对于满足贪心选择性质通过交换转化为贪心解而不会变差）和和最优子结构的问题，贪心算法可以提数学归纳法贪心算法的正确性证明通供简单高效的解决方案常比其实现更为复杂典型问题3贪心算法适用的典型问题包括活动选择问题（选择最多的互不重叠的活动）；Huffman编码（构造最优前缀码）；最小生成树（Prim算法和Kruskal算法）；单源最短路径（Dijkstra算法，对于无负权边的图）；找零钱问题（在特定硬币系统下）；区间调度问题（最大不相交区间集）；任务调度问题等这些问题共同的特点是可以通过局部最优选择达到全局最优回溯法回溯法基本思想1回溯法是一种系统地搜索所有可能解的算法框架，通过试探和回退来寻找问题的解它从一个可能的解的初始状态开始，通过深度优先的方式遍历解空间，当发现当前路径不可能导致有效解时，就回溯到上一个状态，尝试另一条路径这个过程类似于走迷宫，当遇到死胡同时返回并尝试其他路径回溯法是暴力搜索的一种优化形式，通过剪枝技术减少无效路径的探索实现框架2回溯法的基本框架包括三个主要步骤选择（在当前状态下做出一个选择，向前探索）；约束条件检查（检查当前选择是否满足问题约束）；回溯（如果当前路径无法导致有效解，则撤销最近的选择，回到上一个状态）这个过程通常通过递归实现，每次递归代表探索一个新的选择为了提高效率，常常在探索过程中应用剪枝策略，提前排除不可能产生有效解的路径应用场景3回溯法广泛应用于组合优化问题，如N皇后问题（在N×N棋盘上放置N个皇后，使得她们互不攻击）；子集、排列、组合问题（生成所有可能的子集、排列或组合）；数独求解；图的着色问题；单词搜索（在字符网格中查找单词）；路径规划问题等这些问题的共同特点是需要在一个庞大的解空间中寻找符合特定条件的解，而回溯法提供了一种系统且高效的方法优化技术4回溯法的主要优化技术包括剪枝（提前识别和排除不可能产生有效解的路径）；顺序剪枝（根据问题特性调整探索顺序，使得能够更早地进行剪枝）；对称性剪枝（利用问题的对称性减少重复搜索）；记忆化搜索（存储已经计算过的状态结果，避免重复计算，这实际上是将回溯与动态规划结合）这些优化技术能够显著减少搜索空间，提高算法效率分支限界法基本思想算法框架分支限界法是一种在解空间树中搜索问题分支限界法的基本框架包括使用队列或最优解的方法，与回溯法类似，但主要用优先队列存储待处理的节点；每次从队列于求解最优化问题（如最小生成树、最短中取出一个节点进行扩展；对于扩展出的路径等）分支限界法在搜索过程中通过每个子节点，计算其上/下界；如果子节点分支操作生成新节点，同时使用限界函的界限表明它不可能产生比当前已知最优数计算解的上下界，以便尽早地排除不可解更好的解，则将其剪枝；否则，将子节能产生最优解的分支与回溯法不同，分点加入队列；重复这个过程直到队列为空支限界法通常采用广度优先或最佳优先的或找到最优解使用优先队列时，通常基搜索策略，而不是深度优先于节点的界限值确定优先级，这称为最佳优先搜索应用实例分支限界法适用于多种组合优化问题，如旅行商问题（TSP，寻找访问所有城市一次且路径最短的环路）；装载问题（使装载的物品总价值最大）；作业调度问题（最小化完成所有作业的时间）；0-1背包问题（选择一组物品，在不超过背包容量的情况下最大化总价值）；资源分配问题等这些问题的共同特点是需要在一个指数级大小的解空间中寻找最优解第十一章NP完全性理论P