用微积分解和用几何方法解物理问题：课件展示

用微积分解和用几何方法解物理问题课件展示欢迎来到这个关于微积分和几何方法在物理问题中应用的课程展示在这个系列讲座中，我们将深入探讨这两种强大方法的特点、应用场景以及如何选择最适合的解题策略微积分提供了精确的数学工具，而几何方法则提供了直观的视觉理解，两者结合使用能够帮助我们从多角度理解和解决复杂的物理问题课程概述微积分应用1我们将探讨微积分如何应用于各种物理问题中，包括运动学、动力学、电磁学等领域微积分作为一种强大的数学工具，能够处理连续变化的物理量，精确描述物理规律几何方法应用2几何方法通过图形、向量和空间关系来解决物理问题，提供直观的理解和解释我们将学习如何利用几何直觉简化复杂问题方法比较3通过对比这两种方法的优缺点，我们能够了解何时应该选择微积分方法，何时应该选择几何方法，以及如何结合两种方法来解决更复杂的问题学习目标理解基本原理掌握解题技巧12深入理解微积分和几何方法的掌握使用两种方法解决物理问基本原理和物理意义，包括导题的具体技巧和策略，包括建数、积分的物理解释，以及向立方程、简化问题、利用对称量、图形在物理中的应用这性等这些技巧能够帮助我们种理解将帮助我们建立物理直更高效地解决复杂问题觉，更好地把握问题的本质选择合适方法3培养选择最适合具体问题的解决方法的能力，懂得分析问题特点，权衡不同方法的优缺点，从而做出最佳选择有时候，结合两种方法可能会带来最优的解决方案课程结构基础知识回顾回顾微积分和几何方法的基本概念、定理和公式，确保所有学生都有坚实的理论基础我们将重点关注这些数学工具在物理中的直接应用和解释问题解析与方法对比通过具体实例分析两种方法解决同一物理问题的过程，对比它们的优缺点、适用条件和解题效率这种对比将帮助我们理解每种方法的独特价值实际应用案例研究各个物理领域的典型案例，从力学到电磁学，从热力学到量子力学，展示两种方法在不同领域的应用方式和特点总结与展望归纳课程要点，提供学习建议，并展望未来发展趋势我们将讨论如何将所学知识应用到更广泛的科学和工程问题中为什么需要这两种方法？优势互补微积分提供精确计算，几何方法提供直2观理解，两者结合可以既有严谨性又有问题复杂性可视化解释物理问题常常涉及多个变量和复杂关系1，单一方法可能难以全面解决，需要多多角度思考种工具的协同配合掌握多种方法能够培养从不同角度分析问题的能力，增强物理直觉和创新思维3在物理研究中，我们经常遇到既需要定量分析又需要定性理解的情况例如，当研究行星轨道时，微积分可以提供精确的轨道方程，而几何方法则可以直观地解释为什么轨道是椭圆形的两种方法的结合使用能够帮助我们建立更完整的物理世界图景微积分基础回顾导数的定义和物理意义积分的定义和物理意义导数表示函数的变化率，在物理中对应速度、加速度等概念例积分表示函数与自变量的乘积的累加，在物理中对应位移、功、如，位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度导电荷量等概念例如，速度对时间的积分是位移，力对位移的积数的几何意义是曲线上某点的切线斜率，这为我们提供了理解物分是功积分的几何意义是曲线下的面积，这为计算物理量提供理过程的直观方式了图形化的方法微积分不仅是一种数学工具，更是理解物理世界的一种方式通过导数，我们可以描述瞬时变化；通过积分，我们可以累积这些变化这两个基本概念构成了描述自然界许多现象的基础几何方法基础回顾向量和标量几何图形的性质向量具有大小和方向，如力、速三角形、圆、椭圆等几何图形的度、电场强度；标量只有大小，性质在物理中经常用到例如，如质量、温度、电势向量运算三角函数关系用于分解力，圆的（如加减法、点乘、叉乘）在物性质用于描述简谐运动，椭圆性理问题中有重要应用，例如合力质用于描述行星轨道这些几何计算、功的计算和力矩计算关系为解决物