材料力学教学课件

材料力学课程介绍欢迎来到材料力学课程！本课程是工程类专业的一门重要基础课，旨在帮助学生理解和掌握材料在外力作用下的力学行为通过本课程的学习，您将能够分析各种工程结构中的应力、应变和变形，为后续专业课程打下坚实基础材料力学结合了理论分析与实际应用，涉及到许多工程领域，如土木工程、机械工程、航空航天工程等它是连接理论与实践的重要桥梁，对于培养学生的工程思维和解决复杂工程问题的能力具有重要意义本课程将系统讲解从基本概念到复杂应用的全过程，包括轴向拉伸和压缩、扭转、弯曲、组合变形等内容，帮助学生建立完整的材料力学知识体系课程目标与要求知识目标能力目标12掌握材料力学的基本概念、基培养学生的力学分析能力和工本理论和基本方法，能够运用程应用能力，能够针对实际工所学知识分析和解决工程中的程问题建立力学模型，进行理简单力学问题理解应力、应论分析和计算提高学生的抽变、变形等核心概念，掌握各象思维能力和空间想象能力，种变形的计算方法和强度理论培养严谨的科学态度素质目标3培养学生的创新精神和团队协作能力，提高解决复杂工程问题的综合素质通过力学分析培养学生的逻辑思维能力和批判性思维，为后续专业课程学习奠定基础教材与参考资料主要教材参考书目网络资源《材料力学》（第六版《材料力学》，孙训方中国大学MOOC平台），刘鸿文主编，高等主编，高等教育出版社上的材料力学课程视频教育出版社本教材内；《材料力学教程》，；学校图书馆电子资源容全面，体系完整，例范钦珊主编，高等教育；材料力学在线计算软题丰富，是国内材料力出版社；《材料力学学件和仿真平台；国内外学教学的经典教材，被习指导》，王卫军主编知名院校的开放课程资全国多所高校采用，清华大学出版社源第一章绪论力学体系研究内容材料力学是力学体系中的重要分支，与理论12材料力学主要研究工程构件在外力作用下的力学、弹性力学等学科紧密相连它是工程内力分布、应力状态、变形特征和强度条件力学的基础，为各种工程结构设计提供理论，为工程设计提供依据支持发展历史应用领域材料力学的发展历史可追溯到17世纪伽利略材料力学广泛应用于机械、土木、航空航天的工作，后经牛顿、胡克、欧拉等科学家的

43、能源等工程领域，是进行工程结构分析和贡献而逐渐完善形成设计的基本工具材料力学的研究对象变形体材料力学研究的主要对象是可变形体，即在外力作用下会产生变形的物体这些物体通常是工程中使用的各种材料制成的构件和结构内力分析研究变形体内部的内力分布规律，包括正力、剪力、弯矩和扭矩等通过内力分析，可以确定构件中的危险截面和危险点变形特征分析构件在各种载荷作用下的变形特征，如轴向变形、弯曲变形和扭转变形等变形分析是评估构件刚度的重要依据强度评估根据构件的应力状态和材料的强度特性，评估构件的安全性和可靠性，确保工程结构在使用过程中不会因强度不足而失效材料力学的基本假设材料均匀性假设假设材料在宏观上是均匀的，即材料的物理和力学性质在各点相同，不考虑材料微观结构的不均匀性这种假设简化了分析过程，使得我们可以使用连续介质力学的方法进行分析材料连续性假设假设材料是连续分布的，没有空隙或裂缝这意味着我们可以将材料视为连续介质，应用微分和积分等数学工具进行分析，而不必考虑分子或原子尺度的不连续性材料各向同性假设假设材料的力学性质在各个方向上相同，即不存在方向性这种假设适用于许多常见的工程材料，如普通钢材和铸铁等，但对于复合材料和单晶材料可能不适用小变形假设假设构件的变形很小，变形前后构件的几何尺寸和形状变化不大，可以忽略变形对内力分布的影响这使得我们可以基于原始几何形状进行分析，简化了计算过程材料力学与其他学科的关系理论力学1理论力学为材料力学提供了刚体平衡条件和运动规律等基础知识材料力学在研究变形体时，仍然需要应用理论力学中的平衡方程和运动方程等基本原理弹性力学2弹性力学是材料力学的理论基础，研究弹性体的应力、应变和变形等问题材料力学可以看作是适用于工程应用的简化弹性力学，更注重实际问题的解决工程材料学3工程材料学研究材料的成分、结构和性能，为材料力学提供材料参数材料力学则利用这些参数进行力学分析，指导材料的合理选择和使用结构力学4结构力学研究由杆、梁、板、壳等基本构件组成的复杂结构的受力和变形问题材料力学为结构力学提供了基本构件的力学分析方法和强度理论第二章轴向拉伸和压缩受力特点1轴向拉伸和压缩是最基本的变形形式，构件的轴线方向受到拉力或压力的作用，截面上产生法向应力内力分析通过截面法可确定构件截面上的轴力，并据此计算应力分布轴力图是分析轴向拉伸和压缩问题的重要工2具应力计算在轴向拉伸和压缩中，截面上的应力分布通常假设为均匀分布，可通过轴力除以截面面3积计算得到变形计算根据胡克定律和变形协调条件，可以计算构件在轴向载荷作用下的变4形量，为工程设计提供依据轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸轴向压缩变形特征当构件两端受到沿轴线方向相反的拉力当构件两端受到沿轴线方向相向的压力在轴向拉伸和压缩中，构件产生轴向变作用时，构件处于轴向拉伸状态此时作用时，构件处于轴向压缩状态此时形和横向变形轴向变形与载荷方向相构件各截面上产生拉应力，长度增加，构件各截面上产生压应力，长度减小，同，横向变形与载荷方向垂直，两者之横向尺寸减小轴向拉伸是工程中最常横向尺寸增加轴向压缩的典型例子有间的比例由泊松比决定这种变形特征见的受力形式之一，如悬挂的缆索、拉柱子、支撑等构件是进行变形计算的基础杆等内力、截面法与轴力截面法原理轴力定义内力确定截面法是确定构件内力的基本方法通过轴力是截面上内力的法向分量，表示为N确定轴力的步骤选取截面→假想切开构将构件沿特定截面假想地切开，并利用平或F轴力的方向与截面法线方向一致（件→隔离其中一部分→建立平衡方程→求衡条件分析截面上的内力截面法基于牛拉力为正，压力为负）轴力是分析轴向解内力在复杂构件中，可能需要结合几顿第三定律和静力平衡原理，是材料力学拉伸和压缩问题的核心参数，直接关系到何关系和变形协调条件进行分析中最基础的分析工具应力计算轴力图的绘制方法确定构件的受力情况明确构件的外力作用（包括集中力、分布力、自重等）和约束条件，必要时先求解支座反力绘制构件的受力图，标明各外力的大小、方向和作用位置分段分析根据外力的分布情况，将构件分成若干段每一段内的轴力函数应为连续函数通常在集中力作用点、分布力起止点或截面突变处进行分段截面法求轴力对每一段使用截面法，假想地沿任意截面切开构件，对其中一部分建立平衡方程，求解轴力表达式可能需要建立坐标轴，定义轴力的正负号约定绘制轴力图以构件的轴线为横坐标，以轴力值为纵坐标，绘制轴力图注意标明轴力的符号（通常拉力为正，压力为负）和数值轴力图可以直观地反映构件各部位的受力情况应力的定义与计算应力的物理含义应力的分类应力是衡量材料内部抵抗外力作用的强根据作用方向，应力分为正应力（垂直度，表示单位面积上的内力大小它反1于截面）和切应力（平行于截面）在映了材料内部的受力状态，是材料力学2轴向拉伸和压缩中，主要研究正应力中最基本的概念之一应力单位应力计算国际单位制中，应力的单位是帕斯正应力，其中为轴力，为截SIσ=N/A NA4卡Pa，即N/m²工程中常用MPa面面积在横截面均匀的情况下，应力3兆帕，1MPa=10⁶Pa在一些场合也分布也是均匀的对于变截面构件，应使用kg/cm²或N/mm²力在不同位置有所不同拉压杆的应力分析杆件类型应力特点计算公式注意事项等截面杆应力均匀分布σ=N/A计算简单直接变截面杆不同截面应力不同σ=N/Ax需确定危险截面复合杆不同材料应力不同σᵢ=N·Eᵢ/∑EⱼAⱼ需考虑弹性模量含孔杆件孔边应力集中σ_max=α·σ_nom需考虑应力集中系数自重受力杆应力随位置变化σx=ρgL-x考虑自重引起的轴力变化在拉压杆的应力分析中，关键是准确确定各截面上的轴力和截面面积对于等截面杆件，应力计算相对简单；对于变截面杆件，需要确定应力最大的危险截面；对于复合杆件，需要考虑不同材料的弹性模量差异；对于含孔或缺口的杆件，需要考虑应力集中效应胡克定律与弹性模量1胡克定律在弹性范围内，材料的应变与应力成正比这一定律由罗伯特·胡克于1676年提出，是材料力学的基本定律之一，为理解材料的弹性行为提供了理论基础E弹性模量弹性模量E是应力与应变的比值，表示材料抵抗弹性变形的能力E值越大，表示材料越刚硬，在相同应力下变形越小钢材的E约为206GPa，铝约为70GPaμ泊松比泊松比μ是材料在轴向拉伸时，横向应变与轴向应变的绝对值比它反映了材料在一个方向受力时在垂直方向上的变形特性大多数金属的泊松比约为

