点和圆的位置关系人教版课件

点和圆的位置关系欢迎来到这堂关于点和圆位置关系的数学课程在几何学中，点和圆的位置关系是一个基础且重要的概念，它不仅在数学理论中有重要地位，还在实际生活中有广泛应用在本课程中，我们将系统地学习点与圆的三种基本位置关系点在圆内、点在圆上和点在圆外，以及如何通过计算和分析来判断这些关系我们还将探讨这些概念在坐标几何和实际问题中的应用课程目标理解基本概念1掌握圆的定义、圆心、半径等基本概念，建立对点与圆位置关系的直观认识，能够准确描述点在圆内、圆上和圆外的几何特征掌握判定方法2学习并熟练运用判定点与圆位置关系的数学方法，特别是通过比较点到圆心的距离与半径的关系来确定点的位置应用解决问题3能够运用点与圆位置关系的知识解决几何证明题、坐标几何问题以及现实生活中的实际应用，培养几何直觉和空间思维能力发展数学思维引入生活中的圆交通工具时钟表盘水波纹自行车、汽车的轮子都是圆形的，这种设计时钟的表盘是圆形的，指针绕着圆心旋转，当一颗石子落入平静的水面时，会形成一系保证了平稳的行驶体验轮子上的任一点与指针尖端所在的位置与圆心的连线与刻度的列向外扩散的同心圆波纹每个波纹上的点轴心保持等距，使得车辆可以平稳地前进，交点表示当前的时间，体现了点与圆的密切到石子落水点（圆心）的距离都相等，这是不会产生颠簸关系圆定义的完美体现复习圆的基本概念圆的要素圆的方程圆的基本要素包括圆心、半径、在坐标系中，以点a,b为圆心，直径、弦、切线和弧等其中半r为半径的圆的标准方程是x-圆的定义径是连接圆心与圆上任意一点的a²+y-b²=r²当圆心在原点圆的性质线段，直径是通过圆心的弦时，方程简化为x²+y²=r²圆是平面上到定点（圆心）距离圆具有旋转对称性，任意角度旋等于定长（半径）的所有点的集转后与原图形重合；圆周上的点合这个定义体现了圆的本质特到圆心的距离都相等；圆是所有性等距性等周长图形中面积最大的2314圆的定义数学定义代数表达圆是平面上所有到定点（称为圆心）若以O为圆心，r为半径，对于平的距离等于定长（称为半径）的点面上任意一点P，当|OP|=r时，点的集合这个定义强调了圆上每点P在圆上；当|OP|r时，点P在圆外的等距特性，是理解点与圆位置关这种代数关系直接反映了点与圆的系的基础位置关系几何意义圆可以看作是半径为定长的一个点在平面内转动一周所形成的轨迹这种动态观点帮助我们理解圆的形成过程及其性质，对分析点与圆的位置关系有启发意义圆心和半径圆心的概念半径的概念圆心和半径的关系圆心是圆的中心点，是定义圆的关键要素半径是连接圆心与圆上任意一点的线段，圆心和半径共同决定了一个圆的大小和位之一在坐标几何中，圆心的坐标直接决其长度是一个常数半径的长度是判断点置给定圆心和半径，圆就唯一确定；反定了圆在平面中的位置判断点与圆的位与圆位置关系的重要参考值在圆的方程之，一个圆也唯一确定其圆心和半径这置关系时，我们首先需要确定圆心的位置x-a²+y-b²=r²中，r表示半径的长度种一一对应关系是圆的基本性质点和圆的位置关系概述点在圆内1当点到圆心的距离小于半径时（|OP|点在圆上2当点到圆心的距离等于半径时