有理数乘除课件

有理数的乘除欢迎来到有理数乘除的学习课程在本次课程中，我们将深入探讨有理数乘法和除法的基本概念、运算规则以及实际应用通过系统的学习，你将掌握有理数乘除的各种技巧，能够灵活运用这些知识解决数学问题和现实生活中的实际问题有理数乘除是初中数学的重要基础，也是后续学习代数、方程等高级数学概念的关键希望通过本课程的学习，你能够建立起扎实的数学基础，提高解决问题的能力课程目标掌握基本规则熟练计算12理解并掌握有理数乘法和除法能够熟练进行各种形式有理数的基本法则，包括同号异号数的乘除运算，包括整数、分数的乘除法则、零的乘除法则等、小数等不同形式的有理数，通过系统学习，准确把握有以及正负数的乘除计算提高理数乘除运算的本质和规律运算速度和准确性，养成良好的运算习惯实际应用3学会将有理数乘除运算应用到实际问题中，能够解决生活中涉及比例、速度、温度变化等实际问题提高数学思维能力和解决问题的能力课程大纲有理数乘法1介绍有理数乘法的基本概念和法则，包括同号数相乘、异号数相乘、零与任何数相乘等规则学习乘法交换律、结合律和分配律，掌握有理数乘法有理数除法的计算方法和技巧2了解有理数除法的基本概念，掌握除法与乘法的关系，学习同号数相除、异号数相除、零与非零数相除等规则熟练掌握除法的计算方法和技巧混合运算3学习有理数乘除混合运算的顺序规则，掌握带括号的混合运算方法能够进行复杂的有理数混合运算，理解并应用运算优先顺序应用题解析4学习将有理数乘除运算应用到实际问题中，包括比例问题、速度问题、浓度问题等培养数学建模能力和解决实际问题的能力复习什么是有理数？定义表示方式特性有理数是整数和分数的统称，可以表示有理数可以有多种表示方式分数形式有理数是密集的，即在任意两个不同的为分数形式（其中、是整数，（如）、小数形式（如）、百有理数之间，总能找到无穷多个有理数a/b ab3/