0.25-

0.35σε=E数学表达式胡克定律的数学表达式为σ=Eε，其中σ为正应力，ε为轴向应变，E为弹性模量这一简洁的公式是进行弹性变形计算的基础拉压杆的变形计算变形协调方程确保构件各部分变形连续和协调1分段计算法2将复杂构件分成简单段，分别计算后汇总叠加原理3多种载荷作用下的总变形等于各载荷单独作用时变形之和能量方法4基于应变能原理计算复杂构件的变形基本变形公式5均匀截面杆件ΔL=NL/EA拉压杆的变形计算是材料力学中的重要内容，通常采用基本变形公式ΔL=NL/EA进行计算，其中N为轴力，L为杆件长度，E为弹性模量，A为截面面积对于复杂结构，可采用分段计算法，将构件分成若干段，分别计算后求和还可利用变形协调条件和平衡条件，建立方程组求解未知变形或内力材料的力学性能材料的力学性能是指材料在外力作用下表现出的力学行为特性，是进行工程设计和选材的重要依据主要力学性能包括弹性、强度、塑性、硬度、韧性和疲劳性能等这些性能通常通过标准试验获得，如拉伸试验、压缩试验、弯曲试验、扭转试验、硬度试验和疲劳试验等弹性是材料在外力卸载后能恢复原来形状的能力；强度表示材料抵抗破坏的能力；塑性是材料产生永久变形而不破坏的能力；硬度表示材料抵抗局部变形的能力；韧性是材料吸收能量而不破坏的能力；疲劳性能表示材料在循环载荷作用下的抵抗破坏能力低碳钢的应力应变曲线-应变%应力MPa低碳钢的应力-应变曲线具有明显的特征，包括弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段在弹性阶段，应力与应变成正比，符合胡克定律；当应力达到屈服点时，材料进入屈服阶段，此时应变增加但应力几乎不变；随后进入强化阶段，应力随应变增加而增加；最后进入颈缩阶段，应力下降直至断裂通过应力-应变曲线可以确定材料的多种力学性能参数，包括弹性模量、屈服强度、抗拉强度、断裂伸长率等这些参数对于工程设计和材料选择具有重要指导意义强度条件与安全因数强度条件的基本表达式1强度条件是确保构件安全的基本准则，通常表示为σ_max≤[σ]，其中σ_max为构件中的最大应力，[σ]为许用应力这一条件要求构件中的实际最大应力不超过材料的许用应力，以防止构件因强度不足而失效许用应力的确定2许用应力[σ]通常根据材料的强度极限σ_b或屈服强度σ_s，除以安全因数n确定，即[σ]=σ_s/n或[σ]=σ_b/n许用应力的选取需考虑材料特性、载荷性质、使用条件和失效后果等因素安全因数的选取3安全因数n是设计中考虑各种不确定性的重要参数其大小取决于载荷的准确程度、材料性能的稳定性、计算方法的精确度、工作条件的恶劣程度以及失效后果的严重性等因素一般情况下，n值取