（|OP|=r），点P位于圆上圆上的所有点到圆心的距离都恰好等于半径，这些点构成了圆周点在圆外3当点到圆心的距离大于半径时（|OP|r），点P位于圆外圆外的点与圆心的距离始终大于半径，这些点组成了圆的外部区域点在圆内距离特征代数表示几何意义点P在圆内的充要条件是点P到圆心O的距若圆的方程为x-a²+y-b²=r²，则点圆内的点构成了一个开集，即圆的内部区域离严格小于圆的半径r，即|OP|Px₀,y₀在圆内的条件是x₀-a²+y₀-从拓扑角度看，这是一个开圆盘圆内的点b²可以在不穿过圆周的情况下向任意方向移动一小段距离点在圆上几何特性代数表达圆上的点构成了圆周，是一个封闭的曲线距离条件若圆的方程为x-a²+y-b²=r²，则点圆周上的每一点都是圆的边界点，在这些点点P在圆上的充要条件是点P到圆心O的距Px₀,y₀在圆上当且仅当x₀-a²+y₀-处可以作圆的切线，且切线与半径垂直离恰好等于圆的半径r，即|OP|=r这是判b²=r²点的坐标满足圆的方程，意味着该断点是否在圆上的直接数学依据点在圆上点在圆外距离关系1点P在圆外的条件代数表示2满足不等式x₀-a²+y₀-b²r²几何意义3构成无界外部区域特殊性质4可绘制从该点到圆的切线当点P位于圆外时，它到圆心O的距离严格大于圆的半径r，即|OP|r这是判断点在圆外的基本数学依据在坐标几何中，如果圆的方程为x-a²+y-b²=r²，那么点Px₀,y₀在圆外的条件可以表示为不等式x₀-a²+y₀-b²r²从几何角度看，圆外的点构成了一个无界的区域有趣的是，从圆外的任意一点都可以向圆作两条切线（特殊情况下可能重合为一条），这是圆外点的重要性质，在解决切线问题时经常应用判定点和圆位置关系的方法计算点到圆心的距离首先确定圆心坐标和半径长度，然后利用距离公式计算给定点到圆心的距离在平面坐标系中，若圆心为Ca,b，点为Px₀,y₀，则|PC|=√[x₀-a²+y₀-b²]与半径进行比较将计算得到的点到圆心的距离|PC|与圆的半径r进行比较这一步是判断位置关系的关键，比较的结果直接对应三种不同的位置关系得出位置关系结论根据比较结果，得出点与圆的位置关系如果|PC|r，点在圆外这种方法直接、有效，适用于所有点与圆的位置关系问题点到圆心的距离与半径的比较判断点与圆位置关系的核心是比较点到圆心的距离d与圆的半径r的大小这种比较方法直观且有效，是解决此类问题的基本手段当dr时，点在圆外在坐标几何中，点到圆心的距离可以通过距离公式计算若点Px₀,y₀，圆心Oa,b，则d=√[x₀-a²+y₀-b²]将计算出的距离值与已知的半径r比较，即可确定点与圆的位置关系这种比较方法不仅适用于平面几何，也可以推广到空间几何中判断点与球的位置关系，体现了数学概念的一致性和连贯性例题判断点与圆的位置关系圆的方程x²+y²=9点A2,2点B3,0点C2,√5解题思路圆的方程x²+y²=9表示这是以原点为圆心，半径为3的圆我们需要分别计算三个点到圆心（原点）的距离，然后与半径3进行比较，从而判断各点与圆的位置关系对于点A2,2，到原点的距离为d_A=√2²+2²=√8=2√2≈