理问题提供了直观的工具图形变换旋转、平移、缩放等图形变换在物理中对应坐标变换、参考系变换等概念正确运用这些变换可以简化复杂问题，例如将某些问题转换到更适合的坐标系中求解微积分在物理中的应用速度和加速度功和能量电磁场通过位移函数的一阶导力对位移的线积分给出麦克斯韦方程组中包含数得到速度函数，二阶功，功率是功对时间的大量微分和积分关系，导数得到加速度函数导数通过积分，我们描述电场磁场的产生和这种微分关系使我们能可以计算非恒定力做功变化例如，高斯定律够从位置信息推导出动，理解能量转换过程，用积分形式描述电荷与态特性，进而分析物体这在研究复杂系统的能电场的关系，法拉第定的运动状态和受力情况量变化时尤为重要律描述磁场变化产生电场的过程几何方法在物理中的应用力的分解和合成运动轨迹分析光学问题利用向量几何和三角关系，将力分解为不通过几何方法可以直观地分析和预测物体利用反射和折射的几何规律解决光路问题同方向的分量，或将多个力合成为一个合的运动轨迹例如，抛射体运动可以通过例如，通过等角关系分析光的反射，通力这种方法在静力学和动力学分析中广抛物线几何特性来分析，行星运动可以通过斯涅尔定律分析光的折射，这些几何关泛应用，特别是在分析复杂受力系统时，过椭圆几何特性来描述，这提供了直观且系为解决复杂光学系统提供了简洁的方法可以大大简化计算过程有力的问题解决途径两种方法的比较比较方面微积分方法几何方法计算复杂度通常涉及复杂的微分方程利用几何关系和图形直观求解，计算过程可能繁琐性，计算过程相对简单直观性抽象，需要较强的数学想直观，易于理解和可视化象力适用范围广泛，适用于大部分物理相对受限，适用于有明显问题，特别是涉及连续变几何特征的问题化的问题精确度通常能提供精确解有时提供近似解或定性分析应用技巧需要熟练掌握微分、积分需要良好的空间几何直觉技巧选择合适的方法需要考虑问题的性质、所需的精确度以及个人的数学技能水平在许多情况下，两种方法可以相互补充，共同提供更全面的解决方案案例抛体运动1问题背景问题描述物理模型抛体运动是典型的二维运动问题，涉一个物体以初速度v₀，以与水平面成在此问题中，仅有重力作用于物体，及物体在重力作用下的轨迹分析这θ角的方向抛出忽略空气阻力，求物加速度恒定为重力加速度g，方向竖直种运动在日常生活中非常常见，从投体的运动轨迹方程、最大高度、射程向下我们需要分析水平和竖直两个掷球类到火箭发射都可以用抛体运动以及飞行时间这个问题要求我们确方向的运动特性，然后结合它们得到原理来解释定物体在任意时刻的位置以及运动的完整解答关键参数案例微积分解法1建立微分方程根据牛顿第二定律，水平方向无力作用，加速度为零；竖直方向受重力作用，加速度为g对两个方向分别建立二阶微分方程d²x/dt²=0和d²y/dt²=-g积分求解对微分方程进行两次积分，得到速度和位置函数水平方向vₓ=v₀cosθ，x=v₀cosθ·t；竖直方向vᵧ=v₀sinθ-gt，y=v₀sinθ·t-1/2·gt²确定参数通过消去参数t，得到轨迹方程y=tanθ·x-g/2v₀²cos²θ·x²，这是一个抛物线方程最大高度出现在vᵧ=0时，即h=v₀²sin²θ/2g；射程是x轴上的两个交点距离，即R=v₀²sin2θ/g；飞行时间是t=2v₀sinθ/g案例几何解法1几何解法基于运动的分解与合成原理水平方向上，物体做匀速直线运动，位移与时间成正比；垂直方向上，物体做匀加速运动，其轨迹是一条抛物线通过分析这两种独立运动，然后合成它们，我们可以得到物体的完整轨迹利用几何相似性和对称性，可以直观地确定最高点位置和射程抛物线的对称性告诉我们，上升时间等于下降时间，从而可以轻松计算出总飞行时间案例结果比较1求解时间对比对于熟练的求解者，几何方法通常需要更少的时间，因为它避免了繁琐的微分方程求解过程几何方精确度对比适用条件分析法利用已知的运动分