1.5-3不同受力状态的强度条件4对于轴向拉伸，强度条件为N/A≤[σ]；对于轴向压缩，需同时考虑强度条件和稳定条件在静定问题中，强度校核相对简单；在超静定问题中，需先求解内力分布，再进行强度校核应力集中现象应力集中的概念应力集中是指构件在几何形状突变处（如孔洞、缺口、截面突变等）的应力值显著高于名义应力的现象这是由于应力流线在这些区域发生扭曲和集中所致，是导致构件失效的常见原因之一应力集中系数应力集中系数α定义为最大应力与名义应力的比值，即α=σ_max/σ_nom它是一个无量纲系数，通常通过理论分析、数值模拟或实验测定获得应力集中系数的大小与几何形状、尺寸比例和载荷类型有关应力集中的影响因素影响应力集中的主要因素包括构件的几何形状（如孔的形状、缺口的尖锐程度）、尺寸比例（如孔径与构件宽度之比）、材料特性（如塑性材料比脆性材料对应力集中不敏感）和载荷类型等减轻应力集中的方法减轻应力集中的常用方法有避免几何形状的突变，采用过渡圆角；在高应力区域增加材料或加强筋；采用合理的结构布置，避开应力集中区域；选用对应力集中不敏感的材料；采用表面强化处理等技术手段第三章扭转扭转的定义应力分布特点变形特征扭转是指构件在一对扭矩作用下绕其纵轴在圆轴扭转时，截面上的切应力随着到轴扭转变形的特征是圆轴上的横截面保持平转动的变形扭转变形在机械传动、轴类心距离的增加而线性增加，最大切应力出面并保持圆形，相邻截面之间发生相对转构件和某些建筑结构中非常常见，是材料现在圆周边缘扭转应力分布的这一特点动圆轴上的任意一点都要绕轴线旋转一力学中的重要研究内容之一是圆轴扭转理论的基础定角度，这个角度与该点到轴线的距离无关扭转变形的基本概念扭转变形的本质扭转角单位长度扭转角扭转变形是指构件绕其纵轴扭曲的变形扭转角是衡量扭转变形程度的参数，定单位长度扭转角定义为单位长度上的扭θφ形式当构件两端受到方向相反的扭矩义为构件两端横截面之间的相对转角转角，φ=θ/L=T/GI_p这个参数反作用时，构件产生扭转变形扭转变形对于均匀截面的圆轴，扭转角与扭矩、映了扭转变形的剧烈程度，是评估构件在传动轴、弹簧以及各种机械部件中非轴长、材料的剪切模量和截面的极惯性扭转刚度的重要指标扭转刚度越高，常常见，是机械设计中必须考虑的重要矩有关，计算公式为θ=TL/GI_p单位长度扭转角越小因素扭矩与扭矩图扭矩的定义扭矩的计算扭矩图的绘制扭矩是使构件产生扭转扭矩的计算同样采用截扭矩图是表示构件各截变形的内力矩，用T表面法将构件沿要分析面扭矩分布的图形绘示它是作用在构件横的截面切开，隔离其中制步骤包括构件分段截面上的力矩，方向沿一部分，列出力矩平衡计算各段扭矩表达式→轴线扭矩的单位是牛方程，求解扭矩对于以构件轴线为横坐标→顿米N·m扭矩是分静定问题，可以直接通，扭矩为纵坐标绘制图析扭转问题的基本内力过平衡条件计算；对于形扭矩图对分析构件参数超静定问题，还需结合的受力状态和设计具有变形协调条件重要指导意义圆轴扭转时的应力分布切应力分布规律最大切应力圆轴扭转时，横截面上的切应力τ与圆轴截面上的最大切应力发生在外到轴心的距离ρ成正比，即τ=圆周上，τ_max=TR/I_p=Tρ/I_p，其中T为扭矩，I_p为截面T/W_p，其中R为圆轴半径，W_p纯剪切状态极惯性矩这意味着切应力从轴心为极截面模量W_p=I_p/R最复杂截面的应力分布向外线性增加，最大值出现在外表大切应力是进行扭转强度设计的关圆轴扭转时，任一点处于纯剪切应对于非圆形截面，应力分布更为复面键参数力状态切应力方向垂直于通过该杂，不再满足线性关系此时最大点的径向线，且沿圆周切线方向切应力通常出现在距轴心最近的外这种应力状态导致构件中产生主应边界点上，且应力集中更为明显，力，方向与轴线成45°角需要采用特殊方法进行分析2314扭转强度条件强度条件表达式1扭转强度条件通常表示为τ_max≤[τ]，其中τ_max为最大切应力，[τ]为许用切应力这一条件要求构件中的实际最大切应力不超过材料的许用切应力值，以确保构件安全可靠许用切应力的确定2许用切应力[τ]通常根据材料的抗剪强度τ_s或抗拉强度σ_b确定对于塑性材料，一般取[τ]=