2.833，所以点A在圆内对于点B3,0，到原点的距离为d_B=√3²+0²=3=r，所以点B在圆上对于点C2,√5，到原点的距离为d_C=√2²+5=√9=3=r，所以点C也在圆上这个例题展示了如何通过计算距离来判断点与圆的位置关系练习点与圆的位置关系判断练习练习12已知圆的方程为x-1²+y+2²=4，判已知圆的方程为x²+y²-4x-断点P3,0与该圆的位置关系6y+9=0，判断点Q1,1与该圆的位置关系解析圆心C1,-2，半径r=2计算解析将圆的方程配方x-2²+y-点P到圆心的距离d=√[3-3²=4，所以圆心C2,3，半径r=21²+0+2²]=√4+4=√8=2√22，所计算点Q到圆心的距离d=√[1-以点P在圆外2²+1-3²]=√1+4=√52，所以点Q在圆外练习3已知圆的方程为x²+y²=16，判断点R0,4与该圆的位置关系解析圆心在原点O0,0，半径r=4计算点R到圆心的距离d=√[0-0²+4-0²]=4=r，所以点R在圆上点到圆心距离等于半径的情况数学表达1|OP|=r，精确相等几何意义2点恰好位于圆周上代数特征3点的坐标满足圆的方程当点P到圆心O的距离恰好等于圆的半径r时，点P位于圆上这种情况表示点P是圆周上的一点，满足圆的定义到圆心的距离等于半径的点的集合在坐标几何中，这意味着点P的坐标x₀,y₀代入圆的方程后等式成立例如，对于方程x-a²+y-b²=r²的圆，点P在圆上意味着x₀-a²+y₀-b²=r²从几何角度看，圆上的点具有特殊性质可以在该点处作圆的切线，且这条切线与过该点的半径垂直理解这一情况对解决与圆相关的几何问题至关重要点到圆心距离小于半径的情况r1数学不等式比值特征点到圆心的距离小于半径，表示为|OP|点到圆心距离与半径的比值小于1，说明点位于圆内部区域∞无限多点圆内包含无限多个点，它们都满足到圆心的距离小于半径这一条件当点P到圆心O的距离严格小于圆的半径r时，点P位于圆内在坐标几何中，对于圆x-a²+y-b²=r²，点Px₀,y₀在圆内的条件是x₀-a²+y₀-b²从集合的角度看，圆内的点构成了一个开集，是半径为r的开圆盘这些点的特点是它们到圆心的距离总是严格小于半径，且可以在不穿过圆周的情况下向任意方向移动一小段距离点到圆心距离大于半径的情况当点P到圆心O的距离严格大于圆的半径r时，点P位于圆外这种情况用数学语言表示为|OP|r在坐标几何中，对于方程为x-a²+y-b²=r²的圆，点Px₀,y₀在圆外的条件是x₀-a²+y₀-b²r²圆外的点有一个重要性质从圆外任意一点可以向圆作两条切线（特殊情况下可能重合为一条）这些切线的长度（即从点到切点的距离）相等，这一性质在解决与圆相关的几何问题中非常有用从集合角度看，圆外的点构成了一个无界区域，包含了平面上除圆内和圆上的所有点这一区域在数学和物理问题中经常出现动画演示点移动时与圆的位置变化起始位置点在圆外1当点P位于圆外时，|OP|r随着点P沿着连接它与圆心O的直线向圆心方向移动，点到圆心的距离|OP|逐渐减小，但仍然大于半径r，点P仍在圆外临界状态点到达圆上2当点P继续移动至|OP|=r时，点P恰好位于圆周上此时，点P满足圆的定义，成为圆周上的一点这是一个临界状态，点与圆的位置关系发生了质变最终位置点进入圆内3如果点P继续向圆心方向移动，则|OP|特殊情况圆心与点的位置关系圆心作为特殊点圆心到圆的距离圆心的对称性圆心O是圆内的特殊点，到圆周上任意点的圆心到圆周的距离处处相等，都等于半径r圆心是圆的对称中心，对于圆周上任意两个距离都等于半径r圆心到自身的距离为0，这是圆定义的直接体现，也是判断其他点与对径点A和B，线段AB必然通过圆心O，且远小于半径，因此圆心必然位于圆内圆位置关系的参考标准|OA|=|OB|=r这种对称性使圆心在几何问题中具有重要地位应用确定圆上的点利用圆的方程使用参数方程1代入坐标求解x=a+rcos,y=b+rsin2运用距离公式利用几何作图4满足|PC|=r的点3给定方向作半径确定圆上的点是几何和代数中的常见问题在代数方法中，我们可以利用圆的方程x-a²+y-b²=r²，对于给定的x或y值，求解对应的坐标，得到圆上的点更通用的方法是使用圆的参数方程x=a+rcos,y=b+rsin（其中为参数，取值范围为0到2π），通过不同的值可以得到圆上的所有点在几何作图中，我们可以从圆心出发，沿给定方向作长度等于半径的线段，线段的终点即为圆上的点这种方法直观且实用，特别适合在实际绘图和建模中应用例题已知圆心和半径，求圆上的点题目条件已知圆C的圆心坐标为2,3，半径为4，求圆C上位于x轴上方且x坐标为5的点P的坐标解题过程由圆的方程可得x-2²+y-3²=16代入x=5，得5-2²+y-3²=16，即9+y-3²=16，解得y-3²=7，因为P点在x轴上方，所以y-3=√7，即y=3+√7结果验证验算5-2²+3+√7-3²=9+7=16=4²，满足到圆心的距离等于半径，因此点P5,3+√7确实在圆C上练习寻找圆上的点练习练习练习112233已知圆的方程为x²+y²=25，求该圆上已知圆的中心在原点，半径为3，求已知圆x²+y²-4x-6y+9=0，求该圆与直线y=x相交的两个点的坐标该圆上与直线x+2y=6相交的点的坐上的点，使得该点到点A1,2的距离标最小解析代入y=x到圆的方程，得x²+x²=25，即2x²=25，解得解析圆的方程为x²+y²=9从直线解析将圆的方程配方得x-2²+y-x=±√25/2=±5/√2，相应的y坐标也方程得y=6-x/2，代入圆的方程，3²=4，所以圆心C2,3，半径r=2等于±5/√2所以两个交点是5/√2,得x²+6-x/2²=9展开并整理得圆上到点A距离最小的点应在线段AC5/√2和-5/√2,-5/√24x²-12x+9=36，即4x²-12x-上，该点为P设点P坐标为2+2t,27=0，解得3+t，其中t是参数代入圆的方x=12±√144+432/8=12±√576/程，得到t=-6/5因此点P的坐标为8=12±24/8=