40.75）有理数包括正有理数、负有理分数形式（如）或整数形式（如有理数集是有序的，可以在数轴上精b≠075%-数和零，是我们日常生活和数学计算中）不同的表示方式可以根据具体问确定位每一个有理数的位置5最常用的数字类型题灵活选择使用有理数的性质正数、负数与零倒数的概念正有理数大于零，在数轴上位于非零有理数的倒数是倒a1/a原点的右侧；负有理数小于零，数的特点是两个数互为倒数，在数轴上位于原点的左侧；零既则它们的乘积等于例如，12不是正数也不是负数，是正数和和互为倒数，1/22×1/2=1负数的分界点正数和负数互为零没有倒数，因为任何数乘以相反数，它们的和为零零都等于零，不可能等于1绝对值有理数的绝对值表示该数与零之间的距离正数的绝对值是它本a|a|身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零绝对值总是非负的有理数在数轴上的表示数轴基本概念数轴是表示数的大小和顺序关系的直线通常将数轴水平放置，选择一点作为原点（表示数值），向右为正方向，向左为负方向在数轴上0，点与有理数一一对应数轴的刻度在数轴上选定单位长度后，可以标出各整数点通过等分，可以标出分数点的位置例如，将单位长度平均分成份，就可以标出41/4,等点的位置2/4,3/4数轴的应用数轴可以直观地表示有理数的大小关系位于数轴右侧的数总是大于位于左侧的数数轴也可以表示有理数的加减运算，例如a表示从点向右移动个单位的距离+b ab有理数乘法概述乘法的意义乘法的基本法则乘法的计算步骤有理数乘法可以理解有理数乘法遵循同号计算有理数乘法时，为几个相同加数的和得正，异号得负的规先根据符号判断积的或几分之几的含义则两个同号数（都正负，再计算绝对值例如，可以理是正数或都是负数）的乘积，最后确定最3×4解为个相加，即相乘，其积为正数；终结果例如，计算34；而两个异号数（一正一时，由于是异4+4+4=12-3×2可以理解为负）相乘，其积为负号相乘，所以积为负1/2×66的一半，即数任何数与零相乘数；绝对值相乘为33×，积都等于零，因此结果为2=6-6同号数相乘同号数相乘，其积为正数这包括两种情况正数乘以正数得正数，负数乘以负数得正数当两个正数相乘时，例如，结果是正数这符合我们的直观理解有组，每组个，总共有个2×3=6236当两个负数相乘时，例如，结果也是正数这可以理解为负负得正，即取消两次否定等于肯定从数学角度看，可以理解为-2×-3=6-2×-3=-2×[-3]=-[-2×3]=--6=6异号数相乘异号相乘得负数规则解释实际应用当一个正数和一个负数相乘时，其积为异号数相乘得负数的规则可以通过乘法在实际问题中，异号数相乘常表示两个负数例如，，分配律来理解例如，可以看作相反方向的量的关系例如，如果用正5×-2=-10-3×4=-3×-4这体现了乘法的意义正数乘以负个相加，即数表示向前走，负数表示向后走，那么123-4-4+-4+-4=-12数可以理解为几个负数相加；负数乘同样，可以看作个相加向前走步乘以可以理解为向前走-3×4-343-2以正数可以理解为负的几个正数相加，根据负数的含义，等价于步这个动作反向做次，即向后走-3×4=-326步12乘法交换律交换律定义有理数乘法满足交换律，即这意味着在乘法运算中，交a×b=b×a换两个因数的位置，乘积不变交换律适用于任何有理数，无论它们是正数、负数还是零实例证明例如，，，2×3=3×2=6-2×5=5×-2=-10-3×-4=-4×-这些例子都证明了乘法交换律的正确性交换律的存在使得我3=12们可以灵活调整计算顺序，简化计算过程应用价值乘法交换律在代数运算和实际计算中有重要应用例如，当遇到多个数相乘时，可以先计算容易处理的部分如计算，可以先计算2×1/2×5，再乘以，得到，而不必按原始顺序计算2×1/2=155乘法结合律实例验证，2×3×4=6×4=242×3×4=结合律适用于任何有理结合律定义22×12=24数，使我们在进行多数相乘时能够灵有理数乘法满足结合律，即a×b×活选择计算顺序这意味着在连乘运算1c=a×b×c中，可以先计算前两个数的乘积再乘实际应用以第三个数，也可以先计算后两个数结合律在复杂计算中尤为有用例如的乘积再用第一个数去乘，计算时，可以先算2×1/2×102×3，再乘以得；或先算1/2=11010，再乘以得1/2×10=5210乘法分配律分配律定义有理数乘法对加法满足分配律，即这表示一个数与一个和的乘积，等于这1a×b+c=a×b+a×c个数分别与和的各项相乘，再将所得的积相加实例证明例如，，而这验证了分配律23×2+4=3×6=183×2+3×4=6+12=18的正确性分配律对减法也成立a×b-c=a×b-a×c应用场景分配律在代数式的化简、展开和因式分解中有广泛应用例3如，计算可以转化为7×987×100-2=7×100-7×2=700-14=686有理数乘法步骤步骤一确定积的符号根据同号得正，异号得负的规则确定积的符号如果两个因数同号（都是正数或都是负数），则积为正；如果两个因数异号（一正一负），则积为负；如果有一个因数为零，则积为零步骤二计算绝对值的乘积忽略符号，计算两个因数绝对值的乘积例如，计算-3×4时，先计算|−3|×|4|=3×4=12步骤三确定最终结果将步骤一确定的符号与步骤二计算的绝对值乘积结合，得到最终结果例如，中，因为是异号相乘，所以结果为负数-3×4，即-12例题×-23分析问题解题步骤实际应用本题是一个异号数相乘的例子，一个因第一步确定积的符号因为和异这种计算在实际问题中很常见例如，-23数是负数，另一个因数是正数根号（一个是负数，一个是正数），所以如果一个人每天亏损元钱，持续天-2323据有理数乘法的规则，异号数相乘，其它们的积是负数第二步计算绝对值，那么他的总损失是多少？这可以表示积为负数因此，我们可以预期结果应的乘积第三步为元，表示总共亏损了元|-2|×|3|=2×3=6-2×3=-66该是一个负数结合符号和绝对值乘积，得到最终结钱负号表示损失或减少的量果-2×3=-6例题×-1/4-8本题是一个同号数（都是负数）相乘的例子根据有理数乘法的规则，同号数相乘，其积为正数解题步骤首先，确定积的符号因为和同号（都是负数），所以它们的积是正数其次，计算绝对值的乘积最后，结合符号和绝对值乘积，得到-1/4-8|-1/4|×|-8|=1/4×8=8/4=2最终结果-1/4×-8=2这个例子展示了负数乘以负数得正数的规则在实际应用中，这可以理解为消除或逆转一个负面影响例如，如果一个错误导致每单位损失，改正个这样的错误单位，将获得单位1/482的正面效果例题×

2.5-

0.

42.5-

0.4第一个因数第二个因数正数负数-1-1符号最终结果异号得负-1本题是小数形式的有理数乘法，一个是正小数，另一个是负小数这是一个异号相乘的例子

2.5-

0.4解题步骤首先，确定积的符号是正数，是负数，属于异号，所以它们的积是负数其次，计算绝对值的乘积

2.5-

0.4|

2.5|×|-

0.4|=

2.5×

0.4=最后，结合符号和绝对值乘积，得到最终结果

12.5×-

0.4=-1在实际应用中，这类计算常见于财务、物理等领域例如，如果一家商店每件商品亏损元，卖出件（比如一件整件商品和一半的另一件），那

0.