0.5~

0.6×[σ]；对于脆性材料，一般取[τ]=

0.8~

1.0×[σ]具体取值需考虑材料特性、工作条件和安全要求圆轴的强度设计3根据强度条件τ_max=T/W_p≤[τ]，可以进行三类设计计算校核计算（已知T、W_p，校核τ_max是否满足要求）；设计计算（已知T、[τ]，求所需W_p）；和功能计算（已知W_p、[τ]，求容许的T）各种截面形式的处理4实心圆轴，W_p=πd³/16；空心圆轴，W_p=πd⁴-d₁⁴/16d；薄壁圆管，W_p≈2πr²t针对不同截面形式，应选用相应的极截面模量公式进行计算扭转刚度条件刚度条件的意义扭转刚度条件是确保构件在扭转变形下能正常工作的条件，通常表示为φ≤[φ]或θ≤[θ]，其中φ为单位长度扭转角，θ为总扭转角，[φ]和[θ]分别为其允许值扭转刚度条件在精密机械和传动系统中尤为重要刚度条件表达式单位长度扭转角φ=T/GI_p，总扭转角θ=TL/GI_p其中T为扭矩，G为材料的切变模量（对于钢材，G≈8×10⁴MPa），I_p为截面的极惯性矩，L为轴长刚度条件要求φ≤[φ]和θ≤[θ]允许扭转角的选取允许扭转角的大小取决于构件的工作要求和精度需求对于普通机械，允许单位长度扭转角[φ]一般取

0.5~1°/m；对于精密机械，则取值更小在工程实践中，通常根据经验和规范确定允许值截面形状的影响截面形状通过极惯性矩I_p影响扭转刚度实心圆轴，I_p=πd⁴/32；空心圆轴，I_p=πd⁴-d₁⁴/32在相同材料和外形尺寸条件下，空心圆轴的重量较轻，但扭转刚度略低于实心圆轴薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒是一种常见的轻量化结构形式，广泛应用于传动轴、飞机结构和压力容器等领域与实心圆轴相比，薄壁圆筒在相同质量条件下具有更高的扭转刚度，这是因为材料分布在远离中性轴的位置，使得极惯性矩增大薄壁圆筒扭转时，切应力近似均匀分布于管壁厚度上，可以用公式τ=T/2πr²t计算，其中r为中线半径，t为壁厚扭转角可以用公式θ=TL/GI_p计算，其中I_p≈2πr³t当壁厚很小时t《r，这些近似公式的精度很高第四章弯曲应力弯曲变形的本质1弯曲变形是指构件在横向载荷作用下产生的弯曲变形弯曲是工程结构中最常见的变形形式之一，如梁、板等构件都可能受到弯曲弯曲变形使构件的轴线由直线变为曲线纯弯曲与非纯弯曲2纯弯曲是指构件只受弯矩作用，截面上只有弯矩而无剪力；非纯弯曲是指截面上同时存在弯矩和剪力纯弯曲是理想情况，而大多数实际弯曲问题属于非纯弯曲正应力分布规律3在弯曲变形中，横截面上产生的正应力与到中性轴的距离成正比，中性轴上的正应力为零这种分布规律是弯曲理论的基础，使我们能够准确计算弯曲构件中的应力弯曲强度设计4弯曲构件的强度设计基于最大正应力不超过许用应力的原则通过合理选择截面形状和尺寸，确保构件能够安全承受弯曲载荷，避免因强度不足而导致的结构失效纯弯曲的概念M弯矩的定义弯矩是使构件产生弯曲变形的内力矩，用M表示它是截面上所有内力对中性轴的矩，单位为牛顿米N·m弯矩的方向按右手定则确定，通常以使构件凹向坐标轴正方向的弯矩为正0纯弯曲条件纯弯曲是指构件只承受弯矩而无剪力的弯曲状态这意味着弯矩在构件长度方向上保持恒定在实际中，可以通过在构件两端施加大小相等、方向相反的力偶来实现纯弯曲状态ερ=y/应变分布在纯弯曲中，横截面保持平面且垂直于变形后的轴线截面上的应变ε与到中性轴的距离y成正比，ε=y/ρ，其中ρ为弯曲变形的曲率半径这一结论是弯曲理论的重要基础σ=My/I应力计算根据应变分布和胡克定律，纯弯曲时截面上的正应力σ=My/I，其中M为弯矩，y为到中性轴的距离，I为截面对中性轴的惯性矩应力方向与轴线平行，最大值出现在距中性轴最远的点弯矩与剪力弯矩的物理意义剪力的物理意义弯矩与剪力的关系弯矩是使构件弯曲的内力矩，它反映了构剪力是作用在构件横截面上、垂直于轴线弯矩与剪力之间存在微分关系dM/dx=件横截面上的弯曲程度弯矩越大，弯曲方向的内力，用Q表示它使相邻的横截Q，即剪力是弯矩对坐标的导数，弯矩是变形越显著，产生的正应力也越大在工面产生相对滑移趋势，导致剪应力剪力剪力的积分这一关系对于理解弯曲构件程设计中，弯矩