4.5或-

1.5代回得到2-12/5,3-6/5=−2/5,9/5y值，最终点的坐标为

4.5,-

1.5和-

1.5,

3.75应用确定圆内的点数学确定法区域表示法几何构造法利用不等式|OP|圆内的点构成了一个开圆盘，是一个二维区通过几何作图，可以在圆内构造特定的点域在几何问题中，我们常常需要考虑这个例如，取圆的两条不平行的弦，这两条弦的区域的面积（πr²）以及其与其他几何图形交点必定位于圆内；或者取小于半径长度的的交集任意线段从圆心出发，线段的终点也位于圆内例题已知圆心和半径，求圆内的点圆心例题已知圆C的方程为x-3²+y+2²=16，求圆C内到坐标轴的距离之和小于3的点的集合解析圆C的圆心为3,-2，半径r=4圆内的点满足x-3²+y+2²16点Px,y到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，要使|x|+|y|3所以，问题转化为求解满足两个条件的点集x-3²+y+2²16且|x|+|y|3这个点集是圆内部与菱形|x|+|y|3的交集，可以通过判断每个区域内的点是否同时满足两个条件来确定这种类型的问题考查了圆内点的性质与坐标几何知识的综合应用练习寻找圆内的点练习1已知圆C:x²+y²=9，求圆C内到原点距离大于1的点构成的集合解析圆内的点满足x²+y²9，到原点距离大于1的点满足x²+y²1，所以所求点集为{x,y|1练习2已知圆C:x-1²+y-2²=4，求圆C内满足x+y0的点构成的集合解析圆内的点满足x-1²+y-2²4，x+y0表示点在直线x+y=0的上方所以所求点集为{x,y|x-1²+y-2²4且x+y0}，即圆C内部与半平面x+y0的交集在寻找特定圆内点的问题中，我们通常需要将圆的条件与其他几何或代数条件相结合这类问题不仅考查了对圆内点性质的理解，还涉及到集合的交并运算以及不等式的求解掌握这些技巧对于解决更复杂的几何问题有很大帮助应用确定圆外的点代数判定法几何特征法区域划分法对于圆x-a²+y-b²=r²，任何满足x-圆外的点具有一些特殊的几何性质，如从从拓扑角度看，圆外的点构成了一个无界h²+y-k²r²的点h,k都位于圆外这种圆外任意一点可以向圆作两条切线（特殊的开集，是平面除去圆及其内部后的剩余方法利用点到圆心距离与半径的比较，是情况下可能重合为一条）这些切线的长部分在复杂几何问题中，了解区域的性最直接的判定方式度等于√d²-r²，其中d是点到圆心的距质有助于确定特定条件下的点集离，r是圆的半径例题已知圆心和半径，求圆外的点题目设定1条件明确，便于分析使用距离公式2直接计算点到圆心距离应用判定标准3比较距离与半径大小例题已知圆C:x-2²+y+1²=9，判断点P5,3是否在圆C外解析首先确定圆C的圆心坐标为2,-1，半径r=3计算点P到圆心的距离d=√[5-2²+3+1²]=√9+16=√25=5由于d=5r=3，所以点P在圆C外进一步分析由于点P在圆外，可以从P点向圆C作两条切线这两条切线的长度相等，都为√d²-r²=√25-9=√16=4这一事实可以用于解决涉及切线的几何问题，如求切线方程、切点坐标等这个例题展示了如何利用代数方法判断点是否在圆外，以及圆外点的一些几何性质练习寻找圆外的点分析圆的方程确定圆心和半径1建立不等式2点到圆心距离大于半径确定满足条件的点集3描述圆外区域处理特殊限制条件4结合其他几何条件练习1已知圆C:x²+y²=4，求在第一象限内且到原点的距离大于2的点的集合解析圆C的圆心为原点，半径为2第一象限内的点满足x0且y0，到原点距离大于2的点满足x²+y²4所以所求点集为{x,y|x0,y0,x²+y²4}，即第一象限内除去圆C及其内部的部分练习2已知圆C:x-3²+y-4²=25，点P在直线y=2x+1上，求点P位于圆C外的条件解析点Px,y满足y=2x+1，代入得y=2x+1要使P在圆C外，需满足x-3²+2x+1-4²25，即x-3²+2x-3²25展开得x²-6x+9+4x²-12x+925，整理得5x²-18x+1825，即5x²-18x-70计算得x-