解原理和轨迹特性，直接得出结论，步骤更为简洁然而，对于初学者来说，微微积分方法和几何方法在理想条件下（无空气阻力两种方法在标准抛体问题中同样适用微积分方法积分方法可能更容易遵循，因为它提供了明确的步）得出的结果完全一致两种方法都能准确预测抛的优势在于可以轻松扩展到更复杂的情况，比如变骤体的轨迹、最大高度、射程和飞行时间然而，当力场或阻力存在时；几何方法的优势在于提供直观需要考虑空气阻力等附加因素时，微积分方法更容理解，特别适合快速估算和概念分析选择哪种方易扩展，可以建立和求解更复杂的微分方程法主要取决于问题的复杂性和求解者的偏好213案例简谐运动2物理背景问题描述12简谐运动是最基本的周期运动质量为m的物体连接在弹性系形式，在物理学中有广泛应用数为k的理想弹簧上，在平衡弹簧振子、单摆（小角度）位置拉伸距离A后释放忽略、电路中的LC振荡都是简谐所有摩擦力，求物体的运动方运动的例子了解简谐运动对程、周期、频率以及任意时刻理解更复杂的振动系统至关重的位置、速度和加速度要物理模型3根据胡克定律，弹簧提供的恢复力F=-kx，其中x是弹簧相对于平衡位置的位移这种线性恢复力导致简谐运动我们需要建立模型来描述这种特殊的周期运动案例微积分解法2确定运动参数求通解周期T=2π/ω=2π√m/k，频率建立微分方程该微分方程的通解形式为xt=Acosωt+φ，f=1/T=ω/2π=1/2π√k/m速度根据牛顿第二定律F=ma，结合胡克定律F=-其中A是振幅，φ是初相位根据初始条件（vt=dx/dt=-Aωsinωt，加速度kx，得到微分方程m·d²x/dt²=-kx，整理得t=0时，x=A，v=0），可以确定φ=0，因此at=d²x/dt²=-Aω²cosωt=-ω²xt位置、速d²x/dt²+ω²x=0，其中ω²=k/m是角频率的平解为xt=Acosωt度和加速度之间存在明确的微分关系方这是典型的二阶线性常微分方程案例几何解法2圆周运动投影图形分析相位关系简谐运动可以看作是匀速圆周运动在直径通过圆周运动的几何性质，可以直接得出圆周运动的角位置对应简谐运动的相位上的投影想象一个点以角速度在半径简谐运动的参数圆周运动的周期当圆周运动点位于圆的最右侧时，投影点ω为A的圆上匀速运动，它在水平直径上的T=2π/ω决定了简谐运动的周期；圆的半位于简谐运动的最大位移处；当圆周运动投影点恰好做简谐运动这提供了一种直径A对应简谐运动的振幅；投影点的位置点位于圆的顶部时，投影点位于平衡位置观的几何理解方式、速度、加速度可以通过三角函数关系直但具有最大负速度这种对应关系使我们接表示能够直观地理解相位概念案例结果比较2精确度对比求解时间对比适用条件分析微积分法和几何法在描述简谐运动时提对于简单的简谐运动问题，几何方法通几何方法特别适合基本简谐运动的理解供完全相同的结果微积分方法通过解常更快捷，因为它避免了微分方程的求和求解，提供直观的物理图像；微积分微分方程得出xt=Acosωt，而几何方解过程直接应用圆周运动投影原理，方法更适合扩展到复杂振动系统，如耦法通过圆周运动投影得出同样的表达式可以迅速写出位置、速度、加速度表达合振子、非线性振动或有阻尼振动在两种方法在数学本质上是等价的，只式然而，微积分方法提供了更系统化教学中，通常先介绍几何方法建立直觉是表达和理解角度不同的求解框架，特别适合处理有阻尼或外，再用微积分方法进行严格推导力的复杂情况案例电场强度计算3电学背景问题描述物理模型电场强度是描述电场在计算均匀带电球体在其根据库仑定律，点电荷空间各点强弱的物理量外部任意点产生的电场在空间产生的电场强度，定义为单位正电荷所强度球体半径为R，与距离的平方成反比，受的电场力计算电场总电荷为Q，均匀分布方向沿着从电荷指向计强度是电磁学中的基本需要求解距离球心为算点的直线对于连续问题，对理解电磁现象r（rR）的点P处的电分布的