分析是确保构件安全的重的单位是牛顿N在非纯弯曲中，剪力的内力分布规律非常重要，也是绘制弯矩要环节与弯矩同时存在图和剪力图的理论基础弯矩图和剪力图的绘制确定构件的受力情况首先明确构件的几何形状、支撑条件和外力作用（包括集中力、分布力和力矩等）必要时求解支座反力，确保构件处于平衡状态这是绘制弯矩图和剪力图的前提条件建立坐标系统为构件建立适当的坐标系统，通常以构件的一端为原点，沿构件轴线方向建立坐标轴确定正方向约定通常以使构件凹向坐标轴正方向的弯矩为正，以使右侧构件对左侧构件产生上移趋势的剪力为正分段分析内力根据外力作用情况，将构件分成若干段对每一段使用截面法，通过平衡方程求解剪力Qx和弯矩Mx的表达式注意在集中力作用点和分布力变化点处，内力函数可能不连续绘制内力图以构件的轴线为横坐标，以剪力Q和弯矩M为纵坐标，分别绘制剪力图和弯矩图注意标明各段内力的函数表达式、特征点的坐标值和内力的正负符号弯矩图通常是二次曲线段，而剪力图通常是直线段纯弯曲时的正应力分布中性轴上应力为零正应力在中性轴处为零1线性分布规律2正应力与到中性轴的距离成正比最大应力位置3正应力最大值出现在距中性轴最远处应力计算公式4σ=My/I，M为弯矩，y为到中性轴距离，I为惯性矩压弯特征5中性轴上方受压，下方受拉（正弯矩情况下）纯弯曲时，横截面上的正应力分布具有明显的线性特征应力从中性轴向两侧线性增加，在距中性轴最远处达到最大值这种分布规律是基于以下假设平面假设（变形前为平面的截面，变形后仍为平面）、小变形假设和材料遵循胡克定律弯曲强度条件截面模量与惯性矩最大正应力准则截面模量，其中为截面W=I/y_max I弯曲构件的强度条件通常基于最大正应惯性矩，为中性轴到截面最远点y_max力不超过许用应力的原则，即σ_max≤1的距离截面模量反映了截面抵抗弯曲最大正应力可通过公式[σ]σ_max=2的能力，是弯曲强度设计的关键参数计算，其中为截面模量M_max/W W强度设计方法复杂载荷情况弯曲构件的强度设计通常包括三类计算对于复杂载荷情况，如多处集中力或变4校核计算（已知和，校核M Wσ_max分布力，需先绘制弯矩图，确定最大弯3是否满足要求）；设计计算（已知和M矩位置和大小，再进行强度计算对于，求所需）；功能计算（已知[σ]W W多方向弯曲，需考虑弯矩的矢量叠加和，求允许的）[σ]M各种截面的截面模量截面形状截面模量表达式特点与应用矩形截面W=bh²/6计算简单，常用于木梁圆形截面W=πd³/32各向同性，用于轴类构件空心圆截面W=πD⁴-d⁴/32D轻量化，用于管状构件I型截面W≈bh²/6（近似）材料分布合理，用于钢梁T型截面需通过计算确定用于受弯构件，通常与混凝土配合槽型截面需通过计算确定一侧开口，便于连接其他构件截面模量是衡量截面抵抗弯曲能力的重要参数，它直接影响构件的弯曲强度不同形状的截面具有不同的截面模量，在工程设计中，应根据具体要求选择合适的截面形状例如，I型截面在弯曲平面内抗弯能力强，但侧向稳定性较差；箱型截面则具有较好的抗扭能力第五章弯曲变形弯曲变形是指构件在弯曲载荷作用下产生的形状改变，主要表现为轴线的弯曲弯曲变形的分析对于保证结构的刚度和功能要求至关重要例如，机床导轨的挠度过大会影响加工精度，建筑梁的过度挠曲可能导致地面不平或天花板开裂弯曲变形的基本参数包括挠度和转角挠度是指构件轴线上某点沿垂直于原轴线方向的位移；转角是指轴线的切线与原轴线方向的wθ夹角这些参数可以通过求解弯曲变形的微分方程或使用能量方法、叠加法等方法获得梁的挠曲线方程挠曲线的定义挠曲线是表示梁在载荷作用下变形后轴线形状的曲线它描述了梁各点的挠度w与坐标x之间的关系，即w=wx挠曲线的求解是分析梁变形的核心问题弯矩与曲率的关系根据材料力学基本理论，梁的曲率与弯矩成正比，即1/ρ=M/EI，其中ρ为曲率半径，M为弯矩，E为弹性模量，I为截面惯性矩这一关系是导出挠曲线方程的基础挠曲线微分方程在小变形假设下，曲率可近似表示为1/ρ≈d²w/dx²，因此可得挠曲线的微分方程EI·d²w/dx²=Mx或EI·d⁴w/dx⁴=qx（对于分布载荷）这是分析梁变形的基本方程边界条件与求解求解挠曲线微分方程需要结合梁的支承条件确定边界条件常见的边界条件包括固定端w=0,θ=