0.2或x

3.8所以，当x-

0.2或x

3.8时，点P位于圆C外点与圆的位置关系在坐标系中的表示坐标表示的优势圆的标准方程位置判定在坐标系中表示点与圆的位置关系具有明显在直角坐标系中，圆的标准方程为x-对于点Px₀,y₀与圆x-a²+y-b²=r²的的优势，可以将几何问题转化为代数问题，a²+y-b²=r²，其中a,b是圆心坐标，r是位置关系，可以通过计算x₀-a²+y₀-b²通过计算和分析更加系统化地解决复杂问题半径这个方程直接反映了点到圆心距离等的值与r²进行比较小于表示点在圆内，等这种方法特别适合处理多个点和圆的位置关于半径的定义，是分析点与圆位置关系的基于表示点在圆上，大于表示点在圆外系础圆心在原点的圆方程标准形式参数表示1x²+y²=r²x=rcos,y=rsin2对称性质点位判定4关于两坐标轴对称3比较x²+y²与r²当圆心位于坐标原点O0,0时，圆的方程简化为x²+y²=r²，这是最简单的圆方程这个方程直接反映了平面上任意点Px,y到原点的距离等于半径r的条件在这种情况下，判断点与圆的位置关系变得更加简单若x²+y²r²，点在圆外圆心在原点的圆具有良好的对称性，它关于x轴、y轴以及原点都对称这种对称性在解决涉及圆的问题时非常有用，可以简化计算和分析过程此外，圆的参数方程x=rcos,y=rsin（其中∈[0,2π）也更加简洁，便于处理与圆相关的参数问题一般圆的方程标准形式一般形式标准形式为x-a²+y-b²=r²，其一般形式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，中a,b是圆心坐标，r是半径这其中D,E,F是常数将一般形式配种形式直接反映了圆的定义到定方后可以得到标准形式，其中圆心点圆心的距离等于定长半径的坐标为-D/2,-E/2，半径为点的集合√D²/4+E²/4-F当D²/4+E²/4=F时，圆退化为一点；当D²/4+E²/4参数表示任意圆也可以用参数方程表示x=a+rcos,y=b+rsin（其中∈[0,2π）这种表示方法在处理圆上的点以及与圆相关的运动问题时特别有用通过改变参数的值，可以得到圆上的所有点点到圆心距离的计算公式欧几里得距离公式在平面直角坐标系中，点Px₀,y₀到点Qx₁,y₁的距离计算公式为dP,Q=√[x₀-x₁²+y₀-y₁²]这是计算两点间距离的基本公式，源自勾股定理点到圆心的距离点Px₀,y₀到圆心Ca,b的距离可表示为dP,C=√[x₀-a²+y₀-b²]这个距离与圆的半径r比较，可以确定点P与圆的位置关系平方距离的应用在实际计算中，通常可以直接比较平方距离x₀-a²+y₀-b²与r²的大小，避免开方运算这种简化可以提高计算效率，特别是在处理多个点的情况时例题利用坐标系判断点与圆的位置关系例题已知圆的方程为x-1²+y+2²=9，判断点A2,