NP多项式时间问题非确定性多项式时间问题P类问题是指可以在多项式时间内解决的判定问题，这NP类问题是指可以在多项式时间内验证一个解的正确性类问题被认为是可有效求解的的判定问题P=NP核心未解问题P是否等于NP是计算机科学中最重要的未解决问题之一，对加密学等领域有重大影响NP完全性理论研究计算问题的难解性，特别是将问题分类为不同的复杂度类P类问题是可以在多项式时间内解决的问题，如排序、最短路径等NP类问题是可以在多项式时间内验证解的正确性的问题，但不一定能在多项式时间内找到解直观地说，NP类问题的解可以被快速检查，但可能需要指数时间才能找到P类问题是NP类问题的子集，因为任何能在多项式时间内解决的问题，其解自然也能在多项式时间内被验证P=NP问题询问这两个类是否相同，即是否所有可以快速验证的问题也都可以快速解决大多数计算机科学家认为P≠NP，但这仍是一个开放问题NP完全问题是NP类中最难的问题，具有这样的性质任何NP问题都可以在多项式时间内规约为它这意味着如果任何一个NP完全问题能在多项式时间内解决，那么所有NP问题都能在多项式时间内解决，也就是P=NPNP完全性理论为理解问题的计算复杂性提供了理论框架，对算法设计和复杂度分析至关重要NP完全问题NP完全问题是计算机科学中的一类特殊问题，它们不仅属于NP类，而且具有这样的性质所有NP问题都能在多项式时间内规约到它们这意味着，如果有一个多项式时间算法能解决任何一个NP完全问题，那么所有NP问题都可以在多项式时间内解决，即P=NP第一个被证明是NP完全的问题是布尔可满足性问题（SAT），由库克在1971年证明证明一个问题是NP完全的通常采用规约方法首先证明该问题属于NP类；然后证明一个已知的NP完全问题可以在多项式时间内规约到该问题通过传递性，这就证明了所有NP问题都可以规约到该问题，从而证明它是NP完全的常见的NP完全问题包括旅行商问题、图着色问题、顶点覆盖、子集和问题、哈密顿回路问题、最大团问题等由于NP完全问题的难解性，解决这类问题通常采用以下方法近似算法（在多项式时间内找到一个接近最优的解）；启发式算法（基于经验规则，不保证最优但通常高效）；参数化算法（当某些参数固定时可在多项式时间内解决）；指数算法优化（虽然时间复杂度仍是指数级，但在实际数据规模下表现良好）对于许多实际应用，这些方法可以提供足够好的解决方案第十二章并行算法并行计算基础并行计算模型并行计算是同时使用多个计算资源解决计算问题的一种计算方式常见的并行计算模型包括共享内存模型（所有处理器访问同一并行算法的设计需要考虑任务分解（将问题分解为可以并行执内存空间，如多线程编程）；分布式内存模型（每个处理器有自行的子任务）、负载均衡（使各处理单元的工作量尽可能平均）己的本地内存，通过消息传递进行通信，如MPI）；数据并行模、通信开销（处理单元之间数据交换的成本）和同步问题（确保型（相同的操作应用于数据的不同部分，如SIMD指令集、GPU编正确的执行顺序）并行计算的性能通常用加速比（使用n个处程）；任务并行模型（不同的任务分配给不同的处理器，如流水理器的速度与使用1个处理器的速度之比）和效率（加速比除以线处理）不同的模型适合不同类型的问题和硬件架构处理器数量）来衡量并行计算中一个核心概念是Amdahl定律，它描述了并行化可能获得的最大加速比如果程序中的一部分占比为P可以完全并行化，而剩余部分1-P必须串行执行，则使用n个处理器的最大加速比为1/1-P+P/n当n趋向无穷大时，最大加速比为1/1-P这说明程序中串行部分的比例是决定最大可能加速比的关键因素在C++中实现并行算法的方式包括使用标准库的并行算法（C++17引入）；使用线程库（std::thread）；使用OpenMP、MPI等并行编程框架；使用CUDA或OpenCL进行GPU编程选择合适的并行化方法取决于问题特性、目标硬件和开发复杂度等因素并行排序算法问题分解1并行归并排序首先将数据集分成若干部分，分配给不同的处理单元分割可以是简单的平均分配，也可以考虑数据分布以实现更好的负载均衡关键是确保每个处理单元获得适量数据，既不会导致某些处理单元空闲，也不会使某