42.5么总亏损是元1练习快速判断积的正负计算式符号判断结果符号异号相乘负-3×5同号相乘正-2×-7含零相乘零0×-6异号相乘负4×-1/2同号相乘正-

0.5×-

0.5两个负一个正正-1×3×-2快速判断有理数乘积的正负是一项重要技能当两个数相乘时，如果同号则积为正，异号则积为负，任何数与零相乘得零当多个数相乘时，可以统计负数的个数如果负数个数是偶数（包括零个），则积为正；如果负数个数是奇数，则积为负例如，中有两个负数，所以积为正-1×3×-2有理数乘法的简便运算利用乘法交换律和结合律利用分配律简化计算利用因数分解123在多个数相乘时，可以灵活调整计算当遇到需要乘以类似、等数将复杂数字分解为简单因数可以简化99999顺序例如，计算时时，可以利用分配律将其转化为计算例如，计算可以转化5×-2×

0.2100125×8，可以先计算，再乘以、的形式例如，计算为5×

0.2=1-2-11000-1125×2³=125×2×2×2=，得到，这比按原始顺序计算要简可以转化为这种-225×9925×100-1=250×2×2=500×2=1000单得多方法特别适用于包含特殊数字如、25×100-25×1=2500-25=

5、等的乘法247525125乘法运算技巧心算技巧估算方法特殊乘法处理对于简单的乘法，尝试使用心算例如，在不需要精确结果的情况下，可以使用估某些特殊情况下的乘法有简便方法例如乘以、、只需将数字后面添算将数字四舍五入到方便计算的值，然，两个互为相反数的数相乘，结果总是负101001000加相应数量的零；乘以可以先乘以后进行乘法例如，可以估算的该数的平方如

51019.7×

10.25×-5=-5²=-25再除以；乘以可以先乘以再减去为估算在日常生活中很有两个分母相同的分数相乘，可以直接将分291020×10=200原数这些技巧可以大大提高计算速度用，可以快速得到大致结果子相乘，分母不变小组活动乘法竞赛为了巩固有理数乘法的知识，我们将举行一场乘法竞赛全班分成个小组，每组派代表轮流回答问题问题包括基础乘法题、符号判断题、简便运算题等不同4-5难度的题目竞赛规则每道题目有时间限制，答对得分，答错不扣分但失去本题得分机会对于难度较大的题目，小组成员可以集体讨论后给出答案最终以总分高低决定名次，获胜小组将获得奖励这种游戏化的学习方式不仅能够加深对有理数乘法规则的理解，还能培养团队合作精神和快速计算能力通过竞争激发学习热情，使数学学习变得更加有趣和有效有理数除法概述除法的意义除法与乘法的关系除法的限制有理数除法可以理解为求一个数是另除法可以看作是乘以倒数即除法运算中，除数不能为零，因为没有a÷b=一个数的几倍例如，表示（其中）例如，任何数乘以零能得到非零数，所以12÷4=3a×1/b b≠08÷2a÷是的倍；也可以理解为平均分这种关系在处理复杂（）是没有意义的但零除以非1243=8×1/2=40a≠0配，如表示个物品平均的除法问题时特别有用，尤其是当除数零数是有意义的，且结果为零即12÷4=3120÷分给个人，每人得到个是分数时（）43a=0a≠0除法基本法则符号法则零的除法倒数的应用有理数除法的符号规则与乘法相同零除以任何非零数都等于零（利用除以一个数等于乘以这个数的倒0÷a=同号得正，异号得负具体来说，正，）；任何非零数除以零是没数的规则，可以将除法转化为乘法0a≠0数除以正数得正数；负数除以负数得有意义的（无意义，）；零特别是在处理分数除法时，这一规则a÷0a≠0正数；正数除以负数得负数；负数除除以零也是没有意义的（无意义非常有用例如，0÷03/4÷2/5=3/4×以正数得负数这与除法可看作乘以）理解零的除法规则对避免计算错5/2=15/8倒数的规则是一致的误至关重要有理数除法步骤步骤一确定商的符号根据同号得正，异号得负的规则确定商的符号如果除数和被除数同号（都是正数或都是负数），则商为正；如果除数和被除数异号（一正一负），则商为负例如，是同号相除，所以商为正-6÷-2步骤二计算绝对值的商忽略符号，计算被除数和除数绝对值的商例如，计算时-6÷-2，计算在实际计算中，可以根据数字类型|-6|÷|-2|=6÷2=3（整数、分数、小数）选择适当的除法方法步骤三确定最终结果将步骤一确定的符号与步骤二计算的绝对值商结合，得到最终结果例如，中，因为是同号相除，所以结果为正数，即-6÷-2注意检查结果是否合理，特别是在处理小数和分数时3例题÷-62分析问题1本题是一个异号数相除的例子，被除数是负数，除数是正数根-62据有理数除法的规则，异号数相除，其商为负数因此，我们可以预期结果应该是一个负数解题步骤2第一步确定商的符号因为和异号（一个是负数，一个是正-62数），所以它们的商是负数第二步计算绝对值的商|-6|÷|2|第三步结合符号和绝对值商，得到最终结果=6÷2=3-6÷2=-3结果验证3我们可以用乘法来验证除法结果，确认我们的答案是正-3×2=-6确的或者，可以理解为如果将平均分成份，每份是这-62-3也符合除法的意义例题÷-3/4-1/2分析问题转化为乘法计算结果本题涉及分数形式的有理数除法，被除数利用除以一个数等于乘以这个数的倒数是同号相乘，所以积为正计-3/4×-2是负分数，除数是负分数根据的规则，可以将原题转化为算绝对值的乘积-3/4-1/2-3/4÷-|-3/4|×|-2|=3/4×有理数除法的规则，同号数相除，其商为因此，最终结果为1/2=-3/4×[-1/2]^-1=-3/4×-2/12=6/4=3/2=