电荷，需要通过和设计电气设备至关重场强度大小和方向积分或利用电场的特性要来计算合成电场案例微积分解法3建立积分方程根据库仑定律和叠加原理，需要对球体内所有电荷元素产生的电场进行积分首先将球体分割成无数微小体积元素dV，每个元素的电荷为dq=ρdV，其中ρ=Q/4/3πR³是电荷体密度每个电荷元素在点P处产生的电场为dE=k·dq/r²，其中r是电荷元素到点P的距离设置积分考虑到球体的对称性，采用球坐标系进行积分积分表达式为E=∫∫∫k·ρdV/r²·r/r，其中r是从电荷元素指向点P的单位向量这是一个三重积分，需要在整个球体体积上进行计算结果经过复杂的积分计算（通常涉及角度积分和径向积分），最终得到结果E=kQ/r²，方向指向球心这表明均匀带电球体在其外部产生的电场，与同等电荷的点电荷在同一位置产生的电场相同这是微积分方法得出的重要结论案例几何解法3高斯定理应用对称性分析直接计算根据高斯定理，通过任何闭合面的电场通过球对称性可知，电场方向必须沿径应用高斯定理∮E·dA=Q/ε₀，其中积通量等于该面内所包含的电荷除以介电向（指向或远离球心）如果方向有任分在高斯面上进行由于E在整个高斯面常数对于具有球对称性的电荷分布，何切向分量，就会破坏球对称性因此上大小相同，且与面元dA方向一致，所可以选择以球心为中心、半径为r的球面，电场强度E仅有径向分量，大小仅依赖以∮E·dA=E·4πr²因此，作为高斯面由于对称性，电场强度在于到球心的距离r E=Q/4πε₀r²=kQ/r²，方向指向球心高斯面上处处相等，且与面垂直案例结果比较3精确度对比求解时间对比微积分法和几何法（高斯定理）得几何法（高斯定理）求解速度明显出完全相同的结果E=kQ/r²，方向快于直接积分法直接积分需要进指向球心两种方法在数学上是等行复杂的三重积分计算，涉及到不价的，高斯定理本身就是库仑定律同坐标系之间的转换；而高斯定理的积分形式不同的是，高斯定理利用对称性，将三维问题简化为一利用了问题的对称性，大大简化了维问题，仅需一步简单计算即可得计算过程出结果适用条件分析几何法依赖于问题的高度对称性，只适用于具有特定对称性（如球对称、柱对称等）的电荷分布；微积分法虽然计算复杂，但适用范围更广，可以处理任意电荷分布这是典型的特殊方法vs通用方法的对比案例光的反射和折射4光学现象光的反射和折射是基本的光学现象，广泛应用于镜片、棱镜、光纤等光学元件中了解光路规律对设计光1学系统和理解自然光学现象至关重要问题描述光线从介质1（折射率n₁）斜射到介质2（折射率n₂）的平面界面上求反射光线2和折射光线的方向，以及反射光和折射光的能量分配比例物理原理光的传播遵循费马原理光线沿光程时间最短的路径传播这3一原理可以用微积分表述，也可以用几何方法表述，为我们提供了两种不同的解题思路案例微积分解法4函数极值求解将传播时间t表示为界面上点P位置的函数，然后求导数dt/dx=0，找出使时间2费马原理应用最小的点这涉及到复合函数求导和链式法则的应用根据费马原理，光从一点到另一点的传播时间应为最小值对于从介质1中点1得出定律A到介质2中点B的光线，过界面上点P，传播时间t=|AP|/v₁+|PB|/v₂，其通过求导和代入关系v=c/n（c是真空中中v₁和v₂是光在两种介质中的速度光速），得出sinθ₁/sinθ₂=n₂/n₁，即斯涅尔定律对于反射，可以证明入3射角等于反射角这种方法从变分原理出发，揭示了光学现象的本质案例几何解法4几何解法主要基于实验定律和几何作图对于反射，根据反射定律入射角等于反射角，这可以通过简单的角度作图实现对于折射，应用斯涅尔定律n₁sinθ₁=n₂sinθ₂，可以通过三角关系确定折射光线的方向此外，惠更斯原理提供了另一种几何解释将每个波阵面上的点视为次波源，次波的包络面形成新的波阵面通过绘制入射波阵面和计算次波传播，可以直观地