线段与圆的位置关系教学课件

线段与圆的位置关系欢迎来到线段与圆的位置关系课程在几何学中，线段与圆的位置关系是一个重要的基础知识点，它不仅帮助我们理解几何图形间的相互作用，也是解决许多实际问题的关键本课程将系统讲解线段与圆可能存在的各种位置关系，包括不相交、相切、相交以及线段在圆内的情况我们还将探讨这些关系的判定条件以及在实际中的应用通过本课程的学习，您将能够准确判断线段与圆的位置关系，并运用这些知识解决相关的几何问题课程目标理解基本概念掌握位置关系12掌握圆的基本定义、要素以及线段的定义，为理解线段与圆的位清楚理解线段与圆可能出现的四种位置关系不相交、相切、相置关系奠定基础掌握这些基础概念是学习更复杂几何问题的先交以及线段在圆内，并能够准确识别各种情况决条件应用判定条件解决实际问题34学会运用数学方法判断线段与圆的具体位置关系，包括距离公式能够将线段与圆的位置关系知识应用到实际问题中，如计算线段和判定条件的应用，能够处理各种复杂情况长度、圆的半径及圆心坐标等，理解这些知识在现实生活中的应用价值知识回顾圆的基本概念圆的起源1圆作为一个基本几何图形，自古以来就被人类所认识和研究在中国古代数学著作《周髀算经》和《九章算术》中就有关于圆的记载和计算方法圆的完美对称性使其在历史上具有特殊的地位圆的数学表达2在坐标几何中，圆可以用方程x-a²+y-b²=r²表示，其中a,b是圆心坐标，r是圆的半径这种代数表达使我们能够精确描述圆，并研究它与其他几何对象的关系圆在几何中的地位3圆是平面几何中最基本也是最重要的图形之一，它有许多独特的性质比如，圆是所有周长相等的封闭图形中面积最大的；圆上任意一点到圆心的距离都相等圆的定义平面定义代数定义圆是平面上到定点（称为圆心）在解析几何中，如果圆心位于坐距离等于定长（称为半径）的所标点a,b，半径为r，那么圆的有点的集合这个定义强调了圆方程可以表示为x-a²+y-的两个基本要素圆心和半径，b²=r²这个方程描述了圆上所以及圆上所有点的等距特性有点的坐标满足的条件集合定义从集合论的角度看，圆可以定义为集合{x,y|x-a²+y-b²=r²}，这表示所有满足该方程的点x,y组成的集合这种定义方式更加形式化，适合于高级数学研究圆的要素圆心、半径、直径圆心半径圆心是圆的中心点，通常用字母O表示圆半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用心是圆的所有对称轴的交点，也是到圆上任字母r表示半径决定了圆的大小圆的面意点距离相等的点圆心在确定圆的位置以12积和周长都可以用半径表示面积=πr²，周及进行各种几何计算中起关键作用长=2πr弦直径43弦是连接圆上两点的线段当弦经过圆心时直径是经过圆心且两端都在圆上的线段，长，它就是直径弦的长度可以根据弦到圆心度等于两倍半径，通常用字母d表示，即的距离计算，这在研究线段与圆的位置关系d=2r直径是圆内最长的弦，也是圆的对时非常有用称轴线段的定义基本定义线段是连接两点的一段直线部分，包括这两个端点以及它们之间的所有点线段有固定的长度，是最短的连接两点的路径在几何中，线段通常用它的两个端点来表示，如线段AB数学表示₁₁₂₂在坐标几何中，如果线段的两个端点分别是Ax,y和Bx,y₂₁₂，则线段的长度可以用距离公式计算|AB|=√[x-x²+y-₁y²]线段上的点可以用参数方程表示线段特性线段有方向性但不同于射线，它是有限的，有明确的起点和终点线段是最基本的几何对象之一，是构建多边形等复杂几何图形的基础在研究线段与圆的位置关系时，线段的端点位置尤为重要线段与圆的位置关系概述线段与圆不相交1线段完全在圆外部线段与圆相切2线段与圆只有一个公共点线段与圆相交3线段与圆有两个公共点线段在圆内4线段完全在圆内部线段与圆的位置关系是几何学中的重要内容，主要分为上述四种基本情况这些关系取决于线段端点相对于圆的位置以及线段到圆心的距离理解这些基本位置关系是解决复杂几何问题的基础在实际问题中，可能会出现一些特殊情况，例如线段的一个或两个端点恰好在圆上这些特殊情况通常可以视为基本位置关系的边界情况，需要特别注意处理位置关系线段与圆不相交1圆的特性线段的特性距离判定在判断线段与圆不相交线段有两个端点，线段线段与圆不相交意味着的情况时，我们需要考上的任意点都可以用这线段完全位于圆的外部虑圆作为一个封闭曲线两个端点的线性组合表要判断这一点，我们的特性圆上的点到圆示判断线段是否在圆需要计算线段到圆心的心的距离等于半径，而外，需要确保线段上的最短距离，并与圆的半圆外的点到圆