些处理单元过载局部排序2每个处理单元对分配到的数据子集使用高效的串行排序算法（如快速排序）进行局部排序这一步是完全并行的，因为各处理单元处理的数据独立，无需通信局部排序完成后，整个数据集被分成多个已排序的子序列，但整体尚未排序合并阶段3这是并行归并排序的关键步骤，需要将多个已排序子序列合并成一个完整的有序序列合并过程可以采用树形结构首先将处理单元两两配对，每对合并它们的有序序列；然后将合并后的序列再两两合并，递归进行直到最终只剩一个有序序列并行合并优化4为了提高合并阶段的效率，可以采用并行合并算法一种方法是通过二分查找确定合并点，将两个序列划分为独立的部分进行并行合并另一种方法是使用并行分段合并，将序列分成多段，每段由一个处理单元负责合并，最后拼接结果这些优化能显著提高合并阶段的性能第十三章C++标准模板库（STL）顺序容器关联容器顺序容器是按照元素的插入顺序存储元素的容器关联容器基于键存储和检索数据，通常实现为平主要包括vector（动态数组，支持快速随机衡二叉搜索树（如红黑树）主要包括set（访问，在末尾添加元素效率高）；list（双向链表存储唯一键的集合）；map（存储键值对，键唯，支持常数时间的插入和删除，但不支持随机访一）；multiset（允许重复键的集合）；问）；deque（双端队列，兼具vector和list的部multimap（允许重复键的键值对映射）这些容分特性，支持两端的高效插入删除和随机访问）器中的元素按键排序，支持高效的查找（Olog；array（固定大小数组，性能优于vector但大小n）、插入和删除关联容器适合需要按键快速不可变）；forward_list（单向链表，比list更节查找元素的场景，如字典、索引等省空间但功能受限）选择合适的顺序容器需要考虑操作类型和频率、内存使用等因素无序容器无序容器基于哈希表实现，提供平均O1复杂度的查找、插入和删除操作主要包括unordered_set（基于哈希表的集合）；unordered_map（基于哈希表的映射）；unordered_multiset（允许重复键的哈希集合）；unordered_multimap（允许重复键的哈希映射）这些容器不保持元素的顺序，但在大多数情况下比关联容器更高效当不需要元素有序且需要最快的查找性能时，无序容器是首选STL算法查找算法排序和相关算法转换和生成算法数值算法STL提供多种查找算法，包括find（线STL的排序算法包括sort（快速排序的转换算法将操作应用于序列的元素，生数值算法用于序列的数学操作，包括性查找）、find_if（带条件的查找）、变体）、stable_sort（稳定排序）、成新的值包括transform（对序列中accumulate（计算总和）、binary_search（二分查找，要求序列有partial_sort（部分排序）、的每个元素应用函数）、generate（使inner_product（计算内积）、序）、lower_bound/upper_bound（查nth_element（找出第n大元素）等此用生成器函数填充序列）、fill（用特定partial_sum（计算部分和）、找边界位置）等这些算法通常接受一外还有一系列相关算法如merge（合并值填充序列）、replace（替换匹配特定adjacent_difference（计算相邻元素差对迭代器定义的范围和查找条件，返回有序序列）、partition（按条件分割）值的元素）等这些算法简化了常见的）等这些算法位于numeric头文件中满足条件的元素或位置对于关联容器、is_sorted（检查是否已排序）等数据处理任务，通常可以与lambda表达，为常见的数值计算提供了高效实现，成员函数如find通常比通用算法更高C++