得出反射和折射的几何关系案例结果比较4精确度对比1微积分法和几何法得出的光的反射和折射定律完全一致微积分法通过费马原理从基本原理推导出这些定律，而几何法则直接应用实验观察到的定律两种方法在结果上没有差异，只是起点和推理过程不同求解时间对比2对于标准的反射和折射问题，几何法通常更快捷直接应用反射和折射定律，结合简单的三角计算，可以迅速确定光路微积分法需要建立函数关系并求导，过程较为复杂，但它提供了更深入的物理理解适用条件分析3几何法适用于光线光学（几何光学）范围内的大多数问题，特别是涉及平面界面或简单曲面的情况；微积分法提供了更一般的框架，可以扩展到复杂界面、非匀质介质或波动光学问题在教学和基础应用中，几何法更为常用；在研究和高级应用中，微积分法更具优势案例圆周运动52πrωF=mv²/r周长角速度向心力圆周运动是粒子沿圆形轨道运动的特例，在问题要求分析质量为m的粒子做半径为R的圆周运动的关键在于理解向心力的性质向日常生活和科学研究中广泛存在从行星运匀速圆周运动，线速度为v求粒子所受的心力不是新的力类型，而是使物体沿圆周运动到电子在磁场中的运动，从车轮转动到游向心力大小和方向，以及角速度、周期和频动的合力，可以由多种实际力提供，如重力乐设施，圆周运动都是基础物理模型率等运动参数、张力、电磁力等分析这种运动需要考虑力与运动的关系案例微积分解法5建立坐标系求速度矢量12选择笛卡尔坐标系，原点位于对位置矢量求时间导数，得到圆心，粒子在xy平面内运动速度矢量vt=dr/dt=-粒子的位置矢量为Rωsinωti+Rωcosωtj速度rt=Rcosωti+Rsinωtj，其大小恒为|v|=Rω=v（线速度中ω是角速度，t是时间这种），方向与位置矢量垂直，切表示方式将圆周运动参数化，于圆周这表明粒子做匀速圆便于应用微积分工具周运动求加速度和力3对速度矢量再次求导，得到加速度矢量at=dv/dt=-Rω²cosωti+-Rω²sinωtj=-ω²rt加速度大小为|a|=Rω²=v²/R，方向指向圆心根据牛顿第二定律，向心力F=ma=mRω²=mv²/R，方向同样指向圆心案例几何解法5向心力分析速度变化分析图形推导在几何方法中，我们关注粒子在短时间间速度方向在Δt时间内改变了角度Δθ=ωΔt根据牛顿第二定律，F=ma=mΔv/Δt，代隔Δt内的位移变化如果没有向心力，粒，但速度大小保持不变从几何上看，这入上述结果得F=mvωΔt/Δt=mvω利用子将沿切线方向直线运动，位移为vΔt相当于速度矢量的端点在半径为v的圆上移ω=v/R，得F=mv²/R，方向指向圆心这但实际上，粒子保持在圆上运动，这意味动速度变化Δv可以近似为与微积分方法得到的结果完全一致，但推着粒子必须向圆心方向偏转一段距离Δv≈vΔθ=vωΔt，方向指向圆心导过程更加直观案例结果比较5综合评价两种方法各有优势，适合不同学习阶段1适用条件分析2微积分法适合理论分析，几何法适合直观理解求解时间对比3几何法通常更快捷，微积分法步骤更系统精确度对比4两种方法得出相同结果F=mv²/R，方向指向圆心微积分方法和几何方法在分析圆周运动时得出完全一致的结论微积分方法通过矢量微分给出了严格的数学推导，特别适合与其他物理理论的结合；几何方法则提供了更为直观的物理图像，有助于建立物理直觉在教学过程中，通常先介绍几何方法以培养基本概念，再引入微积分方法以建立系统理论对于复杂的非匀速圆周运动或三维空间中的曲线运动，微积分方法具有更大的扩展性案例热力学问题6热力学背景问题描述物理模型热力学是研究热能转化和能量传递的科学，分析理想气体在卡诺循环中的工作过程循卡诺循环是热力学中的理想循环，由四个可在工程、化学和物理学中有广泛应用理解环包括两个等温过程和两个绝热过程，起始逆过程组成等温膨胀（吸热）、绝热膨胀热力学过程对分析发动机性能、化学反应和温度为T₁