0、铰支座w=0,M=

0、自由端M=0,Q=0等通过积分微分方程并应用边界条件可以得到挠曲线方程挠度和转角的计算方法微分方程法直接求解挠曲线微分方程EI·d²w/dx²=Mx或EI·d⁴w/dx⁴=qx这种方法理论严谨，适用于各种载荷情况，但计算过程可能较为复杂，尤其是对于分段变化的载荷和变截面梁积分法通过两次积分弯矩方程Mx得到挠曲线方程，即EIw=∫∫Mxdx·dx+C₁x+C₂，其中C₁和C₂为积分常数，需通过边界条件确定这种方法直观明了，是求解简单梁问题的常用方法叠加法基于叠加原理，将复杂载荷分解为几种基本载荷，分别计算各基本载荷产生的挠度和转角，然后叠加获得总的变形这种方法特别适用于多种载荷共同作用的情况图表法利用工程手册中的现成公式和图表直接查得常见梁和载荷情况下的挠度和转角这种方法简便实用，但适用范围有限，只能用于解决标准问题叠加法求解变形叠加原理应用步骤优势与限制叠加原理是指在线性弹将复杂载荷分解为基本叠加法的主要优势是简性范围内，多个载荷共载荷查表或计算各基化计算，特别适用于复→同作用产生的变形等于本载荷产生的变形按杂载荷作用下的变形分→各载荷单独作用产生变照坐标系约定叠加所有析但该方法仅适用于形的代数和这一原理变形得到总变形叠线性弹性范围内的小变→基于线性理论，适用于加时需注意各变形的正形问题，且梁的材料、小变形情况负号，通常以向上为正几何特性和边界条件必须满足线性理论要求不同约束条件下的梁变形约束类型边界条件变形特点典型应用简支梁两端w=0,M=0两端无转角约束，桥梁、简易支撑结中部挠度较大构悬臂梁固定端w=0,θ=0；自由端变形最大，阳台、起重机臂自由端M=0,Q=0挠度和转角均显著固定梁两端w=0,θ=0两端完全约束，挠框架结构中的梁度相对较小连续梁支座处w=0，内部多跨连续，支座处多跨桥梁、楼板连续性条件挠度为零但转角连续悬臂-简支梁混合边界条件变形特点介于悬臂悬挑结构、部分约梁和简支梁之间束构件不同的约束条件会显著影响梁的变形特性和最大挠度位置例如，在均布载荷作用下，简支梁的最大挠度发生在跨中，而悬臂梁的最大挠度发生在自由端固定梁由于两端都有转角约束，其最大挠度大约只有同样条件下简支梁的1/5第六章应力状态分析应力张量基础1应力状态分析是从三维空间角度研究材料内部的应力分布应力是一个二阶张量，用应力张量表示，反映了材料内部点的完整受力状态平面应力与平面应变2工程中常采用平面应力和平面应变简化模型平面应力主要适用于薄板结构；平面应变适用于长直构件，如坝体、隧道等主应力与主方向3任意应力状态都可简化为三个相互垂直的主应力主应力方向上没有切应力，是理解材料失效机制的基础强度理论应用4应力状态分析为复杂应力条件下的强度评估提供基础，与各种强度理论相结合，指导工程设计和分析应力状态的概念应力张量的定义应力分量的物理意义三维应力状态的表示应力状态是指材料内某点周围各个方向应力张量中的分量包括三个正应力完整描述三维应力状态需要6个独立分量上的应力分布情况从数学上讲，应力σx,σy,σz和六个切应力在材料点处任取一个微小立方体，其是一个二阶张量，用3×3矩阵表示在直τxy,τyx,τyz,τzy,τzx,τxz，其中对称六个面上的应力分量完全确定了该点的角坐标系中，应力张量包含9个分量，但的切应力分量相等τxy=τyx等正应力应力状态应力状态的研究是进行强度由于切应力的对称性，实际上只有6个独表示垂直于截面的拉或压应力，切应力分析和失效预测的基础立分量表示平行于截面的剪切应力平面应力状态平面应力的定义平面应力的特点平面应力状态是指σz=τxz=τyz=0的特在平面应力状态下，垂直于板面的应力殊应力状态，即只有σx、σy和为零，应力分量只在板面内的两个方向1τxy=τyx三个非零应力分量这种状存在这种简化使得许多实际工程问题态通常出现在薄板结构中，如飞机蒙皮2可以转化为二维问题进行分析，大大降、薄壁容器等低了计算复杂度应用范围应力元平面应力分析广泛应用于薄壁结构的设平面应力状态常用应力元表示，即一个4计和分析，如飞机机身、船体外壳、压受力的微小矩形元素，其各边上分别作3力容器壁以及各种薄板构件在这些结用着正应力和切应力应力元直观地展构中，厚度方向的尺寸远小于其他两个示了平面应力状态的受力特点，是分析方向平面问题的重要工具主应力与主方向主应力的物理意义在该方向上只有正应力，无切应力1主方向的确定2通过特征方程或莫尔圆确定主方向三维应力状态3存在三个互相垂直的主应力方向平面应力状态4存在两个互相垂直的主应力方向主应力计算公式5σ₁,₂=σₓ+σᵧ/2±√[σₓ-σᵧ²/4+τₓᵧ²]主应力是应力状态分析中的重要概念对于任意应力状态，总能找到三个互相垂直的特殊方向，使得这些方向上只有正应力而无切应力，这些方向称为主方向，相应的正应力称为主应力主应力的意义在于它们代表了材料内部点处最大和最小的正应力值，对于判断材料是否失效具有重要作用最大切应力最大切应力的定义最大切应力方向工程意义最大切应力是指在材料内部点的所有可能最大切应力方向与主应力方向成45°角最大切应力在工程设计中具有重要意义，截面中，切应力取得最大值的截面上的切具体地说，最大切应力作用在与主应力方尤其是对于塑性材料许多材料的屈服或应力值在平面应力状态下，最大切应力向成45°角的截面上这一特性是推导最失效是由切应力引起的，因此最大切应力τmax=σ₁-σ₂/2，其中σ₁和σ₂是大切应力表达式的基础，也是应力状态分理论是常用的强度理论之一，广泛用于金两个主应力析中的重要结论属材料的设计莫尔圆的应用莫尔圆的定义莫尔圆是表示平面应力状态的图形方法，以正应力为横坐标，切应力为纵坐标，在坐标平面上绘制的圆圆上每一点对应一个特1定方向的应力状态莫尔圆的绘制确定圆心Cσa,0，其中σa=σx+σy/2；计算圆半径R=√[σx-σy²/4+τxy²]；以C为中心，R为半径绘制圆2圆上每一点的坐标σ,τ代表特定方向上的应力值主应力确定莫尔圆与横轴的交点对应主应力值σ₁和σ₂主应力方向可通过原始方向和圆上对应点的3角度关系确定最大切应力确定莫尔圆最高点和最低点的纵坐标绝对值即为最大切应力τmax=R最大4切应力方向与主应力方向成角45°第七章强度理论强度理论是判断复杂应力状态下材料是否安全的理论体系，旨在建立等效准则，将复杂应力状态转化为简单应力状态进行评估由于材料在单轴拉伸试验中的强度特性较易获得，强度理论通常将复杂应力状态下的失效条件与单轴拉伸试验的失效条件联系起来不同材料的失效机制各异，因此需要不同的强度理论常见的强度理论包括最大正应力理论、最大切应力理论、最大应变能理论和最大畸变能理论等每种理论都有其适用范围和局限性，工程师应根据材料特性和工作条件选择合适的强度理论进行设计和分析各种强度理论的介绍强度理论基本假设判据表达式适用材料最大正应力理论最大主应力达到强max|σ₁|,|σ₂|脆性材料度极限时失效,|σ₃|≤[σ]最大切应力理论最大切应力达到极σ₁-σ₃/2≤[τ]塑性材料限时失效最大应变能理论单位体积应变能达u=u_cr中等塑性材料到极限时失效最大畸变能理论单位体积畸变能达u_d=u_d,cr塑性材料到极限时失效莫尔理论基于试验数据的经τ=fσ适用范围广验公式各种强度理论都试图回答同一个问题如何判断复杂应力状态下材料是否安全？