1.5正数因此，我们可以预期结果应该是一=-3/4×-

21.5个正数例题÷

0.8-

0.2计算过程第一步确定商的符号和

0.8-

0.2异号（一个是正数，一个是负数），分析问题2所以它们的商是负数第二步计算绝对值的商|

0.8|÷|-

0.2|=

0.8÷本题涉及小数形式的有理数除法，被第三步结合符号和绝对值

0.2=4除数是正小数，除数是负小数

10.8-商，得到最终结果

0.8÷-

0.2=-4根据有理数除法的规则，异号

0.2数相除，其商为负数因此，我们可结果验证以预期结果应该是一个负数用乘法验证除法结果-4×-

0.2=

30.8，确认答案正确可以理解为

0.8是的几倍？答案是倍，因为-

0.2-4-的倍是（负负得正）

0.2-

40.8练习快速判断商的正负快速判断有理数商的正负是一项重要技能当两个数相除时，如果同号则商为正，异号则商为负特别注意零的除法零除以任何非零数等于零；任何非零数除以零是没有意义的练习题判断以下各题商的正负异号，商为负同号，商为正零除以非零数，商为零异号，商为负同号，商为正

1.-15÷3[]

2.-8÷-4[]

3.0÷-5[]

4.12÷-3[]

5.-

2.4÷-

0.6[]非零数除以零，无意义

6.-10÷0[]除法运算技巧转化为乘法约分先行特殊数的除法123将除法转化为乘以倒数往往可以简化在进行分数除法之前，尝试对分子和对于特殊数如、、的除101001000计算，特别是在处理分数除法时例分母进行约分，可以大大简化计算法，可以使用小数点移位法例如，如，例如，可以先约分，7/8÷2/3=7/8×3/2=21/1624/36÷4/9245÷10=

24.5245÷100=

2.45这种方法避免了复杂的分数除法过，然后这种方法特别适用于需要快速计算24/36=2/32/3÷4/9=2/3程，直接利用分数乘法来求解的场景对于除以、等数，×9/4=18/12=3/

20.

10.01可以转化为乘以、10100小组活动除法闪卡闪卡准备游戏规则变式玩法每组学生准备一套除法闪卡，卡片正面学生两两一组，轮流向对方出示闪卡，为增加趣味性，可以采用多种变式计写除法算式，背面写答案算式应涵盖对方需在限定时间内（如秒）给出答时赛（看谁在规定时间内答对最多题）10各种有理数除法情况，包括整数、分数案答对得一分，答错则由出题方解释、接力赛（小组内成员轮流回答）、淘、小数的除法，以及涉及零的特殊情况正确答案每轮后交换角色，进行多轮汰赛（答错即淘汰）等教师可根据班确保卡片内容多样化，难度适中比赛，最终以得分高低决定胜负级情况灵活调整游戏规则，确保所有学生都能积极参与乘除混合运算括号运算最先计算1乘除运算2从左到右计算加减运算3最后计算有理数的混合运算遵循一定的运算顺序首先计算括号内的表达式，然后从左到右依次计算乘除运算，最后从左到右计算加减运算这个顺序规则确保了计算结果的唯一性和正确性括号在混合运算中起着重要作用，它可以改变正常的运算顺序，使括号内的运算优先进行例如，在表达式中，先计算，再计算3+2×42×4=8；而在表达式中，先计算，再计算3+8=113+2×43+2=55×4=20理解并正确应用运算顺序规则是进行复杂运算的基础在解题过程中，建议按步骤清晰地写出每一步的计算，避免遗漏或错误对于复杂的表达式，可以在草稿纸上先梳理运算顺序，然后有条理地进行计算混合运算例题1题目分析1计算这是一个包含乘法、除法和加法的混合-2×3+-4÷2运算根据运算顺序规则，应先计算乘除运算，再计算加减运算计算过程2第一步从左到右计算乘除运算，第-2×3=-6-4÷2=-2二步计算加减运算-6+-2=-8结果验证3可以通过代入原式再次计算来验证结果-2×3+-4÷2=-6+也可以采用不同的计算顺序，但必须遵循运算法则，最-2=-8终结果应该一致混合运算例题2题目分析计算这是一个包含括号的混合运算根据-3×[4+-2×5]运算顺序规则，应先计算括号内的表达式，再进行外部运算括号内也包含了乘法和加法，需按运算顺序进行计算括号内计算首先计算括号内的表达式在这个表达式中，先4+-2×5计算乘法，再计算加法因此，-2×5=-104+-10=-6括号内的结果为-6最终结果将括号内的结果代入原式这是一个同号相乘的情况-3×-6，结果为正数因此，原式的最终结果是-3×-6=1818混合运算例题3题目分析计算这是一个包含括号、乘法、减法和除法的复杂混合运算需要按照运算顺11/2×4-3÷-1/4序进行逐步计算括号内计算首先计算括号内的表达式先计算乘法，再计算减法21/2×4-31/2×4=2因此，括号内的结果为2-3=-1-1最终结果将括号内的结果代入原式这是一个分数除法-1÷-1/43，可转化为乘以倒数因此，原式的最终结-1×-4=4果是4练习简化表达式以下是对表中各表达式的计算过程