，最低温度为T₂计算循环的效（无热交换）、等温压缩（放热）和绝热压材料性质至关重要率以及每个过程的功和热量缩（无热交换）分析这些过程需要应用热力学第一定律和理想气体状态方程案例微积分解法6热力学第一定律应用根据热力学第一定律，ΔU=Q-W，其中ΔU是内能变化，Q是系统吸收的热量，W是系统对外做功对于理想气体，内能只与温度有关，ΔU=nCᵥΔT，其中n是物质的量，Cᵥ是定容摩尔热容等温过程分析等温过程中ΔT=0，因此ΔU=0，热量全部转化为功功的计算需要积分W=∫PdV对于理想气体，P=nRT/V，代入得W=nRT∫dV/V=nRTlnV₂/V₁等温膨胀时V₂V₁，功为正；等温压缩时V₂绝热过程分析绝热过程中Q=0，因此W=-ΔU=-nCᵥΔT利用绝热方程PVᵞ=常数（γ=Cp/Cv是比热比），可以求出温度变化，从而计算功最终，卡诺循环的效率η=1-T₂/T₁，这是热力学第二定律的重要结论案例几何解法6图分析面积计算效率推导PV卡诺循环可以在压力-体积PV图上表示通过几何分析，可以计算PV图上各段曲卡诺循环的效率可以通过几何关系直观为一个闭合曲线，由两条等温线和两条线下的面积等温曲线下的面积可以通理解效率定义为η=W/Q₁，其中W是绝热线组成根据热力学原理，循环图过积分得到，而绝热曲线的表达式是PVᵞ净功，Q₁是从高温热源吸收的热量通形的面积等于循环过程中的净功，即=常数通过计算整个闭合图形的面积，过分析PV图中各过程的热量和功，可以W=∮PdV这提供了一种直观的几何方可以直接得到循环的净功几何地证明η=1-T₂/T₁法来计算总功案例结果比较6求解时间对比对于熟悉热力学的人来说，几何法通常更快捷，因为PV图提供了直观的功热关系通过观察图形，可以快速判断每个过程的功热特精确度对比性和整个循环的效率微积分法需要详细的微积分法和几何法在分析卡诺循环时得2数学推导，步骤较多，但提供了更系统化的出完全一致的结果两种方法都能准确求解框架计算循环效率η=1-T₂/T₁和各过程的功1热微积分法从热力学第一定律出发，适用条件分析通过热力学方程推导；几何法则从PV图几何法特别适合于PV图能清晰表示的热力学面积角度直观计算，本质上是功积分3循环，如卡诺循环、奥托循环等它提供了W=∫PdV的图形表示直观的物理图像，有助于理解热力学过程的本质微积分法更具一般性，可以处理任意复杂的热力学过程，包括非理想气体和不可逆过程，适合更复杂的热力学系统分析案例流体力学问题7流体力学背景问题描述12流体力学研究流体（液体和气某不可压缩理想流体在变截面体）的运动和力学性质，在航管道中流动管道入口处截面空、水利、气象等领域有广泛积为A₁，压力为P₁，流速应用理解流体流动规律对设为v₁；出口处截面积为A₂计飞机、船舶、管道系统等至，压力为P₂，流速为v₂忽关重要本案例探讨流体在管略粘性和热传导，求两处之间道中流动的基本原理的压力关系，并分析流速变化物理模型3这个问题涉及伯努利原理和连续性方程伯努利原理是能量守恒在流体中的应用，连续性方程是质量守恒在流体中的应用通过这两个基本定律，可以建立流体在不同位置之间的关系案例微积分解法7建立控制体积选取从管道入口到出口的一段流体作为控制体积根据能量守恒定律，流体的机械能（包括动能、势能和压力能）在流动过程中保持不变（忽略能量损失）应用伯努利方程对于不可压缩理想流体，伯努利方程为P₁+1/2ρv₁²+ρgh₁=P₂+1/2ρv₂²+ρgh₂，其中ρ是流体密度，g是重力加速度，h是高度如果管道水平放置，h₁=h₂，方程简化为P₁+1/2ρv₁²=P₂+1/2ρv₂²应用连续性方程根据质量守恒，流入控制体积的质量等于流出的质量对于稳态流动的不可压缩流体，这转化为A₁v₁=A₂v₂结合这个方程和伯努利方程，可以得出P₁-P₂=1/2ρv₂²-v₁²=1/2ρv₁²[A₁/A₂²-1]。