不同理论基于不同的物理假设，有着各自的优势和局限性在工程实践中，应根据材料类型、载荷特性和工作环境选择合适的强度理论，必要时可采用多种理论进行交叉验证最大正应力理论理论假设判据表达式适用范围及局限性最大正应力理论假设材料的失效是由最对于脆性材料，判据为最大正应力理论主要适用于脆性材料，大主应力引起的，与其他主应力无关max|σ₁|,|σ₂|,|σ₃|≤[σ]或如铸铁、石材、混凝土等，这些材料在当最大主应力达到材料在单轴拉伸试验maxσ₁,-σ₃≤σ_b，其中[σ]或σ_b拉伸下容易断裂该理论的局限性在于中的强度极限时，材料就会失效该理为许用应力或强度极限在三维主应力忽略了其他主应力的影响，不能准确预论最早由兰克Rankine提出，有时也空间中，该理论对应于一个立方体安全测在复杂应力状态下的失效，特别是当称为兰克理论或第一强度理论区域，边界是由σ₁=±[σ]、σ₂=±[σ]存在明显的剪切应力时、₃确定的六个平面σ=±[σ]最大切应力理论理论基础1最大切应力理论假设材料的失效是由最大切应力引起的当最大切应力达到材料在简单拉伸时的最大切应力值时，材料就会发生屈服该理论由库仑Coulomb提出，后经特雷斯卡Tresca发展完善，因此也称为特雷斯卡理论或第二强度理论数学表达式2最大切应力可以用主应力表示τ_max=σ₁-σ₃/2，其中σ₁和σ₃分别是最大和最小主应力强度条件为τ_max≤[τ]或σ₁-σ₃/2≤τ_s，其中τ_s是材料的剪切屈服强度，通常取为拉伸屈服强度的一半，即τ_s=σ_s/2几何解释与应用3在主应力空间中，该理论对应于一个六棱柱安全区域最大切应力理论广泛应用于塑性材料的设计，如金属构件它尤其适合预测金属材料在剪切主导的应力状态下的屈服行为，与实验结果吻合较好局限性4该理论的主要局限在于仅考虑最大和最小主应力，忽略了中间主应力的影响实验表明，中间主应力对材料的屈服行为也有一定影响，特别是在三轴应力状态下最大形变能理论最大形变能理论又称为贝尔特拉米-哈依金Beltrami-Haigh理论，假设材料失效是由单位体积总应变能达到临界值引起的当复杂应力状态下的应变能密度等于简单拉伸试验中屈服点处的应变能密度时，材料开始屈服形变能密度u=1/2E[σ₁²+σ₂²+σ₃²-2μσ₁σ₂+σ₂σ₃+σ₃σ₁]，强度条件为u≤σ_s²/2E该理论在主应力空间中对应一个椭球体安全区域最大形变能理论主要适用于中等塑性材料，但其预测精度不如最大畸变能理论，特别是在存在静水压力成分的情况下第八章组合变形组合变形的定义1组合变形是指构件同时受到多种基本变形形式（如拉伸、压缩、弯曲、扭转等）的共同作用在工程实际中，纯粹的单一变形形式较少，大多数构叠加原理的应用件都处于组合变形状态2在线性弹性范围内，可以应用叠加原理分析组合变形问题即将复杂的变形分解为基本变形形式，分别计算各种变形产生的应力和变形，然后进行应力分析方法3合理的叠加组合变形的应力分析需要考虑各种基本变形产生的应力分量，确定危险点位置，并计算危险点处的应力状态通常需要通过主应力或等效应力进行常见组合变形类型强度评估4工程中常见的组合变形包括拉伸（压缩）与弯曲组合、弯曲与扭转组合、拉伸（压缩）与扭转组合以及三种基本变形的复合情况等拉伸（压缩）与弯曲组合应力叠加原理应力计算公式中性轴位置工程应用在拉伸（压缩）与弯曲的组合变总正应力σ=N/A±My/I，其中在纯弯曲中，中性轴通过截面形拉伸（压缩）与弯曲组合在工程形中，任一点的总应力等于轴向N为轴力，A为截面面积，M为弯心；但在拉伸（压缩）与弯曲组中非常常见，如偏心受力构件、力产生的正应力与弯矩产生的正矩，y为到中性轴的距离，I为截合时，中性轴位置发生偏移新承受横向载荷的拉杆或压杆、预应力的代数和应力分布不再是面惯性矩+适用于与弯曲形成的中性轴位置可通过解方程σ=应力混凝土梁等合理考虑组合关于中性轴对称的，而是整体上同一方向应力的区域，-适用于N/A+My/I=0确定，即y_0=应力对构件设计和安全评估至关移或下移形成相反方向应力的区域-NI/MA重要弯曲与扭转组合受力特点应力分析强度评估弯曲与扭转组合是轴类构件中的常见变形设某点弯曲应力为，扭转切应力为，则根据不同的强度理论，可以计算等效应力στ形式，如传动轴、曲轴等构件的任一点该点的应力状态为平面应力状态，可用应并进行强度评估例如，按最大切应力理同时承受弯曲产生的正应力和扭转产生的力元表示主应力可通过公式σ₁,₂=论，应满足τmax≤[τ]；按最大畸变能理切应力，形成复杂的应力状态σ/2±√σ²/4+τ²计算，最大切应力为论（第四强度理论），应满足σeq=τmax=√σ²/4+τ²√σ²+3τ²≤[σ]偏心拉伸与压缩σe偏心距的影响应力计算偏心拉伸或压缩是指拉力或压力的作用线不通过截面形心的情况偏心距e越大，由偏心产偏心拉伸或压缩可视为轴向力与弯矩的组合，应力计算公式为σ=N/A±Ney/I，其中N为生的附加弯矩M=Ne越大，组合应力分布越不均匀轴力，A为截面面积，e为偏心距，y为到中性轴的距离，I为截面惯性矩₀y k核心区概念临界载荷核心区是截面上的一个区域，当外力作用线落在此区域内时，截面上的应力全为同号（全拉对于偏心压缩，除了要考虑强度条件外，还需检验稳定性偏心压缩的临界载荷低于轴心压或全压）核心区的大小与截面形状有关，对于矩形截面，核心区是以形心为中心、边长为缩，可通过秦斯坦伯格公式或数值方法计算，是设计长细比较大的偏心受压构件的重要参数h/6和b/6的矩形第九章压杆稳定稳定问题的本质压杆稳定是指细长构件在轴向压力作用下可能发生的突然弯曲变形现象这是一种失稳破坏，而非材料强度不足导致的破坏稳定问题的特点是在临界载荷处，构件可能在原有平衡状态和新的平衡状态之间发生分叉欧拉公式欧拉公式是计算理想弹性压杆临界力的基本公式Pcr=π²EI/L²，其中E为弹性模量，I为截面惯性矩，L为计算长度欧拉公式是在小变形、线弹性和理想压杆假设下推导的，适用于细长杆件约束条件的影响压杆的约束条件通过计算长度L影响临界力对于不同的约束条件，计算长度与实际长度的关系不同两端铰支，L=l；一端固定一端自由，L=2l；一端固定一端铰支，L=