心的距离每一点都在圆外径进行比较大于半径不相交的情况线段在圆外定义明确线段在圆外是指线段的所有点（包括两个端点和线段上的所有点）都位于圆的外部这意味着线段上任意一点到圆心的距离都大于圆的半径几何特征当线段在圆外时，以圆心为中心，以半径为长度画一个圆，线段将完全位于这个圆的外部区域线段和圆之间存在一个最小距离，这个距离大于零视觉表现从视觉上看，线段与圆之间有明显的间隔，不存在任何交点无论如何延长线段所在的直线，也至少有一部分落在圆外（虽然延长后可能会与圆相交）不相交的判定条件判定内容数学表达说明端点判定|OA|r且|OB|r线段的两个端点A和B都在圆外线段到圆心距离判定dO,ABr线段到圆心O的最短距离大于半径最短距离计算d=|OC|=|OA|·sin∠OAB当⊥足C在线段上时特殊情况d=min|OA|,|OB|当⊥足C不在线段上时线段与圆不相交的核心判定条件是线段到圆心的最短距离严格大于圆的半径这个最短距离通常是圆心到线段的垂线段长度，但需要注意垂足是否落在线段上示例线段在圆外的情况问题描述1圆O的方程为x²+y²=9，线段AB的两个端点分别为A5,0和B4,4，判断线段AB是否在圆外分析过程2圆的半径r=3计算端点到圆心的距离|OA|=53，|OB|=√4²+4²=4√23再计算线段AB到圆心的最短距离，得垂足C4,0，|OC|=43结论3由于线段两端点都在圆外，且线段到圆心的最短距离大于圆的半径，因此线段AB完全在圆外，与圆不相交练习判断线段是否在圆外练习练习12已知圆O的方程为x-2²+y-3²=4，线段已知圆的圆心为原点，半径为5，线段AB的两个端点分别为A6,5和B5,7请CD的两个端点分别为C3,4和D6,8请判断线段AB是否在圆外判断线段CD是否在圆外·计算圆心坐标O2,3和半径r=2·计算|OC|和|OD|，判断端点位置·计算|OA|和|OB|，判断端点位置·分析端点C在圆内的情况·计算线段AB到圆心的最短距离·思考这种情况下线段与圆的位置关系是什么？练习3已知圆的方程为x²+y²+2x-4y-20=0，线段EF的方程为y=2x+1，且E-2,-3，F1,3请判断线段EF是否在圆外·将圆的方程化为标准形式，确定圆心和半径·计算端点到圆心的距离·计算圆心到直线的距离，判断位置关系位置关系线段与圆相切2相切的几何意义物理解释1线段与圆相切意味着线段与圆恰好有一相切状态是线段从圆外移动到相交状态2个公共点，该点称为切点的临界状态，表示线段刚好接触到圆判定方法数学特征43线段到圆心的最短距离恰好等于圆的半在切点处，线段与圆的切线平行；切点径是相切的关键判断条件到圆心的连线垂直于线段相切是线段与圆的一种特殊位置关系，它代表线段与圆的初次接触在相切点，圆的半径作为法线垂直于线段，这是相切的重要几何特性相切点可能在线段内部，也可能恰好是线段的端点，这两种情况在判定时需要区别对待相切的定义基本定义几何特性线段与圆相切是指线段与圆有且仅有一个公共点这个唯一的公在切点处，圆的半径（从圆心到切点的连线）垂直于该线段这共点称为切点相切是线段与圆关系中的一种临界状态，介于不是相切的一个重要几何特性，可以用于确定切点的位置和相切的相交和相交之间判定从集合论角度看，相切可以表示为线段与圆的交集恰好含有一个相切点可能在线段的内部，也可能恰好是线段的端点当相切点元素（即切点）当我们说线段与圆相切时，意味着线段不穿过在线段内部时，圆心到线段的垂线长度等于圆的半径；当相切点圆，而是刚好触碰到圆的边界是线段的端点时，该端点到圆心的距离等于圆的半径相切点的特性垂直性唯一性距离特性在相切点P，圆心O到P线段与圆相切只有一个相切点到圆心的距离恰的连线OP垂直于线段公共点这区别于相交好等于圆的半径如果这是由圆的定义决定情况下的两个交点相相切点在线段内部，则的，因为圆上任意点处切点可以看作是两个交线段到圆心的最短距离的切线都垂直于该点的点重合的特殊情况，这等于半径；如果相切点半径这个性质可以用在解析几何中体现为二是线段的端点，则该端来确定切点的位置次方程有一个重根点到圆心的距离等于半径相切的判定条件—情况总数相切判定主要考虑两种情况切点在线段内部或切点是线段的端点当切点在线段内部时，需要计算线段到圆心的最短距离；当切点是端点时，需计算端点到圆心的距离—切点数量相切时，线段与圆只有一个公共点这是相切的定义特征如果交点数量为0，则表示不相交；如果交点数量为2，则表示相交切点的唯一性是判断相切的关键条件—垂足不在线段上的特例当圆心到线段所在直线的垂足不在线段上时，需要判断线段端点到圆心的距离