1.-2×3-5=-2×-2=4（先计算括号内3-5=-2，再与-2相乘，同号得正）

2.1/2÷-1/4=1/2×-4=-2（将除法转化为乘以倒数，-1/4的倒数是-4，1/2×-4=-2）

3.-3×4+6÷-2=-12+-3=-15（先从左到右计算乘除-3×4=-12，6÷-2=-3，再计算加法）

4.-5×2/5-1=-5×-3/5=3（先计算括号内2/5-1=2/5-5/5=-3/5，再与-5相乘，得3）分数形式的有理数乘除分数乘法分数除法两个分数相乘，分子相乘得到新分数除法可转化为乘以除数的倒分子，分母相乘得到新分母即数即a/b÷c/d=a/b×（其（其中a/b×c/d=a×c/b×d d/c=a×d/b×c b≠0,中）例如，）例如，b≠0,d≠02/3×c≠0,d≠03/4÷计4/5=2×4/3×5=8/152/5=3/4×5/2=算后应检查是否可以约分3×5/4×2=15/8混合运算技巧在分数的混合运算中，可以先将混合数转化为假分数，然后按运算顺序计算可以利用约分简化计算，如找出分子和分母的公因数进行约分对于多步运算，可以推迟约分，只在最终结果中进行小数形式的有理数乘除小数乘法小数除法循环小数计算小数乘法时，先按整数乘法规则计小数除法可以转化为整数除法方法是有些小数除法的结果是循环小数，即某算，不考虑小数点；然后根据因数的小将除数和被除数同时乘以相同的的些数字按一定规律无限重复例如，101数位数之和，在积中从右向左数出相应幂，使除数变成整数，然后进行整数除，可表示为在实际÷3=

0.

333...

0.3̅的位数，点上小数点例如，法例如，也计算中，通常取适当的位数进行四舍五

1.5×

0.

21.5÷

0.3=15÷3=5中，因数共有位小数，所以积可以直接使用竖式除法，注意小数点的入例如，可以将近似为1+1=21÷

30.33应有位小数，即对齐或

3.

020.

300.333科学记数法中的乘除科学记数法的基本形式科学记数法的乘法科学记数法的除法科学记数法表示形式为，其中两个以科学记数法表示的数相乘时，底两个以科学记数法表示的数相除时，底a×10^n，是整数例如，数相乘，指数相加即数相除，指数相减即1≤|a|10n3000a×10^m×b a×10^m÷b可表示为，可表示为例如，例如，3×10^

30.0045×10^n=a×b×10^m+n×10^n=a÷b×10^m-n科学记数法特别适合表示

4.5×10^-32×10^3×3×10^-2=2×3×8×10^5÷4×10^2=8÷4×很大或很小的数10^3+-2=6×10^1=6×10=6010^5-2=2×10^3=2000乘除运算中的估算估算的意义估算的基本方法常用估算技巧估算是获得近似结果的估算通常通过舍入法进乘以接近的整数倍10快速计算方法在不需行，即将复杂数字舍入的数如可估98×5要精确答案或需要验证为易于计算的数字（如算为，100×5=500计算结果合理性时，估整

十、整百等）例如然后减去，2×5=10算非常有用例如，购，估算时得除法估算如

19.7×

10.2490物时快速计算总价，或，可将约为，可估算为

19.72078÷480÷4检查计算器结果是否有将约为，得到对于分数，可估

10.210=20明显错误估计值算为熟悉的分数，如20×10=200，接近真实结果接近3/81/

3200.94实际应用比例问题正比例关系两个量成正比例，是指一个量的变化与另一个量的变化成比例增减表达比例的概念2式为y=kx（k为比例系数）例如，工作效率相同时，工作时间与完成比例是表示两个量之间关系的方式，工作量成正比例形如或比例问题涉及的关1a:b a/b系可用有理数乘除来处理例如，如反比例关系果个苹果花费元，那么个苹果365两个量成反比例，是指一个量的变化花费元6÷3×5=10与另一个量的变化的乘积为常数表3达式为xy=k例如，速度与完成同一路程所用的时间成反比例，速度增加一倍，时间减少为原来的一半实际应用速度问题速度公式速度问题实例平均速度计算速度、时间和距离之间的关系可以用公例如，一辆汽车以千米小时的速度当速度不均匀时，可以计算平均速度60/式（速度等于距离除以时间）行驶了小时，行驶的距离是平均速度总距离总时间例如，上v=s÷t