17引入了并行版本的排序算法，可以式或函数对象结合使用，提供灵活的功C++17进一步扩展了数值算法，添加了效，因为它们利用了容器的内部结构利用多核处理器提高性能能reduce、transform_reduce等支持并行执行的算法第十四章算法实践数组/字符串链表树图动态规划回溯/搜索其他LeetCode是一个广受欢迎的在线编程练习平台，提供了丰富的算法题目供程序员学习和准备技术面试本章节选取了各类典型题目进行解析，帮助学生将所学的数据结构和算法知识应用到实际问题解决中通过这些实践，学生可以提高编程能力、增强算法思维、掌握解题技巧，并为软件工程师面试做好准备上图展示了本章所选LeetCode题目的分类分布我们可以看到，数组和字符串相关问题占比最大，这也符合实际编程中最常遇到的数据类型动态规划问题占据较大比例，反映了其在算法设计中的重要性和挑战性树和链表作为基础数据结构，也有相当数量的题目通过系统学习这些不同类型的问题，学生可以全面提升算法设计和问题解决能力本章将针对每类问题提供详细的解题思路、代码实现和复杂度分析，并探讨多种解法的优缺点学习这些经典题目不仅能够帮助掌握特定算法，更重要的是培养分析问题、构建解决方案的能力，这是软件开发中最宝贵的技能算法实践（续）算法竞赛特点竞赛策略经典题目分析编程竞赛通常有严格的时间限制（几小时内成功的竞赛策略包括首先浏览所有题目，本节分析了几道具有代表性的竞赛题目，包解决多个问题）和计算资源限制（如内存和先解决容易的问题获取快速分数；为复杂问括最短路径变种问题，结合图论和动态规运行时间上限）与面试题目相比，竞赛题题设计正确算法优先于优化；善用测试数据划；计算几何问题，如凸包构造和点与多边目往往更注重算法效率和数学思维，要求参验证解法正确性；熟练掌握模板代码以减少形的关系；网络流问题，如最大流和最小费赛者能够快速分析问题、设计算法并实现代编程时间；在时间压力下保持冷静和逻辑清用最大流；组合博弈论问题，分析博弈的必码常见的竞赛包括ACM-ICPC、Google晰团队竞赛中，合理分工和有效沟通也至胜策略通过这些案例，展示了如何将复杂Code Jam、Codeforces比赛等，这些平台提关重要准备竞赛需要长期系统地训练，包问题分解为可管理的子问题，以及如何组合供了丰富的历史题目可供练习括学习算法知识、解决大量不同类型的问题多种算法技术来解决实际问题和参与模拟比赛课程总结算法设计与应用1综合运用所学知识解决实际问题高级算法与理论2并行算法、NP完全性、近似算法经典算法3图算法、排序、查找、动态规划数据结构4线性结构、树、图、哈希表算法分析基础5复杂度分析、算法评价标准本课程系统地介绍了数据结构与算法分析的核心概念和技术，从基础的算法分析方法到复杂的数据结构实现，从经典算法到前沿的算法设计范式通过学习这些内容，你应该已经掌握了评估算法效率的方法，理解了不同数据结构的特点和适用场景，能够选择和应用合适的算法解决实际问题，并能分析算法的正确性和复杂度进一步学习的方向包括深入研究特定领域的算法，如机器学习算法、密码学算法、分布式算法等；学习更多高级数据结构，如跳表、Bloom过滤器、后缀树等；研究算法在大数据和云计算环境下的优化；探索算法可视化和交互式学习工具推荐的学习资源包括《算法导论》（进阶理论）、《编程珠玑》（实践技巧）、Competitive Programmingwebsites（实战训练）、GitHub上的开源算法库（代码参考）最重要的是，算法学习是一个持续的过程，需要通过大量练习和实际应用来巩固建议制定个人学习计划，定期解决算法题目，参与开源项目或编程竞赛，将所学知识应用到实际工作或研究中记住，成为一名优秀的算法设计者需要理论知识和实践经验的结合，以及不断探索和创新的精神。