是否等于半径如果恰有一个端点的距离等于半径，则线段与圆相切—垂足在线段上的特例当圆心到线段所在直线的垂足在线段上时，如果垂线长度等于半径，则线段与圆相切，切点为垂足这是用解析几何方法证明的一个重要结论示例线段与圆相切的情况综合判断计算最短距离计算端点位置由于端点A在圆上，B在圆外，且问题描述线段AB为竖直线段，其所在直线圆心到线段所在直线的距离小于计算|OA|=√3²+4²=5，方程为x=3圆心到直线的距离半径，所以线段AB与圆O相切，已知圆O的方程为x²+y²=25，线|OB|=√3²+8²=√735可见端d=|3-0|=35，表明圆心到线段切点为A3,4段AB的端点为A3,4和B3,8点A在圆上，端点B在圆外所在直线的距离小于半径判断线段AB与圆O的位置关系练习判断线段是否与圆相切练习练习1122已知圆O的方程为x-1²+y-已知圆的半径为4，圆心在坐2²=16，线段AB的端点为标原点，线段CD的端点为A5,2和B1,6请判断线段C4,0和D8,3请分析线段AB是否与圆O相切解题步骤CD与圆的位置关系关键点首先计算圆心到线段所在直注意端点C恰好在圆上，需线的距离，然后确认垂足是否要进一步分析线段CD的方向在线段上，最后判断线段与圆与圆的关系，确定它们是相切的位置关系还是相交练习33已知圆的方程为x²+y²-4x-6y+9=0，线段EF的端点为E2,3和F5,5请判断线段EF与圆的位置关系提示先将圆的方程转化为标准形式，确定圆心和半径，然后计算关键距离值位置关系线段与圆相交3定义线段与圆相交是指线段与圆有两个不同的公共点从几何角度看，线段穿过圆，一部分在圆内，一部分在圆外相交是线段与圆最常见的位置关系之一交点特性两个交点分别是线段与圆的边界的交汇处在解析几何中，这两个交点可以通过求解线段所在直线方程与圆方程联立得到的二次方程来确定几何意义相交表示线段穿过圆与相切不同，相交时线段实际上分割了圆为两部分相交时，线段的一部分位于圆内，其余部分位于圆外相交的定义基本定义数学表达线段与圆相交是指线段与圆有且仅有两个不同的公共点这两个在解析几何中，相交可以通过求解线段所在直线方程与圆方程组点称为交点，它们是线段穿过圆边界的位置相交意味着线段的成的方程组来确定如果直线方程为ax+by+c=0，圆方程为x-一部分在圆内，另一部分在圆外h²+y-k²=r²，则它们的交点满足这两个方程从集合论角度看，线段与圆相交可以描述为线段和圆的交集恰解这个方程组通常会得到二次方程，若该方程有两个不同的实根好包含两个元素（即两个交点）这两个交点将线段分成三部分，且这两个根对应的点都在线段上，则线段与圆相交如果根不，中间部分在圆内，两端部分在圆外在线段上，或者方程无实根，则不是相交关系交点的特性位置特性计算方法1交点位于线段和圆的边界上，是两个几何对象通过解直线与圆联立方程得到，表现为二次方2的公共点程有两个不同实根距离特性分段特性43每个交点到圆心的距离恰好等于圆的半径，体两个交点将线段分为三段，其中中间段位于圆现了圆的定义内，两端段位于圆外线段与圆相交时的交点具有重要的几何意义这些交点是线段从圆外进入圆内，再从圆内出到圆外的临界点在解决实际问题时，交点的计算常常是解题的核心步骤需要特别注意的是，当讨论线段与圆相交时，我们必须确保计算出的交点确实位于线段上，而不仅仅是线段所在直线上这是判断相交关系的关键条件之一相交的判定条件端点位置判定线段中点判定如果线段的一个端点在圆内，另如果线段的两个端点都在圆外，一个在圆外，则线段必与圆相交但线段到圆心的最短距离小于半这是最直接的判定方法，基于径，且垂足在线段上，则线段与线段的连续性原理数学表示为圆相交这情况需要先确定垂足若|OA|r且|OB|r，则线段是否在线段上，再比较垂距和半AB与圆O相交径解析几何判定通过求解线段所在直线与圆的方程组，如果得到两个不同的实根，且对应的点都位于线段上，则线段与圆相交这需要检查解得的交点坐标是否满足线段的参数方程约束示例线段与圆相交的情况示例1圆O的方程为x²+y²=25，线段AB的端点为A0,0和B8,0首先计算端点位置A位于圆心，显然在圆内；B到圆心的距离为85，在圆外因此，线段AB与圆O相交通过计算得知交点为5,0和-5,0，但由于线段AB的范围是x∈[0,8]，所以实际交点只有5,0一个示例2圆的方程为x-3²+y-4²=16，线段CD的端点为C7,7和D0,0计算可得圆心为O3,4，半径为4计算|OC|=54，|OD|=54，两端点都在圆外但线段CD必然穿过圆O，因为线段CD到O的最短距离约为