2.5s=v×=÷表示这个公式可以变形为（千米如果需要行驶午以千米小时的速度行驶小时，s=v×t t=60×

2.5=15040/2距离等于速度乘以时间）和（千米，以千米小时的速度需要下午以千米小时的速度行驶小时t=s÷v24080/60/3时间等于距离除以速度）这些公式涉时间小时，则平均速度t=s÷v=240÷80=3=40×2+60×3÷2+3及有理数的乘除运算千米=80+180÷5=260÷5=52/小时实际应用浓度问题浓度的定义溶液混合溶液稀释浓度表示溶质在溶液中的含量，通常用当两种不同浓度的溶液混合时，混合后稀释是指向溶液中加入溶剂，使浓度降百分数表示例如，的盐水表示的浓度可以通过计算溶质质量与溶液总低稀释后的浓度可以通过计算原溶质5%100克溶液中含有克盐浓度问题的计算质量的比值得到例如，将克质量与稀释后溶液总质量的比值得到520010%经常涉及有理数的乘除运算的盐水与克的盐水混合，混合例如，向克的糖水中加入3005%20015%100后的浓度为克水，稀释后的浓度为200×10%+300×5%÷200×15%÷200+300=20+15÷500=35÷500200+100=30÷300=10%=7%错误分析常见错误类型符号错误1在有理数乘除中，最常见的错误是符号判断错误例如，误认为负数与负数相乘得负数，或正数除以负数得正数这类错误可以通过反复练习同号得正，异号得负的规则来避免运算顺序错误2在混合运算中，常见的错误是不遵循正确的运算顺序例如，在中，应先-3×4+2计算，再加得，而不是先计算，再乘以得-3×4=-122-104+2=6-3-18零的乘除错误3关于零的运算常出现错误，尤其是混淆了0÷a=0（a≠0）和a÷0无意义（a≠0）的区别还有误认为的错误，正确的是0×a=a0×a=0计算疏忽4在进行具体计算时，由于疏忽导致的错误也很常见，如小数点位置错误、约分错误等解决方法是养成仔细检查的习惯，对重要结果进行验算纠错练习1错误计算错误原因正确结果符号错误，同号得正-2×-3=-6-2×-3=6符号错误，异号得负4÷-2=24÷-2=-2零乘法错误，任何数乘零等于零-5×0=-5-5×0=0零除零无意义无意义0÷0=00÷0运算顺序错误-3×4+2=-18-3×4+2=-10纠错练习是巩固知识、避免常见错误的有效方法通过分析错误原因，可以更深入地理解有理数乘除的规则和运算顺序例如，在第一个例子中，错误地认为两个负数相乘得负数，忘记了同号得正的规则在第五个例子中，错误地先计算了，再乘以得，而正确的顺序应先计算4+2=6-3-18-3，再加得×4=-122-10纠错练习2分数运算错误小数点错误括号错误错误错误错误原因小数点错误2/3÷1/4=2/3×1/4=2/12=

2.5×

0.4=1-2×3+4=-2×3+4=-6+4=错误原因除以一个分数等于乘以位置放错，未考虑小数位数正确计算错误原因未正确处理括号，括号内1/6-2它的倒数，但这里错误地直接乘以了除，有两位小数，即应当先计算整体，然后再与括号外的数

2.5×

0.4=

1.

01.00数，而不是除数的倒数正确计算，可以简写为乘法中，积的小数位数运算正确计算1-2×3+4=-2×7=应等于两个因数的小数位数之和，即2/3÷1/4=2/3×4/1=8/3-14位1+1=2综合练习1基础计算计算下列各题；；1-3×

422.5÷-

0.53-2/3×-；这些题目涵盖了整数、小数和分数的乘除运3/440÷-5算，以及涉及零的特殊情况混合运算计算下列各题；；1-2×3+52-6÷2-433×[-2+；这些题目综合了加减乘除和括号运算4]48-10÷-

0.5，要求正确应用运算顺序规则应用题解答下列问题某商品标价元，现打折，应付多少元1808？一辆汽车以千米小时的速度行驶小时，行驶了多260/

2.5少千米？将克的盐水与克的盐水混合，33005%20010%混合后的浓度是多少？综合练习2符号判断题判断以下各题结果的正负1-7×-3；28÷-2；3-5×2×-3；4-

1.2÷

0.3；5-2/5×-3/7分数运算题计算以下各题12/3×-3/4；2-5/6÷2/3；33/4×-8/9÷-2/3；4[1/2×-2/3]÷3/4小数运算题计算以下各题

11.5×-

0.2；2-

0.8÷

0.4；3-

2.5×

0.6÷-

0.3；

40.25×[-

0.4÷

0.2]应用题1某人每小时能加工10个零件，加工一批零件用了

3.5小时，如果工作效率降低30%，再加工同样数量的零件需要多少小时？2一桶油重80千克，第一天用去

0.3桶，第二天用去剩下的

0.25桶，两天共用去多少千克油？综合练习3创新应用解决复杂实际问题1灵活运用2处理多步骤混合运算综合理解3熟练掌握基本规则基础题计算；比较与的大小；计算并化简1-12÷4×-32-

2.5×-

0.4-

2.5÷

0.43-3/4×8/3提高题计算；如果，计算；计算1[-

1.5×2+4]÷-

0.52a=-2,b=3,c=-4a×b-c÷a+b32/3-1×[-4/5÷2/7]挑战题商店降价销售某商品，第一次降价，销售一段时间后，又在新价格的基础上降价如果原价是元，现在的价格是多120%15%100少元？比原价便宜了百分之几？甲、乙两车同时从、两地相向而行，已知两地相距千米，甲车速度是千米小时，乙车速2A BAB30060/度是千米小时问两车相遇时，甲车已行驶了多少千米？40/挑战题1问题描述1某商店进行降价促销活动，第一天将某商品的价格降低了，销20%售效果不佳第二天又在第一天的基础上再降低如果现在的30%分析思路价格是元，求原价是多少元？2112设原价为元第一天降价后，价格为x20%x×1-20%=x×元第二天在此基础上再降，价格为