0.7l；两端固定，L=

0.5l稳定性校核压杆的稳定性校核通常通过比较实际应力与临界应力来进行稳定系数n=Pcr/P，要求n≥[n]（通常[n]=

1.5~3）对于中等长细比的压杆，还需考虑材料的屈服影响，使用修正的临界应力公式压杆失稳的概念长细比λ临界应力MPa压杆失稳是指在轴向压力作用下，原本直的细长构件突然发生弯曲变形的现象这种失效形式不同于材料的强度破坏，而是一种形状突变，即构件的平衡形态从直线状态转变为弯曲状态失稳时的载荷称为临界载荷或临界力压杆失稳的关键参数是长细比λ，定义为λ=L/i，其中L为计算长度，i为回转半径i=√I/A长细比越大，压杆越容易发生失稳根据长细比的不同，压杆可分为短粗杆λλ₁、中等长细比杆λ₁λλ₂和细长杆λλ₂，对应不同的失效模式和计算方法临界力的计算欧拉公式临界应力适用条件与修正欧拉公式是计算细长压杆临界力的基本临界应力σcr=Pcr/A=π²E/λ²，其欧拉公式适用于理想弹性压杆，且假设公式Pcr=π²EI/L²，其中E为弹性模中λ=L/i是长细比，i=√I/A是截面的材料在失稳时仍处于弹性状态实际上量，I为截面对弯曲中性轴的惯性矩，L回转半径从公式可见，临界应力与长，当长细比较小时，压杆在失稳前可能为压杆的计算长度该公式是通过求解细比的平方成反比，这意味着长细比越已经屈服对于这种情况，需要采用修微分方程d²w/dx²+k²w=0（其中k²大，临界应力越小，压杆越容易失稳正公式，如特策雅金公式、约翰逊公式=P/EI）并应用边界条件得到的或考虑切线模量的修正公式不同约束条件下的临界力约束条件示意图计算长度临界力公式两端铰支基本欧拉杆L=l Pcr=π²EI/l²一端固定一端自悬臂杆L=2l Pcr=由π²EI/4l²一端固定一端铰半固定杆L=

0.7l Pcr=支π²EI/

0.49l²两端固定两端固定杆L=

0.5l Pcr=4π²EI/l²部分约束弹性支撑需计算确定需具体分析压杆的约束条件对其临界力有显著影响不同约束条件下，压杆的变形模式和计算长度不同，导致临界力存在较大差异计算长度是指在计算临界力时应使用的等效长度，它与压杆的实际长度及端部约束条件有关第十章动载荷动载荷的特点冲击载荷动载荷是指随时间变化的载荷，包括冲冲击载荷是短时间内作用的载荷，特点击载荷、交变载荷和瞬态载荷等与静是载荷快速上升和下降冲击作用会导1载荷相比，动载荷作用下的材料强度特致应力波在材料中传播，产生与静载荷性和结构响应更为复杂，需要特殊的分2不同的应力分布冲击系数是描述动态析方法效应的重要参数结构动力响应交变载荷在动载荷作用下，结构的响应不仅取决交变载荷是周期性变化的载荷，导致材4于载荷大小，还与载荷作用方式、结构料中的应力也呈周期变化长期交变载3的质量分布、刚度特性和阻尼特性等因荷作用下，材料可能发生疲劳破坏，即素有关分析时常需考虑动力放大系数使应力远低于静载荷下的强度极限动载荷的基本概念冲击疲劳振动冲击是一种短时间内作疲劳是指材料在长期交振动是结构在动载荷作用的动载荷，通常由物变载荷作用下逐渐损伤用下的周期性运动振体碰撞或爆炸等引起直至破坏的过程即使动特性受结构质量、刚冲击载荷特点是作用时应力水平低于材料的静度和阻尼的影响结构间短、荷载变化率大，态强度极限，反复作用的固有频率和模态是其会导致结构产生振动和也可能导致疲劳破坏振动特性的重要参数应力集中冲击问题的疲劳寿命通常通过S-N当激励频率接近结构固分析通常基于能量法或曲线（应力-循环次数有频率时，可能发生共波动理论曲线）来表征振现象课程总结与复习指导核心知识体系1材料力学课程系统介绍了变形体的力学行为，包括基本假设、内力分析、应力计算、变形特征和强度评估等内容这些知识构成了一个完整的体系，为工程结构设计和分析提供了理论基础复习重点2复习时应注重基本概念和原理的理解，掌握各种内力的计算方法，熟悉应力和变形的分析过程，理解各种强度理论及其适用条件同时，要加强对典型问题的分析能力训练，如静定与超静定问题、组合变形、压杆稳定等解题方法3解决材料力学问题的一般步骤包括分析构件的受力情况→确定内力分布→计算应力和变形→进行强度和刚度评估要特别注意问题的简化和假设，合理应用各种理论模型，并注意单位换算和结果的合理性检验工程应用4材料力学的知识在工程实践中有广泛应用学习过程中应注重理论与实际的结合，了解各种理论在不同工程领域的应用情况和局限性，培养工程思维和解决实际问题的能力。