0.64，且垂足在线段上通过计算可得实际交点练习判断线段是否与圆相交练习题一练习题二练习题三123已知圆的方程为x²+y²=16，线段AB的已知圆O的方程为x-2²+y-3²=9，线已知圆的半径为5，圆心在坐标原点，端点为A-6,0和B6,0判断线段AB段CD的端点为C5,3和D2,7请判断线段EF的端点为E3,4和F8,0请判与圆的位置关系计算|OA|=64，线段CD与圆O的位置关系关键是计断线段EF与圆的位置关系需要计算|OB|=64，两端点都在圆外线段到算点C和D到圆心的距离，以及线段CD|OE|=5=r，|OF|=85，且因E在圆上、圆心的最短距离d=04，且垂足为到圆心的最短距离，并与半径3比较F在圆外，所以线段与圆相交，交点之O0,0在线段上因此线段与圆相交，一为E交点为-4,0和4,0位置关系线段在圆内4基本概念1线段在圆内是指线段的所有点（包括两个端点和线段上的所有点）都位于圆的内部这是线段与圆四种基本位置关系中的一种，表示线段完全被圆包含数学表达2从集合论角度看，线段在圆内意味着线段是圆内部点集的子集也就是说，线段上的每一点到圆心的距离都严格小于圆的半径应用意义在实际应用中，线段在圆内的情况可以描述许多物理现象，如3物体在特定区域内移动而不超出边界，或者电缆布线需要完全位于保护区内等情况线段在圆内的定义线段在圆内的严格定义是线段上的任意一点（包括两个端点）从拓扑学角度看，线段在圆内意味着线段是圆所表示的开集的子到圆心的距离都严格小于圆的半径用数学语言表达，若AB是集这种包含关系在数学上非常重要，它是研究包含关系和区域线段，O是圆心，r是半径，则对于线段AB上的任意点P，都有划分的基础|OP|r值得注意的是，线段在圆内与线段不与圆相交是不同的概念前这种位置关系表示线段完全被圆包围，没有任何部分接触或穿者明确要求线段在圆的内部，而后者只是表示线段与圆没有公共过圆的边界在几何问题中，线段在圆内的情况通常是最简单的点，线段可能在圆内，也可能在圆外位置关系，因为不涉及交点的计算线段在圆内的判定条件端点判定1线段的两个端点都在圆内最大距离判定2端点到圆心的最大距离小于半径数学表达3max|OA|,|OB|r基本性质4线段上任意点到圆心的距离小于半径判断线段是否在圆内的关键是确保线段的每一点都在圆内由于线段是连续的，且任意点都可以表示为端点的线性组合，因此只需要确保两个端点都在圆内即可在实际计算中，我们通过比较端点到圆心的距离与圆半径的大小关系来判断如果两个端点到圆心的距离都严格小于圆的半径，则线段完全在圆内这种判断方法简单直接，不需要复杂的计算示例线段在圆内的情况—圆的半径在本示例中，我们考虑一个以原点为圆心，半径为5的圆圆的方程为x²+y²=25这个圆覆盖了坐标平面上到原点距离小于5的所有点—端点到圆心的距离A线段AB的一个端点A的坐标为2,2计算A到圆心O0,0的距离|OA|=√2²+2²=2√2≈