0.830%x×

0.8×1-30%=求解过程3元根据题意，x×

0.8×

0.7=x×

0.56x×

0.56=112解方程，得因此，原价是x×

0.56=112x=112÷

0.56=200元验算元，符合题意200200×

0.8×

0.7=200×

0.56=112挑战题2进一步求解求解过程由，得

1.8x·t=540x·t=分析思路由x·t+

0.8x·t=540，得540÷

1.8=300所以x=问题描述设甲的速度为x千米/小时，

1.8x·t=540又因为甲走了300÷t又因为x·t=360，甲、乙两地相距540千米则乙的速度为x×4/5=360千米，所以x·t=360所以300÷t×t=360，得t甲、乙两人分别从两地同时出

0.8x千米/小时两人相遇点代入得

1.8×360=540，验=360÷300=

1.2小时因发相向而行甲的速度是乙的在起点的2/3处，即距离甲证成立因此，甲的速度为x此，甲的速度为x=360÷5/4倍，两人同时到达起点的地540×2/3=360千米=360÷t，乙的速度为

0.8x

1.2=300千米/小时，乙的速2/3处相遇求甲、乙的速度设两人相遇时间为t小时，则=

0.8×360÷t度为

0.8x=

0.8×300=240分别是多少千米/小时？有甲走的距离+乙走的距千米小时/离总距离，即=x·t+

0.8x·t=540小组讨论生活中的乘除应用将全班分为若干小组，每组讨论并列举生活中涉及有理数乘除的实例可以包括购物计算（如打折、汇率换算）、烹饪（如配料比例调整）、时间规划（如速度与时间的关系）、金融（如利息计算）等方面的例子每组选出代表，向全班介绍他们讨论的例子，并展示如何运用有理数乘除知识解决实际问题教师鼓励学生思考是否有更简便的解决方法？有没有可能出现的陷阱或易错点？这些知识如何帮助我们做出更明智的决策？讨论完成后，教师总结有理数乘除在日常生活中的广泛应用，强调数学不仅是抽象的学科，更是解决实际问题的有力工具通过这种方式，帮助学生建立起数学知识与现实生活的联系，提高学习兴趣和应用能力有理数乘除在代数中的应用代数式的化简代数式的展开解方程有理数乘除运算在代数式的化简中发挥在代数式的展开中，需要运用分配律和解方程时，常需要进行有理数乘除运算重要作用例如，化简时，有理数乘法例如，展开时例如，解时，两边除以，-2a×3b-32x-4y-2x=6-2先计算系数，得到又，需计算和，得到得到又如，解时，-2×3=-6-6ab-3×2x-3×-4y-x=-3x/-3=-4如，化简时，先计算系类似地，展开两边乘以，得到在这些过程-4xy÷-2x6x+12y-23a-5b+-3x=12数，得到在这些过时，得到中，正确理解有理数除法的符号规则非-4÷-2=22y c-6a+10b-2c程中，正确应用有理数乘除法则至关重常重要要方程中的有理数乘除等式的性质移项法则12在解方程时，利用等式两边方程的移项实质是加减运算，同乘或同除以一个非零数，等但常与乘除结合使用例如，式仍然成立的性质这一过解时，先减去-2x+5=115程涉及有理数的乘除运算例，得，再除以，得-2x=6-2如，解时，两边同除移项时需要注意符号-3x=9x=-3以，得注意同除以变化，相当于等式两边同时加-3x=-3负数时，不等号方向需要改变上或减去同一个数综合应用3在复杂方程中，需要综合运用各种运算例如，解32x-4=-5x+7时，先展开左侧得，再将含的项移到左侧得6x-12=-5x+7x6x+，计算得，最后得5x=7+1211x=19x=19/11知识点总结乘法+-同号相乘异号相乘正数乘以正数得正数，负数乘以负数得正数正数乘以负数得负数，负数乘以正数得负数0↔零的乘法乘法交换律任何数乘以零都等于零a×b=b×a有理数乘法的符号规则是同号得正，异号得负这可以总结为两数符号相同，积为正；两数符号不同，积为负特别注意零与任何数相乘，积都是零有理数乘法满足交换律、结合律和分配律交换律；结合律；分配律这些性质使得复a×b=b×a a×b×c=a×b×c a×b+c=a×b+a×c杂运算可以灵活处理在实际计算中，先根据符号判断结果的正负，再计算绝对值的乘积，最后确定最终结果对于分数乘法，分子相乘得到新分子，分母相乘得到新分母对于小数乘法，按整数乘法规则计算后，确定小数点位置知识点总结除法零的除法零除以任何非零数都等于零0÷a=0，；任何非零数除以零是没有意a≠0义的无意义，；零除以零2a÷0a≠0符号规则也是没有意义的无意义理解0÷0零的除法规则对避免计算错误至关重除法的符号规则与乘法相同同号相要除得正数，异号相除得负数这可以1理解为正数除以正数得正数；负数倒数与除法除以负数得正数；正数除以负数得负数；负数除以正数得负数除法可以看作是乘以倒数，即a÷b=（其中）这一性质在处3a×1/b b≠0理分数除法时特别有用例如，2/3÷4/5=2/3×5/4=2×5/3×4=10/12=5/6知识点总结混合运算运算顺序括号的作用简化策略有理数的混合运算遵循括号在混合运算中用来在复杂运算中，可以利以下顺序第一步，计改变正常的运算顺序，用运算律简化计算例算括号内的表达式；第使括号内的运算优先进如，利用分配律，将5二步，从左到右依次计行例如，转化为3+2×4=×995×100-算乘除运算；第三步，，而利3+8=113+21=500-5=495从左到右计算加减运算多层用乘法交换律和结合律×4=5×4=20这个顺序确保了计算括号时，从内到外逐层，可以调整计算顺序，结果的唯一性计算选择简便的计算路径复习游戏乘除大富翁乘除大富翁是一款结合棋盘游戏和数学练习的教育游戏游戏板上有起点、终点和中间的各种关卡，每个关卡包含不同类型和难度的有理数乘除题目学生通过掷骰子决定前进步数，到达某个格子后必须回答相应的数学问题游戏设置多种类型的格子基础题格（简单的乘除运算）、挑战题格（复杂的混合运算）、机会格（可能获得奖励或惩罚）、竞赛格（与其他玩家比赛解题）答对题目可以获得游戏币或特权卡，如再掷一次骰子、跳过一个困难格子等答错则可能被罚退后或失去回合这种游戏化的学习方式能够激发学生的学习兴趣，减轻学习压力，同时有效地巩固有理数乘除的知识点通过竞争与合作，学生在轻松愉快的氛围中提高计算能力和应用能力单元测试准备复习知识点系统复习有理数乘除的基本概念和法则，包括乘法法则、除法法则、零的乘除、运算顺序等可以制作知识点卡片或思维导图，梳理各知识点之间的联系，形成完整的知识体系强化基础题反复练习基础计算题，确保熟练掌握有理数乘除的基本运算重点关注符号判断、分数运算、小数运算等易错点可以设定时间限制，提高计算速度和准确性挑战综合题尝试解决包含多步骤和多种运算的综合题，提高灵活运用知识的能力分析历年试题，熟悉出题方向和难度，总结解题技巧和方法对于应用题，要注意理解题意，正确建立数学模型模拟测试进行全真模拟测试，检验学习成果，找出薄弱环节要模拟真实考试环境和时间限制，训练考试状态和时间管理能力测试后认真分析错题，查找原因，及时弥补不足常见题型分析基础计算题这类题目直接考查有理数乘除的基本运算，如计算，等解题关键是正确应用有理-