0、点B4,-2和点C-2,-2分别与该圆的位置关系解析首先确定圆的圆心为C1,-2，半径r=3接下来分别计算三个点到圆心的距离点A2,0到圆心的距离d_A=√[2-1²+0+2²]=√1+4=√5≈

2.243，所以点A在圆内点B4,-2到圆心的距离d_B=√[4-1²+-2--2²]=√9+0=3=r，所以点B在圆上点C-2,-2到圆心的距离d_C=√[-2-1²+-2--2²]=√9+0=3=r，所以点C也在圆上这个例题展示了如何在坐标系中通过计算距离来判断点与圆的位置关系练习在坐标系中判断点与圆的位置练习11已知圆C:x²+y²-4x-6y+9=0，判断点P3,4与圆C的位置关系解析先将圆的方程配方x-2²+y-3²=4，所以圆心为2,3，练习22半径为2计算点P到圆心的距离d=√[3-2²+4-已知圆C:3x²+3y²+6x-12y+8=0，判断点Q0,0与圆C的位置关3²]=√1+1=√2≈

1.412，因此点P在圆内系解析首先将方程化简3x²+2x/3+y²-4y/3+8=0，即3[x+1/3²-1/9+y-2/3²-4/9]+8=0，整理得3[x+1/3²+y-2/3²]=3/9+12/9-8=7/9，所以x+1/3²+y-2/3²=7/27因此圆心练习33为-1/3,2/3，半径为√7/27计算点Q到圆心的距离已知圆的方程为x²+y²+6x-8y+16=0，判断原点与该圆的位置关d=√[0+1/3²+0-系2/3²]=√1/9+4/9=√5/9≈

0.745√7/27≈

0.509，所以点Q在圆外解析配方得x+3²+y-4²=25-16=9，所以圆心为-3,4，半径为3原点到圆心的距离为d=√[-3-0²+4-0²]=√9+16=53，因此原点在圆外点与圆的位置关系在几何证明中的应用几何定理证明几何作图应用性质推导点与圆的位置关系是证点与圆的位置关系在几通过分析点与圆的位置明许多几何定理的基础何作图中有广泛应用关系，可以推导出许多例如，利用点在圆外的例如，基于点在圆上的重要的几何性质例如，性质，可以证明从外部条件，可以构造垂线、内接四边形对角互补、一点到圆的两条切线长角平分线等；基于点在切线垂直于半径等性质度相等；利用点在圆上圆外的条件，可以作圆都可以通过点与圆的位的性质，可以证明圆周的切线理解这些应用置关系来证明和理解角定理对掌握几何作图技巧至关重要例题利用点与圆的位置关系进行几何证明例题证明从圆外一点到圆的两条切线长度相等证明设圆的圆心为O，半径为r，圆外一点为P，从P到圆的两条切线分别与圆相交于点A和B，切线长为PA和PB由切线性质知，OA⊥PA，OB⊥PB，且|OA|=|OB|=r在直角三角形OPA和OPB中，∠OAP=∠OBP=90°，|OA|=|OB|=r，且斜边OP是公共的根据直角三角形斜边和一直角边确定三角形全等，得△OPA≅△OPB，因此|PA|=|PB|即证明了从圆外一点到圆的两条切线长度相等这个证明利用了点在圆外的位置关系以及切线与半径垂直的性质，通过全等三角形的性质得出结论这种利用点与圆位置关系的证明方法在几何中非常常见。