2.83这个距离小于半径5，所以点A在圆内—端点到圆心的距离B线段的另一个端点B的坐标为3,4计算B到圆心的距离|OB|=√3²+4²=5这个距离等于半径5，所以点B恰好在圆上，不满足严格小于的条件—最终结论由于端点B在圆上而不是圆内，所以线段AB不完全在圆内事实上，线段AB与圆相切，切点为B3,4这是一个端点在圆内，另一端点在圆上的特殊情况练习判断线段是否在圆内练习练习练习123已知圆O的方程为x-2²+y-3²=16，已知圆的方程为x²+y²=9，线段CD的已知圆O的半径为6，圆心在坐标原点线段AB的端点为A1,2和B3,5请判端点为C1,1和D2,3请判断线段CD，线段EF的端点为E-2,3和F4,-1断线段AB是否完全在圆内是否完全在圆内请判断线段EF是否完全在圆内·圆心坐标为2,3，半径r=4·圆心为原点O0,0，半径r=3·计算|OE|=√-2²+3²=√13≈

3.61·计算|OA|=√1-2²+2-·计算|OC|=√1²+1²=√2≈

1.4163²=√2≈

1.413·计算|OB|=√3-2²+5-·计算|OD|=√2²+3²=√13≈

3.61·计算|OF|=√4²+-1²=√17≈

4.123²=√5≈

2.2436·由于|OA|·由于端点D在圆外，所以线段CD不·由于|OE|完全在圆内线段与圆位置关系的综合判断不相交相切1线段完全在圆外，判断条件为线段到圆心的线段与圆有唯一公共点，判断条件为线段到2最短距离大于半径圆心的最短距离等于半径相交线段在圆内4线段与圆有两个交点，判断条件为线段至少线段完全在圆内，判断条件为线段的两个端3一个端点在圆内，另一个在圆外；或两端点在点都在圆内圆外但线段穿过圆在实际问题中，判断线段与圆的位置关系时，通常需要综合考虑多种情况一个系统的判断方法是先检查端点的位置，然后计算线段到圆心的最短距离，最后根据具体情况做出判断特别地，当线段的端点恰好在圆上时，需要特别注意判断例如，如果一个端点在圆上，另一个在圆内，则线段与圆相切；如果一个端点在圆上，另一个在圆外，则线段与圆相交判断步骤步骤一判断端点位置计算线段两端点到圆心的距离，与半径比较，确定端点是在圆内、圆上还是圆外这是判断的第一步，可以快速排除某些情况例如，如果两端点都在圆内，则线段在圆内；如果一端在圆内另一端在圆外，则线段与圆相交步骤二计算线段到圆心的最短距离如果两端点都在圆外，需要计算线段到圆心的最短距离首先确定圆心到线段所在直线的垂线段，计算其长度d然后检查垂足是否落在线段上，如果是，则d就是最短距离；否则，最短距离为min|OA|,|OB|步骤三比较最短距离与半径的关系将最短距离d与圆的半径r比较如果dr，则线段与圆不相交；如果d=r，则线段与圆相切；如果d示例综合判断线段与圆的位置关系情况圆方程线段端点判断过程结论示例1x²+y²=16A0,0,B6,0|OA|=04,|OB|=64相交示例2x²+y²=25A4,3,B8,6|OA|=5=r,|OB|=105相切示例3x²+y²=9A4,0,B6,0|OA|=43,|OB|=63,d=03相交示例4x²+y²=4A1,1,B