2.5×4-15÷-3数乘除的符号规则，准确进行计算常见易错点包括符号判断错误、小数点位置错误等综合运算题这类题目综合考查多种运算，如计算，等解题关键是正确掌握运算顺-2×3+5÷-1-3×[4+-2]÷6序，按步骤清晰地进行计算常见易错点包括运算顺序错误、符号转换错误等实际应用题这类题目要求将有理数乘除应用到实际问题中，如利润、速度、浓度等问题解题关键是准确理解题意，建立正确的数学模型，然后进行相应的计算常见易错点包括模型建立错误、单位换算错误等推理证明题这类题目要求对有理数乘除的性质进行推理或证明，如证明某些代数式的恒等关系解题关键是灵活运用有理数乘除的性质和法则，按照严谨的逻辑推导常见易错点包括证明路径选择不当、逻辑错误等学习方法与技巧多做练习构建知识体系错题集分析有理数乘除需要通过大量练习将有理数乘除的知识点整理成建立个人错题集，对做错的题来熟练掌握可以每天安排固思维导图或知识框架，理清各目进行分析，找出错误原因，定时间进行计算练习，从简单概念之间的联系例如，可以归纳易错点对于同类型的错题目开始，逐渐增加难度练将乘法、除法、零的特殊情况误，要进行专项训练，直到完习中应注意总结规律，发现自、运算律等分类整理，形成系全掌握定期复习错题集，防己的薄弱环节，有针对性地强统的知识网络，有助于全面理止同样的错误再次出现化训练解和记忆生活中应用尝试在日常生活中发现和应用有理数乘除，如购物计算、时间规划等将抽象的数学知识与具体的生活情境结合，不仅能加深理解，还能提高学习兴趣和应用能力课程回顾与展望能力提升通过本课程的学习，应该能够准确判断乘除运算结果的符号；熟练进行各种形式有理数的乘除计算；正确处知识回顾2理含括号的混合运算；灵活运用运算律简化计算；解决实际生活中的应用本课程系统学习了有理数乘除的基本问题概念、运算规则和应用方法主要内1容包括乘法的符号规则和计算方法未来展望；除法的符号规则和计算方法；零的特殊情况；乘法运算律；混合运算的有理数乘除是学习代数、方程、几何顺序；各种实际应用等等后续数学内容的基础掌握这一知3识点后，将为学习一元一次方程、分式方程、比例方程等奠定基础同时，这些计算能力在物理、化学等学科中也有广泛应用。