1.5,

1.5|OA|=√22,|OB|=√

4.52在圆内在示例1中，端点A在圆内，B在圆外，根据连续性原理，线段AB必与圆相交在示例2中，端点A恰好在圆上，B在圆外，线段与圆相切，切点为A示例3较为特殊，两端点都在圆外，但线段所在直线经过圆心，所以线段到圆心的最短距离小于半径，线段与圆相交示例4中两端点都在圆内，所以线段完全在圆内练习综合判断题练习题练习题1122已知圆O的方程为x-1²+y+2²=25已知圆的方程为x²+y²=16，线段，线段AB的端点为A4,1和B-2,-CD的端点为C3,4和D5,5请判6通过计算可得圆心为O1,-2断线段CD与圆的位置关系需要，半径为5；|OA|=√4-计算圆心为O0,0，半径为4；1²+1+2²=√18≈

4.245，端点|OC|=√3²+4²=54，A在圆内；|OB|=√-2-1²+-|OD|=√5²+5²=5√24两端点6+2²=√25=5，端点B在圆上都在圆外，还需计算线段到圆心的因此，线段AB与圆O相切，切点为最短距离B-2,-6练习题33已知圆的圆心为原点，半径为3，线段EF的端点为E1,2和F2,1请综合判断线段EF与圆的位置关系需要计算|OE|=√1²+2²=√5≈

2.243，|OF|=√2²+1²=√5≈

2.243两端点都在圆内，所以线段EF完全在圆内特殊情况线段的端点在圆上一个端点在圆上两个端点都在圆上端点恰为切点当线段的一个端点恰好在圆上，另一端点当线段的两个端点都在圆上时，线段可能当线段的一个端点在圆上，且线段与圆相的位置将决定线段与圆的关系如果另一完全在圆内（形成一条弦），也可能恰好切，切点就是这个端点这种情况的一个端点在圆内，则线段与圆相切，切点为位是直径这时，线段与圆相交，两个交点特殊性质是连接切点与圆心的直线（即于圆上的端点；如果另一端点在圆外，则就是线段的两个端点这种情况下，线段半径）垂直于该线段这一性质可以用来线段与圆相交，其中一个交点就是位于圆实际上是圆的一条弦，或者在特殊情况下验证线段与圆是否相切上的端点是圆的直径一个端点在圆上的情况端点在圆上，另一端点在圆内端点在圆上，另一端点在圆外当线段的一个端点A恰好在圆上（即|OA|=r），另一端点B在圆当线段的一个端点C恰好在圆上（即|OC|=r），另一端点D在圆内（即|OB|外（即|OD|r）时，线段CD与圆相交，其中一个交点为C在这种情况下，线段CD有一部分在圆内，一部分在圆外从几何角度看，这种情况表示线段的一端接触到圆的边界，但并不穿过圆的边界连接切点A与圆心O的半径OA垂直于圆在这种情况表示线段从圆内穿出到圆外在实际问题中，这种情A点的切线，但不一定垂直于线段AB（除非B位于OA的延长线上况常常需要特别注意，因为它涉及到线段与圆的相交问题尤其）在计算交点时，已知其中一个交点为C，还需要计算另一个可能的交点。